Re: [obm-l] Desafio - Análise Real
Olá Marcelo e demais:
Uma dica que não sei se ajuda muito: Não sei se alguém observou
que a sequencia definida por c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1
é o termo geral da série Sum c_n que é o termo geral do produto de Cauchy
das séries definida por Sum a_n e Sum_b_n.
Em outras palavras (Sum c_n) = (Sum a_n) x (Sum b_n)
A prova então poderia seguir a seguinte linha:
Se Sum a_n converge absolutamente e Sum b_n converge absolutamente
podemos multiplicar as séries e rearanjar os termos e a série obtida continuará
convergindo absolutamente. Na verdade pelo que o exercício está dizendo,
parece qua a condição de Sum b_n convergir absolutamente pode ser
relaxada: Basta que Sum b_n convirja para garantir a convergência de Sum c_n.
Assim se Sum c_n converge então c_n - 0.
Existe alguma falha de raciocínio? Senão, alguém saberia
formalizar o exposto acima?
Abraços
Ronaldo.
Marcelo Salhab Brogliato wrote:
Olá,
o exercicio da algumas informacoes repetidas... se Sum |b_k| converge,
entao Sum b_k também converge, portanto lim b_k = 0... assim, a
informacao que lim b_k = 0 é redundante.
c_n = Sum {k=1 ... n} a_(n-k+1) . b_k
c_n = [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k]
lim a_n = 0
entao, existe n0, tal que nn0 implica |a_n| 1
portanto: Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k Sum {k=n0 ... n} b_k
Sum {k=n0 ... n} |b_k| inf
logo: c_n [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} |b_k|]
inf
portanto: c_n converge.
falta provarmos que converge pra 0..
assim que sair eu envio..
abracos,
Salhab
On 6/28/07, Fellipe Rossi [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caros colegas,
Estou tendo dificuldades para resolver uma questão de Análise - mais
precisamente, seqüências.
Pesquisei em alguns livros e até sites mas não encontrei nenhuma dica que
pudesse me ajudar. O problema é o seguinte:
Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero
e suponha que existe k 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| k
para todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por
c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero.
Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Matrizes
Olá Ronaldo, Fiquei curioso! Não sabia que as matrizes simpléticas tinham origem nos sistemas hamiltonianos. Você poderia explicar um pouco mais, ou pelo menos, dar um link que explique, rapidamente estas relações? Obrigado Jones On 6/28/07, ralonso [EMAIL PROTECTED] wrote: Legal! Tem gente discutindo matrizes simpléticas na lista. Essas matrizes tem origem nos sistemas Dinâmicos Hamiltonianos. Depois falo mais sobre isso. Ronaldo.
[obm-l] russia 1999
Ola senhores, (Russia-1999) Suponha f: Q--Z, mostre que existem dois racionais distintos r e s tais que (f(r)+f(s))/2=f((r+s)/2). Minha idéia: Tentei aplicar jensen mas eu num sei se vale. Tomei r e s em um um intervalo (a,b) contido em Q e tomei f côncova nesse intervalo. num sei se tah ok!? Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso
Re: [obm-l] RES: [obm-l] d úvida sobre Limite
On Thu, Jun 28, 2007 at 12:35:11PM -0300, Artur Costa Steiner wrote: Isso é decorrencia imediata da definicao da funcao exponencial: e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3!..Eh uma serie de potencias. Conforme se sabe, funcoes dadas por series de potencia, ditas analiticas, sao continuas em seu dominio e apresentam derivadas de todas as ordens. Logo, em virtude da continuidae em 0, lim (x - 0) e^x = e^0 = 1 + 0 + 0 =1. É um pouco estranho discordar de uma definição, mas eu discordo que esta (a definição via séries de potências) seja a melhor definição de exponencial. A minha favorita é que e^x = f(x) onde f é a única solução de f'(x) = f(x), f(0) = 1 (chamemos esta de definição via EDOs). Outra definição popular é definir exp como a inversa de log (ou ln) e definir log como a integral de 1/x, i.e., $\log(x) = \int_0^x (1/t) dt$ (definição via integral). A mais elementar é dizer que para todo a 1 existe uma única função crescente f: R - R satisfazendo f(0) = 1, f(1) = a, f(x1+x2) = f(x1)*f(x2); chamemos f(x) de a^x (definição elementar). Existem outras. Pelas três primeiras definições a continuidade é trivial, pela definição elementar nem tanto. Por outro lado, o Kleber (que mandou a pergunta para a lista) não esclareceu com qual definição de exponencial ele está trabalhando. Sem responder isso o problema fica sem sentido. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Desafio - Análise Real
Eh por aih mesmo, soh que eu esqueci a formulacao precisa do teorma que trata
disso, acho que eh o Teorema de Mertens,
Vou ver se consigo lembra ou consultar.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de ralonso
Enviada em: sexta-feira, 29 de junho de 2007 08:24
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Desafio - Análise Real
Olá Marcelo e demais:
Uma dica que não sei se ajuda muito: Não sei se alguém observou
que a sequencia definida por c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1
é o termo geral da série Sum c_n que é o termo geral do produto de Cauchy
das séries definida por Sum a_n e Sum_b_n.
Em outras palavras (Sum c_n) = (Sum a_n) x (Sum b_n)
A prova então poderia seguir a seguinte linha:
Se Sum a_n converge absolutamente e Sum b_n converge absolutamente
podemos multiplicar as séries e rearanjar os termos e a série obtida continuará
convergindo absolutamente. Na verdade pelo que o exercício está dizendo,
parece qua a condição de Sum b_n convergir absolutamente pode ser
relaxada: Basta que Sum b_n convirja para garantir a convergência de Sum c_n.
Assim se Sum c_n converge então c_n - 0.
Existe alguma falha de raciocínio? Senão, alguém saberia
formalizar o exposto acima?
Abraços
Ronaldo.
Marcelo Salhab Brogliato wrote:
Olá,
o exercicio da algumas informacoes repetidas... se Sum |b_k| converge,
entao Sum b_k também converge, portanto lim b_k = 0... assim, a
informacao que lim b_k = 0 é redundante.
c_n = Sum {k=1 ... n} a_(n-k+1) . b_k
c_n = [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k]
lim a_n = 0
entao, existe n0, tal que nn0 implica |a_n| 1
portanto: Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k Sum {k=n0 ... n} b_k
Sum {k=n0 ... n} |b_k| inf
logo: c_n [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} |b_k|]
inf
portanto: c_n converge.
falta provarmos que converge pra 0..
assim que sair eu envio..
abracos,
Salhab
On 6/28/07, Fellipe Rossi [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caros colegas,
Estou tendo dificuldades para resolver uma questão de Análise - mais
precisamente, seqüências.
Pesquisei em alguns livros e até sites mas não encontrei nenhuma dica que
pudesse me ajudar. O problema é o seguinte:
Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero
e suponha que existe k 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| k
para todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por
c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero.
Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Desafio - Aná lise Real
On Thu, Jun 28, 2007 at 01:49:20PM -0300, Fellipe Rossi wrote: Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero e suponha que existe k 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| k para todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero. Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a. As seqüências a_k e b_k são limitadas: suponha que |a_k|, |b_k| B para todo k. Dado e 0 seja N1 tal que n N1 - |b_(N1+1)|+...+|b_n| e/(2B). Seja C = |b_1|+|b_2|+...+|b_N1|. Seja N2 tal que n N2 - |a_n| e/(2C). Tome N = N1+N2 e n N. |c_n| = |a_1||b_n| + ... + |a_(n-N1)| |b_(N1+1)| + |a_(n+1-N1)||b_N1| + ... + |a_n| |b_1| Na primeira linha temos |a_k| B. Temos n+1-N1 N2 donde na segunda linha temos |a_k| e/(2C). Assim |c_n| = B(|b_n| + ... + |b_(N1+1)|) + (e/(2C))(|b_N1| + ... + |b_1|) Be/(2B) + Ce/(2C) = e concluindo a demonstração. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] russia 1999
On Fri, Jun 29, 2007 at 05:26:32AM -0700, Klaus Ferraz wrote: (Russia-1999) Suponha f: Q--Z, mostre que existem dois racionais distintos r e s tais que (f(r)+f(s))/2=f((r+s)/2). Chamemos de c(r,s) o coeficiente angular da reta que passa por (r,f(r)) e (s,f(s)). Suponha por absurdo que falhe a conclusão do problema. Devemos ter c(t-a,t) c(t-a,t+a) c(t,t+a) se a 0. Assim c(-1,0) c(-1/2,0) c(-1/4,0) c(-1/8,0) ... ... c(0,1/8) c(0,1/4) c(0,1/2) c(0,1). Mas estes coeficientes angulares são todos inteiros, o que é um absurdo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite
Eu acredito que um bom motivo para se definir a funcao exponencial via series de potencias eh que esta definicao vale tambem no corpo dos complexos. Talvez este tambem seja este o motivo pelo qual, frequentemente, definem-se as chamadas funcoes trigonometricas por series de potencias. No livro de Analise Complexa do Ahlfors, o qual jah tive a oportunidade de estudar alguns capitulos, as definicoes sao por series de potencias. Segundo Ahlfors, pelo menos ao que me pareceu, o conceito rigoroso do argumento de um complexo, em representacao polar, nao deve ser considerado como angulo. Uma vez conversei com um matematico de real conhecimento e ele me disse que, embora poucos se deem conta, definir a funcao seno (ou cosseno) pelo circulo trigonometrico ou por cateto oposto sobre hipotenusa, como aprendi no antigo científico dos anos 60, eh muito mais complicado do que parece, porque a definicao formal de comprimento nao eh assim tao simples, exigindo, na realidade, uma integral. As provas de continuidade e de derivabilidade das funcoes ditas trigometricas basiam-se na conhecida desigualdade |sen(x| = |x|, com igualdade se e somente se x=0, e esta eh usualmente provada com base no famos postulado da geometria Euclidiana segundo o qual a menor distancia entre 2 pontos eh o segmento de reta que os une. Nao estou certo, a definicao da exponencial via EDO pode ser extendida aos complexos? As definicoes via inverso de log e elementar restrigem-se aos reais, certo? No caso da definicao elementar, nao é necessario, para que a funcao fique bem definida, acrescentar a hipotese de que seja continua em pelo menos 1 elemento de R? Obrigado Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: sexta-feira, 29 de junho de 2007 10:33 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite On Thu, Jun 28, 2007 at 12:35:11PM -0300, Artur Costa Steiner wrote: Isso é decorrencia imediata da definicao da funcao exponencial: e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3!..Eh uma serie de potencias. Conforme se sabe, funcoes dadas por series de potencia, ditas analiticas, sao continuas em seu dominio e apresentam derivadas de todas as ordens. Logo, em virtude da continuidae em 0, lim (x - 0) e^x = e^0 = 1 + 0 + 0 =1. É um pouco estranho discordar de uma definição, mas eu discordo que esta (a definição via séries de potências) seja a melhor definição de exponencial. A minha favorita é que e^x = f(x) onde f é a única solução de f'(x) = f(x), f(0) = 1 (chamemos esta de definição via EDOs). Outra definição popular é definir exp como a inversa de log (ou ln) e definir log como a integral de 1/x, i.e., $\log(x) = \int_0^x (1/t) dt$ (definição via integral). A mais elementar é dizer que para todo a 1 existe uma única função crescente f: R - R satisfazendo f(0) = 1, f(1) = a, f(x1+x2) = f(x1)*f(x2); chamemos f(x) de a^x (definição elementar). Existem outras. Pelas três primeiras definições a continuidade é trivial, pela definição elementar nem tanto. Por outro lado, o Kleber (que mandou a pergunta para a lista) não esclareceu com qual definição de exponencial ele está trabalhando. Sem responder isso o problema fica sem sentido. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Conjunto
Pessoal peço encarecidamente que me ajudem com essa questão pois estou conseguindo solucioná-la de jeito nenhum. Desde já agradeço! Abraço a todos! Um grupo de alunos de uma escola deveria visitar o Museu de Ciência e o Museu de História da cidade. Quarenta e oito alunos foram visitar pelo menos um desses museus. 20% dos que foram ao de Ciência visitaram o de História e 25% dos que foram ao de História visitaram também o de Ciência. Calcule o número de alunos que visitaram os dois museus. - Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: [obm-l] Conjunto
Oi. Seja x o número de alunos que visitaram o museu de ciência e y o número de alunos que visitaram o museu de história. Então o número de alunos que visitaram os dois museus é x*0,2=y*0,25. Mas 48 alunos foram em pelo menos um dos museus. Então o número de alunos que foram ao de ciência somado com os que foram ao de história, menos o número de alunos que foram aos dois deve dar 48. Assim: x + y - x/5 = 48. Substituindo a primeira na segunda: x + 4x/5 - x/5 = 48. Portanto x=30 alunos e y=24 alunos. - Original Message - From: Rodolfo Braz To: Lista De Discussão OBM Sent: Friday, June 29, 2007 12:12 PM Subject: [obm-l] Conjunto Pessoal peço encarecidamente que me ajudem com essa questão pois estou conseguindo solucioná-la de jeito nenhum. Desde já agradeço! Abraço a todos! Um grupo de alunos de uma escola deveria visitar o Museu de Ciência e o Museu de História da cidade. Quarenta e oito alunos foram visitar pelo menos um desses museus. 20% dos que foram ao de Ciência visitaram o de História e 25% dos que foram ao de História visitaram também o de Ciência. Calcule o número de alunos que visitaram os dois museus. -- Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite
Pela consistência (não demonstrável) da matemática é difícil definir o que devemos tomar como base para boas definições. No livro de Malba Tahan, as maravilhas da matemática há um capítulo inteiramente dedicado ao problema das definições em matemática. Você pode definir pi como a razão entre a circunferência e o diâmetro ou como uma integral de comprimento de arco. O seno pode ser definido como a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, ou como uma série de potências. Não importa quais das duas adotamos: no caso real, os resultados são os mesmos. Historicamente, no entanto, as definições mais simples surgiram primeiro: Os números reais surgiram antes dos complexos, e o teorema de pitágoras antes do cálculo ... PS: No livro Geometria Diferencial de Manfredo Perdigão do Carmo em uma discussão sobre arcos geodésicos há um comentário sobre a possibilidade de demonstrar o quinto postualdo de Euclides a partir dos outros, assumindo que o arco geodésico é um segmento de reta.. Quando conversei com o professor sobre essa possibilidade ele me disse que era complicado seguir esse caminho, porque havia muita coisa já explorada para saber exatamente o que era postulado e o que era teorema. Partindo assim dos teoremas como axiomas poderíamos chegar nos axiomas como teoremas... Posso ter entendido isso errado, mas achei interessante essa discussão... Ronaldo. Artur Costa Steiner wrote: Eu acredito que um bom motivo para se definir a funcao exponencial via series de potencias eh que esta definicao vale tambem no corpo dos complexos. Talvez este tambem seja este o motivo pelo qual, frequentemente, definem-se as chamadas funcoes trigonometricas por series de potencias. No livro de Analise Complexa do Ahlfors, o qual jah tive a oportunidade de estudar alguns capitulos, as definicoes sao por series de potencias. Segundo Ahlfors, pelo menos ao que me pareceu, o conceito rigoroso do argumen Uma vez conversei com um matematico de real conhecimento e ele me disse que, embora poucos se deem conta, definir a funcao seno (ou cosseno) pelo circulo trigonometrico ou por cateto oposto sobre hipotenusa, como aprendi no antigo científico dos anos 60, eh muito mais complicado do que parece, porque a definicao formal de comprimento nao eh assim tao simples, exigindo, na realidade, uma integral. As provas de continuidade e de derivabilidade das funcoes ditas trigometricas basiam-se na conhecida desi Nao estou certo, a definicao da exponencial via EDO pode ser extendida aos complexos? As definicoes via inverso de log e elementar restrigem-se aos reais, certo? No caso da definicao elementar, nao é necessario, para que a funcao fique bem definida, acrescentar a hipotese de que seja continua em pelo menos 1 elemento de R? Obrigado Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: sexta-feira, 29 de junho de 2007 10:33 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite On Thu, Jun 28, 2007 at 12:35:11PM -0300, Artur Costa Steiner wrote: Isso é decorrencia imediata da definicao da funcao exponencial: e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3!..Eh uma serie de potencias. Conforme se sabe, funcoes dadas por series de potencia, ditas analiticas, sao continuas em seu dominio e apresentam derivadas de todas as ordens. Logo, em virtude da continuidae em 0, lim (x - 0) e^x = e^0 = 1 + 0 + 0 =1. É um pouco estranho discordar de uma definição, mas eu discordo que esta (a definição via séries de potências) seja a melhor definição de exponencial. A minha favorita é que e^x = f(x) onde f é a única solução de f'(x) = f(x), f(0) = 1 (chamemos esta de definição via EDOs). Outra definição popular é definir exp como a inversa de log (ou ln) e definir log como a integral de 1/x, i.e., $\log(x) = \int_0^x (1/t) dt$ (definição via integral). A mais elementar é dizer que para todo a 1 existe uma única função crescente f: R - R satisfazendo f(0) = 1, f(1) = a, f(x1+x2) = f(x1)*f(x2); chamemos f(x) de a^x (definição elementar). Existem outras. Pelas três primeiras definições a continuidade é trivial, pela definição elementar nem tanto. Por outro lado, o Kleber (que mandou a pergunta para a lista) não esclareceu com qual definição de exponencial ele está trabalhando. Sem responder isso o problema fica sem sentido. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Pontos de condensacao
Serah que existe uma forma simples de provar o seguinte? Sendo A um subconjunto de R, dizemos que x eh ponto de condensacao de A se toda vizinhanca de x intersectar A segundo um conjunto nao enumeravel. Por exemplo, todo elemento de (0, 1), alem de 0 e de 1, sao pontos de condensacao de (0, 1). Sabemos que se A nao for enumeravel, entao o conjunto C, dos pontos de condensacao de A, eh fechado e nao-enumeravel. Dizemos que y eh ponto de condensacao bilateral de A se, para todo eps 0, os conjuntos (x -eps, x) Inter A e (x, x+ eps) Inter A forem ambos nao-enumeraveis. Isto eh, os pontos de A se condensam aa esquerda e aa direita de y. Assim, 0 e 1 sao pontos de condensacao de (0, 1) mas nao sao bilaterais. E dizemos que z eh ponto de condensacao unilateral de A - como o sao 0 e 1 no exemplo dado - se os pontos de A se condensarem ou aa esquerda ou aa direita de z, mas nao a ambas. Por estas definicoes, pontos de condensacao bilaterais nao sao unilaterais. Seja A um subconjunto nao-enumeravel de R e sejam B e U os conjuntos dos pontos de condensacao bilaterais e unilaterais de A (pelas definicoes, B e U formam uma particao de C). Mostre que B eh nao-numeravel e que U eh enumeravel (possivelmente vazio ou finito). O conjunto B tem que ser aberto? Eh possivel que U seja vazio para algum nao-enumeravel proprio de R? Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto
Não reisti à tentação: Faça um diagrama dos dois conjuntos (C e H) e imagine que na interseção haja X alunos. Então há 4X em C e 3X em H (pense no 20% e no 25%) e a união conterá x +3x +4x = 8x. Logo... x = 6 ... Abraços, Nehab At 12:12 29/6/2007, you wrote: Pessoal peço encarecidamente que me ajudem com essa questão pois estou conseguindo solucioná-la de jeito nenhum. Desde já agradeço! Abraço a todos! Um grupo de alunos de uma escola deveria visitar o Museu de Ciência e o Museu de História da cidade. Quarenta e oito alunos foram visitar pelo menos um desses museus. 20% dos que foram ao de Ciência visitaram o de História e 25% dos que foram ao de História visitaram também o de Ciência. Calcule o número de alunos que visitaram os dois museus. Novo http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomissoYahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: [obm-l] Conjunto
Obrigado pela solução da questão!! Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Não reisti à tentação: Faça um diagrama dos dois conjuntos (C e H) e imagine que na interseção haja X alunos. Então há 4X em C e 3X em H (pense no 20% e no 25%) e a união conterá x +3x +4x = 8x. Logo... x = 6 ... Abraços, Nehab At 12:12 29/6/2007, you wrote: Pessoal peço encarecidamente que me ajudem com essa questão pois estou conseguindo solucioná-la de jeito nenhum. Desde já agradeço! Abraço a todos! Um grupo de alunos de uma escola deveria visitar o Museu de Ciência e o Museu de História da cidade. Quarenta e oito alunos foram visitar pelo menos um desses museus. 20% dos que foram ao de Ciência visitaram o de História e 25% dos que foram ao de História visitaram também o de Ciência. Calcule o número de alunos que visitaram os dois museus. Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. - Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Res: [obm-l] russia 1999
Olá prof. Nicolau, poderia ser mais claro? Entendi nada da solução do problema. Porque vc chamou c(r,s) o coeficiente angular da reta? de onde veio isso? a idéia q eu propus da desigualdade de jensen, nao vale? Grato. - Mensagem original De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 29 de Junho de 2007 11:09:43 Assunto: Re: [obm-l] russia 1999 On Fri, Jun 29, 2007 at 05:26:32AM -0700, Klaus Ferraz wrote: (Russia-1999) Suponha f: Q--Z, mostre que existem dois racionais distintos r e s tais que (f(r)+f(s))/2=f((r+s)/2). Chamemos de c(r,s) o coeficiente angular da reta que passa por (r,f(r)) e (s,f(s)). Suponha por absurdo que falhe a conclusão do problema. Devemos ter c(t-a,t) c(t-a,t+a) c(t,t+a) se a 0. Assim c(-1,0) c(-1/2,0) c(-1/4,0) c(-1/8,0) ... ... c(0,1/8) c(0,1/4) c(0,1/2) c(0,1). Mas estes coeficientes angulares são todos inteiros, o que é um absurdo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso
Re: [obm-l] russia 1999
Klaus, A solução do Nicolau é muito bonita. Tem algum detalhe em específico que você não tenha entendido? Ele só chamou o coeficiente angular da reta que liga os pontos (r,f(r)) e (s, f(s)) de c(r,s) para deixar a notação um pouco mais leve, eu acho. A idéia é que, se não existissem pontos que satisfizessem isso, então, (f(t+a) + f(t-a))/2 f(t), ou seja, teríamos que a reta que liga o ponto de abscissa t-a ao ponto de abscissa t+a estaria acima do ponto de abscissa t. Assim, a desigualdade dos coeficientes está estabelecida (basta aplicar a definição de coeficiente angular). Substituindo pelos pontos que o Nicolau escolheu, temos uma contradição (pois os coeficientes angulares das retas que ligam os pares de pontos na solução do Nicolau são inteiros, visto que são a divisão de um inteiro por um inverso de inteiro, e entre dois inteiros existem apenas um número finito de inteiros.) -- Abraços, Maurício On 6/29/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá prof. Nicolau, poderia ser mais claro? Entendi nada da solução do problema. Porque vc chamou c(r,s) o coeficiente angular da reta? de onde veio isso? a idéia q eu propus da desigualdade de jensen, nao vale? Grato. - Mensagem original De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 29 de Junho de 2007 11:09:43 Assunto: Re: [obm-l] russia 1999 On Fri, Jun 29, 2007 at 05:26:32AM -0700, Klaus Ferraz wrote: (Russia-1999) Suponha f: Q--Z, mostre que existem dois racionais distintos r e s tais que (f(r)+f(s))/2=f((r+s)/2). Chamemos de c(r,s) o coeficiente angular da reta que passa por (r,f(r)) e (s,f(s)). Suponha por absurdo que falhe a conclusão do problema. Devemos ter c(t-a,t) c(t-a,t+a) c(t,t+a) se a 0. Assim c(-1,0) c(-1/2,0) c(-1/4,0) c(-1/8,0) ... ... c(0,1/8) c(0,1/4) c(0,1/2) c(0,1). Mas estes coeficientes angulares são todos inteiros, o que é um absurdo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] russia 1999
Quanto a tomar f côncava... Seja f a função definida por f(p/q) = q, onde p e q são primos entre si. É possível provar que existe um intervalo no qual essa função é côncava? Além do que, isso é questão de notação (e eu entendi o que você quis dizer), mas... Nenhum intervalo (a, b), com a b, está contido nos racionais. -- Abraços, Maurício On 6/29/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola senhores, (Russia-1999) Suponha f: Q--Z, mostre que existem dois racionais distintos r e s tais que (f(r)+f(s))/2=f((r+s)/2). Minha idéia: Tentei aplicar jensen mas eu num sei se vale. Tomei r e s em um um intervalo (a,b) contido em Q e tomei f côncova nesse intervalo. num sei se tah ok!? Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Trigonometria
Olá pessoal!!! Estou tentando simplificar esta expressãopor favor, me ajudem a terminar 1/sen2x + 1/cos2x= 1+cotg2x + 1+tg2x. _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
