[obm-l] Sobre treinamento
Saudações á todos . Estou pedindo ajuda para vocês pois gostaria de obter informação sobre treinamento para a OBM nivel Universitário. Sou estudante de Engenharia e queria saber se existe no RJ esse tipo de preparação, como é meu 1º ano de olimpíada que participo queria já indo pegando uma experiência com estudos, pois fico meio perdido em que vou estudar. Bem desde já agradeço. []'s. Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ESTATISTICA
1)Num armário há n pares de sapatos. Retiram-se ao acaso m pés de sapato desse amario. Calcule a probabilidade de : a)que saia pelo menos um par; b)que saia exatamente um par. 2)Qual a probabilidade de obtermos soma 12 lançando 3 dados ? 3)Eduardo e Mônica estão disputando uma serie de partidas de peteca. Em cada partida, a probabilidade de Eduardo vencer é 0,6 e a de Mônica vencer é 0,4. Seja P a probabilidade de Eduardo vencer uma quantidade par de partidas nas 10 primeiras partidas. Determine se P< 0,5 ou P=0,5 ou P>0,5. Grato. K. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
Re: [obm-l] Cos 7º
Só pra dar um dos possíveis exemplos de como se obter cos(7 graus) a partir de equações algébricas (e sem querer dar pitaco na discussão mais avançada que se seguiu depois!!!) 1- Tome p(x) = x^180 + 1 e calcule suas raízes. 2- Tome uma das raízes com parte real máxima(são 4 raízes com parte real máxima em módulo, tomemos uma delas, digamos x180) 3- Eleve este numero complexo à sétima: c7 = (x180)^7 4- A parte real de c7 vale cos(7 graus), exatamente. []´s Demétrio No maple => restart;f:=x^180+1;z:=solve(f=0): 180 f := x+ 1 > r180:=0: for r in z do > if ( evalf(Re(r180)) < evalf(Re(r)) ) then r180:=r: end if: > end do: > > > evalf((r180)); 0.9998476955 + 0.01745240644 I > evalf[50](Re(r180^7)); 0.99254615164132203498006158933058410904365287740678 > evalf[50](cos(2*Pi*7/360)); 0.99254615164132203498006158933058410904365287740683 --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: > On Fri, Maio 26, 2006, "Nicolau C. Saldanha" > <[EMAIL PROTECTED]> > said: > > > Talvez você goste de saber que cos(7 graus) é a > segunda mair raiz de > > > > 48 46 > 44 > > 281474976710656 z - 3377699720527872 z + > 18999560927969280 z > > > > 42 > 40 38 > > - 66568831992070144 z + 162828875980603392 > z - 295364007592722432 z > > > >36 > 34 > > + 411985976135516160 z - 452180272956309504 > z > > > >32 > 30 > > + 396366279591591936 z - 280058255978266624 > z > > > >28 > 26 24 > > + 160303703377575936 z - 74448984852135936 > z + 28011510450094080 z > > > > 22 20 >18 > > - 8500299631165440 z + 2064791072931840 z > - 397107008634880 z > > > >16 14 >12 > > + 59570604933120 z - 6832518856704 z + > 583456329728 z > > > > 10 8 > 6 4 2 > > - 35782471680 z + 1497954816 z - 39625728 > z + 579456 z - 3456 z + 1 > > > > > > As raízes são +-cos(k graus) e +-sen(k graus) para > > k = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43. > > > Magnífico. Onde será que eu posso achar algo > que explique como > construir esse polinômio ... Acredito que não deva > ser nada simples. > > Ronaldo. > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Mais sobre teoria de Galois...
Olá professor Nicolau e demais colegas: Sabemos que equações do quinto grau não podem ser solúveis por radicais. Mas será que não poderíamos expressar as soluções dessas equações por combinações de outros tipos de funções tais como logaritimos senos e exponenciais? Sempre tive essa dúvida. Uma vez escutei falar que as soluções dessas equações poderiam ser colocadas em termos de integrais elípticas. Como eu não sei, mas acho que seria fascinante ler algum artigo desse tipo. Alguém conhece? []s Ronaldo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Galois e polinômio irredutível [era: Achar as raizes z^4+4]
Sauda,c~oes,
Oi N.,
Digo bobagem tipo as raízes não serem algébricas por dificuldade
do email. É claro que são algébricos mas consigo obter estes
números de forma exata em R?
A expressão trigonométrica em alguns casos só dará um resultado
numérico aproximado. O valor exato é dado envolvendo números
complexos. Não seria difícil encontrar um exemplo do que quero dizer.
É irredutível em Q mas não em R.
Ainda tenho que me convencer disso. Quando tiver um exemplo
volto a perguntar.
[]'s
Luis
From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
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Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Galois e polinômio irredutível [era: Achar
as raizes z^4+4]
Date: Mon, 29 May 2006 10:25:45 -0300
On Fri, May 26, 2006 at 09:59:31PM +, Luís Lopes wrote:
> Sauda,c~oes,
>
> Oi N.,
>
> O que quero dizer seria mais fáxil com um exemplo.
>
> Mas seja p(x) = x^3 + px + q = 0. (*) Z[x]
>
> Para achar as raízes , calcule D = q^2/4 + p^3/27 e
> suponha D<0. (3 raízes reais distintas e não racionais por hipótese).
>
> Calculamos phi = Arccos\frac{q\sqrt{27}}{2p\sqrt{-p}}
>
> e as raízes de (*) são:
>
> x_1 = 2\sqrt{-p/3}cos(phi/3) = A cos(phi/3)
>
> x_2 = A cos(phi/3 + 2\pi/3)
>
> x_3 = A cos(phi/3 + 4\pi/3)
>
> Infelizmente não me ocorre um exemplo numérico mas acho que
> o exemplo clássico de cos20 serve.
>
> No caso dos x_i não serem números algébricos posso dizer que
> o polinômio se fatora em (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) ?
O seu único erro é julgar que estes números não são algébricos.
Eles são algébricos sim, prova disso é que eles são raízes
de um polinômio com coeficientes algébricos.
O fato deles serem escritos de uma forma que envolve o número
transcendente pi e as funções cos e sen não altera isso.
> Pela sua resposta >Claro que pode! A fatoração dele é
> >4(x - c7)(x - c127)(x - c247)
>
> acho que posso.
>
> Mas li que no caso acima onde D<0 o polinômio é irredutível
> (sem raiz racional, é claro).
É irredutível em Q mas não em R.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] D�vida sobre Olimp �ada Brasileira de Matem�tica
On Sat, May 27, 2006 at 08:24:13AM -0300, fabiodjalma wrote: Sou responsvl, na OBM, da Escola Parque e do Colgo Zaccaria. Como os dois j participaram do evento anteriormente, considerei que j^J estive Parque (que j recebeu o material) mas o Colgo Zaccaria noo recebeu. Como devo proceder? A mensagem chegou um pouco danificada mas, se entendi bem, o material chegou bem na EP mas n�o no Zaccaria, certo? Se voc� mesmo levar uma c�pia do que voc� recebeu na EP para o Zaccaria estar� fazendo a coisa certa, um grande favor a todos. []s, N. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Gal ois e polinômio irredutíve l [era: Achar as raizes z^4+4]
On Fri, May 26, 2006 at 09:59:31PM +, Luís Lopes wrote:
> Sauda,c~oes,
>
> Oi N.,
>
> O que quero dizer seria mais fáxil com um exemplo.
>
> Mas seja p(x) = x^3 + px + q = 0. (*) Z[x]
>
> Para achar as raízes , calcule D = q^2/4 + p^3/27 e
> suponha D<0. (3 raízes reais distintas e não racionais por hipótese).
>
> Calculamos phi = Arccos\frac{q\sqrt{27}}{2p\sqrt{-p}}
>
> e as raízes de (*) são:
>
> x_1 = 2\sqrt{-p/3}cos(phi/3) = A cos(phi/3)
>
> x_2 = A cos(phi/3 + 2\pi/3)
>
> x_3 = A cos(phi/3 + 4\pi/3)
>
> Infelizmente não me ocorre um exemplo numérico mas acho que
> o exemplo clássico de cos20 serve.
>
> No caso dos x_i não serem números algébricos posso dizer que
> o polinômio se fatora em (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) ?
O seu único erro é julgar que estes números não são algébricos.
Eles são algébricos sim, prova disso é que eles são raízes
de um polinômio com coeficientes algébricos.
O fato deles serem escritos de uma forma que envolve o número
transcendente pi e as funções cos e sen não altera isso.
> Pela sua resposta >Claro que pode! A fatoração dele é
> >4(x - c7)(x - c127)(x - c247)
>
> acho que posso.
>
> Mas li que no caso acima onde D<0 o polinômio é irredutível
> (sem raiz racional, é claro).
É irredutível em Q mas não em R.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Ajuda
Olá Cláudio, Muito grato pela solução. Manoel. "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Eu acho que este argumento é falho pois ao dividir (2m)!*(2n)! por m!*n! você pode "perder" os fatores primos que fariam com que o quociente fosse divisível por (m+n)!. Um jeito de resolver é provando que cada primo aparece em (2m)!*(2n)! com um expoente igual ou maior do que o expoente com que este primo aparece em m!*n!*(m+n)!. Ou seja, temos que provar que, para cada primo p, SOMA(k>=1) ([2m/p^k] + [2n/p^k]) >= SOMA(k>=1) ([m/p^k] + [n/p^k] + [(m+n)/p^k] ([x] = maior inteiro menor ou igual a x) Para isso é suficiente provar a
desigualdade: [2x] + [2y] >= [x] + [y] + [x+y], onde x e y são reais quaisquer. x = [x] + {x} y = [y] + {y} ==> [2x] + [2y] = 2[x] + 2[y] + [2{x}] + [2{y}] (i) [x] + [y] + [x+y] = 2[x] + 2[y] + [{x}+{y}] (ii) Subtraindo (ii) de (i), obtemos: [2x] + [2y] - [x] - [y] - [x+y] = [2{x}] + [2{y}] - [{x}+{y}] Assim, o problema se reduz a provar que, se a e b pertencem a [0,1), então [2a] + [2b] >= [a+b]. Supondo s.p.d.g. que 0 <= a <= b < 1, vamos por casos: i) 0 <= a <= b < 1/2 ==> 0 >= 0 ii) 0 <= a < 1/2 <= b < 1 ==> 1 >= 0 ou 1 ii) 1/2 <= a <= b < 1 ==> 2 >= 1
Logo, a desigualdade vale sempre e acabou... *** O mais legal, entretanto, é achar algum problema de combinatória onde um dado conjunto tenha (2m)!*(2n)!/(m!*n!*(m+n)!) elementos. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 9 May 2006 20:48:46 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Ajuda > m! e n! esta contido em 2m! e 2n!, falta so provar que (m+n)! esta contido em 2m ou 2n fatorial desenvolvidos. > caso em que m=n > m+n0=2m=2n > o que da resultado inteiro > m maior que n ou n maior que m > 2m ou 2n maior que m+n, o qque demonstra que o denominador tambem se anula neste caso, como m e n sao inteiros, o numerador vais ser uma produto de numeros inteiros. > > On 5/9/06, Manoel P G Neto Neto <[EMAIL PROTECTED]> wrote:Olá amigos da lista,Vocês poderiam me ajudar com a questão:Sejam m, n inteiros positivos, então(2m)! (2n)! / m! n! (m+n)!é um número
inteiro.Grato. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
Re: [obm-l] Ajuda
Olá Cláudio, Muito grato pela solução."claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Eu acho que este argumento é falho pois ao dividir (2m)!*(2n)! por m!*n! você pode "perder" os fatores primos que fariam com que o quociente fosse divisível por (m+n)!. Um jeito de resolver é provando que cada primo aparece em (2m)!*(2n)! com um expoente igual ou maior do que o expoente com que este primo aparece em m!*n!*(m+n)!. Ou seja, temos que provar que, para cada primo p, SOMA(k>=1) ([2m/p^k] + [2n/p^k]) >= SOMA(k>=1) ([m/p^k] + [n/p^k] + [(m+n)/p^k] ([x] = maior inteiro menor ou igual a x) Para isso é suficiente provar a desigualdade:
[2x] + [2y] >= [x] + [y] + [x+y], onde x e y são reais quaisquer. x = [x] + {x} y = [y] + {y} ==> [2x] + [2y] = 2[x] + 2[y] + [2{x}] + [2{y}] (i) [x] + [y] + [x+y] = 2[x] + 2[y] + [{x}+{y}] (ii) Subtraindo (ii) de (i), obtemos: [2x] + [2y] - [x] - [y] - [x+y] = [2{x}] + [2{y}] - [{x}+{y}] Assim, o problema se reduz a provar que, se a e b pertencem a [0,1), então [2a] + [2b] >= [a+b]. Supondo s.p.d.g. que 0 <= a <= b < 1, vamos por casos: i) 0 <= a <= b < 1/2 ==> 0 >= 0 ii) 0 <= a < 1/2 <= b < 1 ==> 1 >= 0 ou 1 ii) 1/2 <= a <= b < 1 ==> 2 >= 1 Logo, a
desigualdade vale sempre e acabou... *** O mais legal, entretanto, é achar algum problema de combinatória onde um dado conjunto tenha (2m)!*(2n)!/(m!*n!*(m+n)!) elementos. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 9 May 2006 20:48:46 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Ajuda > m! e n! esta contido em 2m! e 2n!, falta so provar que (m+n)! esta contido em 2m ou 2n fatorial desenvolvidos. > caso em que m=n > m+n0=2m=2n > o que da resultado inteiro > m maior que n ou n maior que m > 2m ou 2n maior que m+n, o qque demonstra que o denominador tambem se anula neste caso, como m e n sao inteiros, o numerador vais ser uma produto de numeros inteiros. > > On 5/9/06, Manoel P G Neto Neto <[EMAIL PROTECTED]> wrote:Olá amigos da lista,Vocês poderiam me ajudar com a questão:Sejam m, n inteiros positivos, então(2m)! (2n)! / m! n! (m+n)!é um número
inteiro.Grato. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
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[obm-l] ENIGMAS ESFÉRICOS!
Turma! Eis um convite não só para os aficcionados em geometria e colegas de fôlego privilegiado... Dá-se uma esfera. Calcular os raios das duas bases paralelas de um tronco de um cone circunscrito à esfera, de modo que o tronco tenha um volume duplo do da esfera. Dividir o volume de uma esfera em meia e extrema razão por uma esfera concêntrica. Cortar uma esfera por um plano, de modo que a área da secção seja igual à diferença das zonas determinadas. A uma esfera dada, circunscrever um cone reto cuja superfície total seja equivalente à de um círculo dado; superfície convexa seja o dobro da base; superfície lateral seja o do dobro da superfície da base. A uma esfera dada, circunscrever um cone mínimo; inscrever um cilindro de volume máximo e superfície lateral máxima. E com um pouco mais de boa vontade e bastante disposição...vamos adiante! Sejam duas esferas, de centros O e O' de raios R e 2R, sendo a distancia dos centros igual a 4R. Na linha dos centros, determinar um ponto P, exterior às esferas e colocado entre O e O' e tal que a soma das áreas das calotas esféricas vistas deste ponto seja igual a uma área dada 2PI*R^2*a. Bom Fôlego! _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
