Re: [obm-l] COMBINATÓRIA

2007-06-15 Por tôpico Graciliano Antonio Damazo 
Valeu Henrique. Agora só faltam mais duas questoes para fechar...muito 
obrigado pela ajuda... 
   
  abraços
Henrique Rennó <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
  Olá Graciliano e Lucas!

Pensei de uma forma diferente mas que chega ao mesmo resultado proposto na 1ª 
forma de resolução.

Depois que estacionamos o primeiro carro, os próximos só poderão ser colocados 
sempre à esquerda ou à direita daqueles que já estão estacionados. Dessa forma, 
temos as seguintes possibilidades: 

Estacionando o 1º carro na:

1ª posição: 0 E,  n-1 D
2ª posição: 1 E,  n-2 D
3ª posição: 2 E,  n-3 D
.
.
.
nª posição: n-1 E,  0 D

ou seja, a quantidade de escolhas E (esquerda) ou D (direita) depende de onde 
foi posicionado o 1º carro. Portanto o resultado seria o valor das somas das 
permutações com repetição: 0E,n-1D + 1E,n-2D + 2E,n-3D + ... + n-1E,0D = 
(n-1)!/[0!(n-1)!] + (n-1)!/[1!(n-2)!] + (n-1)!/[2!(n-3)!] + ... + 
(n-1)!/[(n-1)!0!] = Cn-1,0 + Cn-1,1 + Cn-1,2 + ... + Cn-1,n-1 = binomial(n-1,0) 
+ binomial(n-1,1) + ... + binomial(n-1,n-1) = 2^(n-1) (triângulo de Pascal) 

Esse problema é parecido com aqueles em que há um grid regular com 2 pontos 
marcados e pode-se movimentar sempre uma unidade para baixo e direita, para 
baixo e esquerda, para cima e direita ou para cima e esquerda, e pede-se 
quantas são as formas ou caminhos possíveis para chegar no ponto destino 
partindo do ponto origem (em alguma das configurações de movimentação). 

Abraços!

  On 6/11/07, Lucas Mendes Marques Goncalves <[EMAIL PROTECTED]> wrote:   >
>   5) Suponha que "n" carros estao em fila para entrar em um estacionamento 
> que possui "n" vagas, lado a lado. Se o primeiro carro pode estacionar onde 
> quiser e cada um dos outros carros ao estacionar deve justapor_se a um carro 
> já estacionado, quantos sao os modos possiveis dos carros ocupararem as "n" 
> vagas? OBS: Essa questao eu achei muito de interpretação, pois se for um 
> estacionamento por exemplo em circulo, o problema é facil, porem se as vagas 
> forem em fila reta, eu acho que fica diferente. Ai foi que eu nao entendi.. 
>

Vou assumir uma linha reta (e francamente não tenho certeza de como
  faria o circulo ...)

E vou apresentar dois raciocinios para resolver o problema.

Possivelmente os dois são trivias ... 

Primeiro, podemos tomar isso como uma soma de binomiais.

^
_ _ _ _ _ _ _ _

Se o primeiro carro tomar a primeira posição na fila, não vai caber
ninguém à sua direita.

Se ele estiver na terceira posição 

^
- - - - - - - -

haverá dois espaços para carros à direita (notando que, uma vez que eu
  escolha quais carros ficam a direita, já escolhi também como eles
  estão)

dessa forma, eu acabo com: 



binomial (n-1,0) + binomial (n-1,1) + ... binomial (n-1,n-1)

(estou escolhendo os conjutos de "carros à direita")

mas, como sabemos, isso é o mesmo que

2^(n-1)

(isso se prova facilmente calculando (1+1)^k pela expansão binomial) 

a segunda forma, terrivelmente mais simples, é simplesmente escolher o
conjuto de carros à direita, sem considerar o tamanho.

Ai, colocamos o primeiro carro convenientemente.

(se houvesse 5 carros, e eu dissesse que o 3 e o 4 estão à direita, já 
determinei a coisa toda: 4 3 1 2 5 )

cada carro tem duas opções: direita ou esquerda.

Assim, temos tb 2^(n-1)

(espero que isso esteja certo ^^)

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Henrique 

   
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Re: RES: [obm-l] 2^x = x^2

2007-06-15 Por tôpico Ojesed Mirror 
Um jeito é usando método numérico, a raiz é próxima de -0.74695962123 
usando o Matlab.
Interessante seria se alguém pudesse determinar analiticamente ou se provasse 
que assim não dá.

Ojesed.
  - Original Message - 
  From: Julio Sousa 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, June 15, 2007 11:13 PM
  Subject: Re: RES: [obm-l] 2^x = x^2


  eu já vi na HP que tem 3 raízes. Mas queria saber como chegar nelas de algum 
jeito. Abraço!


  On 6/15/07, Érica Gualberto Pongelupe <[EMAIL PROTECTED]> wrote: 
Oi Todo mundo

use um software de geometria dinâmica, por exemplo, o Cabri, ou mesmo um 
software do tipo Graphmatica que vc verá claramente as três raizes.

Abração

Érica

  Oi, Arthur (e Julio),

  Você esqueceu que x pode ser negativo.  Para x positivo, ok. Mas, 
faça um grafiquinho simples de y = x^2 e y = 2^x  e você veráque obviamente há 
uma raiz negativa (entre -1 e 0). 

  Abraços,
  Nehab 

  At 11:08 15/6/2007, you wrote:

Por inspecao, vemos que 2 e 4 sao raizesdesta equacao. Resta agora 
analisar se hah outras raizes. Temos 2^x = x^2se, e somente se, x ln(2) = 2 
ln(x), ou seja, sse ln(x)/x = ln(2)/2. Sejaa funcao definida em (0, oo) por 
f(x) = ln(x)/x. Temos que f'(x) = (1 -ln(x))/x^2, do que concluimos que f' se 
anula em x* = e.  A esquerdade e, f' eh positiva e, aa direita, eh negativa, o 
que nos mostra que fpassa por um maximo global em x* = e, para o quel f(x*) = 
1/e. Destaforma, f eh estritamente crecente m (0, e) e estritamente decrescente 
em(e, oo). Temos ainda que f eh continua, que lim x -> 0+ f(x) = -oo eque lim x 
-> oo f(x) = 0. Isso implica que, em (0, e) f assuma umaunica vez todos os 
reais em (-oo, 1/e) e que, em (e,oo) , assuma umaunica vez todos os reais em 
(1/e, 0).  Concluimos assim que , paraa>0, a<>1/e, a equacao ln(x)/x = a tem 
exatamente duas raizes emR. Como ln(2)/2 <> 1/e, ha exatamente 2 reais 
satisfazendo ln(x)/x= ln(2)/2. Logo, 2 e 4 sao as duas unicas raizes reais de 
2^x = x^2. 
 
Serah que hah outras raizes complexasnao reais?
 
Artur
 
 
 
 
 
 
 -Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Julio Sousa
Enviada em: quinta-feira, 14 de junho de 2007 19:38
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] 2^x = x^2


  achar as raízes de 2^x = x^2



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Re: RES: [obm-l] 2^x = x^2

2007-06-15 Por tôpico Julio Sousa 

eu já vi na HP que tem 3 raízes. Mas queria saber como chegar nelas de algum
jeito. Abraço!

On 6/15/07, Érica Gualberto Pongelupe <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


 Oi Todo mundo

use um software de geometria dinâmica, por exemplo, o Cabri, ou mesmo um
software do tipo Graphmatica que vc verá claramente as três raizes.

Abração

Érica
  Oi, Arthur (e Julio),

Você esqueceu que x pode ser negativo.  Para x positivo, ok. Mas, faça um
grafiquinho simples de y = x^2 e y = 2^x  e você veráque obviamente há uma
raiz negativa (entre -1 e 0).

Abraços,
Nehab

At 11:08 15/6/2007, you wrote:

Por inspecao, vemos que 2 e 4 sao raizesdesta equacao. Resta agora
analisar se hah outras raizes. Temos 2^x = x^2se, e somente se, x ln(2) = 2
ln(x), ou seja, sse ln(x)/x = ln(2)/2. Sejaa funcao definida em (0, oo) por
f(x) = ln(x)/x. Temos que f'(x) = (1 -ln(x))/x^2, do que concluimos que f'
se anula em x* = e.  A esquerdade e, f' eh positiva e, aa direita, eh
negativa, o que nos mostra que fpassa por um maximo global em x* = e, para o
quel f(x*) = 1/e. Destaforma, f eh estritamente crecente m (0, e) e
estritamente decrescente em(e, oo). Temos ainda que f eh continua, que lim x
-> 0+ f(x) = -oo eque lim x -> oo f(x) = 0. Isso implica que, em (0, e) f
assuma umaunica vez todos os reais em (-oo, 1/e) e que, em (e,oo) , assuma
umaunica vez todos os reais em (1/e, 0).  Concluimos assim que , paraa>0,
a<>1/e, a equacao ln(x)/x = a tem exatamente duas raizes emR. Como ln(2)/2
<> 1/e, ha exatamente 2 reais satisfazendo ln(x)/x= ln(2)/2. Logo, 2 e 4 sao
as duas unicas raizes reais de 2^x = x^2.

Serah que hah outras raizes complexasnao reais?

Artur






 -Mensagem original-
*De:* [EMAIL PROTECTED]:[EMAIL PROTECTED]<[EMAIL PROTECTED]>
]*Em nome de *Julio Sousa
*Enviada em:* quinta-feira, 14 de junho de 2007 19:38
*Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
*Assunto:* [obm-l] 2^x = x^2

 achar as raízes de 2^x = x^2


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Re: RES: [obm-l] 2^x = x^2

2007-06-15 Por tôpico �rica Gualberto Pongelupe 
 

Oi Todo mundo 
use um software de geometria dinâmica, por exemplo, o Cabri, ou mesmo um 
software do tipo Graphmatica que vc verá claramente as três raizes. 
Abração 
Érica 
 
 
 
 
Oi, Arthur (e Julio),Você esqueceu que x pode ser 
negativo.  Para x positivo, ok. Mas, faça um grafiquinho simples 
de y = x^2 e y = 2^x  e você veráque obviamente há uma raiz 
negativa (entre -1 e 0).Abraços,Nehab At 11:08 
15/6/2007, you wrote: 
Por 
inspecao, vemos que 2 e 4 sao raizesdesta equacao. Resta agora analisar se 
hah outras raizes. Temos 2^x = x^2se, e somente se, x ln(2) = 2 ln(x), ou 
seja, sse ln(x)/x = ln(2)/2. Sejaa funcao definida em (0, oo) por f(x) = 
ln(x)/x. Temos que f'(x) = (1 -ln(x))/x^2, do que concluimos que f' se anula 
em x* = e.  A esquerdade e, f' eh positiva e, aa direita, eh negativa, 
o que nos mostra que fpassa por um maximo global em x* = e, para o quel 
f(x*) = 1/e. Destaforma, f eh estritamente crecente m (0, e) e estritamente 
decrescente em(e, oo). Temos ainda que f eh continua, que lim x -> 0+ 
f(x) = -oo eque lim x -> oo f(x) = 0. Isso implica que, em (0, e) f 
assuma umaunica vez todos os reais em (-oo, 1/e) e que, em (e,oo) , assuma 
umaunica vez todos os reais em (1/e, 0).  Concluimos assim que , 
paraa>0, a<>1/e, a equacao ln(x)/x = a tem exatamente duas raizes 
emR. Como ln(2)/2 <> 1/e, ha exatamente 2 reais satisfazendo ln(x)/x= 
ln(2)/2. Logo, 2 e 4 sao as duas unicas raizes reais de 2^x = 
x^2. Serah que hah outras raizes complexasnao reais? Artur   -Mensagem original-De: 
[EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de 
Julio SousaEnviada em: quinta-feira, 14 de junho de 2007 
19:38Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] 2^x = 
x^2 
 
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[obm-l] Integral substituída por outra

2007-06-15 Por tôpico Hugo Canalli 

Como eu faço a substituição de uma integral por outra?

Exemplo:

Integral (fx) de 0 até 5 = integral (ft) 3 até 10
Integral (fx) de 1 até infinito = integral (ft) 3 até infinito
Deve se descobrir ft

--
[]'s

[obm-l] Integral - Substituição

2007-06-15 Por tôpico Adriano Torres 

Calcule a integral de (x^2 + 1)^-3/2, usando o metodo da substituição.
Por favor, valeu!

_
Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse 
http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d


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Re: RES: [obm-l] 2^x = x^2

2007-06-15 Por tôpico Carlos Eddy Esaguy Nehab 

Oi, Arthur (e Julio),

Você esqueceu que x pode ser negativo.  Para x positivo, ok.  Mas, 
faça um grafiquinho simples de y = x^2 e y = 2^x  e você verá que 
obviamente há uma raiz negativa (entre -1 e 0).


Abraços,
Nehab

At 11:08 15/6/2007, you wrote:
Por inspecao, vemos que 2 e 4 sao raizes desta equacao. Resta agora 
analisar se hah outras raizes. Temos 2^x = x^2 se, e somente se, x 
ln(2) = 2 ln(x), ou seja, sse ln(x)/x = ln(2)/2. Seja a funcao 
definida em (0, oo) por f(x) = ln(x)/x. Temos que f'(x) = (1 - 
ln(x))/x^2, do que concluimos que f' se anula em x* = e.  A esquerda 
de e, f' eh positiva e, aa direita, eh negativa, o que nos mostra 
que f passa por um maximo global em x* = e, para o quel f(x*) = 1/e. 
Desta forma, f eh estritamente crecente m (0, e) e estritamente 
decrescente em (e, oo). Temos ainda que f eh continua, que lim x -> 
0+ f(x) = -oo e que lim x -> oo f(x) = 0. Isso implica que, em (0, 
e) f assuma uma unica vez todos os reais em (-oo, 1/e) e que, em 
(e,oo) , assuma uma unica vez todos os reais em (1/e, 
0).  Concluimos assim que , para a>0, a<>1/e, a equacao ln(x)/x = a 
tem exatamente duas raizes em R. Como ln(2)/2 <> 1/e, ha exatamente 
2 reais satisfazendo ln(x)/x = ln(2)/2. Logo, 2 e 4 sao as duas 
unicas raizes reais de 2^x = x^2.


Serah que hah outras raizes complexas nao reais?

Artur






 -Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] 
nome de Julio Sousa

Enviada em: quinta-feira, 14 de junho de 2007 19:38
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] 2^x = x^2

achar as raízes de 2^x = x^2


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Re: [obm-l] Questao de Logica

2007-06-15 Por tôpico Dênis Emanuel da Costa Vargas 
Caro Artur
   
  desculpe a ignorância, mas o que é vacuidade ?
   
  abraços
   
  Dênis

Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
  Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei ficando em 
duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros reais, limitada em R, e pedia o 
exercicio que se provasse que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e 
concluiram, corretamente, que esta, na realidade, era divergente. 

Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o enunciado estava errado 
e que não era possível provar o pedido, simplesmente porque a sequencia nao 
convergia e, portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o outro julgou que, de 
fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte argumento: como lim de x_n 
nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer coisa. Logo, ao se 
provar que x_n diverge, provou-se automaticamente (por vacuidade, eh claro), 
que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao com a seguinte afirmacao: Se x = lim 
x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de fato verdadeira (vemos que a 
contrapositiva "Se x eh diferente de 1, entao x nao eh limite de x_n" eh 
verdadeira).

Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial aceitar, mesmo por 
vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n diverge. E isso coloca uma outra duvida: 
Se quisermos negar a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural, diria " 
Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe". Mas e 
acietarmos a vacuidade, a negacao seria simplesmente "lim x_n existe e eh 
difrenete de 1". Realmente estou um tanto confuso, estava mais propenso a 
concordar com o 1o estudante, mas oa argumentos do outro tambem fazem sentido. 
Qual a opiniao de voces aqui na lista?

Abarcos
Artur

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Re: [obm-l] Provar que f eh periodica

2007-06-15 Por tôpico Sergio Lima Netto 


Fazendo x -> x+p, tem-se

[f(x+2p)]^2 = 1 - [f(x+p)]^2 = 1 - (1 - [f(x)]^2) = [f(x)]^2

De forma que [f(x)]^2 eh periodica de periodo 2p.

A questao eh que [f(x)] pode ser positiva ou negativa,
assim nao podemos garantir a periodicidade de [f(x)].
Se o enunciado indicasse que a imagem de f(x) fosse
R+ (ou R-), a condicao de [f(x)]^2 periodica causaria
[f(x)] periodica.

sergio


On Fri, 15 Jun 2007, ralonso wrote:


[f(x + p)]^2 = 1 - [f(x)]^2
 [f(x + p)]^2 + [f(x)]^2 =1

tome f (x) = cos(x)
   f(x+  pi/2) = sen(x)
tome agora p = pi/2
t? resolvido :)

[]s  Ronaldo


Artur Costa Steiner wrote:


Este aqui parece bonito, ainda nao consegui resolver.Seja f:R-> R para
a qual exista p> 0 tal que [f(x + p)]^2 = 1 - [f(x)]^2 para todo real
x. Mostre que f eh periodica e determine seu periodo fundamental.Artur

Re: [obm-l] Re: determinantes

2007-06-15 Por tôpico carlosdavyson 
> Bom dia amigo,
sou cadastrado na lista de discussão da obm, mas não sei como enviar minha
pergunta, então aproveitei sua resposta a um colega para tentar solucionar
meu problema.É uma equação bem simples e toda discussão gira emtorna da
condição de existência:
Qual o conjunto solução da equação (x+2)^(x+5)=1; S={-5, -3, -1} ou S={-1}?
Observe que os três valores de x do primeiro conjunto soluição satisfazem
a igualdade, porém não pertencem à condição de existência da função
exponencial; quanconstruímos os dois gráficos no equation graph, ele só
apresenta uma solução (no caso a segunda).Gostaria se podesse que
colocasse este problema na lista de discussões para que possamos ver as
formas que todos encaram esta situação.
Grato,
Carlos Davyson





Olha, um jeito interessante de vc tentar fazer esse problema é observar
> que
> essa igualdade desse determinante com zero é equivalente a dizer que os
> pontos f(a), f(b) e f(c) estão alinhados, onde f: R -> R^2 dada por f(x)
> (cos^2(x), 2sen^3(x)).
> Sem restrição pra a, b e c, dizer que estão alinhados é o mesmo que dizer
> que f(x) descreve uma reta no plano. Fazendo f'(x), vemos que não é
> constante, logo f não pode descreever uma reta.
> Chegamos à mesma conclusão: tem que ter alguma restrição sobre a, b e c.
>
> Abraço
> Bruno
>
>
> 2007/6/15, Julio Sousa <[EMAIL PROTECTED]>:
>>
>> bom, eu pensei muito nela também! Mas tá com problema mesmo, eu copiei
>> certo, o lugar que eu tirei que tá digitado errado mesmo!
>>
>> Se você substituir 30, 45 e 60 vai ver que nunca pode dar zero!
>>
>> abraço!
>>
>>
>>  On 6/15/07, rgc <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>> >
>> >  Oi
>> > Eu tentei provar isso mas não consegui. Resolvi colocar uns numeros
>> pra
>> > testar.
>> > Seja a=30°, b=45° e c=60°. Então supomos que:
>> > | cos^2(30°)   2sen^3(30°)   1 |
>> > | cos^2(45°)   2sen^3(45°)   1 |  = 0
>> > | cos^2(60°)   2sen^3(60°)   1 |
>> > Então:
>> > | 3/4   1/4   1|
>> > | 1/2   raiz(2)/21|  = 0
>> > | 1/4   3raiz(3)/4  1|
>> > Assim o determinante vai ser:
>> > 3raiz(2)/8 + 1/16 + 3raiz(3)/8 - raiz(2)/8 -1/8 - 9raiz(3)/16 > > =
>> raiz(2)/4 - 1/16 -3raiz(3)/16 = -0,0337...
>> > Se eu não errei nenhuma conta essa hipótese é falsa.
>> > Veja se não copiou alguma coisa errada ou faltou alguma restrição.
>> >
>> >
>> >
>> > On 6/12/07, Julio Sousa <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>> >
>> > Provar que:
>> >
>> > | cos^2(a)   2sen^3(a)   1 |
>> > | cos^2(b)   2sen^3(b)   1 |  = 0
>> > | cos^2(c)   2sen^3(c)   1 |
>> >
>> >
>> >
>> >
>> > --
>> > Atenciosamente
>> > Júlio Sousa
>> >
>> >
>>
>>
>> --
>> Atenciosamente
>> Júlio Sousa
>
>
>
>
> --
> Bruno França dos Reis
> email: bfreis - gmail.com
> gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
> icq: 12626000
>
> e^(pi*i)+1=0
>

=
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=

Re: [obm-l] Provar que f eh periodica

2007-06-15 Por tôpico carlosdavyson 
> Bom dia amigo,
sou cadastrado na lista de discussão da obm, mas não sei como enviar minha
pergunta, então aproveitei sua resposta a um colega para tentar solucionar
meu problema.É uma equação bem simples e toda discussão gira emtorna da
condição de existência:
Qual o conjunto solução da equação (x+2)^(x+5)=1; S={-5, -3, -1} ou S={-1}?
Observe que os três valores de x do primeiro conjunto soluição satisfazem
a igualdade, porém não pertencem à condição de existência da função
exponencial; quanconstruímos os dois gráficos no equation graph, ele só
apresenta uma solução (no caso a segunda).Gostaria se podesse que
colocasse este problema na lista de discussões para que possamos ver as
formas que todos encaram esta situação.
Grato,
Carlos Davyson

Olá Artur, o e-mail anterior foi só uma brincadeira :)
> Eu sei que não é assim que resolve :)
>
> []s  Ronaldo.
>
> Artur Costa Steiner wrote:
>
>> Este aqui parece bonito, ainda nao consegui resolver.Seja f:R-> R para
>> a qual exista p> 0 tal que [f(x + p)]^2 = 1 - [f(x)]^2 para todo real
>> x. Mostre que f eh periodica e determine seu periodo fundamental.Artur
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

Re: [obm-l] RES: [obm-l] método para resolver integral

2007-06-15 Por tôpico carlosdavyson 
> Bom dia amigo,
sou cadastrado na lista de discussão da obm, mas não sei como enviar minha
pergunta, então aproveitei sua resposta a um colega para tentar solucionar
meu problema.É uma equação bem simples e toda discussão gira emtorna da
condição de existência:
Qual o conjunto solução da equação (x+2)^(x+5)=1; S={-5, -3, -1} ou S={-1}?
Observe que os três valores de x do primeiro conjunto soluição satisfazem
a igualdade, porém não pertencem à condição de existência da função
exponencial; quanconstruímos os dois gráficos no equation graph, ele só
apresenta uma solução (no caso a segunda).Gostaria se podesse que
colocasse este problema na lista de discussões para que possamos ver as
formas que todos encaram esta situação.
Grato,
Carlos Davyson





Olá Artur, obrigado pela explicação;
> Gostaria de saber se podemos encontrar para o mesmo integralduas
> expressões diferentes? Existe algum teorema que trate da unicidade de
> primitivas em um determinado corpo? Obrigado.
> Alan
>
> Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:   Eh
> perfeitamente valido, o que vc estah fazendo eh trabalahar com integral de
>  funcoes complexas. Matematicamente, estah certo
>  Artur
> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED][mailto:[EMAIL PROTECTED]
> nome de AlanPellejero
> Enviada em: quinta-feira, 14 de junho de 200722:11
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: [obm-l] métodopara resolver integral
>
>
>
> Caros amigos dalista,
>
> Por manipulação algébrica, descobri que o integral
>
> int(1/(ax^2+bx+c))dx = ( 2 / ( i sqr(delta))) arctan ((2ax + b)/i sqrt
> (delta)) + k,
>
> onde i é a unidade imaginária e delta = b^2 - 4ac.
>
> Minha dúvida é a seguinte:
>
> É natural encontrar para a primitivaum número em que apareça unidade
> imaginária?
> É válido tal método? Perguntopois, por verificação, constatei que a
> derivada daquela expressão é de fato otermo a integrar.
> Por fim, gostaria de saber se tal método é válido para umcurso de
> cálculo 1 por exemplo. Se alguém aqui leciona calculo 1 ou lecionou e
> encontrar em uma prova de seus alunos a resolução de algo como:
>
> int(1/(2x^2+3x-1))dx = ( 2 / i sqrt  (17) ) arctan ((4x + 3 ) / i sqrt
> (17)) + k, iria aceitar?
> Um fato que eu achei interessante é a relação dederivação entre o
> denominador da expressão a integrar e o numerador do domíniodo arctan.
>
> Mais uma dúvida.
> Podemos encontrar para o mesmo integralduas expressões diferentes?
> Isso só acontece em C ou em R também? Digo isto pqencontrei funções
> cujo integral é uma expressão usando logaritmos, quando ocorpo é R e
> uma expressão usando arctan, quando o corpo é C.
> Chegueiinclusive a pensar que possa existir um elo entre as funções
> trigonométricas eas logarítimicas usando números complexos. Existe
> alguma área da matemáticaque trabalha com isso? Pensei ate na realação
> de Euler:  e^(i pi) + 1 =0, mas não consegui concluir nada
> interessante.
> No mais, agradeço a atençãoe peço desculpas pelo email longo.
> Obrigado
>
> Alan Pellejero
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Re: [obm-l] Re: determinantes

2007-06-15 Por tôpico Bruno França dos Reis 

Olha, um jeito interessante de vc tentar fazer esse problema é observar que
essa igualdade desse determinante com zero é equivalente a dizer que os
pontos f(a), f(b) e f(c) estão alinhados, onde f: R -> R^2 dada por f(x) =
(cos^2(x), 2sen^3(x)).
Sem restrição pra a, b e c, dizer que estão alinhados é o mesmo que dizer
que f(x) descreve uma reta no plano. Fazendo f'(x), vemos que não é
constante, logo f não pode descreever uma reta.
Chegamos à mesma conclusão: tem que ter alguma restrição sobre a, b e c.

Abraço
Bruno


2007/6/15, Julio Sousa <[EMAIL PROTECTED]>:


bom, eu pensei muito nela também! Mas tá com problema mesmo, eu copiei
certo, o lugar que eu tirei que tá digitado errado mesmo!

Se você substituir 30, 45 e 60 vai ver que nunca pode dar zero!

abraço!


 On 6/15/07, rgc <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>  Oi
> Eu tentei provar isso mas não consegui. Resolvi colocar uns numeros pra
> testar.
> Seja a=30°, b=45° e c=60°. Então supomos que:
> | cos^2(30°)   2sen^3(30°)   1 |
> | cos^2(45°)   2sen^3(45°)   1 |  = 0
> | cos^2(60°)   2sen^3(60°)   1 |
> Então:
> | 3/4   1/4   1|
> | 1/2   raiz(2)/21|  = 0
> | 1/4   3raiz(3)/4  1|
> Assim o determinante vai ser:
> 3raiz(2)/8 + 1/16 + 3raiz(3)/8 - raiz(2)/8 -1/8 - 9raiz(3)/16 =
> = raiz(2)/4 - 1/16 -3raiz(3)/16 = -0,0337...
> Se eu não errei nenhuma conta essa hipótese é falsa.
> Veja se não copiou alguma coisa errada ou faltou alguma restrição.
>
>
>
> On 6/12/07, Julio Sousa <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Provar que:
>
> | cos^2(a)   2sen^3(a)   1 |
> | cos^2(b)   2sen^3(b)   1 |  = 0
> | cos^2(c)   2sen^3(c)   1 |
>
>
>
>
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> Atenciosamente
> Júlio Sousa
>
>


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Atenciosamente
Júlio Sousa





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e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] Provar que f eh periodica

2007-06-15 Por tôpico ralonso 
Olá Artur, o e-mail anterior foi só uma brincadeira :)
Eu sei que não é assim que resolve :)

[]s  Ronaldo.

Artur Costa Steiner wrote:

> Este aqui parece bonito, ainda nao consegui resolver.Seja f:R-> R para
> a qual exista p> 0 tal que [f(x + p)]^2 = 1 - [f(x)]^2 para todo real
> x. Mostre que f eh periodica e determine seu periodo fundamental.Artur

Re: [obm-l] Provar que f eh periodica

2007-06-15 Por tôpico ralonso 
 [f(x + p)]^2 = 1 - [f(x)]^2
  [f(x + p)]^2 + [f(x)]^2 =1

tome f (x) = cos(x)
f(x+  pi/2) = sen(x)
tome agora p = pi/2
tá resolvido :)

[]s  Ronaldo


Artur Costa Steiner wrote:

> Este aqui parece bonito, ainda nao consegui resolver.Seja f:R-> R para
> a qual exista p> 0 tal que [f(x + p)]^2 = 1 - [f(x)]^2 para todo real
> x. Mostre que f eh periodica e determine seu periodo fundamental.Artur

Re: [obm-l] 2^x = x^2

2007-06-15 Por tôpico Alan Pellejero 
Esse problema já foi resolvido, comentado e postado aqui n vezes, com n 
tentendo ao infinito. rs
Procure nos arquivos da obm-lista. 
Um abraço!


Julio Sousa <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: achar as raízes de 2^x = x^2
 

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Re: [obm-l] RES: [obm-l] método para resolve r integral

2007-06-15 Por tôpico Alan Pellejero 
Olá Artur, obrigado pela explicação;
Gostaria de saber se podemos encontrar para o mesmo integralduas expressões 
diferentes? Existe algum teorema que trate da unicidade de primitivas em um 
determinado corpo? Obrigado.
Alan

Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:   Eh  perfeitamente 
valido, o que vc estah fazendo eh trabalahar com integral de  funcoes 
complexas. Matematicamente, estah certo
 Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED][mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de AlanPellejero
Enviada em: quinta-feira, 14 de junho de 200722:11
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] métodopara resolver integral



Caros amigos dalista,

Por manipulação algébrica, descobri que o integral

int(1/(ax^2+bx+c))dx = ( 2 / ( i sqr(delta))) arctan ((2ax + b)/i sqrt 
(delta)) + k, 

onde i é a unidade imaginária e delta = b^2 - 4ac.

Minha dúvida é a seguinte:

É natural encontrar para a primitivaum número em que apareça unidade 
imaginária?
É válido tal método? Perguntopois, por verificação, constatei que a 
derivada daquela expressão é de fato otermo a integrar.
Por fim, gostaria de saber se tal método é válido para umcurso de cálculo 1 
por exemplo. Se alguém aqui leciona calculo 1 ou lecionou eencontrar em uma 
prova de seus alunos a resolução de algo como:

int(1/(2x^2+3x-1))dx = ( 2 / i sqrt  (17) ) arctan ((4x + 3 ) / i sqrt 
(17)) + k, iria aceitar?
Um fato que eu achei interessante é a relação dederivação entre o 
denominador da expressão a integrar e o numerador do domíniodo arctan.

Mais uma dúvida.
Podemos encontrar para o mesmo integralduas expressões diferentes? Isso só 
acontece em C ou em R também? Digo isto pqencontrei funções cujo integral é 
uma expressão usando logaritmos, quando ocorpo é R e uma expressão usando 
arctan, quando o corpo é C. 
Chegueiinclusive a pensar que possa existir um elo entre as funções 
trigonométricas eas logarítimicas usando números complexos. Existe alguma 
área da matemáticaque trabalha com isso? Pensei ate na realação de Euler:  
e^(i pi) + 1 =0, mas não consegui concluir nada interessante.
No mais, agradeço a atençãoe peço desculpas pelo email longo.
Obrigado

Alan Pellejero

1ºAno bacharelado matemática
IME/USP

  

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[obm-l] Provar que f eh periodica

2007-06-15 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Este aqui parece bonito, ainda nao consegui resolver.
 
Seja f:R-> R para a qual exista p> 0 tal que [f(x + p)]^2 = 1 - [f(x)]^2 para 
todo real x. Mostre que f eh periodica e determine seu periodo fundamental.
 
Artur

RES: [obm-l] 2^x = x^2

2007-06-15 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Por inspecao, vemos que 2 e 4 sao raizes desta equacao. Resta agora analisar se 
hah outras raizes. Temos 2^x = x^2 se, e somente se, x ln(2) = 2 ln(x), ou 
seja, sse ln(x)/x = ln(2)/2. Seja a funcao definida em (0, oo) por f(x) = 
ln(x)/x. Temos que f'(x) = (1 - ln(x))/x^2, do que concluimos que f' se anula 
em x* = e.  A esquerda de e, f' eh positiva e, aa direita, eh negativa, o que 
nos mostra que f passa por um maximo global em x* = e, para o quel f(x*) = 1/e. 
Desta forma, f eh estritamente crecente m (0, e) e estritamente decrescente em 
(e, oo). Temos ainda que f eh continua, que lim x -> 0+ f(x) = -oo e que lim x 
-> oo f(x) = 0. Isso implica que, em (0, e) f assuma uma unica vez todos os 
reais em (-oo, 1/e) e que, em (e,oo) , assuma uma unica vez todos os reais em 
(1/e, 0).  Concluimos assim que , para a>0, a<>1/e, a equacao ln(x)/x = a tem 
exatamente duas raizes em R. Como ln(2)/2 <> 1/e, ha exatamente 2 reais 
satisfazendo ln(x)/x = ln(2)/2. Logo, 2 e 4 sao as duas unicas raizes reais de 
2^x = x^2.
 
Serah que hah outras raizes complexas nao reais?
 
Artur
 
 
 
 
 
 
 -Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Julio Sousa
Enviada em: quinta-feira, 14 de junho de 2007 19:38
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] 2^x = x^2



achar as raízes de 2^x = x^2


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[obm-l] RES: [obm-l] método para resolver integral

2007-06-15 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Eh perfeitamente valido, o que vc estah fazendo eh trabalahar com integral de 
funcoes complexas. Matematicamente, estah certo
Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Alan Pellejero
Enviada em: quinta-feira, 14 de junho de 2007 22:11
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] método para resolver integral



Caros amigos da lista,

Por manipulação algébrica, descobri que o integral

int (1/(ax^2+bx+c))dx = ( 2 / ( i sqr(delta))) arctan ((2ax + b)/i sqrt  
(delta)) + k, 

onde i é a unidade imaginária e delta = b^2 - 4ac. 

Minha dúvida é a seguinte:

É natural encontrar para a primitiva um número em que apareça unidade 
imaginária?
É válido tal método? Pergunto pois, por verificação, constatei que a derivada 
daquela expressão é de fato o termo a integrar.
Por fim, gostaria de saber se tal método é válido para um curso de cálculo 1 
por exemplo. Se alguém aqui leciona calculo 1 ou lecionou e encontrar em uma 
prova de seus alunos a resolução de algo como:

int (1/(2x^2+3x-1))dx = ( 2 / i sqrt  (17) ) arctan ((4x + 3 ) / i sqrt  (17)) 
+ k, iria aceitar?
Um fato que eu achei interessante é a relação de derivação entre o denominador 
da expressão a integrar e o numerador do domínio do arctan.

Mais uma dúvida.
Podemos encontrar para o mesmo integral duas expressões diferentes? Isso só 
acontece em C ou em R também? Digo isto pq encontrei funções cujo integral é 
uma expressão usando logaritmos, quando o corpo é R e uma expressão usando 
arctan, quando o corpo é C. 
Cheguei inclusive a pensar que possa existir um elo entre as funções 
trigonométricas e as logarítimicas usando números complexos. Existe alguma área 
da matemática que trabalha com isso? Pensei ate na realação de Euler:  e^(i pi) 
+ 1 = 0, mas não consegui concluir nada interessante.
No mais, agradeço a atenção e peço desculpas pelo email longo.
Obrigado

Alan Pellejero

1º Ano bacharelado matemática
IME/USP





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Re: [obm-l] método para resolver integral

2007-06-15 Por tôpico ralonso 
Olá Alan! Bom dia.
Interessante seu e-mail.  Vou só fazer comentários.  O
assunto precisa ser discutido com bem mais rigor .

Alan Pellejero wrote:

>
> Por manipulação algébrica, descobri que o integral
>
> int (1/(ax^2+bx+c))dx = ( 2 / ( i sqr(delta))) arctan ((2ax + b)/i
> sqrt  (delta)) + k,
>
> onde i é a unidade imaginária e delta = b^2 - 4ac.
>

   Não fiz as contas, talvez você pudesse mostrá-las para nós
para a gente conferir,  mas supondo que elas estejam corretas,
essa expressão ser válida, mesmo
sendo uma integral indefinida (k é a constante de integração), o
denominador não pode ser zero.  Nesta hipótese a integral deve dar
um número real.

   Então a presença de  arctan ((2ax + b)/i sqrt  (delta))  deve dar um
numero imaginário para cancelar o imaginário no denominador.  Ou,
no final das contas, os números complexos subtraídos quando se calcula
a integral acima definida em [a,b] devem ter parte imaginária igual para

esta ser cancelada. A questão que surge então é como calcular o
arctan de um número imaginário.

   Em cursos de análise complexa, considera-se a função ln z com z
complexo.
Podemos também considerar sen z, cos z, arctan z, com z complexo.
Isso funciona definindo a função por meio de séries de potências e a
expressão
é válida dentro do raio de convergência da série. Não é muito trivial
achar
a soma de uma série desta forma.  Devem existir outros métodos mais
diretos.

Geralmente as funções inversas tem vários ramos.  Um
exemplo:   e^( (2k +1) pi*i ) = cos ( (2k+1) pi ) + i sen ( (2k+1) pi)
=  -1
  então note que ln (-1) dará uma coleção de números complexos:

 ln (-1) = (2k+1)  pi * i  com k \in Z

   Então temos que escolher um ramo desta função.  O mais natural seria
escolher k = 0.  Agora, na fórmula de Euler, suponha que
passamos o i sen x  para esquerda:

  e^(i x) = cos x + i sen x
  e^(i x) - i sen x = cos x
  arcos ( e^(i x) - i sen x ) = x

  Note primeiro que
podemos somar 2 pi no x pois e^( i (x+2pi) ) = e^(ix) ,  daí podemos
concluir que:

  arcos ( e^(i x) - i sen x ) = x +2 k *i *pi

  Escolhemos novamente  k = 0 e temos x real.  Neste exemplo
não conseguimos calcular
arccos de qualquer complexo com a fórmula de Euler por um motivo
simples: o argumento de arccos acima é real.
  Então temos que usar série de potências com z complexo.


>
> Minha dúvida é a seguinte:
>
> É natural encontrar para a primitiva um número em que apareça unidade
> imaginária?
> É válido tal método? Pergunto pois, por verificação, constatei que a
> derivada daquela expressão é de fato o termo a integrar.
> Por fim, gostaria de saber se tal método é válido para um curso de
> cálculo 1 por exemplo. Se alguém aqui leciona calculo 1 ou lecionou e
> encontrar em uma prova de seus alunos a resolução de algo como:
>
> int (1/(2x^2+3x-1))dx = ( 2 / i sqrt  (17) ) arctan ((4x + 3 ) / i
> sqrt  (17)) + k, iria aceitar?
>

  Eu também tenho essa dúvida:  Se ele deveria aceitar.

Se a integral for definida,
os limites de integração forem válidos, o aluno conseguir calcular a
expressão:
arctan ((4x + 3 ) / i sqrt  (17))  para os dois limites de integração e
o resultado
final der o número real esperado, acho que pode-se considerar o
resultado
certo.


> Um fato que eu achei interessante é a relação de derivação entre o
> denominador da expressão a integrar e o numerador do domínio do
> arctan.
>

  A matemática é consistente, embora não haja prova disso a partir
da própria matemática.


>
> Mais uma dúvida.
> Podemos encontrar para o mesmo integral duas expressões diferentes?
> Isso só acontece em C ou em R também? Digo isto pq encontrei funções
> cujo integral é uma expressão usando logaritmos, quando o corpo é R e
> uma expressão usando arctan, quando o corpo é C.
>

   Exite uma relação bem definida e válida entre arctan e log, mas
não me lembro dela agora.


> Cheguei inclusive a pensar que possa existir um elo entre as funções
> trigonométricas e as logarítimicas usando números complexos. Existe
> alguma área da matemática que trabalha com isso? Pensei ate na
> realação de Euler:  e^(i pi) + 1 = 0, mas não consegui concluir nada
> interessante.
> No mais, agradeço a atenção e peço desculpas pelo email longo.
> Obrigado
>

   Dá uma olhada com atenção no livro de Alcides Lins Neto (Análise
Complexa) da série matemática universitária do IMPA.  Eu também
estou precisando voltar a lê-lo.

Abraços.
Ronaldo.


>
> Alan Pellejero
>
> 1º Ano bacharelado matemática
> IME/USP
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