[obm-l] Paradoxos da Matemática
Prezados, Como a matemática lida com as seguintes questões : 1 - como pode algo sem dimensão dar origem a algo dimensional (ponto - curva) 2 - como pode um somatório infinito de áreas zero ter como resultado algo diferente de zero, como ocorre nas integrais ? Abs Felipe
[obm-l] Maior potência tem maior base
Caros Colegas,Como podemos provar que a desigualdade x^n y^n implica x y , sendo x e y números reais positivos, e n inteiro positivo?Abraços do Paulo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Maior potência tem maior base
1 ) por derivada, provando que é x^n é monótona crescente para x0. f'= n x^(n-1) 0, x02) sabendo-se que a função logarítimo é crescente para base 1log(x^n) log(y^n)nlog(x) nlog(y)n0 == log(x) log(y) == x y3) Sabendo-se que a^n 1 == a 1 para nox^n y^n == x^n/y^n 1 == (x/y)^n 1 == x/y 1 == x y Em 27/04/12, Paulo Argolopauloarg...@bol.com.br escreveu: Caros Colegas, Como podemos provar que a desigualdade x^n y^n implica x y , sendo x e y números reais positivos, e n inteiro positivo? Abraços do Paulo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Divisibilidade
Belo problema! Estou andando em círculos. Em 26/04/12, marcone augusto araújo borgesmarconeborge...@hotmail.com escreveu: Parece que sai por indução tambem.(vejam as sugestoes de Bernardo e Shine). Se agente mostra q vale para 4 numeros(n=1),supomos q vale para 2^(n+1), mostramos q vale para 2^(n+2) Tomando 2^(n+2) numeros ,formamos 2 grupos de 2^(n+1) numeros... From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Divisibilidade Date: Thu, 26 Apr 2012 13:44:11 + Prove que, entre 2^(n+1) números naturais quaisquer,existem 2^n números cuja soma é divisível por 2^n Eu sei que em uma divisão por 2^n existem 2^n restos possíveis Se em 2^n divisões ocorressem 2^n restos iguais a r,a soma deles seria r*2^n,que é divisível por 2^n Não sei se conseguiria resolver por congruência,mas eu gostaria de ver uma solução por outro caminho. Obrigado pela atenção. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Maior potência tem maior base
Sejam x e y números reais positivos. Como já vimos num E-mail anterior, se a1=b1, a2=b2, ..., an=bn, com todos positivos, então a1a2...an=b1b2...bn (Tá, se eu me lembro direito tínhamos feito isso com a1b1, a2b2, etc, mas é fácil adaptar aquela prova para =). Tomando a1=a2=...=an=x e b1=b2=...bn=y, vem: Se x=y, então x^n=y^n. que é exatamente a contrapositiva do que você quer (Se x^ny^n, então xy.). Então acabou! Abraço, Ralph P.S.: A contrapositiva da implicação Se p, então q é a implicação Se (não q), então (não p). Apesar do nome parecer sugerir algum tipo de conflito, lembre que a contrapositiva de uma implicação é EQUIVALENTE à implicação original. Provou uma, provou outra. 2012/4/27 Paulo Argolo pauloarg...@bol.com.br: Caros Colegas, Como podemos provar que a desigualdade x^n y^n implica x y , sendo x e y números reais positivos, e n inteiro positivo? Abraços do Paulo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Paradoxos da Matemática
Acho que um dos problemas mais comuns quando as pessoas pensam em infinito é achar que, se algo vale para todo N, então deve valer para N=Infinito, seja lá o que isto for, como se Infinito fosse um número natural... Acho que ambos as contradições que você cita caem nesta categoria: 1) É verdade que qualquer conjunto com N pontos tem dimensão 0, qualquer que seja N natural, por maior que seja N. Mas isto NÃO implica que qualquer conjunto de pontos tenha dimensão 0. É perfeitamente razoável que um conjunto INFINITO de pontos tenha dimensão maior que 0. Por que haveria problema? :) 2) A área sob a curva numa integral é feita de uma infinidade de segmentos de reta de área 0. É verdade que a área da união de N conjuntos de área 0 dá sempre um total de 0, qualquer que seja N natural, não interessa quão grande N seja. Mas isto não significa que a área da união de **infinitos** segmentos de reta de área 0 tenha que dar 0. Note que (com a definição usual de integral dada nos cursos de cálculo 1) uma integral não é **definida** como um somatório infinito de áreas zero; é um LIMITE quando N-+Inf de um somatório finito (com N termos) de várias áreas, cada uma variando com N. É verdade que CADA área tende a 0 quando N cresce, mas a QUANTIDADE delas aumenta com N, então é possível que a integral dê um número positivo! Por exemplo: -- Uma coisa é somar N parcelas todas iguais a 1/N e depois tomar N-+Inf (a resposta é 1); -- Outra coisa é tomar 1/N quando N-+Inf (que dá 0) e depois somar N vezes (que não faz muito sentido porque você já tinha tomado N-+Inf, mas alguns diriam que dá 0). A ordem é importante! Os processos acima são simplesmente coisas diferentes, não tem que ser iguais, não há contradição alguma. No caso da integral, note a diferença entre: -- SOMAR N ÁREAS RETANGULARES (que dependem de N), VER QUANTO DÁ (em função de N), e DEPOIS tomar N-+Inf (a integral é uma coisa assim); -- PEGAR CADA ÁREA, TOMAR N-+Inf, E DEPOIS SOMAR TODAS (o que não faz sentido, já que serão infinitas áreas e eu não sei somar infinitos números, ainda mais números que não param quietos; se você arrumar um jeito de somar infinitos números, pode ser que isto dê 0 mesmo, dependendo de como você somar... mas isto definitivamente NÃO é a definição de integral do cálculo 1) Vou inventar outros exemplos deste tipo (os raciocínios a seguir são FALSOS). 3) Como 1/N é positivo para todo N, então tomando N=+Inf concluímos que 0 é positivo! 4) Como 0,9...91 (onde ali tem N noves), então 0,1 (com infinitos noves)! 5) Como a soma finita de N parcelas não depende da ordem das parcelas, então a soma de uma série infinita também não! (Por exemplo, é possível mostrar que 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+...=ln(2); mas 1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+1/9+1/11-1/6+...=3.ln(2)/2) Todos estas aparentes contradições são explicadas com o mesmo mantra: SÓ PORQUE VALE PARA TODO N NATURAL, NÃO SIGNIFICA QUE VALE PARA N=INFINITO Abraço, Ralph 2012/4/27 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br: Prezados, Como a matemática lida com as seguintes questões : 1 - como pode algo sem dimensão dar origem a algo dimensional (ponto - curva) 2 - como pode um somatório infinito de áreas zero ter como resultado algo diferente de zero, como ocorre nas integrais ? Abs Felipe = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Maior potência tem maior base
Muito obrigado, Ralph (e aos demais colegas da lista) pela habitual gentileza. Abraços do Paulo. --- Date: Fri, 27 Apr 2012 16:20:24 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Maior potência tem maior base From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sejam x e y números reais positivos. Como já vimos num E-mail anterior, se a1=b1, a2=b2, ..., an=bn, com todos positivos, então a1a2...an=b1b2...bn (Tá, se eu me lembro direito tínhamos feito isso com a1b1, a2b2, etc, mas é fácil adaptar aquela prova para =). Tomando a1=a2=...=an=x e b1=b2=...bn=y, vem: Se x=y, então x^n=y^n. que é exatamente a contrapositiva do que você quer (Se x^ny^n, então xy.). Então acabou! Abraço, Ralph P.S.: A contrapositiva da implicação Se p, então q é a implicação Se (não q), então (não p). Apesar do nome parecer sugerir algum tipo de conflito, lembre que a contrapositiva de uma implicação é EQUIVALENTE à implicação original. Provou uma, provou outra. 2012/4/27 Paulo Argolo pauloarg...@bol.com.br: Caros Colegas, Como podemos provar que a desigualdade x^n y^n implica x y , sendo x e y números reais positivos, e n inteiro positivo? Abraços do Paulo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
