Re: [obm-l] Subespaços Vetoriais
Eu diria que não. A prova segue mais ou menos por essa linha:
Quando a soma é direta a interseção dos subspaços é o conjunto vazio.
Isto é se u in U -- u not in V
se v in V -- v not in U
para que isso aconteça vc tem que não pode ter componentes comuns nos dois
vetores (u e v).
Precisa demonstrar essa parte. Daí isso implica que dim(U + V) = dim(U) + dim
(V) se dim(U) =
dim(V)
então dim (U+V) = 2 dim(U) = 7, mas a dimensão de U não pode ser fracionária.
Reciprocamente se a dimensão de U for um número inteiro então existe u in U
que possui uma
componente
em V (precisa provar isso também usando um conceito formal, tal como U ~ U x
{0} onde ~ significa
isomórfico)
então dim (U) dim (V).
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Alguém poderia me ajudar?
Existem U e V são subespaços vetoriais de R7 tais que R7 = U+V (soma direta)
e dim U = Dim V?
Obrigada
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Res: [obm-l] Teoria Numeros
Valeu Leandro. Eu nunca tinha ouvido falar nessa fatoração de Sophie Germain. - Mensagem original De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 29 de Julho de 2007 17:37:11 Assunto: Re: [obm-l] Teoria Numeros Olá Klaus, Esse problema se resolve com uso da clássica fatoração de Sophie Germain: a^4 + 4*b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab) * (a^2 + 2b^2 - 2ab). Trabalhando com a sua expressão, 545^4 + 4^545 = 545^4 + 4*(4^136)^4, que é da forma acima, ou seja, a^4 + 4*b^4, para a = 545 e b = 4^136. Resta cuidar para que nenhum dos parênteses acima seja 1; mas isso é praticamente trivial, dado que a^2 + b^2 2ab, pois a e b são diferentes de zero, e assim sobra um b^2 dentro de cada um. Abraço, - Leandro A. L. Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais em http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/
[obm-l] Subespaços vetoriais
Ola pessoal,
Alguem pode me ajudar nessas questoes:
= Determine se os conjuntos abaixo sao subespacos vetoriais:
- W1 = { (x; y) E IR^2 : x = y = 0}
- W2 = { (x; y; z) E IR^3 : 2x + y - z = 0}
=Verifique que o conjunto {1; (1 - x); (1 - x)^2} forma uma base para o espaco
vetorial dos polin^omios de grau maximo igual a dois.
= Mostre que IR^3 e a soma direta dos subespacos vetoriais U = {(x; y; z) E
IR^3 : z = 0} e {(x; y; z) E IR^3 : x = y = 0}, com ilustração geometrica os
subespacos U e V , e mostre a decomposicao de um vetor qualquer no IR^3 como
soma dos seus respectivos vetores de U e V .
Re: [obm-l] Instalacao LUA no Linux ( OFF-TOPIC )
Muito obrigado Rogério. É estive dando uma olhada no site www.lua.org e conseguir mais coisas, instalei o Lua no windows mesmo :(, bem irei ver se consigo instalar no Ubuntu pois essa é minha meta quero trabalhar no ambiente LINUX assim como vc disse tentei fazer mais deu erro, irei apagar as pastas e tentarei de novo pra ver se consigo. Forte abraço e uma ótima semana. Mensagem Original: Data: 15:23:45 28/07/2007 De: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Instalacao LUA no Linux ( OFF-TOPIC ) Ola' Saulo, o assunto e' pra la' de off-topic, e se voce ficar enrolado entao me escreva por fora da lista, por favor. Bem, eu nunca havia instalado LUA em meus computadores ( a nao ser ha' 3 minutos atras, usando apt-get so' para testar) , mas parece que e' muito facil voce simplesmente baixar o .tar e compilar, apesar de haver binarios prontos pro Debian. A fonte de tudo fica em http://www.lua.org/ E se voce quiser instalar o pacote pronto, execute apt-get install lua5.1 []'s Rogerio Ponce Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais. -- Atlon XP 2600+ Asus A7n8xe-deluxe MSI Geforce 128 FX 5600 XT 512 MB Samsung DDR 333MHZ HD Maxtor 80 GB 7200 rpm HD Samsung 80 GB SATA 8 MB buffer Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga e ganhe modem grátis. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Topologia
Sejam X, Y contidos em R, X ( diferente de 0 ) e Y ( diferente de 0 ). Mostrar que int ( X ) U int ( Y ) está contido em int ( X U Y ) . -- Kleber B. Bastos
[obm-l] Re: Subespaços vetoriais
Rita,
vou trazer as minhas questões amanhã e te mando, mas na primeira questão, w1
não é um espaço vetorial.
Se vc observar bem os valores x e y de W1 são positivos ( maiores que zero), ou
seja, todos os vetores de W1, estarão no 2° quadrante de um sistema de eixos
ortogonais.
Quando vc testa a properiedade multitiplicação por um escalar, como esse
escalar pertence a R, podemos ter a multiplicação por um n° negativo, e esse
vetor estará em outro quadradante, ou seja, vc não terá x e y maiores que 0.
Logo, a propriedade multiplicação por um escalar não esta bem definida e W1 não
é um espaço vetorial.
Um abraço
- Original Message -
From: rcggomes
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: Rejane
Sent: Monday, July 30, 2007 11:26 AM
Subject: Fw: Subespaços vetoriais
Qto a estas questoes abaixo eu deduzi da seguinte forma, se alguem encontra
alguma coisa contrario ou melhor esclarecedora me ajudem.
- W1 = { (x; y) E IR^2 : x = y = 0}
Para todo u e v E W1 e u + v E W1
sejam: u = (x1, y1) E W1
v = (x2, y2) E W1
u + v = (x1+x2 , y1+y2)
x1+x2 = y1+y2
y1+y2 = 0 + 0 = 0
Para todo a E R , au E W1
au=a(x,y) = (ax, ay) =(ax,a0) , Logo:
(ax,ay) = ( 0, 0)
É um subespaço vetorial, isso acatando para y = 0 , e x = 0, temos o par
ordenado (0 , 0) então W1 é diferente do vazio, e tambem obedece a propriedade
da multiplicação escalar.
- W2 = { (x; y; z) E IR^3 : 2x + y - z = 0}
Para todo u,v E W2 ; u + v E W2
sejam u = (x1,y1,z1) E W2
v = (x2, y2,z2) E W2
u + v = ( x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) E W2
Para z = 0, 2x + y = 0 = y = -2x
y1 + y2 = -2x -2x = -4x
z1 + z2 = 0 + 0 = 0
para todo a E R, au E W2
au = a(x,y,z) = (ax, ay, az)
= ( ax, ay , az) = ( ax, a(-2x), a.0) = ( ax, -2ax, 0)
p/ a = 1 = ( x, -2x, 0) e p/ x = 0 ( 0, 0, 0)
Entao W2 ´2 um subespaço vetorial
=Verifique que o conjunto {1; (1 - x); (1 - x)^2} forma uma base para o
espaco vetorial dos polin^omios de grau maximo igual a dois.
= Mostre que IR^3 e a soma direta dos subespacos vetoriais U = {(x; y; z) E
IR^3 : z = 0} e {(x; y; z) E IR^3 : x = y = 0}, com ilustração geometrica os
subespacos U e V , e mostre a decomposicao de um vetor qualquer no IR^3 como
soma dos seus respectivos vetores de U e V .
Quanto a essas duas questoes ainda tenho dúvida.
Rita
[obm-l] Dúvida
Pessoal, tenho deparado com conceitos como robustness solution e closed form solution. O que seria cada uma e qual a diferença entre esses conceitos? obrigado, Rossine Assis
Re: [obm-l] Problema de Geometria
Ola' Benedito e colegas da lista, acho que deve ter um jeito mais simples de fazer isso, mas vamos la'... Inicialmente, vamos estabelecer um conceito e um teorema (que poderiam ser formalizados, mas o texto fica muito longo. Como e' quase intuitivo, vou apenas mostrar a ideia) Conceito: Em relacao a um ponto P (que funcionara' como nosso ponto de vista), vou dizer que um segmento r de reta esta' atras de outro segmento s caso s intercepte nossa visao de algum ponto de r. Tambem direi que s esta' na frente de r. Teorema: Para um ponto de vista P, se t esta' na frente de s, e s esta' na frente de r, entao t esta' na fente de r, dado que r, s e t nao se cruzam. Em outras palavras, a propriedade de estar na frente (ou atras) e' transitiva. Agora vamos ao problema propriamente dito: Escolha os vertices A,B e C contiguos,tais que o angulo interno em B seja inferior a 180. Caso nao exista aresta interna ao triangulo ABC, entao a diagonal AC pode ser tracada sem cortar nenhuma outra aresta, satisfazendo ao problema. E caso haja alguma aresta interna a ABC, entao, existe pelo menos um vertice V1, interno a ABC, correspondente a uma das extremidades desta aresta. Considere a linha BV1. Se ela nao corta nenhuma outra aresta, entao ela e' uma diagonal contida no poligono. E se BV1 corta alguma aresta, entao considere a aresta da frente, e descarte todas as arestas atras. Esta nova aresta necessariamente tem pelo menos um vertice V2 dentro de ABC. Tome o vertice V2. Considerando agora a linha BV2, repetimos o procedimento, sabendo que todas as arestas atras nao mais interceptam BV2 (pelo teorema inicial). Como o poligono tem um numero limitado de arestas, necessariamente chegaremos a uma linha BVn que nao e' mais interceptada por nenhuma outra aresta. Entao, esta e' uma diagonal que satisfaz ao problema. Bem, por enquanto, essa foi a demonntracao que me ocorreu... []'s Rogerio Ponce Benedito [EMAIL PROTECTED] escreveu: Problema Todo polígono de n lados, com n 3, possui uma diagonal inteiramente contida na região do plano limitado por ele. (O polígono não é necessariamente convexo). Benedito Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais.
[obm-l] RES: [obm-l] função lipschitz
Suponhamos que f' seja limitada e derivável e I. Seja S = supremo {|f'(u)| | x
esta em I}. Então, para todo u de I temos que |f'(u)| = S.
Sejam x e y elementos distintos de I. A aplicação do teorema do valor médio ao
intervallo fechado de pontos extremos x e y mostra a existencia de um a entre x
e y tal que |f(y) - f(x)| = f'(a)| |y - x| |= S |y - x| , do que concluimos
que f eh Lipscitz em I com constante S.
Suponhamos agora que f seja derivável e Lipschitz em I. Existe, então, uma
consstante positiva S tal que |f(y) - f(x| = S |y - x| para todos x e y de I.
Se x e y forem distintos, então |f(y) - f(x)|/(y - x)| = S. Fazendo-se y - x
e considerando que f eh derivavel em I, o primeiro membro desta desigualdade
tende a |f'(x|. Como esta desigualdade vale no limite, temos que |f'(x| = S,
validfa para todo x de S. Logo, f' é limitada em I por S.
Observe que o seu enunciado esta impreciso, a hipotese de que f seja derivavel
em I deveria fazer parte das hipoteses. O fato de uma funcao ser Lipschitz noa
implica que seja derivavel.
Deixo para vc um outro exercicio interessante. Mostre que a constante S =
supremo {|f''(u)| | x esta em I} eh a menor constante de Lipschitz de f em I,
isto eh, se 0 C S, entao existem x e y em I tais que |f(y) - f(x) C |y -
x|.
[Artur Costa Steiner]
ensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Kleber Bastos
Enviada em: sexta-feira, 27 de julho de 2007 21:31
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] função lipschitz
Poderiam me ajudar ?
Mostre que f :I--R, onde I C R é um intervalo é uma função Lipschitz se , e
smomente se f ´ ( f linha ) é uma função limitada em I .
--
Kleber B. Bastos
Re: [obm-l] Subespaços vetoriais
O enunciado do primeiro não está preciso já que não menciona qual é a soma e
qual é o produto por escalar que devemos usar. Vou admitir serem os
canônicos.
W1 não é espaço vetorial, já que qualquer elemento (a, 0) pertencente a W1
não possui um oposto. (x, y) + (a, 0) = (0, 0) == (x, y) = (-a, 0), mas
se a != 0 e (a, 0) pertence a W1, então (-a, 0) não pertence a W1.
W2 é subespaço, pois obviamente (0,0,0) pertence a W2, e é fácil verificar
que dados dois vetores em W2, sua soma continua em W2 e que produto por
escalar de um vetor de W2 continua em W2 (basta fazer conta), e isso mostra
que W2 é subespaço.
2007/7/30, rcggomes [EMAIL PROTECTED]:
Ola pessoal,
Alguem pode me ajudar nessas questoes:
= Determine se os conjuntos abaixo sao subespacos vetoriais:
- *W*1 = *{ *(*x; y*) E **IR^2 : *x = y = *0}**
-
*W*2 = *{ *(*x; y; z* ) E* *IR^3 : 2*x *+ *y - z *= 0}**
=Verifique que o conjunto {1*; *(1 -* x*)*; *(1 *- **x*)^2}* *forma uma
base para o espaco vetorial dos polin^omios de grau maximo igual a dois.
= Mostre que IR^3 e a soma direta dos subespacos vetoriais *U *= {(*x; y;
z*) E* *IR^3 : *z *= 0}* *e {(*x; y; z *) E* *IR^3 : *x *= *y *= 0}, com
ilustração geometrica os subespacos *U *e *V *, e mostre a decomposicao de
um vetor qualquer no IR^3 como soma dos seus respectivos vetores de *U *e
*V *.
--
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000
e^(pi*i)+1=0
[obm-l] Re: [obm-l] Subespaços vetoriais
Bruno,
Quanto a priemira questão esta esclarecido, estava com a duvida diante dos
valores negativos, o qual ja foi esclarecido.
Caso voce consiga me atender tb nas outras duas, ótimo.
Ate o momento muito obrigada, valeu
Rita
- Original Message -
From: Bruno França dos Reis
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, July 30, 2007 12:43 PM
Subject: Re: [obm-l] Subespaços vetoriais
O enunciado do primeiro não está preciso já que não menciona qual é a soma e
qual é o produto por escalar que devemos usar. Vou admitir serem os canônicos.
W1 não é espaço vetorial, já que qualquer elemento (a, 0) pertencente a W1
não possui um oposto. (x, y) + (a, 0) = (0, 0) == (x, y) = (-a, 0), mas se
a != 0 e (a, 0) pertence a W1, então (-a, 0) não pertence a W1.
W2 é subespaço, pois obviamente (0,0,0) pertence a W2, e é fácil verificar
que dados dois vetores em W2, sua soma continua em W2 e que produto por escalar
de um vetor de W2 continua em W2 (basta fazer conta), e isso mostra que W2 é
subespaço.
2007/7/30, rcggomes [EMAIL PROTECTED]:
Ola pessoal,
Alguem pode me ajudar nessas questoes:
= Determine se os conjuntos abaixo sao subespacos vetoriais:
- W1 = { (x; y) E IR^2 : x = y = 0}
-
W2 = { (x; y; z ) E IR^3 : 2x + y - z = 0}
=Verifique que o conjunto {1; (1 - x); (1 - x)^2} forma uma base para o
espaco vetorial dos polin^omios de grau maximo igual a dois.
= Mostre que IR^3 e a soma direta dos subespacos vetoriais U = {(x; y; z)
E IR^3 : z = 0} e {(x; y; z ) E IR^3 : x = y = 0}, com ilustração geometrica os
subespacos U e V , e mostre a decomposicao de um vetor qualquer no IR^3 como
soma dos seus respectivos vetores de U e V .
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Bruno França dos Reis
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Re: Res: [obm-l] Teoria Numeros
Desculpe-me: engoli uma palavra no texto: Se você quiser ver... Oi, Klaus, Se você ver a utilidade do referido produto notável (a^4 + 4b^4) = (a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4) - 4a^2b^2 = (a2 + 2b^2)^2 - (2ab)^2 = (a^2 + 2b^2 + 2ab) * (a^2 + 2b^2 - 2ab) dê uma paquerada neste interessante exercício de uma Lista do prof. Felipe Rodrigues : Simplifique X = P/Q, onde P = (10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4 + 324) e Q = (4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 + 324). Acho que este exercício caiu em alguma olimpíada brasileira, mas não consigo localizar em qual. Abraços, Nehab At 10:09 30/7/2007, you wrote: Valeu Leandro. Eu nunca tinha ouvido falar nessa fatoração de Sophie Germain. - Mensagem original De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 29 de Julho de 2007 17:37:11 Assunto: Re: [obm-l] Teoria Numeros Olá Klaus, Esse problema se resolve com uso da clássica fatoração de Sophie Germain: a^4 + 4*b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab) * (a^2 + 2b^2 - 2ab). Trabalhando com a sua expressão, 545^4 + 4^545 = 545^4 + 4*(4^136)^4, que é da forma acima, ou seja, a^4 + 4*b^4, para a = 545 e b = 4^136. Resta cuidar para que nenhum dos parênteses acima seja 1; mas isso é praticamente trivial, dado que a^2 + b^2 2ab, pois a e b são diferentes de zero, e assim sobra um b^2 dentro de cada um. Abraço, - Leandro A. L. Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/Saiba mais.
RES: [obm-l] Topologia
Seja u pertencente a int ( X ) U int ( Y ). Entao, u pertence a int ( X ) ou u pertence a ( Y ). Se u pertence a int ( X ), entao u pertence a int ( X U Y ), pois X eh subconjunto de X U Y. Analagomente, se u pertence a Int(Y) entao u pertence a int ( X U Y ). Logo, em qualquer caso u pertence a int ( X U Y ), do que concluimos que int ( X ) U int ( Y ) está contido em int ( X U Y ) . Estah eh facil, nao eh? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Kleber Bastos Enviada em: segunda-feira, 30 de julho de 2007 11:16 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Topologia Sejam X, Y contidos em R, X ( diferente de 0 ) e Y ( diferente de 0 ). Mostrar que int ( X ) U int ( Y ) está contido em int ( X U Y ) . -- Kleber B. Bastos
Re: [obm-l] Subespaços vetoriais
Vamos fazer a terceira. Mostrar que um espaço é soma direta de dois outros
equivale a mostrar que ele é soma dos dois outros e que a interseção destes
dois outros é o subespaço nulo.
Temos: U + V = {u + v; u em U, v em V} = { (x,y,0) + (0,0,z) } = { (x,y,z) }
= R^3. Assim, R^3 é soma de U e V.
Agora tome um elemento (x, y, z) na interseção de U e V. Como ele está em U,
temos que z = 0, e como ele está em V temos que x = y = 0. Assim qualquer
elemento da interseção tem x = y = z = 0, logo a interseção só contem o 0 do
R^3.
Assim provamos que R^3 é soma direta.
Geometricamente, U é o plano (x,y) e V é o eixo z.
Decompondo um vetor (x, y, z) de R^3 como soma de vetores em U e V temos:
(x, y, z) = (0, 0, z) + (x, y, 0), onde a primeira parcela está em U e a
segunda em V.
Para a segunda questão, podemos lembrar que tal espaço de polinômios tem
dimensao 3 e assim só nos resta mostrar que o conjunto que vc deu é l.i. Mas
atenção: dado um conjunto com um número finito de elementos, mostrar que
cada 2 elementos são l.i. não implica que o conjunto todo seja l.i.!!! Tente
mostrar a independencia linear desse conjunto.
Abraço
Bruno
2007/7/30, rcggomes [EMAIL PROTECTED]:
Ola pessoal,
Alguem pode me ajudar nessas questoes:
= Determine se os conjuntos abaixo sao subespacos vetoriais:
- *W*1 = *{ *(*x; y*) E* *IR^2 : *x = y = *0}**
-
*W*2 = *{ *(*x; y; z*) E* *IR^3 : 2*x *+ *y - z *= 0}**
=Verifique que o conjunto {1*; *(1 -* x*)*; *(1 *- **x*)^2}* *forma uma
base para o espaco vetorial dos polin^omios de grau maximo igual a dois.
= Mostre que IR^3 e a soma direta dos subespacos vetoriais *U *= {(*x; y;
z*) E* *IR^3 : *z *= 0}* *e {(*x; y; z*) E* *IR^3 : *x *= *y *= 0}, com
ilustração geometrica os subespacos *U *e *V *, e mostre a decomposicao de
um vetor qualquer no IR^3 como soma dos seus respectivos vetores de *U *e
*V *.
--
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
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icq: 12626000
e^(pi*i)+1=0
[obm-l] Ainda sobre Subespaços vetoriais
Ola Pessoal.
Ainda estou precisando de saber como devo proceder com essas duas questoes.
=Verifique que o conjunto {1; (1 - x); (1 - x)^2} forma uma base para o espaco
vetorial dos polin^omios de grau maximo igual a dois.
= Mostre que IR^3 e a soma direta dos subespacos vetoriais U = {(x; y; z) E
IR^3 : z = 0} e {(x; y; z) E IR^3 : x = y = 0}, com ilustração geometrica os
subespacos U e V , e mostre a decomposicao de um vetor qualquer no IR^3 como
soma dos seus respectivos vetores de U e V .
Rita
Rita
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Re: Res: [obm-l] Teoria Numeros
Oi, Klaus, Se você ver a utilidade do referido produto notável (a^4 + 4b^4) = (a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4) - 4a^2b^2 = (a2 + 2b^2)^2 - (2ab)^2 = (a^2 + 2b^2 + 2ab) * (a^2 + 2b^2 - 2ab) dê uma paquerada neste interessante exercício de uma Lista do prof. Felipe Rodrigues : Simplifique X = P/Q, onde P = (10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4 + 324) e Q = (4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 + 324). Acho que este exercício caiu em alguma olimpíada brasileira, mas não consigo localizar em qual. Abraços, Nehab At 10:09 30/7/2007, you wrote: Valeu Leandro. Eu nunca tinha ouvido falar nessa fatoração de Sophie Germain. - Mensagem original De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 29 de Julho de 2007 17:37:11 Assunto: Re: [obm-l] Teoria Numeros Olá Klaus, Esse problema se resolve com uso da clássica fatoração de Sophie Germain: a^4 + 4*b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab) * (a^2 + 2b^2 - 2ab). Trabalhando com a sua expressão, 545^4 + 4^545 = 545^4 + 4*(4^136)^4, que é da forma acima, ou seja, a^4 + 4*b^4, para a = 545 e b = 4^136. Resta cuidar para que nenhum dos parênteses acima seja 1; mas isso é praticamente trivial, dado que a^2 + b^2 2ab, pois a e b são diferentes de zero, e assim sobra um b^2 dentro de cada um. Abraço, - Leandro A. L. Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/Saiba mais.
[obm-l] Fw: Subespaços vetoriais
Qto a estas questoes abaixo eu deduzi da seguinte forma, se alguem encontra
alguma coisa contrario ou melhor esclarecedora me ajudem.
- W1 = { (x; y) E IR^2 : x = y = 0}
Para todo u e v E W1 e u + v E W1
sejam: u = (x1, y1) E W1
v = (x2, y2) E W1
u + v = (x1+x2 , y1+y2)
x1+x2 = y1+y2
y1+y2 = 0 + 0 = 0
Para todo a E R , au E W1
au=a(x,y) = (ax, ay) =(ax,a0) , Logo:
(ax,ay) = ( 0, 0)
É um subespaço vetorial, isso acatando para y = 0 , e x = 0, temos o par
ordenado (0 , 0) então W1 é diferente do vazio, e tambem obedece a propriedade
da multiplicação escalar.
- W2 = { (x; y; z) E IR^3 : 2x + y - z = 0}
Para todo u,v E W2 ; u + v E W2
sejam u = (x1,y1,z1) E W2
v = (x2, y2,z2) E W2
u + v = ( x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) E W2
Para z = 0, 2x + y = 0 = y = -2x
y1 + y2 = -2x -2x = -4x
z1 + z2 = 0 + 0 = 0
para todo a E R, au E W2
au = a(x,y,z) = (ax, ay, az)
= ( ax, ay , az) = ( ax, a(-2x), a.0) = ( ax, -2ax, 0)
p/ a = 1 = ( x, -2x, 0) e p/ x = 0 ( 0, 0, 0)
Entao W2 ´2 um subespaço vetorial
=Verifique que o conjunto {1; (1 - x); (1 - x)^2} forma uma base para o espaco
vetorial dos polin^omios de grau maximo igual a dois.
= Mostre que IR^3 e a soma direta dos subespacos vetoriais U = {(x; y; z) E
IR^3 : z = 0} e {(x; y; z) E IR^3 : x = y = 0}, com ilustração geometrica os
subespacos U e V , e mostre a decomposicao de um vetor qualquer no IR^3 como
soma dos seus respectivos vetores de U e V .
Quanto a essas duas questoes ainda tenho dúvida.
Rita
[obm-l] Função composta, intervalo.
Olá pessoal. Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, e que se pudessem explicar como fica f e principalmente seus intervalos( esses mais difícil para mim perceber). Obrigado. Sejam as funções reais g e fOg( f composta g) definidas por g(x)=2x-3 e (fOg)(x) = 4x² -6x -1 se x=1 e 4x + 3 se x1 Obtenha a lei que define f.
Re: Res: [obm-l] Teoria Numeros
Eu ia explicar até esse negócio da congruencia, mas dps vi q tava dando congru 2 mod 3, achei que minhas contas tavam erradas, mas valeu Mauricio por ter postado aí que dá congru 2 mesmo. Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Desculpe-me: engoli uma palavra no texto: Se você quiser ver... Oi, Klaus, Se você ver a utilidade do referido produto notável (a^4 + 4b^4) = (a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4) - 4a^2b^2 = (a2 + 2b^2)^2 - (2ab)^2 = (a^2 + 2b^2 + 2ab) * (a^2 + 2b^2 - 2ab) dê uma paquerada neste interessante exercício de uma Lista do prof. Felipe Rodrigues : Simplifique X = P/Q, onde P = (10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4 + 324) e Q = (4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 + 324). Acho que este exercício caiu em alguma olimpíada brasileira, mas não consigo localizar em qual. Abraços, Nehab At 10:09 30/7/2007, you wrote: Valeu Leandro. Eu nunca tinha ouvido falar nessa fatoração de Sophie Germain. - Mensagem original De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 29 de Julho de 2007 17:37:11 Assunto: Re: [obm-l] Teoria Numeros Olá Klaus, Esse problema se resolve com uso da clássica fatoração de Sophie Germain: a^4 + 4*b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab) * (a^2 + 2b^2 - 2ab). Trabalhando com a sua expressão, 545^4 + 4^545 = 545^4 + 4*(4^136)^4, que é da forma acima, ou seja, a^4 + 4*b^4, para a = 545 e b = 4^136. Resta cuidar para que nenhum dos parênteses acima seja 1; mas isso é praticamente trivial, dado que a^2 + b^2 2ab, pois a e b são diferentes de zero, e assim sobra um b^2 dentro de cada um. Abraço, - Leandro A. L. Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba maishttp://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/.
Re: [obm-l] Função composta, intervalo.
Olá Albert.. fog(x) = f(g(x)).. assim: f(g(x)) = f(2x-3) = 4x^2-6x-1, se x=1 e 4x+3 se x1.. faca 2x-3 = y.. logo: x = (y+3)/2 agora basta substituir pra obter a f(x).. abracos, Salhab On 7/30/07, Albert Lucas [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal. Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, e que se pudessem explicar como fica f e principalmente seus intervalos( esses mais difícil para mim perceber). Obrigado. Sejam as funções reais g e fOg( f composta g) definidas por g(x)=2x-3 e (fOg)(x) = 4x² -6x -1 se x=1 e 4x + 3 se x1 Obtenha a lei que define f. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Malha quadriculada
Muito obrigado ! Concordo que existem muitas respostas, mas sempre há uma mais interessante. Li uma vez um escritor de livros de puzzles dizendo que bom puzzle era aquele que parecia difícil, mas a resposta era bem simples. - Original Message - From: Rogerio Ponce To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, July 29, 2007 3:49 PM Subject: Re: [obm-l] Malha quadriculada Oi Rafael, ha' uma infinidade de criterios que satisfazem ao problema, que , de quebra, fazem com que qualquer resposta possa ser obtida (satisfazendo a todos os pontos da malha, obviamente). Uma sequencia linear com k elementos, por exemplo, sempre pode ser reproduzida com um polinomio do grau k-1 . Se a malha estivesse em Rn , entao um polinomio com n variaveis seria usado. Por isso, muita gente acha esse tipo de questao (qual o proximo numero da sequencia) particularmente burra, pois a rigor qualquer resposta poderia ser dada. Entretanto, o valor que o autor queria que fosse encontrado e' 30 (letra D) , de forma que a soma de uma linha ou coluna sempre valha 90. []'s Rogerio Ponce RAFAEL [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, pessoal ! Observe que os números no interior da malha quadriculada abaixo foram colocados segundo determinado critério. 12 42 36 54? 6 24 18 48 Segundo tal critério, o número que substitui corretamente o ponto de interroga ção está compreendido entre (A) 5 e 10. (B) 10 e 15. (C) 15 e 25. (D) 25 e 35. (E) 35 e 45. Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais.
Re: [obm-l] Função composta, intervalo.
Olá Marcelo, obrigado pela ajuda. Eu consigo achar a resposta corretamente, que neste caso é: f(x)=x^2+3x -1 --4x^2-6x-1 se x=1 f(x)=2x+9 -- para 4x+3 se x1 Só que não entendo como proceder para achar o intervalo para ambos os casos, na resposta do livro ele diz que f é x^2+3x -1 se x=-1 e 2x+9 se x-1. Poderia me explicar a forma para achar esses intervalos para f. Obrigado, Albert. On 7/30/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Albert.. fog(x) = f(g(x)).. assim: f(g(x)) = f(2x-3) = 4x^2-6x-1, se x=1 e 4x+3 se x1.. faca 2x-3 = y.. logo: x = (y+3)/2 agora basta substituir pra obter a f(x).. abracos, Salhab On 7/30/07, Albert Lucas [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal. Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, e que se pudessem explicar como fica f e principalmente seus intervalos( esses mais difícil para mim perceber). Obrigado. Sejam as funções reais g e fOg( f composta g) definidas por g(x)=2x-3 e (fOg)(x) = 4x² -6x -1 se x=1 e 4x + 3 se x1 Obtenha a lei que define f. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Malha quadriculada
Mas, nem todo mundo conhece essa teoria. Então, no leigo espírito da charada tá valendo. valeu pela resposta. Uma pergunta: Como se faz para postar uma questão aqui na lista,pois eu entrei ,mas não sei como fazê-lo: obrgado! Em 29/07/07, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Rafael, ha' uma infinidade de criterios que satisfazem ao problema, que , de quebra, fazem com que qualquer resposta possa ser obtida (satisfazendo a todos os pontos da malha, obviamente). Uma sequencia linear com k elementos, por exemplo, sempre pode ser reproduzida com um polinomio do grau k-1 . Se a malha estivesse em Rn , entao um polinomio com n variaveis seria usado. Por isso, muita gente acha esse tipo de questao (qual o proximo numero da sequencia) particularmente burra, pois a rigor qualquer resposta poderia ser dada. Entretanto, o valor que o autor queria que fosse encontrado e' 30 (letra D) , de forma que a soma de uma linha ou coluna sempre valha 90. []'s Rogerio Ponce *RAFAEL [EMAIL PROTECTED]* escreveu: Olá, pessoal ! Observe que os números no interior da malha quadriculada abaixo foram colocados segundo determinado critério. 12 42 36 54? 6 24 18 48 Segundo tal critério, o número que substitui corretamente o ponto de interroga ção está compreendido entre (A) 5 e 10. (B) 10 e 15. (C) 15 e 25. (D) 25 e 35. (E) 35 e 45. Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba maishttp://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/. -- wowelster
[obm-l] Re: [obm-l] Dominó
Muito obrigado ! - Original Message - From: saulo nilson To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, July 29, 2007 5:34 PM Subject: Re: [obm-l] Dominó a terceira linha e funçao da diminuição do maior numero da pedra de maior valor dos numeradores e denorminadores das fraçoes imediatamente acima. 4/5 =(6-2) /(6-1) 4/0=(5-1)/(5-5) 1/2=(6-3)/(6-0) On 7/28/07, RAFAEL [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, pessoal ! Há 9 pedras de dominó dispostas verticalmente uma ao lado da outra. Conseguem enxergar a lógica ? (2/6) (5/1) (0/3) (1/2) (5/4) (6/6) (4/5) (4/0) (?/?) Resposta: (1/2)
Re: [obm-l] Uma boa de geometria - CALMA !!!
Olá Nehab! Primeiramente gostaria de expressar minha satisfação do problema ter de fato chamado sua atenção e do Rogério Ponce. Já participo da lista(não muito ativamente) há um bom tempo e percebo que assim como eu, vocês gostam muito de geometria. O problema na verdade veio da minha cabeça, mas foi inspirado em um problema proposto na última(ou penúltima) Eureka. Originalmente o problema pedia para mostrar que XYZ estão alinhados se e somente se cosA*cosB*cosC = -3/8. Então pensei em me inspirar nos chineses, que gostavam de resolver teoremas usando áreas, e pensei em zerar a área do triangulo XYZ para chegar na tão esperada relação. Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma expressão que relaciona as áreas corretamente, por outro estou frustrado pois não consigo fazer a última passagem, que certamente exige uma fatoração ou algo do tipo que não estou conseguindo enxergar. A relação que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Note que a relação é válida nos casos mais triviais em que o triangulo é equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, são respectivamente 1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho para ver que a área dá zero). Notem que a relação pedida no problema da Eureka é satisfeita para este triangulo isosceles. Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa relação, segue a idéia abaixo: Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflexões XYZ. Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) - S(XBZ) - S(XYC) S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por construção As áreas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtraídas, dependendo se os ângulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) = bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2. Então a relação passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 - ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2 Agora substituímos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e substituímos também bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido à mesma fórmula de área em função dos lados e do angulo para o triangulo original. Fazendo as devidas substituições acima, simplificamos os senos e ficamos com a relação da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar [sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Quando eu enviei o problema ainda não tinha chegado nesse resultado e achava que chegaria em uma expressão mais fácil de passar para o produto de cossenos. Qualquer ajuda para terminar o problema eu agradeço bastante e certamente darei os devidos créditos quando enviar a solução para a Eureka. Abraços, Douglas Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab[EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, querido Ponce Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as áreas independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei vários caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema. Eu esperava algo do tipo: a razão entre as áreas é o quadrado do produto dos senos dos angulos, ou coisa similar. Embora tendo encontrado várias coisas curiosas sobre o maldito e interessante triângulo, tentando resolver o problema, não encontrei nada simples que merecesse ser publicado. E também confesso que imaginei que alguém mais inspirado conseguisse alguma expressão simples para a resposta.Resta aguardar que quem propôs o problema informe se sabe alguma coisa (aliás hábito pouco praticado em nossa lista é informar a origem dos problemas propostos - e às vezes, a origem é bastante interessante). Eu realmente gosto desta informação pois tenho o hábito (e gosto) de mencionar a origem (e a solução) de qualquer problema que eu proponho, no mínimo para respeitar a história... e o trabalho alheio. Abraços, Nehab At 01:09 29/7/2007, you wrote: Ola' Douglas e colegas da lista, nao existe uma relacao fixa entre as 2 areas. Num triangulo equilatero a relacao vale 1/4 , e num triangulo retangulo ela vale 1/3. E repare que podemos girar um dos lados do triangulo equilatero em torno do seu ponto medio, de forma a transforma-lo, de forma continua, em triangulo retangulo. O efeito disso e' percorrermos todos os valores de 1/4 a 1/3 , por exemplo, mostrando que nao existe uma relacao fixa entre as 2 areas. Obviamente poderiamos querer tentar encontrar alguma relacao envolvendo outra area notavel (como o triangulo de Euler, por exempo) , alem da area dos 2 triangulos originais, mas nao e' o que o problema pede (e nem faria muito sentido ficar testando uma infinidade de combinacoes). Portanto, a relacao entre as areas ABC e XYZ e' ... NENHUMA! []'s Rogerio Ponce Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] escreveu: Seja um triangulo ABC com lados a, b, c. X eh a reflexao de A em relacao a reta que passa por BC Y eh a reflexao de B em
Re: [obm-l] Função composta, intervalo.
Olá Albert, faca igual vc fez com a funcao.. mas agora substitua x nos intervalos.. vai dar exatamente o que vc disse.. :) abracos, Salhab On 7/30/07, Albert Lucas [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Marcelo, obrigado pela ajuda. Eu consigo achar a resposta corretamente, que neste caso é: f(x)=x^2+3x -1 --4x^2-6x-1 se x=1 f(x)=2x+9 -- para 4x+3 se x1 Só que não entendo como proceder para achar o intervalo para ambos os casos, na resposta do livro ele diz que f é x^2+3x -1 se x=-1 e 2x+9 se x-1. Poderia me explicar a forma para achar esses intervalos para f. Obrigado, Albert. On 7/30/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Albert.. fog(x) = f(g(x)).. assim: f(g(x)) = f(2x-3) = 4x^2-6x-1, se x=1 e 4x+3 se x1.. faca 2x-3 = y.. logo: x = (y+3)/2 agora basta substituir pra obter a f(x).. abracos, Salhab On 7/30/07, Albert Lucas [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal. Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, e que se pudessem explicar como fica f e principalmente seus intervalos( esses mais difícil para mim perceber). Obrigado. Sejam as funções reais g e fOg( f composta g) definidas por g(x)=2x-3 e (fOg)(x) = 4x² -6x -1 se x=1 e 4x + 3 se x1 Obtenha a lei que define f. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Função composta, intervalo.
Tudo ok. Obrigado pela ajuda. On 7/30/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Albert, faca igual vc fez com a funcao.. mas agora substitua x nos intervalos.. vai dar exatamente o que vc disse.. :) abracos, Salhab On 7/30/07, Albert Lucas [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Marcelo, obrigado pela ajuda. Eu consigo achar a resposta corretamente, que neste caso é: f(x)=x^2+3x -1 --4x^2-6x-1 se x=1 f(x)=2x+9 -- para 4x+3 se x1 Só que não entendo como proceder para achar o intervalo para ambos os casos, na resposta do livro ele diz que f é x^2+3x -1 se x=-1 e 2x+9 se x-1. Poderia me explicar a forma para achar esses intervalos para f. Obrigado, Albert. On 7/30/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Albert.. fog(x) = f(g(x)).. assim: f(g(x)) = f(2x-3) = 4x^2-6x-1, se x=1 e 4x+3 se x1.. faca 2x-3 = y.. logo: x = (y+3)/2 agora basta substituir pra obter a f(x).. abracos, Salhab On 7/30/07, Albert Lucas [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal. Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, e que se pudessem explicar como fica f e principalmente seus intervalos( esses mais difícil para mim perceber). Obrigado. Sejam as funções reais g e fOg( f composta g) definidas por g(x)=2x-3 e (fOg)(x) = 4x² -6x -1 se x=1 e 4x + 3 se x1 Obtenha a lei que define f. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Qual o sentido de necessariamente nesta questão?
119 anões vivem em uma aldeia com 120 pequenas casas. Uma casa é dita super-habitada se 15 anões ou mais vivem lá. Todo dia, os anões de uma casa super-habitada têm uma discussão e se mudam para outras (distintas) casas da aldeia. Algum dia, necessariamente, esse processo se encerrará? -- wowelster
Re: [obm-l] Uma boa de geometria - CALMA !!!
Oi, Douglas, Muito legais suas idéias e sua solução. Eu passei perto de sua expressão mas aqui vai uma modesta colaboração para você fechar SUA bonita solução do jeito que você queria... (é só um treinozinho nas nojentas expressões trigonométricas vestibulinas...): Façamos X = (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 Dai, como cos2x = 2(cosx)^2 -1, vem X = (1 + cos2A)/2 + (1+cos2B)/2 + (cosC)^2 X = 1 + [cos(2A) +cos(2B) ]/2 + (cosC)^2 Mas cos(2A) + cos(2B) = 2cos(A+B)cos(A-B) = -2cosC cos(A-B). Substituindo em X: X = 1 - cosC [ cos(A-B) - cosC] = 1 - cosC [ cos(A-B) + cos(A+B) ]. Dai acabou: X= 1 - cosC. [2cosA.cosB] = 1 - 2cosA.cosB.cosC Substituindo este X na expressão que você obteve, você chega na desejada expressão do enunciado que o motivou. 7 - 4 [ (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 ] = 7 - 4 [ 1 - 2cosA.cosB.cosC ] = 3 - 8 cosA.cosB.cosC Um grande abraço, Nehab PS: Nem ouse me incluir na sua linda construção. O mérito é todo seu ! At 22:22 30/7/2007, you wrote: Olá Nehab! Primeiramente gostaria de expressar minha satisfação do problema ter de fato chamado sua atenção e do Rogério Ponce. Já participo da lista(não muito ativamente) há um bom tempo e percebo que assim como eu, vocês gostam muito de geometria. O problema na verdade veio da minha cabeça, mas foi inspirado em um problema proposto na última(ou penúltima) Eureka. Originalmente o problema pedia para mostrar que XYZ estão alinhados se e somente se cosA*cosB*cosC = -3/8. Então pensei em me inspirar nos chineses, que gostavam de resolver teoremas usando áreas, e pensei em zerar a área do triangulo XYZ para chegar na tão esperada relação. Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma expressão que relaciona as áreas corretamente, por outro estou frustrado pois não consigo fazer a última passagem, que certamente exige uma fatoração ou algo do tipo que não estou conseguindo enxergar. A relação que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Note que a relação é válida nos casos mais triviais em que o triangulo é equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, são respectivamente 1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho para ver que a área dá zero). Notem que a relação pedida no problema da Eureka é satisfeita para este triangulo isosceles. Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa relação, segue a idéia abaixo: Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflexões XYZ. Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) - S(XBZ) - S(XYC) S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por construção As áreas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtraídas, dependendo se os ângulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) = bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2. Então a relação passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 - ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2 Agora substituímos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e substituímos também bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido à mesma fórmula de área em função dos lados e do angulo para o triangulo original. Fazendo as devidas substituições acima, simplificamos os senos e ficamos com a relação da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar [sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Quando eu enviei o problema ainda não tinha chegado nesse resultado e achava que chegaria em uma expressão mais fácil de passar para o produto de cossenos. Qualquer ajuda para terminar o problema eu agradeço bastante e certamente darei os devidos créditos quando enviar a solução para a Eureka. Abraços, Douglas Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab[EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, querido Ponce Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as áreas independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei vários caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema. Eu esperava algo do tipo: a razão entre as áreas é o quadrado do produto dos senos dos angulos, ou coisa similar. Embora tendo encontrado várias coisas curiosas sobre o maldito e interessante triângulo, tentando resolver o problema, não encontrei nada simples que merecesse ser publicado. E também confesso que imaginei que alguém mais inspirado conseguisse alguma expressão simples para a resposta.Resta aguardar que quem propôs o problema informe se sabe alguma coisa (aliás hábito pouco praticado em nossa lista é informar a origem dos problemas propostos - e às vezes, a origem é bastante interessante). Eu realmente gosto desta informação pois tenho o hábito (e gosto) de mencionar a origem (e a solução) de qualquer problema que eu proponho, no mínimo para respeitar a história... e o trabalho alheio. Abraços, Nehab At 01:09 29/7/2007, you wrote: Ola' Douglas e colegas da
