[obm-l] Funcao definida recursivamente

[claudio\.buffara]

Segue abaixo a tentativa de se definir uma funcao f: N -> N
(N = conjunto dos inteiros positivos)

f (1) = 1;
Se n eh par, entao f (n) = f (n/2); 
Se n eh impar, entao f (n) = f (3n + 1).

Perguntas:
1) As condicoes acima realmente definem uma tal f (ou seja, permitem que, A 
CADA elemento de N seja associado EXATAMENTE UM 
elemento de N)?
2) Em caso afirmativo, a funcao assim definida eh unica?

O problema parece ser que o valor de f(n) para n impar eh definido em termos do 
valor de f num argumento maior do que n (3n+1, para 
ser exato), de modo que nao se pode aplicar o principio da inducao (pelo menos 
nao diretamente).

[]s,
Claudio.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] EN - 2001

[cleber vieira]

Marcelo, antes de mais nada obrigado pela atenção. Engraçado , porque de pois que vi o seu primeiro passo me pergunto por que não pensei nisso, mais deixa pra lá.  Na sua resolução tem um erro quando aplica L´Hopital:     [(1/cotgx)*(-1/(senx)^2)] / (1/x) = [(senx/cosx)*(-1/(senx)^2)] / (1/x) =   [ -1 / (senxcosx) ] / (1/x) = -x/(sen2x)/2 = - 2x/sen 2x então...        e^[ lim  -2x / sen2x ] quando x tende a 0(zero) é 1/e   Letra B  Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:  Olá,     cotgx^(1/lnx) =
 e^[ln(cotgx)/ln(x)]     cotgx = cosx/senx ... quando x->0, cotgx->inf  quando x->0, lnx -> -inf     vms calcular lim ln(cotgx)/lnx quando x->0..  aplicando L'Hopital, temos: 1/cotgx * (-(cossecx)^2) / (1/x) = -x*(cossecx)^2/cotgx = -x*cosx/(senx)^3 = - x/senx * cosx/(senx)^2     x/senx -> 1 quando x->0  cosx -> 1 quando x->0  1/(senx)^2 -> inf quando x->0     assim: cotgx/lnx -> inf quando x->0     logo, e^[ln(cotgx)/lnx] -> inf quando x->0     abracos,  Salhab- Original Message -   From: cleber vieira   To: obm-l@mat.puc-rio.br   Sent: Sunday, August 20, 2006 9:06 PM  Subject: [obm-l] EN - 2001Olá amigos,
 gostaria da ajuda de vocês nas seguintes  questões:     1) Sejam A, B e C os pontos de interseção da curva y = k*cos(wx) com os eixos coordenados A e C estão sobre o eixo X e B está sobre o eixo Y onde k e w são constantes reais. Sabendo que o triângulo de vértice A, B e C tem 30( na prova de onde tirei esta questão não está claro se a área é 30 ou 3), unidades de área e que k + w - 14 = 0, o valor de k - w é :     a) -14  b) -10  c) 10  d) 12     2) Qual o valor do  lim (cotgx)^1/lnx ?. (x tende a 0 pela direita)      a) e    b) 1/e    c) 0  d) -1     Obrigado 
 Cleber  Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.11.3/423 - Release Date: 18/8/2006 
		 
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[obm-l] DEMONSTRAÇÃO-LIMITE

[Douglas Alexandre]

Como mostro que lim n->infin [sen(Pi/2^2). sen(Pi/3^2).sen(Pi/4^2)..sen(Pi/n^2)]=0 
		 
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[obm-l] EN - 2001

[cleber vieira]

     Olá amigos, gostaria da ajuda de vocês na seguinte  questão:     1) Sejam A, B e C os pontos de interseção da curva y = k*cos(wx) com os eixos coordenados A e C estão sobre o eixo X e B está sobre o eixo Y onde k e w são constantes reais. Sabendo que o triângulo de vértice A, B e C tem 30( na prova de onde tirei esta questão não está claro se a área é 30 ou 3), unidades de área e que k + w - 14 = 0, o valor de k - w é :     a) -14  b) -10  c) 10  d)
 12     Obrigado  Cleber 
		 
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[obm-l] Como mostro o limite?

[Douglas Alexandre]

Caros colegas gostaria de alguma dica de como mostrar o seguinte limite:lim n->infint [sen(Pi/2^2).sen(Pi/3^2).sen(Pi/4^2)...sen(Pi/n^2)]=0 
		 
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Re: [obm-l] DEMONSTRAÇÃO-LIMITE

[Rogerio Ponce]

Ola' Douglas,0<= sen (Pi/m^2) <= 1, logo0<= [sen(Pi/2^2). sen(Pi/3^2).sen(Pi/4^2)..sen(Pi/n^2)]  <= sen(Pi/n^2)Como  lim n->infin [sen(Pi/n^2)] = 0 , entao...[]sRogerio PonceDouglas Alexandre <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Como mostro que lim n->infin [sen(Pi/2^2). sen(Pi/3^2).sen(Pi/4^2)..sen(Pi/n^2)]=0  Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas! 
		 
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[obm-l] [Ajuda] Aproximar um cone por cilindros

[Marcus Nunes]

Oi lista. Voces podem me ajudar neste exercicio?

=

Seja C um cone circular com raio da base R e altura h.
Fazendo aproximacoes de C por cilindros retos com
alturas arbitrariamente pequenas, e levando ao limite,
prove que o volume de C eh (1/3)*pi*R^2*h

Obs.: Para resolver esta questao serah necessario a
formula

\sum_{k=1}^{n} k^2 = (n^3)/3 + (n^2)/2 + n/6,

que pode ser usada sem demonstracao. Lembramos que o
volume de um cilindro circular reto deraio da base r e
altura l eh pi*r^2*l.

=

Valeu!



___ 
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=
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=

RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessant�ssimo

[George Brindeiro]

É fácil se deixar enganar pelas aparências meu caro..
Não se engane! Pense analiticamente.

Abraços,
George B



From: "Ojesed Mirror" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: 
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessantíssimo
Date: Thu, 24 Aug 2006 01:55:57 -0300

R-> +oo

- Original Message - From: "George Brindeiro" 
<[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Wednesday, August 23, 2006 1:15 PM
Subject: [obm-l] Limite interessantíssimo



Caros colegas de lista,

Não participo muito mandando problemas, apenas observo suas soluções na 
maior parte do tempo.
Porém, me mandaram um problema em minha comunidade do orkut, 'Cálculo 
Diferencial e Integral', que é muito interessante, e nada trivial. Fiquei 
surpreso com o resultado! Deleitem-se.


"Imaginem uma circunferência C1 com equação (x- 1)²+y²=1 e outra 
circunferência C2, a ser encolhida, com raio r e centro na origem. P é o 
ponto (0,r) , Q é o ponto de intersecção superior das circunferências e R 
é o ponto de intersecção da reta PQ com o eixo x.


O que acontecerá com R quando C2 encolher, isto é, quando r--->0+?"

Minha solução está postada na comunidade, se quiserem eu posso postá-la 
aqui depois.


Um Abraço,
George B.

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[obm-l] Spivak

[jose\.l]

Alguem tem o ebook do Michel Spivak? Calculo com variedades.

RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessantíssi mo

[Rogerio Ponce]

Ola' George, Calculando o ponto Q: de C2 temos  y^2 = r^2 - x^2 Substituindo em C1, obtemos x=y=r^2/2 Usando a semelhanca de triangulos para obtermos a coordenada x de R: r * (r^2/2) / (r - r^2/2) , que converge para 0 quando r->0 Assim, o ponto R converge para a origem. []s Rogerio Ponce. George Brindeiro <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: É fácil se deixar enganar pelas aparências meu caro..Não se engane! Pense analiticamente.Abraços,George B>From: "Ojesed Mirror" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br>To: >Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessantíssimo>Date: Thu, 24 Aug 2006 01:55:57 -0300>>R-> +oo>>- Original Message - From: "George Brindeiro"
 >>To: >Sent: Wednesday, August 23, 2006 1:15 PM>Subject: [obm-l] Limite interessantíssimoCaros colegas de lista,Não participo muito mandando problemas, apenas observo suas soluções na >>maior parte do tempo.>>Porém, me mandaram um problema em minha comunidade do orkut, 'Cálculo >>Diferencial e Integral', que é muito interessante, e nada trivial. Fiquei >>surpreso com o resultado! Deleitem-se."Imaginem uma circunferência C1 com equação (x- 1)²+y²=1 e outra >>circunferência C2, a ser encolhida, com raio r e centro na origem. P é o >>ponto (0,r) , Q é o ponto de intersecção superior das circunferências e R >>é o ponto de intersecção da reta PQ com o eixo x.O que acontecerá com R quando C2 encolher, isto é, quando
 r--->0+?"Minha solução está postada na comunidade, se quiserem eu posso postá-la >>aqui depois.Um Abraço,>>George B._>>MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. >>http://messenger.msn.com.br=>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html>>=>>-->>No virus found in this incoming message.>>Checked by AVG Free Edition.>>Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.11.5/426 - Release Date:
 23/8/2006>>=>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html>=_MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= __Fale com seus amigos  de graça com o novo Yahoo! Messenger
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[obm-l] Matemático resolve problema centenário e rec usa US$ 1 milhão

[André Smaira]

http://noticias.terra.com.br/ciencia/interna/0,,OI1102865-EI238,00.html

Bjs,
André Smaira 
		 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessantíssimo

[Ojesed Mirror]

Errei nas contas, agora achei R->+2.
Informe se está certo pra eu mandar a demonstração.
Se tiver certo é realmente surpreendente !!! mas é trivial.

- Original Message - 
From: "George Brindeiro" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Thursday, August 24, 2006 1:11 PM
Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessantíssimo



É fácil se deixar enganar pelas aparências meu caro..
Não se engane! Pense analiticamente.

Abraços,
George B



From: "Ojesed Mirror" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: 
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessantíssimo
Date: Thu, 24 Aug 2006 01:55:57 -0300

R-> +oo

- Original Message - From: "George Brindeiro" 
<[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Wednesday, August 23, 2006 1:15 PM
Subject: [obm-l] Limite interessantíssimo



Caros colegas de lista,

Não participo muito mandando problemas, apenas observo suas soluções na 
maior parte do tempo.
Porém, me mandaram um problema em minha comunidade do orkut, 'Cálculo 
Diferencial e Integral', que é muito interessante, e nada trivial. Fiquei 
surpreso com o resultado! Deleitem-se.


"Imaginem uma circunferência C1 com equação (x- 1)²+y²=1 e outra 
circunferência C2, a ser encolhida, com raio r e centro na origem. P é o 
ponto (0,r) , Q é o ponto de intersecção superior das circunferências e R 
é o ponto de intersecção da reta PQ com o eixo x.


O que acontecerá com R quando C2 encolher, isto é, quando r--->0+?"

Minha solução está postada na comunidade, se quiserem eu posso postá-la 
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Um Abraço,
George B.

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Re: [obm-l] Limite interessant�ssimo

[George Brindeiro]

Caro Rogerio,

Há uma falha em seu raciocínio gerada pela premissa
x=r²/2=y

É fácil provar que esta não confere ao substituir os valores de x e y em C2.
Se (r²/2,r²/2) é um ponto de C2, então..

r^4/4+r^4/4=r²

r^4/2=r²

O que é trivialmente falso para todo x diferente de 0 ou +-sqrt(2).
O caminho está certo, x=r²/2, mas y não.

Abraços,
George B


From: Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessantíssimo
Date: Thu, 24 Aug 2006 17:44:02 + (GMT)

Ola' George,
 Calculando o ponto Q: de C2 temos  y^2 = r^2 - x^2
 Substituindo em C1, obtemos x=y=r^2/2
 Usando a semelhanca de triangulos para obtermos a coordenada x de R:
 r * (r^2/2) / (r - r^2/2) , que converge para 0 quando r->0
 Assim, o ponto R converge para a origem.
 []s
 Rogerio Ponce.


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RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessant�ssimo

[George Brindeiro]

Caro Ojesed,

Nos meus cálculos, R-->4.
Creio que esteja correto, pois após encontrar a resposta verifiquei 
graficamente no winplot, pois realmente acreditava (devido à intuição, que 
nos deixa na mãos várias vezes), que R tendia ao eixo x por completo, como 
acredito foi sua primeira resposta.


Se quiser mandar a sua resolução, podemos constatar se houve algum erro, ou 
se o erro foi meu.


O problema não deixa de ser trivial, não há nada nele que não um pouco de 
trabalho manual.

Mas que o resultado é interessante.. isso é.

Abraços,
George B



From: "Ojesed Mirror" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: 
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessantíssimo
Date: Thu, 24 Aug 2006 15:34:24 -0300

Errei nas contas, agora achei R->+2.
Informe se está certo pra eu mandar a demonstração.
Se tiver certo é realmente surpreendente !!! mas é trivial.



_
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=

Re: [obm-l] Livro

[claudio\.buffara]

Esse livro do Johnson eu não conheço mas, pra quem gosta de geometria clássica e/ou está se preparando para IME, ITA ou olimpíada, eu recomendo fortemente (e nessa ordem):
 
Geometry Revisited
H.S.M.Coxeter/S.L.Greitzer
Mathematical Association of America - 1967
US$ 24,95

(os preços são de exemplares novos na Amazon.com)
 
Challenging Problems in Geometry
A.S.Posamentier/C.T.Salkind
Dover - 1988
US$ 10,36
 
Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
R.Honsberger

Mathematical Association of America - 1995
US$ 29,95
 
Excursions in Geometry
C.S.Ogilvy
Dover - 1969
US$ 9,95
 

Todos estão disponíveis no site www.amazon.com e, sinceramente, com esse dólar baixo, agora pode ser uma boa hora pra se investir em bons livros importados de matemática...
 
Também vale a pena conferir o site www.abebooks.com, onde ás vezes dá pra encontrar livros usados a bons preços.
 
 ***
 
Na internet, também existem vários sites com teoria e problemas de geometria a nível de IME/ITA ou olimpíada, começando com as Eurekas e a compilação de provas do IME feita pelo Sérgio Lima Neto e terminando no site do John Scholes http://www.kalva.demon.co.uk/, que contém possivelmente o mais completo arquivo de provas de olimpíadas, muitas das quais com soluções.
 
[]s,
Claudio.
 




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Tue, 22 Aug 2006 22:10:29 -0300




Assunto:
Re: [obm-l] Livro
> Pois é... aparentemente a dover publications não edita mais o livro,
> mas valeu pelas dicas Antonio!
> 
> Em 22/08/06, Antonio Neto<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> > Tenho tres solucoes:
> >
> > 1 - Na www.doverpublications.com
> >
> > 2 - Se vc for do Rio de Janeiro, a Interciencia traz para cá, talvez para a
> > sua cidade, cobrando o frete, é claro. Av Pres. Vargas, 435, 18 andar,
> > (0xx21) 22 21 09 93.
> >
> > 3 - A M&F importa tambem, mas fechou a loja do Rio, mas se vc for de SP eh a
> > melhor pedida.
> >
> > Soh tenho uma pergunta, este livro ainda estah sendo editado? O melhor
> > seria entrar na Dover e verificar, se nao quiser comprar com eles anota pelo
> > menos o ISBN, que facilita a busca das livrarias especializadas. Abraco,
> > olavo.
> >
> >
> > >From: "Douglas Ribeiro Silva" <[EMAIL PROTECTED]>
> > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >Subject: [obm-l] Livro
> > >Date: Mon, 21 Aug 2006 22:09:04 -0300
> > >
> > >Alguem sabe onde eu posso adquirir o livro "Advanced Euclidean
> > >Geometry" de R.A. Johnson, Dover Publications, 1960 ?
> >
> > 

Re: [obm-l] Limite interessantíssimo

[Rogerio Ponce]

E' verdade George, apos escrever x=r^2/2 continuei o raciocinio como se a equacao original fosse x+y=r^2 . So' me dei conta da burrada depois do "enviar". Nao usei l'Hopital , mas acabei no hospital... []s Rogerio Ponce George Brindeiro <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Caro Rogerio,Há uma falha em seu raciocínio gerada pela premissax=r²/2=yÉ fácil provar que esta não confere ao substituir os valores de x e y em C2.Se (r²/2,r²/2) é um ponto de C2, então..r^4/4+r^4/4=r²r^4/2=r²O que é trivialmente falso para todo x diferente de 0 ou +-sqrt(2).O caminho está certo, x=r²/2, mas y não.Abraços,George B>From: Rogerio Ponce >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br>To: obm-l@mat.puc-rio.br>Subject: RE: [obm-l]
 Re: [obm-l] Limite interessantíssimo>Date: Thu, 24 Aug 2006 17:44:02 + (GMT)>>Ola' George,>  Calculando o ponto Q: de C2 temos  y^2 = r^2 - x^2>  Substituindo em C1, obtemos x=y=r^2/2>  Usando a semelhanca de triangulos para obtermos a coordenada x de R:>  r * (r^2/2) / (r - r^2/2) , que converge para 0 quando r->0>  Assim, o ponto R converge para a origem.>  []s>  Rogerio Ponce._MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= 
		 
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Re: [obm-l] Matemático resolve problema c entenário e recusa US$ 1 milhão

[Saulo]

André Smaira escreveu:


http://noticias.terra.com.br/ciencia/interna/0,,OI1102865-EI238,00.html

Bjs,

André Smaira


O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir 
! 


:-)   Super bacana. Estou tentando acessar o limk da solução mas não 
consigo devido ao intenso tráfego.
Só que acho que ele deveria pensar direitinho na questão do valor a ser 
pago, ele deve ser pago sim. Mesmo ele alegando que não fez nada de 
extraordinário (modéstio ele não?) merecia sim, ainda mais pela situação 
em que ele se encontra. E sem fala que ele passou 10 anos resolvendo a 
questão!!!
Isso sim que não é desistir, e eu aqui com probleminhas simples e 
desisto de cara quando não encontro solução, agora já tenho á quem 
lembrar quando acontecer isso.

[]'s.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessantíssimo

[Ojesed Mirror]

achei que convergia para 
(2,0)

  - Original Message - 
  From: 
  Rogerio Ponce 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, August 24, 2006 4:42 
  PM
  Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite 
  interessantíssimo
  Tá errado, pois quando x=r^2/2 , entao y=sqrt(r^2 - 
  r^4/4)Usando a semelhanca de triangulos, obtemos a seguinte coordenada x 
  do ponto R:r * (r^2/2) / (r - sqrt(r^2 - r^4/4) )  , que converge 
  para 4.O ponto R converge para (4,0).[]sRogerio 
  PonceRogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> 
  escreveu:
  Ola' 
George,Calculando o ponto Q: de C2 temos  y^2 = r^2 - 
x^2Substituindo em C1, obtemos x=y=r^2/2Usando a semelhanca de 
triangulos para obtermos a coordenada x de R:r * (r^2/2) / (r - r^2/2) , 
que converge para 0 quando r->0Assim, o ponto R converge para a 
origem.[]sRogerio Ponce.George Brindeiro 
<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
É 
  fácil se deixar enganar pelas aparências meu caro..Não se engane! 
  Pense analiticamente.Abraços,George B>From: 
  "Ojesed Mirror" >Reply-To: 
  obm-l@mat.puc-rio.br>To: >Subject: 
  [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessantíssimo>Date: Thu, 24 Aug 2006 
  01:55:57 -0300>>R-> +oo>>- Original 
  Message - From: "George Brindeiro" >>To: >Sent: 
  Wednesday, August 23, 2006 1:15 PM>Subject: [obm-l] Limite 
  interessantíssimoCaros colegas de 
  lista,Não participo muito mandando problemas, 
  apenas observo suas soluções na >>maior parte do 
  tempo.>>Porém, me mandaram um problema em minha comunidade do 
  orkut, 'Cálculo >>Diferencial e Integral', que é muito 
  interessante, e nada trivial. Fiquei >>surpreso com o resultado! 
  Deleitem-se."Imaginem uma circunferência C1 com 
  equação (x- 1)²+y²=1 e outra >>circunferência C2, a ser 
  encolhida, com raio r e centro na origem. P é o >>ponto (0,r) , 
  Q é o ponto de intersecção superior das circunferências e R >>é 
  o ponto de intersecção da reta PQ com o eixo x.O 
  que acontecerá com R quando C2 encolher, isto é, quando 
  r--->0+?"Minha solução está postada na 
  comunidade, se quiserem eu posso postá-la >>aqui 
  depois.Um Abraço,>>George 
  B._>>MSN 
  Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. 
  >>http://messenger.msn.com.br=>>Instruções 
  para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
  em>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html>>=>>-->>No 
  virus found in this incoming message.>>Checked by AVG Free 
  Edition.>>Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.11.5/426 - 
  Release Date: 
  23/8/2006>>=>Instruções 
  para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
  em>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html>=_MSN 
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  23/8/2006

[obm-l] K-quase primo

[Ricardo Khawge]

Olá Pessoal, alguém poderia me ajudar a entender melhor a definição de 
"k-quase primo"?


"Seja k maior que ou igual a 1. Chama-se quase primo um número natural da 
forma p1p2...pr onde r é menor que ou igual a k e p1, p2, ..., pr são primos 
não necessariamente distintos."


Gostaria de uns exemplos,  pois não tenho certeza se entendi,  e o por que 
deste nome.


Obrigado!

_
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Re: [obm-l] Polinomio + Combinatoria

[J. Renan]

"De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. "--Não entendi muito bem essa justificativa, quais são as condições para uma equação possuir apenas raízes reais? O último termo dividido pelo primeiro não fornece o produto das raízes ? Por que esse não poderia ser 1?
Desculpem a intromissão e a pergunta fora do assunto.2006/8/23, leonardo maia <[EMAIL PROTECTED]>:
Faltou algo: z = r.e^(i.teta) = [(1+x)/(1-x)]LeoOn 8/23/06, leonardo maia <
[EMAIL PROTECTED]> wrote:
De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. Pra achar as 2n raízes complexas:
soma(i de 0 a 2n) C(2n,i)x^i = (1+x)^2nsoma(i de 0 a 2n) C(2n,i)(-x)^i = (1-x)^2n
2 p(x) = (1+x)^2n + (1-x)^2nse p(x)=0,[(1+x)/(1-x)]^2n = -1se z = r.e^(i.teta),teta = [(2k+1)/2].(pi/n), com k variando de 0 a 2n-1(confira!)pra voltar pro x vai alguma álgebra, que não fiz, mas acho que está encaminhado.
[]'s, Leo.On 8/23/06, Chicao Valadares <

[EMAIL PROTECTED]> wrote:
galera, um colega meu postou essa desafio no orkut eeu nao consegui resolver:


Encontre TODAS as raízes (reais ou complexas) dopolinômiop(x)=C(2n,2n)x^2n+C(2n,2n-2)x^(2n-2)+C(2n,2n-4)x^(2n-4)+...+C(2n,0)=0Obs. C(n,p)=número de combinações de n elementostomados p a p.

"O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso... "Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos_As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s)
sãopara uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não sejadestinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas.Favorapagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será
tratadoconforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos suacolaboração.The information mentioned in this message and in the archives attachedareof restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not
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-- Um Grande Abraço,Jonas Renan

[obm-l] Duvida

[Douglas Alexandre]

Caros colegas se puderem detalhar, não estou entendendo como encontrar o limite da sequencia:lim n-> inf (1 + 1/3n)^n 
		 
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RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessantíssi mo

[Rogerio Ponce]

Tá errado, pois quando x=r^2/2 , entao y=sqrt(r^2 - r^4/4) Usando a semelhanca de triangulos, obtemos a seguinte coordenada x do ponto R: r * (r^2/2) / (r - sqrt(r^2 - r^4/4) )  , que converge para 4. O ponto R converge para (4,0).  []s Rogerio Ponce Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Ola' George, Calculando o ponto Q: de C2 temos  y^2 = r^2 - x^2 Substituindo em C1, obtemos x=y=r^2/2 Usando a semelhanca de triangulos para obtermos a coordenada x de R: r * (r^2/2) / (r - r^2/2) , que converge para 0 quando r->0 Assim, o ponto R converge para a origem. []s Rogerio Ponce. George Brindeiro <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: É fácil se deixar enganar pelas aparências meu caro..Não se engane! Pense analiticamente.Abraços,George B>From: "Ojesed Mirror" >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br>To: >Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessantíssimo>Date: Thu, 24 Aug 2006 01:55:57 -0300>>R-> +oo>>- Original Message - From: "George Brindeiro"  >>To: >Sent: Wednesday, August 23, 2006 1:15 PM>Subject: [obm-l] Limite interessantíssimoCaros colegas de lista,Não participo muito mandando problemas, apenas observo suas soluções na >>maior parte do tempo.>>Porém, me mandaram um problema em minha comunidade do orkut, 'Cálculo >>Diferencial e Integral', que é muito interessante, e nada
 trivial. Fiquei >>surpreso com o resultado! Deleitem-se."Imaginem uma circunferência C1 com equação (x- 1)²+y²=1 e outra >>circunferência C2, a ser encolhida, com raio r e centro na origem. P é o >>ponto (0,r) , Q é o ponto de intersecção superior das circunferências e R >>é o ponto de intersecção da reta PQ com o eixo x.O que acontecerá com R quando C2 encolher, isto é, quando  r--->0+?"Minha solução está postada na comunidade, se quiserem eu posso postá-la >>aqui depois.Um Abraço,>>George B._>>MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. >>http://messenger.msn.com.br=>>Instruções para entrar
 na lista, sair da lista e usar a lista em>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html>>=>>-->>No virus found in this incoming message.>>Checked by AVG Free Edition.>>Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.11.5/426 - Release Date:  23/8/2006>>=>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html>=_MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos.
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Re: [obm-l] Polinomio + Combinatoria

[Bruno França dos Reis]

Observe o seguinte:1) Naquele polinômio só aparecem potências pares de x e o 1.2) Todos os coeficientes são positivos.Assim, cada um dos termos C(2n,i) * x^2i é positivo (ou nulo), então a soma de todos eles é também positiva (ou nula). Uma soma positiva ou nula, acrescida em 1 unidade é sempre maior do que ou igual a 1. Logo, p(x) >= 1, para todo x real, e portanto não possui raízes reais.
BrunoOn 8/24/06, J. Renan <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
"De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. "--Não entendi muito bem essa justificativa, quais são as condições para uma equação possuir apenas raízes reais? O último termo dividido pelo primeiro não fornece o produto das raízes ? Por que esse não poderia ser 1?
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Faltou algo: z = r.e^(i.teta) = [(1+x)/(1-x)]LeoOn 8/23/06, leonardo maia <

[EMAIL PROTECTED]> wrote:
De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. Pra achar as 2n raízes complexas:
soma(i de 0 a 2n) C(2n,i)x^i = (1+x)^2nsoma(i de 0 a 2n) C(2n,i)(-x)^i = (1-x)^2n
2 p(x) = (1+x)^2n + (1-x)^2nse p(x)=0,[(1+x)/(1-x)]^2n = -1se z = r.e^(i.teta),teta = [(2k+1)/2].(pi/n), com k variando de 0 a 2n-1(confira!)pra voltar pro x vai alguma álgebra, que não fiz, mas acho que está encaminhado.
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Encontre TODAS as raízes (reais ou complexas) dopolinômiop(x)=C(2n,2n)x^2n+C(2n,2n-2)x^(2n-2)+C(2n,2n-4)x^(2n-4)+...+C(2n,0)=0Obs. C(n,p)=número de combinações de n elementostomados p a p.


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[obm-l] Questao de Combinatória

[Saulo]

Peço ajuda aos amigos da Lista para seguinte questão dew combinatória da 
qual estou em dúvida.


Um homem trabalha em um escritório localizado sete esquinas a oeste e 
oito esquinas ao norte da sua casa. Assim, ao se deslocar de casa para o 
trabalho ele passa em quinze esquinas. Represente esta situação 
adequadamente por um diagrama cartesiano 7x8, formado por ruas verticais 
e ruas horizontais, ligando esquinas consecutivas. Rotule as esquinas 
verticais inferiores do diagrama com as letras A, B, C, ..., H e as 
esquinas horizontais mais a esquerda do diagrama com os números 1, 2, 3, 
..., 9.


a) Se todas as ruas horizontais ligando duas esquinas consecutivas estão 
desimpedidas e todas as ruas verticais ligando duas esquinas 
consecutivas estão desimpedidas, quantos são os caminhos possíveis que o 
homem pode tomar ao ir de casa para o trabalho?


b) Se todas as ruas horizontais ligando duas esquinas consecutivas estão 
desimpedidas e todas as ruas verticais ligando duas esquinas 
consecutivas estão desimpedidas com excessão da rua ligando as esquinas 
E5, e E6, quantos são os caminhos possíveis que o homem pode tomar ao ir 
de casa para o trabalho?


Obrigado pela ajuda galera, estou com dúvidas nessa questão, toda ajuda 
será bem vinda. []'s.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

Re: [obm-l] Duvida

[Bruno França dos Reis]

Vamos definir u = 3n? Assim, para calcular o limite pedido, basta calcular o seguinte limite:lim n->oo   (1 + 1/u)^(u/3)  =  lim n->oo   ((1 + 1/u)^u)^1/3.Como a função f(x) = x^(1/3) é contínua, temos que lim f(x) = f ( lim x ) (isto é: podemos trocar os símbolos de limite e o da função. Então:
lim n->oo   ((1 + 1/u)^u)^1/3 = ( lim n->oo  (1 + 1/u)^u )^(1/3).Sabemos que lim n->oo (1 + 1/u)^u = e (~= 2.718...)Logo, o seu limite é igual a e^(1/3).Para vc pensar: generalize seu problema (isto é: calcule lim n->oo  (1 + a/n)^n, e depois lim n->oo  (1 + a/n)^(bn))
BrunoOn 8/24/06, Douglas Alexandre <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Caros colegas se puderem detalhar, não estou entendendo como encontrar o limite da sequencia:lim n-> inf (1 + 1/3n)^n 
		 
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http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] Funcao definida recursivamente

[Bruno França dos Reis]

ClaudioIsso aí se assemelha ao "Problema de Collatz". Veja no Mathworld: http://mathworld.wolfram.com/CollatzProblem.html(provar que f é função é equivalente a demonstrar a conjectura de collatz, isto é, que a partir de qualquer semente inicial natural a seqüência de collatz devolve o valor 1.)
Acredito que no caso da conjectura de Collatz ser verdadeira e portanto sua f estar definida, ela seja a função constante igual a 1, já que nunca poderá chegar a outro valor.Se a conjectura de Collatz for falsa, então f não é função, pois existirá algum k natural para o qual a seqüência de Collatz não passa por NENHUM dos naturais que já se verificou que vão para 1 (os quais tem imagem 1), e então vc não permite calcular o valor de f(k) com essa definição de f.
AbraçoBrunoOn 8/24/06, claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Segue abaixo a tentativa de se definir uma funcao f: N -> N(N = conjunto dos inteiros positivos)
f (1) = 1;Se n eh par, entao f (n) = f (n/2);Se n eh impar, entao f (n) = f (3n + 1).Perguntas:1) As condicoes acima realmente definem uma tal f (ou seja, permitem que, A CADA elemento de N seja associado EXATAMENTE UM
elemento de N)?2) Em caso afirmativo, a funcao assim definida eh unica?O problema parece ser que o valor de f(n) para n impar eh definido em termos do valor de f num argumento maior do que n (3n+1, para
ser exato), de modo que nao se pode aplicar o principio da inducao (pelo menos nao diretamente).[]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000e^(pi*i)+1=0

[obm-l]

[Leonardo Borges Avelino]

Caros amigos da lista...
Estava resolvendo algumas questões sobre desigualdades e resolvi algumas
do seguinte modo: (Gostaria de saber se estão corretas, além disso
gostaria de ver outras soluções também)

1) (Canadá 2002)  a,b ec reais maiores que 0 prove:
a^3/bc + b^3/ca + c^3/ab  >= a+b+c

fazendo MA-MG temos a^3/bc + b^3/ca >= 2 ab/c
fazendo o mesmo para b^3/ca + c^3/ab  e  a^3/bc + c^3/ab
teremos:  a^3/bc + b^3/ca + c^3/ab >= ab/c + ac/b + bc/a
saih fazendo MA-MG em ab/c + ac/b >= 2 a
fazendo igualmente para ac/b + bc/a e ab/c + bc/a segue o resultado
com igualdade sss a=b=c.

2) (Rússia 1995) (x,y>0)

1/(xy)  >= x/(x^4 + y^2) + y/(y^4 + x^2)

sendo x^4 + y^2 >= 2x^2y  temos  1/2x^2y >= 1/(x^4 + y^2)
multiplica-se x em ambos os membros
1/2xy >= x/(x^4 + y^2) (*)
e fazendo o mesmo para y^4 + x^2 teremos  1/2yx >= y/(y^4 + x^2) (**)
somando (*) e (**) vem o desejado com igualdade sss x=y=1.

3) (Hungria 1996)  (a+b=1, a,b>0)

   a^2/(a+1) + b^2/(b+1) >= 1/3

Somando e diminuindo 1/(a+1) e 1/(b+1) do membro esquerdo, simplificando
vem:
1/(a+1) + 1/(b+1) >= 4/3 q eh o que devemos provar agora
tirando o mmc vem: 3/(ab+2) >= 4/3 ou seja ab<= 1/4  que o devemos provar,
mas isto eh d fato resultado de MA-MG  de a+b=1 >= 2sqrt(ab).

grato desde já..
Leonardo Borges Avelino

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Livro

[Renato Madeira]

Eu consegui comprar esse livro na amazon.com em maio deste ano por US$ 60.00.  A Amazon tem a opção "used itens pre-orders" na qual você faz o pedido do livro, estabelece suas condições e o preço que você está disposto a pagar. Assim que alguém tiver um livro que preencha essas condições, o pedido é processado e o livro enviado.  Eu esperei uns três meses pelo meu, mas valeu a pena. O livro é bem legal.     Um abraço, Renato Madeira.Douglas Ribeiro Silva <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:  Alguem sabe onde eu posso adquirir o livro "Advanced EuclideanGeometry" de R.A. Johnson, Dover Publications, 1960 ?=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
 emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= 
		 
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Re: [obm-l]

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Oi, Leonardo,

Aumente sua coleção com 
http://www.obm.org.br/semana/desigualdades.doc  (você vai gostar) e 
verá que o uso da "desigualdade das médias" (como você usou) e a 
desigualdade de Schwarz  é uma forma extremamente eficaz para provar 
desigualdades "olímpicas" não muito cabeludas...


Nehab

At 22:46 24/8/2006, you wrote:

Caros amigos da lista...
Estava resolvendo algumas questões sobre desigualdades e resolvi algumas
do seguinte modo: (Gostaria de saber se estão corretas, além disso
gostaria de ver outras soluções também)

1) (Canadá 2002)  a,b ec reais maiores que 0 prove:
a^3/bc + b^3/ca + c^3/ab  >= a+b+c

fazendo MA-MG temos a^3/bc + b^3/ca >= 2 ab/c
fazendo o mesmo para b^3/ca + c^3/ab  e  a^3/bc + c^3/ab
teremos:  a^3/bc + b^3/ca + c^3/ab >= ab/c + ac/b + bc/a
saih fazendo MA-MG em ab/c + ac/b >= 2 a
fazendo igualmente para ac/b + bc/a e ab/c + bc/a segue o resultado
com igualdade sss a=b=c.

2) (Rússia 1995) (x,y>0)

1/(xy)  >= x/(x^4 + y^2) + y/(y^4 + x^2)

sendo x^4 + y^2 >= 2x^2y  temos  1/2x^2y >= 1/(x^4 + y^2)
multiplica-se x em ambos os membros
1/2xy >= x/(x^4 + y^2) (*)
e fazendo o mesmo para y^4 + x^2 teremos  1/2yx >= y/(y^4 + x^2) (**)
somando (*) e (**) vem o desejado com igualdade sss x=y=1.

3) (Hungria 1996)  (a+b=1, a,b>0)

   a^2/(a+1) + b^2/(b+1) >= 1/3

Somando e diminuindo 1/(a+1) e 1/(b+1) do membro esquerdo, simplificando
vem:
1/(a+1) + 1/(b+1) >= 4/3 q eh o que devemos provar agora
tirando o mmc vem: 3/(ab+2) >= 4/3 ou seja ab<= 1/4  que o devemos provar,
mas isto eh d fato resultado de MA-MG  de a+b=1 >= 2sqrt(ab).

grato desde já..
Leonardo Borges Avelino

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

Re: [obm-l] Livro

[Emanuel Valente]

no site 4shared tem um grande acervo de livros, no caso da geometria:
http://www.4shared.com/network/search.jsp?sortType=1&sortOrder=1&sortmode=1&searchName=geometry&x=33&y=19&searchmode=2&searchName=geometry&searchDescription=&searchExtention=&start=0
Em 25/08/06, Renato Madeira <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Eu consegui comprar esse livro na amazon.com em maio deste ano por US$ 60.00.  A Amazon tem a opção "used itens pre-orders" na qual você faz o pedido do livro, estabelece suas condições e o preço que você está disposto a pagar. Assim que alguém tiver um livro que preencha essas condições, o pedido é processado e o livro enviado.
  Eu esperei uns três meses pelo meu, mas valeu a pena. O livro é bem legal.     Um abraço, Renato Madeira.Douglas Ribeiro Silva <
[EMAIL PROTECTED]> escreveu:  Alguem sabe onde eu posso adquirir o livro "Advanced Euclidean
Geometry" de R.A. Johnson, Dover Publications, 1960 ?=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
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Re: [obm-l] Polinomio + Combinatoria

[J. Renan]

Agora ficou mais claro o argumento utilizado pelo Leonardo Maia, muito obrigado pelo  Bruno2006/8/24, Bruno França dos Reis <[EMAIL PROTECTED]>:
Observe o seguinte:1) Naquele polinômio só aparecem potências pares de x e o 1.
2) Todos os coeficientes são positivos.Assim, cada um dos termos C(2n,i) * x^2i é positivo (ou nulo), então a soma de todos eles é também positiva (ou nula). Uma soma positiva ou nula, acrescida em 1 unidade é sempre maior do que ou igual a 1. Logo, p(x) >= 1, para todo x real, e portanto não possui raízes reais.
BrunoOn 8/24/06, J. Renan <
[EMAIL PROTECTED]> wrote:
"De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. "--Não entendi muito bem essa justificativa, quais são as condições para uma equação possuir apenas raízes reais? O último termo dividido pelo primeiro não fornece o produto das raízes ? Por que esse não poderia ser 1?
Desculpem a intromissão e a pergunta fora do assunto.2006/8/23, leonardo maia <

[EMAIL PROTECTED]>:
Faltou algo: z = r.e^(i.teta) = [(1+x)/(1-x)]LeoOn 8/23/06, leonardo maia <


[EMAIL PROTECTED]> wrote:
De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. Pra achar as 2n raízes complexas:
soma(i de 0 a 2n) C(2n,i)x^i = (1+x)^2nsoma(i de 0 a 2n) C(2n,i)(-x)^i = (1-x)^2n
2 p(x) = (1+x)^2n + (1-x)^2nse p(x)=0,[(1+x)/(1-x)]^2n = -1se z = r.e^(i.teta),teta = [(2k+1)/2].(pi/n), com k variando de 0 a 2n-1(confira!)pra voltar pro x vai alguma álgebra, que não fiz, mas acho que está encaminhado.
[]'s, Leo.On 8/23/06, Chicao Valadares <



[EMAIL PROTECTED]> wrote:
galera, um colega meu postou essa desafio no orkut eeu nao consegui resolver:




Encontre TODAS as raízes (reais ou complexas) dopolinômiop(x)=C(2n,2n)x^2n+C(2n,2n-2)x^(2n-2)+C(2n,2n-4)x^(2n-4)+...+C(2n,0)=0Obs. C(n,p)=número de combinações de n elementostomados p a p.



"O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso... "Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos_As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s)
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-- Um Grande Abraço,Jonas Renan

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-- Um Grande Abraço,Jonas Renan

[obm-l] Re: obm-l

[Leonardo Borges Avelino]

Opa Nehab.. td bem??
eu tenho este artigo sim do Antônio Caminha, que por sinal é excelente
eh q eu peguei um artigo do Kedlaya e tava vendo umas coisas q nunca
vi, como desomogeinizar e tudo, peguei pra resolver algumas questões
da lista do Hojoo Lee, essas q postei, soh q sem usar coisas mto
malucas..
Aih fico sem saber se estão todas certas e tal..
Eu conheço desigualdades de médias, potenciais, Chebyshev, rearranjo,
cauchy-Shwarz, Jensen, e estava aprendendo outras aqui como
bunching... Gostaria de saber quais eu preciso saber pra que eu
consiga resolver um número grande de desigualdades..
Ah e saber também se as soluções estaum corretas..
grato

Em 25/08/06, Carlos Eddy Esaguy Nehab<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:

Oi, Leonardo,

Aumente sua coleção com
http://www.obm.org.br/semana/desigualdades.doc  (você vai gostar) e
verá que o uso da "desigualdade das médias" (como você usou) e a
desigualdade de Schwarz  é uma forma extremamente eficaz para provar
desigualdades "olímpicas" não muito cabeludas...

Nehab

At 22:46 24/8/2006, you wrote:
>Caros amigos da lista...
>Estava resolvendo algumas questões sobre desigualdades e resolvi algumas
>do seguinte modo: (Gostaria de saber se estão corretas, além disso
>gostaria de ver outras soluções também)
>
>1) (Canadá 2002)  a,b ec reais maiores que 0 prove:
>a^3/bc + b^3/ca + c^3/ab  >= a+b+c
>
>fazendo MA-MG temos a^3/bc + b^3/ca >= 2 ab/c
>fazendo o mesmo para b^3/ca + c^3/ab  e  a^3/bc + c^3/ab
>teremos:  a^3/bc + b^3/ca + c^3/ab >= ab/c + ac/b + bc/a
>saih fazendo MA-MG em ab/c + ac/b >= 2 a
>fazendo igualmente para ac/b + bc/a e ab/c + bc/a segue o resultado
>com igualdade sss a=b=c.
>
>2) (Rússia 1995) (x,y>0)
>
>1/(xy)  >= x/(x^4 + y^2) + y/(y^4 + x^2)
>
>sendo x^4 + y^2 >= 2x^2y  temos  1/2x^2y >= 1/(x^4 + y^2)
>multiplica-se x em ambos os membros
>1/2xy >= x/(x^4 + y^2) (*)
>e fazendo o mesmo para y^4 + x^2 teremos  1/2yx >= y/(y^4 + x^2) (**)
>somando (*) e (**) vem o desejado com igualdade sss x=y=1.
>
>3) (Hungria 1996)  (a+b=1, a,b>0)
>
>a^2/(a+1) + b^2/(b+1) >= 1/3
>
>Somando e diminuindo 1/(a+1) e 1/(b+1) do membro esquerdo, simplificando
>vem:
>1/(a+1) + 1/(b+1) >= 4/3 q eh o que devemos provar agora
>tirando o mmc vem: 3/(ab+2) >= 4/3 ou seja ab<= 1/4  que o devemos provar,
>mas isto eh d fato resultado de MA-MG  de a+b=1 >= 2sqrt(ab).
>
>grato desde já..
>Leonardo Borges Avelino
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=

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