Re: [obm-l] OBM Nivel Universitario 2a. fase - 2005
Opa, bom, tenho q durmir.. entao vou ser breve.. primeiramente obrigado pela resposta.. e seguem algumas duvidas: " para que a matriz seja invertivel e necessario e suficiente que nao exista nenhuma linha ou coluna com todos os elementos iguais a zero. ou que nao exista nenhuma linha ou coluna que seja combinaçao linear de outra." esse teorema eh se, e somente se? eu soh conhecia assim: "para uma matriz ser invertivel, é necessário que nao exista nenhuma linha ... (igual o seu)".. mas o suficiente eu nao conhecia.. outra coisa, na 5a questao, ainda nao pensei direito, mas nao encontrei como encaixar a definicao de integral.. tentei utilizar a ideia de integral de uma funcao escada, dai temos uma integral inferior e uma superior que convergem pro mesmo ponto, logo, a integral da funcao eh igual a integral da funcao escada. obrigado, abraços, Salhab - Original Message - From: saulo nilson To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 01, 2006 8:03 PM Subject: Re: [obm-l] OBM Nivel Universitario 2a. fase - 2005 A 5 questao sai direto da definiçao de integral, repare que se vc dividir o intervalo de 0 a 1 em infinitos intervalos, o que vai dar e pegar a definiçao de integral sob a curva 1/x^x de 0 a 1 sai direto. questao 4 a serie soma(1/n) e convergente, possui um maximo em n=1 e um minimo em n=00 que e 0, e nao possui pontos de divergencias. a serie soma 1/an tambem e convergente, e deve ser analisada da seguinte maneira 1/a(n+1) = (an)^2005/((an)^2006)+1), tem um valor maximo em 1/a1=1 e converge para zero, notar que an^2006+1 converge mais rapidamente que an^2005, como as duas funçoes sao convergentes, nao possuem descontinuidades, da teoria de series a soma 1/n*1/an tambem vai convergir. Problema 6 ars=(ir +js)!/ir!js! para que a matriz seja invertivel e necessario e suficiente que nao exista nenhuma linha ou coluna com todos os elementos iguais a zero. ou que nao exista nenhuma linha ou coluna que seja combinaçao linear de outra. como nao existe numero fatorial de um numero natural que seja zero, ir +js sao naturais tambem, entao concluimos que todos os elementos da matriz ars sao diferentes de zero. agora pegaremos um elemento de uma linha qualquer e um outro elemento de uma linha abaixo ou acima e o compararemos, eles estao na mesma coluna. p*ars=ar1s p*(ir+js)!/(ir!)js! = (ir1 +js)!/(ir1)!js! p = (ir1+js)*(ir1+js-1)(ir1+js-2)(ir1+js-(ir1-ir-1))/ir1*(ir1-1)*(ir1-2)*...*(ir+1) agora vou pegar um elemento qualquer da linha r e de coluna diferente e fazer a mesma coisa com a linha r1 e de mesma coluna, e provar que sempre existe um elemento que e diferente de zero, assim nunca vai existir uma linha ou coluna que e conbinação linear da outra. p*ars1 -ar1s1 = ar1s*ars1/ars -ar1s1=(ir1+js)!*(ir+js1)!*ir!js!/ir1!js!ir!js1!*(ir+js)! -(ir1+js1)!/ir1!js1! o que vai dar sempre diferente de zero ja que ir e js sao numeros naturais crescentes e difentes um do outro. On 5/1/06, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Olá, alguem aki conseguiu resolver as questoes 4, 5 ou 6? agradeço qquer ideia.. abraços, Salhab
Re: [obm-l] LIMITES
b) aplicando L'Hopital, temos: nx^(n-1)/[n(lnx)^n . (1/x)] = (x/lnx)^n -> (a/lna)^n, qdo x->a, para "a" finito a diferente de 0. se a = 0, (x/lnx)^n -> 0 se a = +inf, (x/lnx)^n -> +inf abraços, Salhab - Original Message - From: Ojesed Mirror To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, May 02, 2006 12:50 AM Subject: Re: [obm-l] LIMITES a) Fazendo x=1/y quando x->0+ y->+inf. x^x = (1/y)^(1/y) = exp(-ln(y)/y) Observe que y cresce mais rápido que ln(y), logo o expoente tende a zero e o limite de x^x tende a 1 Ojesed. - Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, April 28, 2006 2:42 PM Subject: [obm-l] LIMITES a) lim(x->0+) x^x b)lim(x->a) (x^n-a^n)/((lnx)^n-(lna)^n) Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz. No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.385 / Virus Database: 268.5.1/326 - Release Date: 27/4/2006
Re: [obm-l] LIMITES
a) Fazendo x=1/y quando x->0+ y->+inf. x^x = (1/y)^(1/y) = exp(-ln(y)/y) Observe que y cresce mais rápido que ln(y), logo o expoente tende a zero e o limite de x^x tende a 1 Ojesed. - Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, April 28, 2006 2:42 PM Subject: [obm-l] LIMITES a) lim(x->0+) x^x b)lim(x->a) (x^n-a^n)/((lnx)^n-(lna)^n) Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz. No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.385 / Virus Database: 268.5.1/326 - Release Date: 27/4/2006
[obm-l] Re:
Ele soh eh maximo quando o projetil aterrissa na mesma altura de que foi lancado, se nao nao eh. Por exemplo: se quizer chutar uma bola do alto dum predio o mais longe possivel o melhor angulo eh menor do que 90 graus. Mas de qualquer geito... temos que V0y (velocidade no sentido vertical no lancamento) vale v0*sen(T) - sendo que T eh o angulo com a horizontal. temos tambem que Vy = V0y -g*t No ponto mais alto da trajetoria Vy eh zero logo o tempo de "dubida"t= V0y/g = v0*sen(T)/g Como o tempo de subida eh igal ao de descida temos que t(no ar) = 2*v0*sen(T)/g tambem temos que V0x = v0*cos(T). Como Vx eh constante temos que s = v*t onde s eh o alcance. logo: s= v0^2 * 2*cosT*senT/g que equivale a s= ((v0)^2 * sen(2T))/g a pergunta eh: para v0 e g constantes, qual eh o maior valor para s? Esse valor acontecera quando sen2T for maximo, o que ocorre com 2T = 90 e logo T = 45 - Original Message - From: Natan Padoin To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 01, 2006 10:25 AM Alguém poderia me ajudar a provar que o ângulo que proprociona um alcance máximo no movimento oblíquo é 45°? Ficaria muito grato. Abraço. Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re: [obm-l] ajuda números reais
2) r^(x-2)=r^x/3 como r e positivo x-2=x/3 x=3 (r/s)^x=(r/s)^(6-x^2) lenbrando que s/r = (r/s)^ -1 como r/s e r diferente de s x=6-x^2 x^2+x-6=0 x= (-1+-5)/2 x=2 x=-3 1) A) raiz(pq)= raizp *raizq =produto de dois numeros irracionais distintos= irracional B) (raiz2+raiz3)^2= 5+2raiz2*raiz3= irracional pelo que nos vimos em A (raiz2+raiz3)= raiz(irracional)= irracional On 5/1/06, Flávia Britto <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Boa noite grupo! Peço ajuda para a solução desses 2 exercícios. 1) Use o teorema: "se p é um número primo então a raiz quadrada de p é um número irracional" para provar que A) a raiz quadrada de pq é irracional quando p>0 e q>o são primos distintos. B) a raiz quadrada de 2 + a raiz quadrada de 3 é irracioal. 2) A) Se r é um número positivo diferente de 1, investigue a existência de número real x que satisfaça a identidade r elevado a x-2 = a r elevado a x/3. B) Sabendo que r diferente de s, r>0 e s>0 calcule o valor de x na identidade (r/s) elevado x = (s/r) elevado a x ao quadrado-6. Desde já obrigada pela ajuda Flávia Guimarães Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
Re: [obm-l] Integral
Formulei mal, a dúvida int (arctg(x)) foi esclarecida. Grato a voces. Em 01/05/06, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Olá, nossa, nem vi q era u(x)... int(arctg[u(x)]) = x.arctg[u(x)] - int(x.u'(x)/[1+u(x)^2]) + c agora, sem saber a funcao u(x) fica complicado nao encontrei um modo de generalizar.. abraços, Salhab - Original Message - From: Eduardo Wilner To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 01, 2006 1:35 AM Subject: Re: [obm-l] Integral A proposta original, int de arc tg u(x), não é possível se a integral for em dx. Como o Marcelo interpretou, com x em lugar de u(x), infelizmente haveria um engano na segunda integral, um x a mais que simplificou deveras, mas incorretamente. Poderiamos ter Int = x arctg x - arc tg x + C. Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Olá, usando integral por partes: int (arctg(x)) = x.arctg(x) - int (x/(1+x^2)) + c int (arctg(x)) = x.arctg(x) - ln(1+x^2) / 2 + c abraços, Salhab - Original Message - From: Luiz Miletto To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, April 30, 2006 11:36 PM Subject: [obm-l] Integral Demonstrar a integral de arco tangente de u(x): Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
Re:[obm-l] ajuda números reais
Desculpe, FláviaEduardo Wilner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi MárciaNo 2A) é só igualar os expoentes para obter x = 3;No 2B) lembre-se que 1/b = b^(-1) , para encontrar x= 0 ou x=-1. A propósito costuma-se usar A^B para representar A elevado a B. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
Re:[obm-l] ajuda números reais
Oi MárciaNo 2A) é só igualar os expoentes para obter x = 3;No 2B) lembre-se que 1/b = b^(-1) , para encontrar x= 0 ou x=-1. A propósito costuma-se usar A^B para representar A elevado a B. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
Re: [obm-l] inequação
a) |x - 1| + |x - 2| < |x + 5| para x>2 todos os modulos serao positivos x-1+x-2< x+5 2x-x< 8 x< 8 para 1< x< 2 o primeiro modulo sera positivo e o segundo negativo e o terceiro positivo x-1 -x+2< x+5 x>-4 para -5 os dois primeiros serao negativos e o terceiro positivo -x+1-x+2 x>-2/3 e finalmente para x<-5 todos os modulos serao negativos -x+1-x+2<-x-5 x>8 so que uma soluçao nao existe se nao estiver contida em seu dominio logo, fazendo a intercessao entre cada soluçao e seu dominio, temos x>2 x< 8 2 1< x< 2 x>-4 1< x< 2 satisfaz a desigualdade inicial -5 x>-2/3 -2/3 x<-5 x>8 nao existe intercessao de maneira que a soluçao sera a uniao entre os 3 conjuntos acima 2+++8 ---1++2-- --- -2/3+++1 -2/3 ou ]-2/3,8[ sempre vai satisfazer a desigualdade inicial. b) |x + 4| / |x - 4| > 1. pode ser posta da forma restriçao inicial x diferente de 4, senao o denominador vai ser 0 |x + 4| > |x - 4| para x >4 os dois modulos serao postivos, o que esta dentro sera positivo, entao vc pode tirar o modulo sem trocar de sinal x+4>x-4 4>-4 sempre, ou para x>4 sempre vai ser verdade a desigualdade para -4 |x + 4|=x+4 |x - 4|= -x+4 x+4>-x+4 x>0 fazendo a intercessao 0 para x<-4 |x + 4|=-x-4 |x - 4|= -x+4 -x-4>-x+4 nao existe intercessao para x<-4 logo a soluçao da desigualdade e dada pela uniao dos seguintes conjuntos x>4 0 que da x>0 como soluçao, ou ]0, oo[ On 5/1/06, marcia.c <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Determine o conjunto solucão das inequações abaixo e represente-o usando o conceito de intervalo. a) |x - 1| + |x - 2| < |x + 5|b) |x + 4| / |x - 4| / > 1.Obrigada pela ajuda do exercio anterior. Se possivel vcs podem me ajudarneste, estou tendo dificuldades.
[obm-l] caixas coloridas
Temos três caixas, uma azul, uma branca e uma vermelha, e 8 bolinhas. Cada bolinha tem um número de 1 a 8, sem repetições. Distribuímos as 8 bolinhas nas caixas, de maneira que há pelo menos duas bolinhas em cada caixa. Logo, em cada caixa, somam-se todos os números escritos nas bolinhas contidas na caixa. Os três resultados denominam-se soma azul, soma branca, e soma vermelha, segundo a cor da caixa correspondente. Encontre todas as possíveis distribuições das bolinhas tais que a soma vermelha seja igual ao dobro da soma azul, e a soma vermelha menos a soma branca seja igual a soma branca menos a soma azul. Ligações gratuitas de PC-para-PC para qualquer lugar do Brasil e do mundo com o MSN Messenger. Saiba mais em: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ajuda números reais
Boa noite grupo! Peço ajuda para a solução desses 2 exercícios. 1) Use o teorema: "se p é um número primo então a raiz quadrada de p é um número irracional" para provar que A) a raiz quadrada de pq é irracional quando p>0 e q>o são primos distintos. B) a raiz quadrada de 2 + a raiz quadrada de 3 é irracioal. 2) A) Se r é um número positivo diferente de 1, investigue a existência de número real x que satisfaça a identidade r elevado a x-2 = a r elevado a x/3. B) Sabendo que r diferente de s, r>0 e s>0 calcule o valor de x na identidade (r/s) elevado x = (s/r) elevado a x ao quadrado-6. Desde já obrigada pela ajuda Flávia Guimarães Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
Re: [obm-l] OBM Nivel Universitario 2a. fase - 2005
A 5 questao sai direto da definiçao de integral, repare que se vc dividir o intervalo de 0 a 1 em infinitos intervalos, o que vai dar e pegar a definiçao de integral sob a curva 1/x^x de 0 a 1 sai direto. questao 4 a serie soma(1/n) e convergente, possui um maximo em n=1 e um minimo em n=00 que e 0, e nao possui pontos de divergencias. a serie soma 1/an tambem e convergente, e deve ser analisada da seguinte maneira 1/a(n+1) = (an)^2005/((an)^2006)+1), tem um valor maximo em 1/a1=1 e converge para zero, notar que an^2006+1 converge mais rapidamente que an^2005, como as duas funçoes sao convergentes, nao possuem descontinuidades, da teoria de series a soma 1/n*1/an tambem vai convergir. Problema 6 ars=(ir +js)!/ir!js! para que a matriz seja invertivel e necessario e suficiente que nao exista nenhuma linha ou coluna com todos os elementos iguais a zero. ou que nao exista nenhuma linha ou coluna que seja combinaçao linear de outra. como nao existe numero fatorial de um numero natural que seja zero, ir +js sao naturais tambem, entao concluimos que todos os elementos da matriz ars sao diferentes de zero. agora pegaremos um elemento de uma linha qualquer e um outro elemento de uma linha abaixo ou acima e o compararemos, eles estao na mesma coluna. p*ars=ar1s p*(ir+js)!/(ir!)js! = (ir1 +js)!/(ir1)!js! p = (ir1+js)*(ir1+js-1)(ir1+js-2)(ir1+js-(ir1-ir-1))/ir1*(ir1-1)*(ir1-2)*...*(ir+1) agora vou pegar um elemento qualquer da linha r e de coluna diferente e fazer a mesma coisa com a linha r1 e de mesma coluna, e provar que sempre existe um elemento que e diferente de zero, assim nunca vai existir uma linha ou coluna que e conbinação linear da outra. p*ars1 -ar1s1 = ar1s*ars1/ars -ar1s1=(ir1+js)!*(ir+js1)!*ir!js!/ir1!js!ir!js1!*(ir+js)! -(ir1+js1)!/ir1!js1! o que vai dar sempre diferente de zero ja que ir e js sao numeros naturais crescentes e difentes um do outro. On 5/1/06, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Olá, alguem aki conseguiu resolver as questoes 4, 5 ou 6? agradeço qquer ideia.. abraços, Salhab
[obm-l] inequa�
Determine o conjunto solucão das inequações abaixo e represente- o usando o conceito de intervalo. a) |x - 1| + |x - 2| < |x + 5| b) |x + 4| / |x - 4| / > 1. Obrigada pela ajuda do exercio anterior. Se possivel vcs podem me ajudar neste, estou tendo dificuldades.
[obm-l] Re:
se teta e o angulo de lançamento em relaçao a horizontal, a formula do alcance maximo e funçao de sen(2*teta), que e maximo quando sen2teta=1 ou seja 2teta=90 teta=45 On 5/1/06, Natan Padoin <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Alguém poderia me ajudar a provar que o ângulo que proprociona um alcance máximo no movimento oblíquo é 45°? Ficaria muito grato. Abraço. Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualda de geométrica
corrigindo B E r__ / | / | . /| D / | s___/___ |. A C Srs, na figura acima supondo que exista uma reta ligando A à E e DE=2(AB) o angulo DÂC =18 o angulo BÂC = x o angulo E^BD = 90 como faço para provar que BD=AD para ABC = triangulo isosceles de base AB e BÂC = 36? obs tentei anexar um arquivo jpeg mas creio que o Majordomo "detonou". alguem tem um boa dica de livro de exercícios de geo plana? obrigado Sarmento = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] dúvida (Quadriláteros)
Amigos, gostaria de saber se a resolução que dei para este problema está correta, tenho esta dúvida por achar minha resolução simples demais e também por achar que esse problema merecesse mais atenção. ABCD é um paralelogramo. H é o ortocentro do triângulo ABC e O, o circuncentro do triângulo ACD. Prove que H, O, D são colineares. Resolução: Ligando o circuncentro O do triângulo ACD aos seus vértices e chamando de G o pé da altura do triângulo AOC e de M o pé da altura do triângulo AOD,obtemos o quadrilátero AMOG que é cíclico. Seja R o centro da circunferência circunscrita a AMOG então RO será o raio e OH é tangente a esta circunferência em O ,logo, Obrigado ! Cleber Navegue com o Yahoo! Acesso Grátis, assista aos jogos do Brasil na Copa e ganhe prêmios de hora em hora.
[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade geométrica
Escrevendo S = abc/4R = p*r, vc obtem abc = 4R*p*r e 9abc - 8Rp^2 = 4*R*p(9r - 2p) Pela desigualdade triangular, a,b,c < 2R , logo 2p = (a+b+c) < 6r. Ou seja, sua desigualdade pode inclusive ser melhorada para 3abc - 4Rp^2 > 0 - Original Message - From: "Dymitri Cardoso Leão" <[EMAIL PROTECTED]> To: Sent: Monday, May 01, 2006 11:44 AM Subject: [obm-l] Desigualdade geométrica Eu elaborei uma desigualdade puramente geométrica utilizando trigonometria e mais algumas coisas, mas eu gostaria de ver uma demosntração dela por geometria plana apenas. Prove que se R é o circunraio de um triêngulo de lados a,b,c e semi-pérímetro p, então vale a desigualdade 9abc - 8Rp² > 0. _ COPA 2006: (¯`·._.·[ Ooola ]·._.·´¯) e + frases para seu MSN Clique aqui! http://copa.br.msn.com/extra/frases/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:
Seja A o ângulo formado com o chão (0 < A < pi/2) e F o módulo da força aplicada. A soma dos módulos dos componentes do vetor força é FsenA + FcosA. Essa soma é máxima se o quadrado de seu valor é máximo. Seu valor ao quadrado é F^2[sen^2(A) + 2senAcosA + cos^2(A)] = F^2[sen(2A) + 1], logo é máximo se 2A = pi/2, para que sen(2A) seja máximo, o que ocorre se A = pi/4 = 45°.
RE: [obm-l] 2 questoes do IME
oi Paulo,
Salvei sua msg. Na verdade, eu recebi duas copias,
pois a primeira, via lista obm-l chegou sim.
A sua solucao, analitica parece bem intensa.
Eu passei o fim-de-semana destrinchando uma
solucao que o Luis Lopes me enviou (solucao
esta, fornecida a ele por um colega Jean-Pierre
de outra lista). A solucao do Jean-Pierre eh por
geometria e com uns 3 ou 4 lemas a gente consegue
coloca-la num nivel acessivel. Eu jah entendi a solucao
dele e estarei hoje ainda comecando a passa-la para o papel.
Deve me ocupar uns 2 dias, tamanho eh a quantidade
de informacao necessaria para se compreende-la.
Vou dar uma olhada na sua questao esta semana,
pois quero le-la com calma.
Grande abraco,
sergio
On Sun, 30 Apr 2006, Paulo Santa Rita wrote:
Ola Sergio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
( escreverei sem acentos )
Aqui vai uma solucao para a questao (i) que voce cita abaixo. Sei
que o seu excelente trabalho - que me parece ser presidido pelo
mesmo espirito que rege a comunidade Software Livre - e voltado
sobretudo para estudantes que farao o vestibular IME, dai eu ter me
esforcado para usar apenas conhecimentos de nivel medio e ser tao
detalhista quanto possivel.
Se voce ou qualquer outra pessoa achar a solucao util de alguma
forma, pode usar a vontade : se quiser, nem precisa citar que
fonte. Da uma revisada nos calculos porque eu nao olhei duas vezes
para um mesmo lugar. Havendo tempo eu faco a (iii) e publico aqui.
Esta solucao e dedicada a maravilhosa comunidade Debian GNU/Linux.
Vamos, a principio, introduzir um sistema de coordenadas
cartesianas conveniente. Para tanto, consideraremos que a
reta " r " que contem os pontos fixos A e B e o eixo OY e que o
plano OXZ e perpendicular ao segmento AB no ponto medio. Fazendo
este ponto medio a origem ( 0,0,0 ) do sistema OXYZ, segue
imediatamente que :
A=( 0 ,a ,0 ) e B=( 0, -a, 0 ) para algum "a" real.
Aqui e importante perceber que o plano OXZ ( Y=0 ) sendo o lugar
geometrico dos pontos do espaco equidistante de A e B sera tambem,
inevitavelmente, o plano onde residira o lugar geometrico que
buscamos, pois todo centro de esfera circunscrita ao tetraedro e,
em particular, equidistante de A e B.
Agora, continuando, para caracterizar a reta " r ' " ortogonal a
"r" e na qual residirao os pontos variaveis M e M' tomaremos :
r' = { (b,c,z) ; "b" e "c" reais fixos com "b" diferente de zero e
"z" variando nos reais }
E importante perceber que M e M' sao solidarios, no sentido de que
fixado um M, M' fica univocamente determinado - M ' e funcao de M -
pois trata-se do ponto de r' cuja projecao sobre o triangulo ABM e
precisamente o ortocentro destre triangulo. Por outro lado, e facil
ver que se aproximanos M=(b,c,W) de (b,c,0) o ponto M' tende ao
infinito, ou seja, subira ou descera muito. Visualizar estas coisa
e importante para o que segue.
VAMO AGORA FIXAR UM PONTO M=(b,c,W). Para facilitar a visualizacao,
imagine W < 0. Para ter uma visao global previa, considere as
questoes seguintes :
1) Como encontrar as coordenadas do centro da esfera circunscrita
ao tetraedro ABMM' ?
SIMPLES : Encontro as equacoes dos planos perpendiculares as
arestas do tetraedro nos seus pontos-medio e resolvo o sistema
formado por estas equacoes. Como isso pressupoe saber previamente
as coordenadas do ponto M ' tem sentido perguntar ...
2) Como encontrar as coordenadas do ponto M ' ?
SIMPLES : Pelo ortocentro do triangulo ABM traco uma perpendicular
ao plano que contem este triangulo. A intercecao desta
perpendicular com a reta r' me fornecera as coordenadas de M'. Como
isso pressupoe saber previamente as coordenadas do ortocentro do
triangulo ABM, tem sentido perguntar ...
3) Como encontrar as coordenadas do ortocentro do triangulo ABM ?
SIMPLES : Seja C o circuncentro e D o baricentro do triangulo ABM.
Se R e o ortocentro, sabemos que C, D e R estao alinhados,
constituindo a RETA DE EULER do triangulo e que DR = -2*DC. Com
esta relacao fica facil calcular as coordenadas do ortocentro. Como
isso pressupoe saber previamente as coordenadas do baricentro e do
circuncentro, tem sentido perguntar ...
4) Como encontrar as coordenadas do baricentro e do circuncentro ?
SIMPLES : As coordenadas do baricentro sao amplamente conhecidas,
pois trata-se da media aritmetica entre as coordenadas dos vertices
do triangulo. Para ver como calculamos o circuncentro basta
perceber que o plano Y=0 e um plano perpendicular a AB pelo seu
ponto medio, em virtude do sistema cartesiano que adotamos acima.
Assim, tracamos dois plano respectivamente perpendiculares AM e BM
pelos seus ponto medios. A resolucao do sistema formado pelas
equacoes dara o circuncentro.
Bom, acho que ficou claro o caminho que vou seguir. A questoes
acima foi a forma mais didatica que eu consegui encontrar para dar
uma visao panoramica e previa do que farei. Desta forma a sequencia
de calculos vai adquirir sentido. Note que os calculos podem ser
muitos, mai
[obm-l] Desigualdade geométrica
Eu elaborei uma desigualdade puramente geométrica utilizando trigonometria e mais algumas coisas, mas eu gostaria de ver uma demosntração dela por geometria plana apenas. Prove que se R é o circunraio de um triêngulo de lados a,b,c e semi-pérímetro p, então vale a desigualdade 9abc - 8Rp² > 0. _ COPA 2006: (¯`·._.·[ Ooola ]·._.·´¯) e + frases para seu MSN Clique aqui! http://copa.br.msn.com/extra/frases/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:
Seja theta o angulo de lançamento. Vamos calcular o tempo que ele fica voando: Voy = Vo * sen(theta) Vy = Voy - g * t = Vo * sen(theta) - gt O tempo que ele fica no ar é o tempo de subida + o tempo de descida = 2 vezes o tempo de subida: .:. t = 2Vosen(theta)/g Vamos colocar isso na equação da posição horizontal: S = So + Vt = Vt = Vo cos(theta) * 2Vosen(theta)/g Agora a perguta é: qual é o theta que maximiza S? S = Vo/g * 2 sen(theta) cos(theta) = Vo/g * sen(2theta) S' = Vo/g * 2cos(2theta) = 0 cos(2theta) = 0 <==> theta = 45 (estou me limitando ao intervalo [0, 90] graus. Então se theta = 45 temos um extremo. S''= -4Vo/g * sen(theta) S''(45) = -4Vo/g * 1/sqrt(2) < 0 Logo, em 45 S tem um máximo local Verifique que the theta = 0 ou theta = 90 o deslocamento horizontal é menor e pronto! Abraço BrunoOn 5/1/06, Natan Padoin <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Alguém poderia me ajudar a provar que o ângulo que proprociona um alcance máximo no movimento oblíquo é 45°? Ficaria muito grato. Abraço. Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] AJUDA
a) F -4 < -3, mas seus quadrados não (16 > 9) b) V elevando ao quadrado teremos: 20 + 2*raiz(20) + 1 < 19 + 2*raiz(38) + 2 <=> 2*raiz(20) < 2*raiz(38) raiz(20) < raiz(38) como a raiz é uma função estritamente crescente e positiva, temos que a raiz(n1) será sempre menor que raiz(n2) para todo n1 - Original Message - From: "marcia.c" <[EMAIL PROTECTED]> To: Sent: Monday, May 01, 2006 10:04 AM Subject: [obm-l] AJUDA Amigos gostaia da ajuda de vc´s no seguinte exerccio: Decida se cada afirmativa é verdadeira ou falsa, justificando suas respostas. a) Sejam a e b numeros reais quaisquer. Se a < b entao a2 < b2(b ao quadrado) b) Se x = (raiz)20 + 1 e y = (raiz)19 + (raiz)2 entao x < y. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:
http://www.feiradeciencias.com.br/sala04/04_RE_07.asp - Original Message - From: Natan Padoin To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 01, 2006 10:25 AM Alguém poderia me ajudar a provar que o ângulo que proprociona um alcance máximo no movimento oblíquo é 45°? Ficaria muito grato. Abraço. Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
[obm-l] Drivação maximos e minimos ( Agradecimento)
Pessoal muito obrigado pela ajuda e apoio que vocês nos dão. Agradeço, em especial ao Saulo Nilson e ao Marcelo Selhab . Um grande abraço. E muito obrigado, mais uma vez. Bruno Mostly. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
[no subject]
Alguém poderia me ajudar a provar que o ângulo que proprociona um alcance máximo no movimento oblíquo é 45°? Ficaria muito grato. Abraço. Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
[obm-l] Novo integrante
Olá pessoal, Meu nome é Natan Padoin. Sou novo na lista e gostaria de ser útil sempre que puder e tirar minhas dúvidas também. Abraço Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
[obm-l] AJUDA
Amigos gostaia da ajuda de vc´s no seguinte exerccio: Decida se cada afirmativa é verdadeira ou falsa, justificando suas respostas. a) Sejam a e b numeros reais quaisquer. Se a < b entao a2 < b2(b ao quadrado) b) Se x = (raiz)20 + 1 e y = (raiz)19 + (raiz)2 entao x < y.
[obm-l] Re: [obm-l] Questões do Livro do Hefez
Desculpe Artur, já encontrei a mensagem From: Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Questões do Livro do Hefez Date: Sun, 30 Apr 2006 23:55:37 -0700 (PDT) 1) Suponhamos que m = n^2 - 1 = (n+1)(n-1) possua 4 divisores. Temos que n>=3. Se n for impar, entao n- 1 e n+1 sao ambos pares, implicando que m seja multiplo de 4. Se n =3, entao m =8 tem 4 divisores, mas isto nao leva ainda aa correspondencia desejada. Se n>=5 for impar, entao os numeros pares n-1 >=4 e n+1 sao divisores de m. Alem disto, m tem como divisores os numeros 1 , 2 e m, de modo que para n>=5, impar, m tem pelo menos 5 divisores, contraraiamente aa hipotese. Assim, valore impares de n nao implicam a correspondencia de4sejada. Se n>=4 for par, entao n-1>=3 e n+1 sao ambos divisores impares de m. Alem disto, m tem por divisores os numeros 1 e o proprio m. Dado que m tem exatamente 4 divisores, segue-se que n-1 e n+1 sao ambos primos, pois, se ao menos um deles fosse composto, m teria pelo menos um divisor a mais do que os citados, contrariamente aa hipotese basica. Concluimos assim que, a cada valor par de n para o qual n-1 e n+1 sejam primos - logo primos gemeos - corresponde o par (n-1 , n+1) de primos gemeos. Por outro lado, se n-1 e n+1 sao pimos gemeos, entao m = n^2 -1 = (n-1)(n+1) tem por fatores primos unica e exclusivamente n-1 e n+1 (teorema fundamental da aritmetica). Como, alem disto, 1 e m sao divisores de m, segue-se que m tem exatamente 4 divisores. Isto eh, a cada par de primos gemeos, corresponde um numero da forma n^2 -1. Concluimos, assim, que a correspondencia entre o conjunto dos pares de primos gemeos e os numeros da forma n^2 -1 eh ,de fato, biunivica, hah uma bijecao entre os 2 conjuntos. A questao 3 jah foi discutida na lista, de forma mais geral, hah alguns dias, sob o titulo Diferenca de 2 quadrados. Basta fazer y = (p+1)/2 e x = (p-1)/2. A questao 2 parece mais complicada, vamos tentar outra hora. Artur --- Ricardo Khawge <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Agradeço qualquer ajuda nas seguintes questões: > > 1) Mostre que existe uma correspondência biunívoca > entre pares de primos > gêmeos e números n tais que n^2 -1 possui 4 > divisores. > > 2) Seja p> 3 um primo. Mostre que a^p - a e a^p. b- > b^p . a são divisíveis > por 6p, para todos a>0, com a>b. > > 3) seja p um primo ímpar. Mostre que se pode > escrever p = y^2 - x^2, com x > e y positivos, de modo único. > > Obrigado > > _ > Ganhe tempo encontrando o arquivo ou e-mail que você > precisa com Windows > Desktop Search. Instale agora em > http://desktop.msn.com.br > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Ligações gratuitas de PC-para-PC para qualquer lugar do Brasil e do mundo com o MSN Messenger. Saiba mais em http://imagine-msn.com/messenger/default2.aspx?locale=pt-br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Questões do Livro do Hefez
Olá Artur, procurei a mensagem "Diferença de 2 quadrados" no arquivo, mas não encontrei. Obrigado pelas soluções From: Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Questões do Livro do Hefez Date: Sun, 30 Apr 2006 23:55:37 -0700 (PDT) 1) Suponhamos que m = n^2 - 1 = (n+1)(n-1) possua 4 divisores. Temos que n>=3. Se n for impar, entao n- 1 e n+1 sao ambos pares, implicando que m seja multiplo de 4. Se n =3, entao m =8 tem 4 divisores, mas isto nao leva ainda aa correspondencia desejada. Se n>=5 for impar, entao os numeros pares n-1 >=4 e n+1 sao divisores de m. Alem disto, m tem como divisores os numeros 1 , 2 e m, de modo que para n>=5, impar, m tem pelo menos 5 divisores, contraraiamente aa hipotese. Assim, valore impares de n nao implicam a correspondencia de4sejada. Se n>=4 for par, entao n-1>=3 e n+1 sao ambos divisores impares de m. Alem disto, m tem por divisores os numeros 1 e o proprio m. Dado que m tem exatamente 4 divisores, segue-se que n-1 e n+1 sao ambos primos, pois, se ao menos um deles fosse composto, m teria pelo menos um divisor a mais do que os citados, contrariamente aa hipotese basica. Concluimos assim que, a cada valor par de n para o qual n-1 e n+1 sejam primos - logo primos gemeos - corresponde o par (n-1 , n+1) de primos gemeos. Por outro lado, se n-1 e n+1 sao pimos gemeos, entao m = n^2 -1 = (n-1)(n+1) tem por fatores primos unica e exclusivamente n-1 e n+1 (teorema fundamental da aritmetica). Como, alem disto, 1 e m sao divisores de m, segue-se que m tem exatamente 4 divisores. Isto eh, a cada par de primos gemeos, corresponde um numero da forma n^2 -1. Concluimos, assim, que a correspondencia entre o conjunto dos pares de primos gemeos e os numeros da forma n^2 -1 eh ,de fato, biunivica, hah uma bijecao entre os 2 conjuntos. A questao 3 jah foi discutida na lista, de forma mais geral, hah alguns dias, sob o titulo Diferenca de 2 quadrados. Basta fazer y = (p+1)/2 e x = (p-1)/2. A questao 2 parece mais complicada, vamos tentar outra hora. Artur --- Ricardo Khawge <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Agradeço qualquer ajuda nas seguintes questões: > > 1) Mostre que existe uma correspondência biunívoca > entre pares de primos > gêmeos e números n tais que n^2 -1 possui 4 > divisores. > > 2) Seja p> 3 um primo. Mostre que a^p - a e a^p. b- > b^p . a são divisíveis > por 6p, para todos a>0, com a>b. > > 3) seja p um primo ímpar. Mostre que se pode > escrever p = y^2 - x^2, com x > e y positivos, de modo único. > > Obrigado > > _ > Ganhe tempo encontrando o arquivo ou e-mail que você > precisa com Windows > Desktop Search. Instale agora em > http://desktop.msn.com.br > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ COPA 2006: Enfeite o seu MSN Messenger de verde e amarelo! http://copa.br.msn.com/extra/emoticons/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Quest�es do Livro do Hefez
1) Suponhamos que m = n^2 - 1 = (n+1)(n-1) possua 4 divisores. Temos que n>=3. Se n for impar, entao n- 1 e n+1 sao ambos pares, implicando que m seja multiplo de 4. Se n =3, entao m =8 tem 4 divisores, mas isto nao leva ainda aa correspondencia desejada. Se n>=5 for impar, entao os numeros pares n-1 >=4 e n+1 sao divisores de m. Alem disto, m tem como divisores os numeros 1 , 2 e m, de modo que para n>=5, impar, m tem pelo menos 5 divisores, contraraiamente aa hipotese. Assim, valore impares de n nao implicam a correspondencia de4sejada. Se n>=4 for par, entao n-1>=3 e n+1 sao ambos divisores impares de m. Alem disto, m tem por divisores os numeros 1 e o proprio m. Dado que m tem exatamente 4 divisores, segue-se que n-1 e n+1 sao ambos primos, pois, se ao menos um deles fosse composto, m teria pelo menos um divisor a mais do que os citados, contrariamente aa hipotese basica. Concluimos assim que, a cada valor par de n para o qual n-1 e n+1 sejam primos - logo primos gemeos - corresponde o par (n-1 , n+1) de primos gemeos. Por outro lado, se n-1 e n+1 sao pimos gemeos, entao m = n^2 -1 = (n-1)(n+1) tem por fatores primos unica e exclusivamente n-1 e n+1 (teorema fundamental da aritmetica). Como, alem disto, 1 e m sao divisores de m, segue-se que m tem exatamente 4 divisores. Isto eh, a cada par de primos gemeos, corresponde um numero da forma n^2 -1. Concluimos, assim, que a correspondencia entre o conjunto dos pares de primos gemeos e os numeros da forma n^2 -1 eh ,de fato, biunivica, hah uma bijecao entre os 2 conjuntos. A questao 3 jah foi discutida na lista, de forma mais geral, hah alguns dias, sob o titulo Diferenca de 2 quadrados. Basta fazer y = (p+1)/2 e x = (p-1)/2. A questao 2 parece mais complicada, vamos tentar outra hora. Artur --- Ricardo Khawge <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Agradeço qualquer ajuda nas seguintes questões: > > 1) Mostre que existe uma correspondência biunÃvoca > entre pares de primos > gêmeos e números n tais que n^2 -1 possui 4 > divisores. > > 2) Seja p> 3 um primo. Mostre que a^p - a e a^p. b- > b^p . a são divisÃveis > por 6p, para todos a>0, com a>b. > > 3) seja p um primo Ãmpar. Mostre que se pode > escrever p = y^2 - x^2, com x > e y positivos, de modo único. > > Obrigado > > _ > Ganhe tempo encontrando o arquivo ou e-mail que você > precisa com Windows > Desktop Search. Instale agora em > http://desktop.msn.com.br > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
