RE: [obm-l] Como provar?
Desculpe.Eu não entendi o item b. Date: Thu, 19 Jan 2012 01:31:07 -0200 Subject: Re: [obm-l] Como provar? From: lucas.colucci.so...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Pra a), considere a maior potência de 2 menor que n, digamos, 2^m, e seja t=mmc(1,2,...,n). Escrevendo essa soma com denominador l, todas as parcelas do numerador, exceto uma (a do 1/2^m) são pares. Assim, o numerador é ímpar e o denominador par, então a soma não pode ser inteira. Pra b), se a soma S=1+1/3+...+1/(2n+1) fosse inteira, 1+1/2+...+1/(2n+2)=1/2(1+1/2+...+1/n)+(1+1/3+...+1/(2n+1)) <=> S=1/2(1+...+1/n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2))= (1/2+1/4+...+1/2n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2)), o que é um absurdo considerando a maior potência de 2 que aparece nos denominadores, novamente. Lucas Colucci 2012/1/19 João Maldonado Eu acho que achei uma solução (não tenho certeza se tem alguma falha), agradeceria se alguém corrigisse qualquer tipo de erro nela Seja k o menor natural (maior que 1) para que a soma é inteira Primeiramente vamos provar que LEMA 1) Sendo a/b m/n duas frações irredutíveis não inteiras, sua soma é racional não inteiro se mdc(b, n) = 1 sendo a/b + m/n = P, m/n = P-a/b = (Pb-a)/b = Q/b, se Q fosse inteiro, mdc (Q, b) seria 1 e b = n, absurdo, logo Q não é inteiro Sendo s o maior primo até k, sendo w a quantidade de múltiplos de s pelo lema acima temos temos 1/s (1/1 + 1/2 +...+1/w) é inteiro -> (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/w) é inteiro, mas w < k, absurdo Se isso estiver certo o caso 2 é análogo []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Como provar? Date: Thu, 19 Jan 2012 00:13:53 + Prove q os numeros a) 1+ 1/2 + 1/3 + ... 1/n b) 1/3 + 1/5 + ...1/(2n+1) nao sao inteiros Agradeço desde ja
Re: [obm-l] Como provar?
Hm, nem eu, deve estar errado, sei lá. Em 20 de janeiro de 2012 20:03, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Desculpe.Eu não entendi o item b. > > -- > Date: Thu, 19 Jan 2012 01:31:07 -0200 > Subject: Re: [obm-l] Como provar? > From: lucas.colucci.so...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > Pra a), considere a maior potência de 2 menor que n, digamos, 2^m, e seja > t=mmc(1,2,...,n). Escrevendo essa soma com denominador l, todas as parcelas > do numerador, exceto uma (a do 1/2^m) são pares. Assim, o numerador é ímpar > e o denominador par, então a soma não pode ser inteira. > > Pra b), se a soma S=1+1/3+...+1/(2n+1) fosse inteira, > 1+1/2+...+1/(2n+2)=1/2(1+1/2+...+1/n)+(1+1/3+...+1/(2n+1)) <=> > S=1/2(1+...+1/n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2))= > (1/2+1/4+...+1/2n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2)), o que é um absurdo considerando > a maior potência de 2 que aparece nos denominadores, novamente. > > Lucas Colucci > > 2012/1/19 João Maldonado > > > Eu acho que achei uma solução (não tenho certeza se tem alguma falha), > agradeceria se alguém corrigisse qualquer tipo de erro nela > > Seja k o menor natural (maior que 1) para que a soma é inteira > Primeiramente vamos provar que > > LEMA 1) Sendo a/b m/n duas frações irredutíveis não inteiras, sua soma > é racional não inteiro se mdc(b, n) = 1 > > sendo a/b + m/n = P, m/n = P-a/b = (Pb-a)/b = Q/b, se Q fosse inteiro, > mdc (Q, b) seria 1 e b = n, absurdo, logo Q não é inteiro > > Sendo s o maior primo até k, sendo w a quantidade de múltiplos de s pelo > lema acima temos temos > > 1/s (1/1 + 1/2 +...+1/w) é inteiro -> (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/w) > é inteiro, mas w < k, absurdo > > > Se isso estiver certo o caso 2 é análogo > > []'s > João > > -- > From: marconeborge...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Como provar? > Date: Thu, 19 Jan 2012 00:13:53 + > > > Prove q os numeros > > a) 1+ 1/2 + 1/3 + ... 1/n > > b) 1/3 + 1/5 + ...1/(2n+1) > > nao sao inteiros > > Agradeço desde ja > > >
[obm-l] Função complexa
Boa noite, amigos. Eu tenho uma dúvida. Seja f uma função complexa holomorfa em um conjunto aberto V perfurado em w. Suponhamos que a integral de f ao longo de um círculo contido em V e centro em w não seja nula. Isto implica que f seja da forma f(z) = k/(z - w) para z em V, k uma constante não nula? Obrigado. Artur = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] somatório
Joao, eu nao consegue resolver fazendo isso que voce falo.Posta sua solucao por favor =x GratoCoulbert From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] somatório Date: Wed, 18 Jan 2012 16:55:06 -0200 Faça a, b e c naturais que não são quadrados perfeitos Prove que sqrt(a) + sqrt(b) = x irracionalsqrt(b) + sqrt(c) = y irracionalsqrt(c) + sqrt(a) = z irracional sqrt(a) + sqrt(b) sqrt(c) = (x+y+z)/2 Prove que x+y+z é irracional e generalise []'sJoão From: felippeba...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] somatório Date: Wed, 18 Jan 2012 16:30:54 -0200 Estou tentando provar um somatório faz um tempo e não estou conseguindo de jeito nenhum, queria a ajuda de vocês. Por favor! provar que somatório de k= 2 até n (sqrt k)é irracional para qualquer n natural >= 2 Eu consegui dar alguns passos mas nada que chegue muito perto. Tentei expandir para serie de Taylor e usar o resto de Lagrange, nada. Tentei outras coisas e cheguei um pouco mais próximo mas novamente fica muito difícil generalizar. Por favor, não postem a solução, apenas fale as ideias que usaram. GratoCoulbert
RE: [obm-l] Como provar?
Olá Marcone, Quando mandei a solução estava com um pouco de pressa (ia almoçar fora) por isso pedi para ficar atento a algum erro Mas pelo que estou vendo não tem erro algum Para o segundo caso você pode fazer o mesmo processo Sendo s o maior primo até k, sendo w o maior inteiro inteiro ímpar <= `à quantidade de múltiplos de s até k pelo lema acima temos temos 1/s (1/1 + 1/3 +...+1/w) é inteiro -> (1/1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +... + 1/w) é inteiro, mas w < k, absurdo []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Como provar? Date: Fri, 20 Jan 2012 22:03:54 + Desculpe.Eu não entendi o item b. Date: Thu, 19 Jan 2012 01:31:07 -0200 Subject: Re: [obm-l] Como provar? From: lucas.colucci.so...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Pra a), considere a maior potência de 2 menor que n, digamos, 2^m, e seja t=mmc(1,2,...,n). Escrevendo essa soma com denominador l, todas as parcelas do numerador, exceto uma (a do 1/2^m) são pares. Assim, o numerador é ímpar e o denominador par, então a soma não pode ser inteira. Pra b), se a soma S=1+1/3+...+1/(2n+1) fosse inteira, 1+1/2+...+1/(2n+2)=1/2(1+1/2+...+1/n)+(1+1/3+...+1/(2n+1)) <=> S=1/2(1+...+1/n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2))= (1/2+1/4+...+1/2n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2)), o que é um absurdo considerando a maior potência de 2 que aparece nos denominadores, novamente. Lucas Colucci 2012/1/19 João Maldonado Eu acho que achei uma solução (não tenho certeza se tem alguma falha), agradeceria se alguém corrigisse qualquer tipo de erro nela Seja k o menor natural (maior que 1) para que a soma é inteira Primeiramente vamos provar que LEMA 1) Sendo a/b m/n duas frações irredutíveis não inteiras, sua soma é racional não inteiro se mdc(b, n) = 1 sendo a/b + m/n = P, m/n = P-a/b = (Pb-a)/b = Q/b, se Q fosse inteiro, mdc (Q, b) seria 1 e b = n, absurdo, logo Q não é inteiro Sendo s o maior primo até k, sendo w a quantidade de múltiplos de s pelo lema acima temos temos 1/s (1/1 + 1/2 +...+1/w) é inteiro -> (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/w) é inteiro, mas w < k, absurdo Se isso estiver certo o caso 2 é análogo []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Como provar? Date: Thu, 19 Jan 2012 00:13:53 + Prove q os numeros a) 1+ 1/2 + 1/3 + ... 1/n b) 1/3 + 1/5 + ...1/(2n+1) nao sao inteiros Agradeço desde ja
[obm-l] Re: [obm-l] Função complexa
2012/1/20 Artur Costa Steiner :
> Boa noite, amigos. Eu tenho uma dúvida.
Bom dia Artur. Há quanto tempo!
> Seja f uma função complexa holomorfa em um conjunto aberto V perfurado em w.
> Suponhamos que a integral de f ao longo de um círculo contido em V e centro
> em w não seja nula. Isto implica que f seja da forma
>
> f(z) = k/(z - w) para z em V, k uma constante não nula?
Bom, dada a formulação, é claro que a gente pode supor que V = disco
unitário, w = 0. Pela fórmula de Cauchy em V, temos que
f(z) = soma a_n z^n
onde os índices vão de -infinito a + infinito por conta da perfuração em 0.
Por outro lado, a condição sobre a integral ser diferente de zero quer dizer que
integral soma a_n e^{int} != 0.
Nessas horas da vida, é complicado trocar a soma com a integral, mas
acho que a gente não vai se preocupar muito com as condições de
convergência... Assim, chutando que a gente pode inverter os limites,
temos que
soma a_n integral 0 a 2pi e^{int} != 0
e a única integral não nula na história é para n = 0, logo a_0 != 0.
Repare que isso não quer dizer que a_n = 0 para os outros n... Poderia
ser qualquer coisa.
Mas peraí. Você queria um treco com a_(-1), e eu achei a_0...
Estranho? Não, normal. Eu (nesse momento) estou integrando funções
complexas em círculos, mas a integral "normal" em análise complexa não
é "apenas" por elemento de ângulo, mas sim por dz = d(re^{it}) = i r
e^{it} dt = iz dt, onde dt é o meu elemento de ângulo. Eu imagino que
seja essa a integral que você considera (mas veja bem qual é o caso).
De qualquer forma, isso resolve o problema do "shift" -1 -> 0 como
você quer, mas ainda assim a função f pode ter todos os a_n não nulos.
(e pegue a_n ~ 1/n^2 para garantir convergência absoluta e poder
trocar a integral, por exemplo).
Não sei se você queria provar um resíduo (mas aí é só a definição),
mas para garantir que f = 1/z você precisa de uma boa quantidade de
condições... Umas idéias: Liouville pode ajudar a "matar" os
coeficientes a_n para n > 0 se o seu domínio for suficientemente legal
(tipo, C) ou variantes do tipo Phragmén-Lindelöf. Já eliminar pólos de
ordem superior pode ser feito se você souber (por exemplo) que a sua
função é L^1 no disco (porque 1/z é integrável em C, mas 1/z^n não é
mais para z >= 2 = dimensão !)
> Obrigado.
> Artur
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] somatório
Tente assim: Sendo a = sqrt(A)b = sqrt(B) c = sqrt(C) d = sqrt(D) Sendo A, B, C, D inteiros não quadrados perfeitos: Provar que a + b é irracional, sendo que ab não é quadrado perfeito :(a+b) = r (r = racional) (a+b)² = ra² + 2ab + b² = rab = r, absurdo Provar que a + b + c é irracional, sendo que ABC não é quadrado perfeto:(a+b+c) = r(a+b+c)² = rab + bc + ac = r(ab + bc + ac)² = r(a + b + c)abc = r abc = r, absurdo Provar que a + b + c + d é irracional, sendo que ABCD não é quadrado perfto: (a + b + c + d) = r(a + b + c + d)² = r(ab + bc + cd + da) = r(ab + bc + cd + da)² = r (a²bd + ab²c + ac²d + bc²d) + (2abcd) = r(a²bd + ab²c + ac²d + bc²d)² 4 (a²bd + ab²c + ac²d + bc²d)abcd + 4(abcd)² = r4abcd(a²b² + b²c² + c²d² + d²a²) + 4abcd(a²bd + ab²c + ac²d + bc²d) = rabcd²(a²bd + ab²c + ac²d + bc²d)² = rabcd(a²b² + b²c² + c²d² + d²a²) = rabcd = r, absurdo Tente generalisar isso E depois provar que n! não pode ser quadrado perfeito sendo > 1! []'sJoão From: felippeba...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] somatório Date: Fri, 20 Jan 2012 20:44:07 -0200 Joao, eu nao consegue resolver fazendo isso que voce falo.Posta sua solucao por favor =x GratoCoulbert From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] somatório Date: Wed, 18 Jan 2012 16:55:06 -0200 Faça a, b e c naturais que não são quadrados perfeitos Prove que sqrt(a) + sqrt(b) = x irracionalsqrt(b) + sqrt(c) = y irracionalsqrt(c) + sqrt(a) = z irracional sqrt(a) + sqrt(b) sqrt(c) = (x+y+z)/2 Prove que x+y+z é irracional e generalise []'sJoão From: felippeba...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] somatório Date: Wed, 18 Jan 2012 16:30:54 -0200 Estou tentando provar um somatório faz um tempo e não estou conseguindo de jeito nenhum, queria a ajuda de vocês. Por favor! provar que somatório de k= 2 até n (sqrt k)é irracional para qualquer n natural >= 2 Eu consegui dar alguns passos mas nada que chegue muito perto. Tentei expandir para serie de Taylor e usar o resto de Lagrange, nada. Tentei outras coisas e cheguei um pouco mais próximo mas novamente fica muito difícil generalizar. Por favor, não postem a solução, apenas fale as ideias que usaram. GratoCoulbert
