[obm-l] função de classe Cr
Seja xo um ponto de Rn.Seja U uma viz aberta de xo. Seja g uma função definida nessa viz. g:U - R. Suponha g de classe Cr. Seja agora uma função f:Rn - R também de classe Cr. Suponha que o suporte da f esteja contido em U.Onde o suporte de uma função é o fecho do conjunto de pontos tais que f diferente de 0. Assim a função h(x) = f(x)g(x) para xpertencente a U 0 para x não pertencente ao suporte de f mostrar que h é bem definida. Isto é fácil pois o suporte de f está contido em U assim todos os pontos estão bem definidos. Agora pede-se para mostrar que h é de classe Cr. isto é simples? primeiro pensei em usar a derivada do produto de funções de classes Cr e concluir. Mas isto não parace correto, pois tenho de analisar os casos em que x n pertence ao suporte e quando pertence. e mostrar que oslimites são iguais. Alguém tem alguma ideia que possa dar uma ajuda?Desde já agradeço.
[obm-l] Re: [obm-l] função de classe Cr
Voce pode fazer separadamente os casos x pertence ao interior do suporte de f, x pertence ao interior do complemento do suporte de f e x pertence a fronteira do suporte de f. Os dois primeiros casos sao faceis, pq a funcao e produto de duas funcoes Cr com valores bem definidos. O unico caso que poderia ter dificuldade e na fronteira do suporte de f, mas como f e de classe Cr, suas derivadas vao convergir para 0, o que resolve o problema. Note que alguns desses casos pode ser vazio, no caso que o conjunto correspondente o for. Nivan 2011/4/12 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com Seja xo um ponto de Rn. Seja U uma viz aberta de xo. Seja g uma função definida nessa viz. g:U - R. Suponha g de classe Cr. Seja agora uma função f:Rn - R também de classe Cr. Suponha que o suporte da f esteja contido em U. Onde o suporte de uma função é o fecho do conjunto de pontos tais que f diferente de 0. Assim a função h(x) = f(x)g(x) para xpertencente a U 0 para x não pertencente ao suporte de f mostrar que h é bem definida. Isto é fácil pois o suporte de f está contido em U assim todos os pontos estão bem definidos. Agora pede-se para mostrar que h é de classe Cr. isto é simples? primeiro pensei em usar a derivada do produto de funções de classes Cr e concluir. Mas isto não parace correto, pois tenho de analisar os casos em que x n pertence ao suporte e quando pertence. e mostrar que oslimites são iguais. Alguém tem alguma ideia que possa dar uma ajuda? Desde já agradeço.
[obm-l] Re: [obm-l] função de classe Cr
Oi Samuel, 2011/4/12 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com: Seja xo um ponto de Rn. Seja U uma viz aberta de xo. Seja g uma função definida nessa viz. g:U - R. Suponha g de classe Cr. Seja agora uma função f:Rn - R também de classe Cr. Suponha que o suporte da f esteja contido em U. Onde o suporte de uma função é o fecho do conjunto de pontos tais que f diferente de 0. Assim a função h(x) = f(x)g(x) para xpertencente a U 0 para x não pertencente ao suporte de f mostrar que h é bem definida. Isto é fácil pois o suporte de f está contido em U assim todos os pontos estão bem definidos. Enfim, sendo um pouco mais verborrágico: para x que seja ao mesmo tempo pertencente a U e não pertencente ao suporte de f, tanto faz você usar a definição de h(x) como produto de f por g, como a de zero, porque f(x) = 0. É sempre bom você explicitar o que poderia não ter coincidido das definições, quando alguém pede para você verificar que está bem definido. Eu demorei um pouco para sacar que você tinha dado todos os argumentos necessários, mas tá ok. Agora pede-se para mostrar que h é de classe Cr. isto é simples? primeiro pensei em usar a derivada do produto de funções de classes Cr e concluir. Mas isto não parace correto, pois tenho de analisar os casos em que x n pertence ao suporte e quando pertence. e mostrar que oslimites são iguais. Alguém tem alguma ideia que possa dar uma ajuda? Bom, isso tudo parece muito mais complicado do que devia porque você está brincando com funções C^r. Acho que ficaria muito mais fácil se você decompusesse o problema numa indução (ok, tem que escrever direito as hipóteses). Aqui vão umas dicas: Primeira coisa: tente mostrar que a função resultante é contínua, usando apenas e tão somente que f e g são contínuas. Isso deveria dar uma idéia de como você pode continuar. Segundo: mostre que o suporte da derivada de uma função real está contido no suporte da função original. Terceiro: monte a indução e corra pro abraço. Desde já agradeço. Se alguma coisa não ficou clara, pergunte! -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Qual o valor de (-1)^(2/6)?
Caros Colegas, No universo dos números reais, qual é o valor correto da potência (-1)^(2/6)? É 1? Ou é -1? Bem... costumo agir assim: (-1)^(2/6) = (-1)^(1/3) = raiz cúbica de -1 = -1 Procedo assim, pois me parece que a transformação em radical de uma potência com expoente fracionário (e base negativa) só deve ser feita quando o expoente for uma fração irredutível. Meus caros colegas concordam? Abraços! Paulo Argolo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Qual o valor de (-1)^(2/6)?
A resposta é 1. Não adianta só simplificar a fração. Se é um número negativo que está dentro da raiz quadrada tem que ficar atento ao expoente.raiz quadrada de -1 ao quadrado é 1 e não -1. []'sJoão From: argolopa...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Qual o valor de (-1)^(2/6)? Date: Tue, 12 Apr 2011 22:33:14 + Caros Colegas, No universo dos números reais, qual é o valor correto da potência (-1)^(2/6)? É 1? Ou é -1? Bem... costumo agir assim: (-1)^(2/6) = (-1)^(1/3) = raiz cúbica de -1 = -1 Procedo assim, pois me parece que a transformação em radical de uma potência com expoente fracionário (e base negativa) só deve ser feita quando o expoente for uma fração irredutível. Meus caros colegas concordam? Abraços! Paulo Argolo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Qual o valor de (-1)^(2/6)?
E raiz quadrada de (-1)^1/2 então, que poderia (poderia?) ser escrita como (-1)^2/4 = ((-1)^2)^(1/4) = 1 ^ (1/4), como fica? E raiz quadrado de -1 ao quadrado não deveria ser equivalente ao quadrado da raiz quadrada de -1? 2011/4/12 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: A resposta é 1. Não adianta só simplificar a fração. Se é um número negativo que está dentro da raiz quadrada tem que ficar atento ao expoente. raiz quadrada de -1 ao quadrado é 1 e não -1. []'s João From: argolopa...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Qual o valor de (-1)^(2/6)? Date: Tue, 12 Apr 2011 22:33:14 + Caros Colegas, No universo dos números reais, qual é o valor correto da potência (-1)^(2/6)? É 1? Ou é -1? Bem... costumo agir assim: (-1)^(2/6) = (-1)^(1/3) = raiz cúbica de -1 = -1 Procedo assim, pois me parece que a transformação em radical de uma potência com expoente fracionário (e base negativa) só deve ser feita quando o expoente for uma fração irredutível. Meus caros colegas concordam? Abraços! Paulo Argolo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Qual o valor de (-1)^(2/6)?
Acho que a convencao usual eh o que voce disse, respeitando os parenteses: (-1)^(2/6) = (-1)^(1/3) = -1 Agora, ((-1)^2)^(1/6)=(1)^(1/6) = 1 estah correto, mas eh outra coisa. Se alguem reclamar que a^(b/c)=raiz c-esima de a^b, digo que tal igualdade soh eh garantida quando a eh positivo. Isto dito: **por mim**, se a0, a^b soh deveria existir quando b fosse inteiro. Digo isso por alguns motivos: i) Como visto acima, a exponenciacao de numeros negativos perde varias propriedades uteis validas nos positivos, e isto confunde a gente. ii) Alias, o que significa a expressao a^b, especialmente quando b eh irracional? Para mim, a^b deveria ser por definicao exp(b.lna) (note-se que ln e exp podem ser definidas sem falar em expoentes) . Agora, se a=0, nao dah para usar isto direito. iii) Para definir algo razoavel para a^b com a negativo, com as propriedades usuais dos expoentes, a gente acaba tendo que aceitar multiplas respostas complexas na exponenciacao! Por exemplo, se b eh irracional, a gente gostaria de escrever (-1)^b = (e^(2k+1).pi.i)^b = e ^ ((2k+1).b.pi) i, e infelizmente isto assume valores distintos dependendo do k inteiro utilizado! (Eu soh abriria excecoes para a definicao em (ii) quando a=0 e b inteiro porque expressoes do tipo (-1)^n acabam sendo muito uteis... :P) Abraco, Ralph 2011/4/12 Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com: Caros Colegas, No universo dos números reais, qual é o valor correto da potência (-1)^(2/6)? É 1? Ou é -1? Bem... costumo agir assim: Procedo assim, pois me parece que a transformação em radical de uma potência com expoente fracionário (e base negativa) só deve ser feita quando o expoente for uma fração irredutível. Meus caros colegas concordam? Abraços! Paulo Argolo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
