[obm-l] Maximize
Problema Sem usar os métodos do Cálculo, qual o valor máximo da função f(x) = sqrt(a-bcos x) + csen x, com a, b, c constantes? Benedito Freire
Re: [obm-l] Integral
Referente a integral I = dx/(x^2 + 2)^2, consegui achar a seguinte solução: 1) tg^2(t) + 1 = sec^2(t) 2) x = sqrt(2)*tg(t) De 2 temos que : dx = sqrt(2)* sec^2(t) dt Substituindo: I = int sqrt(2))* sec^2(t) / (2*tg^2(t) + 2)^2 dt I = int sqrt(2))* sec^2(t) / (2*(tg^2 + 1))^2 dt Substituindo 1 na integral temos, I = int sqrt(2))* sec^2(t) / (2*(sec^2(t)))^2 dt I = int sqrt(2) / 4*sec^2(t) dt I = int (sqrt(2) /4)* cos^2(t) dt I = (sqrt(2)/ 4)* (t/2 + sen(2t)/4) + C I = sqrt(2)*t / 8 + sqrt(2) sen(2t) + C 3) t = arctg (x/sqrt(2)) 4) sen(2t) = 2*sqrt(2)*x / (x^2 + 2)^2 Substituindo em I, temos: I = sqrt(2)* (arctg (x/sqrt(2)) / 8) + sqrt(2) (2*sqrt(2)*x / (x^2 + 2)^2) + C Arrumando: I = (x/4(x^2 + 2)^2) + 1/(4*sqrt(2)) * arctg (x/(sqrt(2)) + C, sendo C a constante... Desde modo consigo resolver a Integral, porém eu não entendo a parte inicial da resolução que coloca que : 2) x = sqrt(2)*tg(t) Se eu entender isto, resolvo o resto... Se alguém conseguir me explicar, ficarei eternamente grata... Muito obrigada... (E *LEANDRO L RECOVA, *eu derivei a sua resolução da integral e vi que ela não voltava a integral original, portanto acho que está errada. Por favor, comunique-se se eu estiver errada. Muito Obrigada) Em 12/10/07, João Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu: Vivian, sqrt é raiz quadrada. é do inglês square root. - Original Message - *From:* Vivian Heinrichs [EMAIL PROTECTED] *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Friday, October 12, 2007 9:28 PM *Subject:* Re: [obm-l] Integral Desculpe minha ignorância, mas o que é sqrt? Em um livro vi que a resposta da Integral I = dx/(x^2 + 2)^2 é igual a (x/4(x^2 + 2)) + 1/(4*2^1/2) * arctg (x/(2*1/2)) + C, sendo C a constante... Não cosigo chegar a esta resposta... e por minha ignorância não cosegui entender a resolução proposta... Se alguém coseguir me ajudar, agradeço... Muito Obrigada. Em 12/10/07, LEANDRO L RECOVA [EMAIL PROTECTED] escreveu: Voce pode usar a seguinte substituicao trigonometrica: (1) sin(t)=sqrt(2)/(x^2+2) (2) x=sqrt(2).cotg(t) Entao, de (2) temos: dx=-sqrt(2)cosec^2(t) Substituindo na integral temos, I = int [ -sqrt(2)*csc^2(t)/(2/sin^2(t)]dt I = int [-sqrt(2)/2]dt I = [-sqrt(2)/2]*t + C, C e uma constante de integracao. Substituindo (1) nessa equacao temos I = [-sqrt(2)/2]*arcsin(2/(x^2+2)) + C Saudacoes rubro-negras, Leandro Los Angeles, CA. From: Vivian Heinrichs [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Integral Date: Fri, 12 Oct 2007 13:30:33 -0300 Olá pessoal... Gostaria de saber se alguém sabe resolver a Integral : I = dx/(x^2 + 2)^2 , sendo que I é a Integral. Obrigada. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[no subject]
Oi, amigos. Me ajudem, por favor. Dois trabalhadores realizam juntos um serviço em 10 dias. Se um deles sozinho realiza a mesma tarefa em 15 dias, em quantos dias o outro seria capaz de realizar a mesma tarefa? Obrigado pela atenção. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] Questão de concurso
Oi, amigos. Me ajudem, por favor. Dois trabalhadores realizam juntos um serviço em 10 dias. Se um deles sozinho realiza a mesma tarefa em 15 dias, em quantos dias o outro seria capaz de realizar a mesma tarefa? Obrigado pela atenção Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
RE: [obm-l] Maximize
vamos lá! bom, é sabido que cos(x) e sen(x) estão no intervalo [-1,1] ; devemos ter no radical o maior valor possível (positivo). se a, b e c são positivos devemos tomar cos(x) = -1 e sen(x)=1 e a função está maximizada: f(x) = sqrt(a+b+c) agora pense nos demais casos, pois a, b e c podem não ser todos positivos. Anselmo ;-) From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Maximize Date: Sat, 13 Oct 2007 06:47:55 -0300 Problema Sem usar os métodos do Cálculo, qual o valor máximo da função f(x) = sqrt(a-bcos x) + csen x, com a, b, c constantes? Benedito Freire _ Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trânsito com o Live Search Maps! http://www.livemaps.com.br/index.aspx?tr=true
Re: [obm-l] Questão de concurso
se ele trabalha 10 dias em uma tarefa que completaria em 15, então ele faz 10/15 = 2/3 da tarefa. O outro faz 1/3 da tarefa, em 10 dias. Então ele precisaria de 30 dias para concluí-la sozinho. On 10/13/07, Alexandre Bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, amigos. Me ajudem, por favor. Dois trabalhadores realizam juntos um serviço em 10 dias. Se um deles sozinho realiza a mesma tarefa em 15 dias, em quantos dias o outro seria capaz de realizar a mesma tarefa? Obrigado pela atenção Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] Re:
se ele trabalha 10 dias em uma tarefa que completaria em 15, então ele faz 10/15 = 2/3 da tarefa. O outro faz 1/3 da tarefa, em 10 dias. Então ele precisaria de 30 dias para concluí-la sozinho. On 10/13/07, Alexandre Bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, amigos. Me ajudem, por favor. Dois trabalhadores realizam juntos um serviço em 10 dias. Se um deles sozinho realiza a mesma tarefa em 15 dias, em quantos dias o outro seria capaz de realizar a mesma tarefa? Obrigado pela atenção. Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
RE: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!)
Sauda¸c~oes,
Na revista Mathematics Magazine June 2007 p. 225 deparei-me com a identidade
\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} = =
\delta_{n,0} . Ela aparece como corolàrio de uma longa exposiç~ao.
Tentando provà-la, seja
S_n := \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} .
Uma das idéias é fazer S_n = [x^n] F(x) (coeficiente de x^n em F(x)),
onde F(x) é dada por
F(x) = \sum_{k\geq 0} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1}
Fazendo k=0,1,2,3,4 vem:
S_n = [x^n] {1 -14x^4 + 28x^5 - 20x^6 + 5x^7 + 14x^4(1-x)^5 +
\sum_{k\geq 5} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1} }
Assim, S_0=1 e S_1=S_2=S_3=S_4=0.
Falta provar que [x^n] F(x) = 0 para n\geq 5.
Dà pra fazer isso?
[]'s,
Luis
_
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Re: [obm-l] Maximize
Bruno, Voc tem razo. O Carlos Gomes me mandou uma soluo usando tringulos e eu o incentivei a post-la. Aguardemos... Abraos, Nehab Bruno Frana dos Reis escreveu: Anselmo, desculpe, nao consegui acompanhar seu raciocinio. Se eu entendi o que vc fez, vc tomou senx = -1 e cosx = 1... acontece que nao existe nenhum x tal que sen x = -1 e cos x = -1. Alem disso, se existisse, vc ficaria com sqrt(a + b) + c, e vc nao pode passar o c para dentro da raiz! Esse exercicio esta me parecendo ter uma solucao usando triangulos... o problema que nao foi imposta nenhuma restricao em A, B e C de forma que formem um triangulo. Abrao Bruno 2007/10/13, Anselmo Sousa [EMAIL PROTECTED]: vamos l! bom, sabido que cos(x) e sen(x) esto no intervalo [-1,1] ; devemos ter no radical o maior valor possvel (positivo). se a, b e c so positivos devemos tomar cos(x) = -1 e sen(x)=1 e a funo est maximizada: f(x) = sqrt(a+b+c) agora pense nos demais casos, pois a, b e c podem no ser todos positivos. Anselmo ;-) From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Maximize Date: Sat, 13 Oct 2007 06:47:55 -0300 Problema Sem usar os mtodos do Clculo, qual o valor mximo da funo f(x) = sqrt(a-bcos x) + csen x, com a, b, c constantes? Benedito Freire Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trnsito com o Live Search Maps! Experimente j! -- Bruno FRANA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] identidade binomial Mathematics Magazine June 2007 p. 225
Sauda¸c~oes,
Caro Ivan,
Você tem toda raz~ao. Eu fiz reply na ùltima mensagem guardada na caixa das
mensagens da lista e simplesmente esqueci de editar o assunto. Esquecimento
bobo mas que compromete o bom funcionamento da lista. Aliàs gostaria de pedir
ao Nicolau para retirar a mensagem com o assunto errado dos arquivos e deixar
somente esta. []'s
Luis
From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: RE: [obm-l] Sequência e Indução
(Urgente!!!)Date: Sat, 13 Oct 2007 23:40:35 +
Sauda¸c~oes, Na revista Mathematics Magazine June 2007 p. 225 deparei-me com a
identidade \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k}
\frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} = = \delta_{n,0} . Ela aparece como corolàrio
de uma longa exposiç~ao. Tentando provà-la, seja S_n := \sum_{k=0}^n (-1)^k
\binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} . Uma das idéias é fazer
S_n = [x^n] F(x) (coeficiente de x^n em F(x)), onde F(x) é dada por F(x) =
\sum_{k\geq 0} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1} Fazendo k=0,1,2,3,4
vem: S_n = [x^n] {1 -14x^4 + 28x^5 - 20x^6 + 5x^7 + 14x^4(1-x)^5 +
\sum_{k\geq 5} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1} } Assim, S_0=1 e
S_1=S_2=S_3=S_4=0. Falta provar que [x^n] F(x) = 0 para n\geq 5. Dà pra fazer
isso? []'s, Luis
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Re: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!)
vê se é esse o problema
http://s178.photobucket.com/albums/w268/rodrigo_renji/?action=viewcurrent=lista.jpg
coloquei em imagem para ficar mais fácil de entender, eu queria saber o que é o
\delta_{n,0} , será que não da para provar usando alguma propriedade
de potência fatorial (factorial power)?
Rodrigo
Em 13/10/07, Luís Lopes[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Sauda¸c~oes,
Na revista Mathematics Magazine June 2007 p. 225
deparei-me com a identidade
\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k}
\frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} =
= \delta_{n,0} .
Ela aparece como corolàrio de uma longa exposiç~ao.
Tentando provà-la, seja
S_n := \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k}
\frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} .
Uma das idéias é fazer S_n = [x^n] F(x) (coeficiente de x^n em F(x)),
onde F(x) é dada por
F(x) = \sum_{k\geq 0} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k
(1-x)^{k+1}
Fazendo k=0,1,2,3,4 vem:
S_n = [x^n] {1 -14x^4 + 28x^5 - 20x^6 + 5x^7 + 14x^4(1-x)^5 +
\sum_{k\geq 5} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1}
}
Assim, S_0=1 e S_1=S_2=S_3=S_4=0.
Falta provar que [x^n] F(x) = 0 para n\geq 5.
Dà pra fazer isso?
[]'s,
Luis
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=
Re: [obm-l] Integral
Olá Vivian, Não sei exatamente o que você não entendeu sobre a parte 2, onde a solução que você tem faz x = sqrt(2)*tg(t), mas vamos lá.. Em primeiro lugar, a equação: 2) x = sqrt(2)*tg(t) deve ser entendida como uma aplicação do Teorema de Mudança de Variáveis; o que você está fazendo é pensar em x como uma função de t, efetivamente, porque espera-se que isto de alguma forma simplifique a integral. Bom.. existem critérios pra fazer isto. Entre eles, que a sua nova função, agora em t, que você irá substituir, seja ela própria diferenciável, em t, e a sua derivada seja contínua. Você pode verificar que de fato sqrt(2)*tg(t) é diferenciável, e a derivada, sqrt(2)*sec^2(t), é contínua. O uso das fórmulas: x = sqrt(2)*tg(t), dx = sqrt(2)*sec^2(t) dt é mais como uma maneira poética de lembrar do Teorema do que uma igualdade propriamente falando, apesar de que dá pra tornar estas igualdades precisas. Agora, o uso dessa substituição em particular talvez tenha parecido um tanto quanto mágico. É porque integração num certo sentido é mesmo como uma arte, não uma ciência. A gente precisa praticar um monte até adquirir um certo bom senso sobre qual substituição usar em cada caso.. Abraço, - Leandro. PS.: Desculpe se não era nada disso que você não tinha entendido, e eu estiver só chovendo no molhado... heheheh..
[obm-l] identidade binomial [era: RE: [obm-l] Sequência e Indu ção (Urgente!!!)]
Sauda¸c~oes,
Oi Rodrigo,
coloquei em imagem para ficar mais fácil de entender
Isso mesmo. Gostei de ver a imagem. Legal.
eu queria saber o que é o \delta_{n,0}
\delta_{n,0}=1 para n=0 e 0 para n\not= 0.
Dando valores para n na identidade você
entende melhor.
será que não da para provar usando alguma propriedade de potência fatorial
(factorial power)?Pode ser que sim (teoria das séries hipergeométricas).
Antes recomendo a leitura do livro A=B de Zeilberger e
outros.
[]'s
Luis
Date: Sat, 13 Oct 2007 23:13:56 -0300 From: [EMAIL PROTECTED] To:
obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!)
vê se é esse o problema
http://s178.photobucket.com/albums/w268/rodrigo_renji/?action=viewcurrent=lista.jpg
coloquei em imagem para ficar mais fácil de entender, eu queria saber o
que é o \delta_{n,0} , será que não da para provar usando alguma
propriedade de potência fatorial (factorial power)? Rodrigo Em 13/10/07,
Luís Lopes[EMAIL PROTECTED] escreveu: Sauda¸c~oes, Na revista
Mathematics Magazine June 2007 p. 225 deparei-me com a identidade
\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} =
= \delta_{n,0} . Ela aparece como corolàrio de uma longa exposiç~ao.
Tentando provà-la, seja S_n := \sum_{k=0}^n (-1)^k
\binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} . Uma das idéias
é fazer S_n = [x^n] F(x) (coeficiente de x^n em F(x)), onde F(x) é dada
por F(x) = \sum_{k\geq 0} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k
(1-x)^{k+1}Fazendo k=0,1,2,3,4 vem: S_n = [x^n] {1 -14x^4 +
28x^5 - 20x^6 + 5x^7 + 14x^4(1-x)^5 + \sum_{k\geq 5}
\frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1} } Assim, S_0=1 e
S_1=S_2=S_3=S_4=0. Falta provar que [x^n] F(x) = 0 para n\geq 5. Dà
pra fazer isso? []'s, Luis
_
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