[obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área do triângulo

[João Maldonado]

Realmente a solução é o triângulo 3,4,5, que em área 6
Se A = raiz((a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16), temos que

todos os números são pares OU 2 números são ímparesO triângulo não é equilátero 
já que a A de um triêngulo equilátero é l²raiz(3)/4O triângulo não é isósceles 
já que a área de um triângulo isósceles de base a e lados b é a.h/2, sendo que 
h é um cateto do triângulo retângulo h, a/2, b e b é inteiro, logo o menor 
valor para h é 3 ou 4, cuja área excede 6Nenhum lado vale 1, já que em 1,x,y, 
y>=x+1Nenhum lado vale 2, já que em 2,x,y, y>=x+2 (já que se y=x+1, temos 
somente 1 número ímpar)Logo o menor valor de a,b,c é 3,4,5
[]'sJoão
From: bousk...@msn.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área do 
triângulo
Date: Thu, 31 Mar 2011 18:13:33 -0300



Amigos, Parece-me óbvio que a solução seja o conhecidíssimo triângulo retângulo 
3, 4 e 5. Albert bouskelabousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br 
[mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Hugo Fernando Marques Fernandes
Enviada em: 31 de março de 2011 15:59
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área do triângulo Têm 
razão... isso que dá confiar na memória...
Desculpem o furo.

Hugo.Em 31 de março de 2011 14:36, Gabriel Dalalio  
escreveu:Infelizmente você já começou errado, a fórmula de Heron é A = sqrt(
p(p-a)(p-b)(p-c) ), e ai ja era né

Em 31 de março de 2011 14:21, Hugo Fernando Marques Fernandes
 escreveu:> Bem...
>
> Pela fórmula de Heron, temos A = p(p-a)(p-b)(p-c), onde a,b,c são os lados
> do triângulo e p = (a+b+c)/2 (semi-perímetro).
> Além disso, como a,b,c formam um triângulo, então, supondo a o maior lado,
> temos: a
> Vamos escolher b e c, e ver quais são as possibilidades para a, baseado em
> (I) e no fato de que a é inteiro positivo:
> se b=c=1, b+c=2, nenhuma possibilidade para a, então não existe o triângulo
> se b=1 e c=2, b+c=3, nenhuma possibilidade para a, então não existe o
> triângulo
> se b=2 e c=2, b+c=4, única opção para a é 3, mas então 2p=7 e p=7/2, donde a
> área não é inteira, pela fórmula de Heron.
> se b=2 e c=3, b+c=5, as opções para a são 3 e 4
> tomando a menor, a=3 e daí 2p=8, p=4 e Área (mínima) = 4x1x1x2=8
>
> Acho que é isso.
>
> Abraços.
>
> Hugo.
>
> Em 31 de março de 2011 13:34, Vitor Alves 
> escreveu:
>>
>> Um triângulo tem que seus lados e sua área são números inteiros
>> positivos.Qual é o menor valor para a área?
>=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=   
  

[obm-l] Re: [obm-l] Área do tr iângulo

[Julio César Saldaña]

Sejam, a, b e c os lados do triángulo, então o quadrado da area pode ser
expressa assim:

Quadrado da area = p(p-a)(p-b)(p-c), onde p é o semi-perímetro =(a+b+c)/2

ou seja que aquele produto deve ser o quadrado de um número inteiro positivo.

seja S=a+b+c o perímetro, então o quadrado da área é

Quadrado da area = (S/2)(S/2 -a)(S/2 - b)(S/2 -c)

então:

16 . quadrado da area = S(S-2a)(S-2b)(S-2c)


Se S fosse ímpar, então o lado direito da igualdade seria ímpar, o qual é
incorreto pois do lado esquerdo temos um par.

então S deve ser par, ou seaj p=S/2 é um inteiro.

Voltando ao quadrado da area:

Quadrado da area = p(p-a)(p-b)(p-c)

O primeiro fator (p) é a soma dos otros tres p = (p-a) + (p-b) + (p-c)

então temos o problema de encontrar tres número inteiros que multiplicados por a
soma deles o resultado é o quadrado de outro inteiro. Os mínimos números
inteiros que cumprem isso são 1, 2 e 3, pois a soma é 6 e 1.2.3.6 = 36 (quadrado
de um inteiro).

então 


p-a=1
p-b=2
p-c=3

Resolvendo a=5, b=4, c=3







Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Thu, 31 Mar 2011 19:34:01 +0300
Asunto : [obm-l] Área do tr iângulo


   Um triângulo tem que seus lados e sua área são números inteiros
positivos.Qual é o menor valor para a área? 		 	   		   


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=

[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área do triângulo

[Albert Bouskela]

Amigos,

 

Parece-me óbvio que a solução seja o conhecidíssimo triângulo retângulo 3, 4
e 5.

 

Albert Bouskela

  bousk...@msn.com

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Hugo Fernando Marques Fernandes
Enviada em: 31 de março de 2011 15:59
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área do triângulo

 

Têm razão... isso que dá confiar na memória...
Desculpem o furo.

Hugo.

Em 31 de março de 2011 14:36, Gabriel Dalalio 
escreveu:

Infelizmente você já começou errado, a fórmula de Heron é A = sqrt(
p(p-a)(p-b)(p-c) ), e ai ja era né

Em 31 de março de 2011 14:21, Hugo Fernando Marques Fernandes
 escreveu:

> Bem...
>
> Pela fórmula de Heron, temos A = p(p-a)(p-b)(p-c), onde a,b,c são os lados
> do triângulo e p = (a+b+c)/2 (semi-perímetro).
> Além disso, como a,b,c formam um triângulo, então, supondo a o maior lado,
> temos: a
> Vamos escolher b e c, e ver quais são as possibilidades para a, baseado em
> (I) e no fato de que a é inteiro positivo:
> se b=c=1, b+c=2, nenhuma possibilidade para a, então não existe o
triângulo
> se b=1 e c=2, b+c=3, nenhuma possibilidade para a, então não existe o
> triângulo
> se b=2 e c=2, b+c=4, única opção para a é 3, mas então 2p=7 e p=7/2, donde
a
> área não é inteira, pela fórmula de Heron.
> se b=2 e c=3, b+c=5, as opções para a são 3 e 4
> tomando a menor, a=3 e daí 2p=8, p=4 e Área (mínima) = 4x1x1x2=8
>
> Acho que é isso.
>
> Abraços.
>
> Hugo.
>
> Em 31 de março de 2011 13:34, Vitor Alves 
> escreveu:
>>
>> Um triângulo tem que seus lados e sua área são números inteiros
>> positivos.Qual é o menor valor para a área?
>

=
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=

 

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área do triângulo

[Hugo Fernando Marques Fernandes]

Têm razão... isso que dá confiar na memória...
Desculpem o furo.

Hugo.

Em 31 de março de 2011 14:36, Gabriel Dalalio
escreveu:

> Infelizmente você já começou errado, a fórmula de Heron é A = sqrt(
> p(p-a)(p-b)(p-c) ), e ai ja era né
>
> Em 31 de março de 2011 14:21, Hugo Fernando Marques Fernandes
>  escreveu:
> > Bem...
> >
> > Pela fórmula de Heron, temos A = p(p-a)(p-b)(p-c), onde a,b,c são os
> lados
> > do triângulo e p = (a+b+c)/2 (semi-perímetro).
> > Além disso, como a,b,c formam um triângulo, então, supondo a o maior
> lado,
> > temos: a >
> > Vamos escolher b e c, e ver quais são as possibilidades para a, baseado
> em
> > (I) e no fato de que a é inteiro positivo:
> > se b=c=1, b+c=2, nenhuma possibilidade para a, então não existe o
> triângulo
> > se b=1 e c=2, b+c=3, nenhuma possibilidade para a, então não existe o
> > triângulo
> > se b=2 e c=2, b+c=4, única opção para a é 3, mas então 2p=7 e p=7/2,
> donde a
> > área não é inteira, pela fórmula de Heron.
> > se b=2 e c=3, b+c=5, as opções para a são 3 e 4
> > tomando a menor, a=3 e daí 2p=8, p=4 e Área (mínima) = 4x1x1x2=8
> >
> > Acho que é isso.
> >
> > Abraços.
> >
> > Hugo.
> >
> > Em 31 de março de 2011 13:34, Vitor Alves 
> > escreveu:
> >>
> >> Um triângulo tem que seus lados e sua área são números inteiros
> >> positivos.Qual é o menor valor para a área?
> >
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área do triângulo

[Gabriel Dalalio]

Infelizmente você já começou errado, a fórmula de Heron é A = sqrt(
p(p-a)(p-b)(p-c) ), e ai ja era né

Em 31 de março de 2011 14:21, Hugo Fernando Marques Fernandes
 escreveu:
> Bem...
>
> Pela fórmula de Heron, temos A = p(p-a)(p-b)(p-c), onde a,b,c são os lados
> do triângulo e p = (a+b+c)/2 (semi-perímetro).
> Além disso, como a,b,c formam um triângulo, então, supondo a o maior lado,
> temos: a
> Vamos escolher b e c, e ver quais são as possibilidades para a, baseado em
> (I) e no fato de que a é inteiro positivo:
> se b=c=1, b+c=2, nenhuma possibilidade para a, então não existe o triângulo
> se b=1 e c=2, b+c=3, nenhuma possibilidade para a, então não existe o
> triângulo
> se b=2 e c=2, b+c=4, única opção para a é 3, mas então 2p=7 e p=7/2, donde a
> área não é inteira, pela fórmula de Heron.
> se b=2 e c=3, b+c=5, as opções para a são 3 e 4
> tomando a menor, a=3 e daí 2p=8, p=4 e Área (mínima) = 4x1x1x2=8
>
> Acho que é isso.
>
> Abraços.
>
> Hugo.
>
> Em 31 de março de 2011 13:34, Vitor Alves 
> escreveu:
>>
>>     Um triângulo tem que seus lados e sua área são números inteiros
>> positivos.Qual é o menor valor para a área?
>

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=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área do triângulo

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2011/3/31 Hugo Fernando Marques Fernandes :
> Bem...
>
> Pela fórmula de Heron, temos A = p(p-a)(p-b)(p-c), onde a,b,c são os lados
> do triângulo e p = (a+b+c)/2 (semi-perímetro).
Tá faltando uma raiz quadrada, senão você dobra os lados e multiplica
por 16 a área...

Eu voto por um triângulo bem conhecido, mas eu posso estar enganado...

> Além disso, como a,b,c formam um triângulo, então, supondo a o maior lado,
> temos: a
> Vamos escolher b e c, e ver quais são as possibilidades para a, baseado em
> (I) e no fato de que a é inteiro positivo:
> se b=c=1, b+c=2, nenhuma possibilidade para a, então não existe o triângulo
> se b=1 e c=2, b+c=3, nenhuma possibilidade para a, então não existe o
> triângulo
> se b=2 e c=2, b+c=4, única opção para a é 3, mas então 2p=7 e p=7/2, donde a
> área não é inteira, pela fórmula de Heron.
> se b=2 e c=3, b+c=5, as opções para a são 3 e 4
> tomando a menor, a=3 e daí 2p=8, p=4 e Área (mínima) = 4x1x1x2=8
>
> Acho que é isso.
>
> Abraços.
>
> Hugo.
>
> Em 31 de março de 2011 13:34, Vitor Alves 
> escreveu:
>>
>>     Um triângulo tem que seus lados e sua área são números inteiros
>> positivos.Qual é o menor valor para a área?
>



-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
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=

[obm-l] Re: [obm-l] Área do triângulo

[Hugo Fernando Marques Fernandes]

Bem...

Pela fórmula de Heron, temos A = p(p-a)(p-b)(p-c), onde a,b,c são os lados
do triângulo e p = (a+b+c)/2 (semi-perímetro).
Além disso, como a,b,c formam um triângulo, então, supondo a o maior lado,
temos: aescreveu:

>  Um triângulo tem que seus lados e sua área são números inteiros
> positivos.Qual é o menor valor para a área?
>

[obm-l] Re: [obm-l] Urna Probabilidade

[Julio César Saldaña]

Não sei se é a solução mais elegante, mas..

O evento desejado pode ser representado como a união dos seguintes eventos
disjuntos:

A = A primeira bola foi branca
B = As duas primeiras foram pretas e a terceira foi branca
C = As quatro primeiras foram pretas e a quinta foi branca.

Então a probabilidade pedida é P(A)+P(B)+P(C)

P(A) = 2/6 = 1/3
P(B) = (4/6)(3/5)(2/4)=1/5
P(C) = (4/6)(3/5)(2/4)(1/3)(1) = 1/15


Somando (1/3) + (1/5) + (1/15) = 3/5

Me avisem se fiz errado

Obrigado

Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Wed, 30 Mar 2011 21:10:53 +0300
Asunto : [obm-l] Urna Probabilidade


Prezados.
Em uma urna, são colocadas 2 bolas brancas e 4 pretas.Alberto e Beatriz retiram

bolas da urna alternadamente, iniciando-se com Alberto, até que a urna esteja
vazia. A probabilidade de que a primeira bola branca saia para Alberto é

(A) 1/2
(B) 3/5
(C) 5/9
(D) 7/12
(E) 8/15
Grato.
Marcos. 		 	   		   


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[obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol

[Julio César Saldaña]

Favor analisar esta solução:

Para saber qual é o mínimo número de pontos necessário para ficar nos quatro
primeiros, investiguemos qual é o máximo número de pontos que pode ter o quinto
colocado.

Para chegar nessa situação, suponhamos que os 5 primeiros colocados ganharam
todos os jogos contra os outros 7. Então tem pelo menos 21 pontos cada.

Faltam distribuir os pontos disputados no 10 jogos que esse 5 jogaram entre
eles. O máximo número de pontos a ser distribuídos é 3x10 = 30, assim, o máximo
número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso que todos os 5
ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6. Isto corresponde a cada um ter ganho
2 jogos dos 10 disputados, o qual é perfeitamente possível.

Nesse caso os cinco primeiros colocados tem 21+6=27. Ou seja ter 27 pontos, não
garante ficar nos 4 primeiros (pode ficar quinto), e além de mais o máximo
número de pontos do quinto colocado é 27. Portanto o mínimo número de pontos que
garantem ficar nos 4 primeiros é 28.

Rpta: 28

Me avisem se tem algo errado o falta justificar algum passo com maior rigor.

Obrigado




Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Wed, 30 Mar 2011 22:17:44 +
Asunto : [obm-l] Problema de futebol


Caríssimos colegas,


Gostaria de obter, se possível for, uma resolução da questão abaixo:

QUESTÃO:

Um torneio de futebol é disputado por 12 times.Na primeira fase,cada time

enfrenta os demais uma única vez e obtém 1 ponto quando empata e 3 pontos quando
vence. A segunda fase do torneio será disputada somente pelos 4 times que
obtiverem mais pontos na primeira fase — havendo necessidade, será adotado algum
critério de desempate (saldo de gols, por exemplo) para definir quais serão
esses 4 times.

Qual é o número mínimo de pontos que garante a um time sua classificação para a

segunda fase, independentemente do critério de desempate que seja adotado?


Abraços!
Paulo Argolo 		 	   		  
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