Re: [obm-l] Como provar?
Pra a), considere a maior potência de 2 menor que n, digamos, 2^m, e seja t=mmc(1,2,...,n). Escrevendo essa soma com denominador l, todas as parcelas do numerador, exceto uma (a do 1/2^m) são pares. Assim, o numerador é ímpar e o denominador par, então a soma não pode ser inteira. Pra b), se a soma S=1+1/3+...+1/(2n+1) fosse inteira, 1+1/2+...+1/(2n+2)=1/2(1+1/2+...+1/n)+(1+1/3+...+1/(2n+1)) <=> S=1/2(1+...+1/n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2))= (1/2+1/4+...+1/2n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2)), o que é um absurdo considerando a maior potência de 2 que aparece nos denominadores, novamente. Lucas Colucci 2012/1/19 João Maldonado > > Eu acho que achei uma solução (não tenho certeza se tem alguma falha), > agradeceria se alguém corrigisse qualquer tipo de erro nela > > Seja k o menor natural (maior que 1) para que a soma é inteira > Primeiramente vamos provar que > > LEMA 1) Sendo a/b m/n duas frações irredutíveis não inteiras, sua soma > é racional não inteiro se mdc(b, n) = 1 > > sendo a/b + m/n = P, m/n = P-a/b = (Pb-a)/b = Q/b, se Q fosse inteiro, > mdc (Q, b) seria 1 e b = n, absurdo, logo Q não é inteiro > > Sendo s o maior primo até k, sendo w a quantidade de múltiplos de s pelo > lema acima temos temos > > 1/s (1/1 + 1/2 +...+1/w) é inteiro -> (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/w) > é inteiro, mas w < k, absurdo > > > Se isso estiver certo o caso 2 é análogo > > []'s > João > > -- > From: marconeborge...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Como provar? > Date: Thu, 19 Jan 2012 00:13:53 + > > > Prove q os numeros > > a) 1+ 1/2 + 1/3 + ... 1/n > > b) 1/3 + 1/5 + ...1/(2n+1) > > nao sao inteiros > > Agradeço desde ja >
RE: [obm-l] Como provar?
Eu acho que achei uma solução (não tenho certeza se tem alguma falha), agradeceria se alguém corrigisse qualquer tipo de erro nela Seja k o menor natural (maior que 1) para que a soma é inteiraPrimeiramente vamos provar que LEMA 1) Sendo a/b m/n duas frações irredutíveis não inteiras, sua soma é racional não inteiro se mdc(b, n) = 1 sendo a/b + m/n = P, m/n = P-a/b = (Pb-a)/b = Q/b, se Q fosse inteiro, mdc (Q, b) seria 1 e b = n, absurdo, logo Q não é inteiro Sendo s o maior primo até k, sendo w a quantidade de múltiplos de s pelo lema acima temos temos 1/s (1/1 + 1/2 +...+1/w) é inteiro -> (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/w) é inteiro, mas w < k, absurdo Se isso estiver certo o caso 2 é análogo []'sJoão From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Como provar? Date: Thu, 19 Jan 2012 00:13:53 + Prove q os numeros a) 1+ 1/2 + 1/3 + ... 1/n b) 1/3 + 1/5 + ...1/(2n+1) nao sao inteiros Agradeço desde ja
[obm-l] Re: [obm-l] Binômio de Newton
Pense no triangulo de Pascal modulo 2, isto eh, soh marcando pares (0) e impares (1): 1 11 101 10001 110011 1010101 ... Etc. Ha varios padroes a serem explorados ali, varias repeticoes de triangulos anteriores, que podem ser demonstradas por inducao, por exemplo. Em particular, voce soh pode ter ...1 na linha n se tiver 1001 na linha n+1. Entao voce pode tentar mostrar que 1...0001 ocorre sse na linha n=2^s. Ajuda? Abraco, Ralph 2012/1/18 marcone augusto araújo borges : > Seja n um inteiro positivo.Demonstrar que todos os coeficientes do > desenvolvimento do binomio de Newton (a+b)^n sao impares se,e somente se,n > é da forma 2^s - 1. > Agradeço a quem puder ajudar
[obm-l] Binômio de Newton
Seja n um inteiro positivo.Demonstrar que todos os coeficientes do desenvolvimento do binomio de Newton (a+b)^n sao impares se,e somente se,n é da forma 2^s - 1. Agradeço a quem puder ajudar
[obm-l] Como provar?
Prove q os numeros a) 1+ 1/2 + 1/3 + ... 1/n b) 1/3 + 1/5 + ...1/(2n+1) nao sao inteiros Agradeço desde ja
[obm-l] Soma e produto
Alguem elege dois numeros,nao necessariamente distintos,no conjunto de numeros naturais 2,...,20.O valor da soma destes numeros é dado somente a Adriano(A) e o valor do produto dos numeros é dado unicamente a Karla(K) Pelo telefone A diz a K:´´nao é possivel que descubras minha soma´´ Uma hora mais tarde,K diz a A:´´Ah! sabendo disso,ja sei quanto vale a sua soma´´! Mais tarde A chama outra vez a K e lhe informa:´´Poxa,agora eu tambem conheço o teu produto´´! Quais numeros foram eleitos?
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] somatório
2012/1/18 João Maldonado : > > Faça a, b e c naturais que não são quadrados perfeitos > > Prove que > > sqrt(a) + sqrt(b) = x irracional > sqrt(b) + sqrt(c) = y irracional > sqrt(c) + sqrt(a) = z irracional > > sqrt(a) + sqrt(b) sqrt(c) = (x+y+z)/2 > > Prove que x+y+z é irracional e generalise Só uma coisa: a soma de 3 irracionais (positivos) não é necessariamente irracional... Assim, o argumento que o João propõe é mais complicado do que uma recorrência. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] somatório
Faça a, b e c naturais que não são quadrados perfeitos Prove que sqrt(a) + sqrt(b) = x irracionalsqrt(b) + sqrt(c) = y irracionalsqrt(c) + sqrt(a) = z irracional sqrt(a) + sqrt(b) sqrt(c) = (x+y+z)/2 Prove que x+y+z é irracional e generalise []'sJoão From: felippeba...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] somatório Date: Wed, 18 Jan 2012 16:30:54 -0200 Estou tentando provar um somatório faz um tempo e não estou conseguindo de jeito nenhum, queria a ajuda de vocês. Por favor! provar que somatório de k= 2 até n (sqrt k)é irracional para qualquer n natural >= 2 Eu consegui dar alguns passos mas nada que chegue muito perto. Tentei expandir para serie de Taylor e usar o resto de Lagrange, nada. Tentei outras coisas e cheguei um pouco mais próximo mas novamente fica muito difícil generalizar. Por favor, não postem a solução, apenas fale as ideias que usaram. GratoCoulbert
[obm-l] somatório
Estou tentando provar um somatório faz um tempo e não estou conseguindo de jeito nenhum, queria a ajuda de vocês. Por favor! provar que somatório de k= 2 até n (sqrt k)é irracional para qualquer n natural >= 2 Eu consegui dar alguns passos mas nada que chegue muito perto. Tentei expandir para serie de Taylor e usar o resto de Lagrange, nada. Tentei outras coisas e cheguei um pouco mais próximo mas novamente fica muito difícil generalizar. Por favor, não postem a solução, apenas fale as ideias que usaram. GratoCoulbert
[obm-l] Probabilidade
Se A e B lançam respectivamente n + 1 e n moedas não-viciadas, qual é a probabilidade Pn de que A obtenha mais “caras” do que B? []`sJoao
