[obm-l] problema

2013-02-15 Thread grego 
Olá, companheiros!
Um aluno me perguntou o seguinte:
a <=b<=c<=d
1/a+1/b+1/c+1/d=1
Quantas quádruplas ordenadas (a, b, c, d) de naturais satisfazem a igualdade?
Um abraço!
Grego

RES: [obm-l] problema

2013-02-15 Thread Albert Bouskela 
Olá!

 

Este é um problema da Teoria dos Números bastante conhecido. Acredito (a 
confirmar!) que não exista uma solução analítica – o jeito é fazer “no braço” 
(“brute force”).

 

Bem, na Internet, encontrei a solução abaixo (bastante “arrumadinha”): – 
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=6370 

 

Bonjour,
Je n'ai trouvé qu'une méthode empirique et dichotomique aboutissant à 14 
solutions.
Supposons 1 < a ≤ b ≤ c ≤ d.
Alors 1/a + 1/b + 1/c + 1/d ≤ 4/a donc 1 ≤ 4/a donc a ≤ 4 (et a > 1). D'où 3 
cas à analyser : a=4, a=3 et a=2.

1) a = 4
Alors 1/4 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/4 + 3/b donc 3/4 ≤ 3/b donc b ≤ 4.
Et comme b ≥ a, on voit que b=4. De la même façon c=4 et d=4.
Solution1 : 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1

2) a = 3 
Alors 1/3 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/3 + 3/b donc 2/3 ≤ 3/b donc b ≤ 9/2.
Et comme b ≥ a, on voit que b=4 ou b=3.

2a) b = 4
Alors 1/3 + 1/4 + 1/c + 1/d = 7/12 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 7/12 + 2/c donc 5/12 ≤ 2/c 
donc c ≤ 24/5.
Et comme c ≥ b, on voit que c=4
Solution2 : 1/3 + 1/4 + 1/4 + 1/6 = 1

2b) b = 3
Alors 1/3 + 1/3 + 1/c + 1/d = 2/3 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 2/3 + 2/c donc 1/3 ≤ 2/c 
donc c ≤ 6.
Et comme c ≥ b, on voit que c=3, c=4, c=5 ou c=6.
Solution3 : 1/3 + 1/3 + 1/4 + 1/12 = 1
Solution4 : 1/3 + 1/3 + 1/6 + 1/6 = 1

3) a = 2
Alors 1/2 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/2 + 3/b donc 1/2 ≤ 3/b donc b ≤ 6.
Et comme b ≥ a, on voit que b=6, b=5, b=4 ou b=3 (b=2 ne marche pas).

3a) b = 6
Alors 1/2 + 1/6 + 1/c + 1/d = 2/3 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 2/3 + 2/c donc 1/3 ≤ 2/c 
donc c ≤ 6.
Et comme c ≥ b, on voit que c=6 et par suite que d=6.
Solution5 : 1/2 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1

3b) b = 5
Alors 1/2 + 1/5 + 1/c + 1/d = 7/10 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 7/10 + 2/c donc 3/10 ≤ 2/c 
donc c ≤ 20/3.
Et comme c ≥ b, on voit que c=5 ou c=6.
Si c=5, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/5 - 1/5 = 1/10
Solution6 : 1/2 + 1/5 + 1/5 + 1/10 = 1
Si c= 6, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/5 - 1/6 = 4/30 = 2/15 non réductible

3c) b = 4
Alors 1/2 + 1/4 + 1/c + 1/d = 3/4 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 3/4 + 2/c donc 1/4 ≤ 2/c 
donc c ≤ 8.
Et comme c ≥ b, on voit que c=8, c=7, c=6 ou c=5 (c=4 ne marche pas).
Si c=8, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/8 = 1/8
Solution7 : 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1
Si c=7, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/7 = 3/28 non réductible
Si c=6, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/6 = 1/12
Solution8 : 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1
Si c=5, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/5 = 1/20
Solution9 : 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/20 = 1

3d) b = 3
Alors 1/2 + 1/3 + 1/c + 1/d = 5/6 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 5/6 + 2/c donc 1/6 ≤ 2/c 
donc c ≤ 12.
Et comme 1/2 + 1/3 + 1/c < 1 donc 1/c < 1/6 donc c > 6, on voit que c=12, c= 
11, c=10, c= 9, c=8 ou c=7.
Si c=12, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/12 = 1/12
Solution10 : 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/12 = 1
Si c=11, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/11 = 5/66 non réductible
Si c=10, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/10 = 2/30 = 1/15
Solution11 : 1/2 + 1/3 + 1/10 + 1/15 = 1
Si c=9, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/9 = 1/18
Solution12 : 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18 = 1
Si c=8, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/8 = 1/24
Solution13 : 1/2 + 1/3 + 1/8 + 1/24 = 1
Si c=7, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/7 = 1/42
Solution14 : 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 = 1

FIN de la démonstration *** ouf... ***

  _  

J'ai tellement besoin de temps pour ne rien faire, qu'il ne m'en reste plus 
assez pour travailler.

 

  _  

Albert Bouskela

  bousk...@msn.com

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
grego
Enviada em: sexta-feira, 15 de fevereiro de 2013 22:31
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] problema

 

Olá, companheiros!

Um aluno me perguntou o seguinte:

a <=b<=c<=d

1/a+1/b+1/c+1/d=1

Quantas quádruplas ordenadas (a, b, c, d) de naturais satisfazem a igualdade?

Um abraço!

Grego

RE: [obm-l] problema

2013-02-15 Thread João Maldonado 

abc + bcd + cda + dab = abcd -> a(bcd -bc-bd-cd) = bcd
Logo, temos qualquer número é divisor do produto dos outros 3 (I)

Ao fatorarmos abcd em potência de primos, podemos obter 1, 2, ou 3 primos 
distintos
Se houvesse 4 primos, por (I), cada um dos números, a, b, c, d deveria ser 
múltiplo dos 4 primos simultaneamente, o que daria a soma <= 4/2.3.5.7 < 1

Além disso, pelo menos um dos números que é menor ou igual a 4
Se a=4, (a,b,c,d) = (4,4,4,4)

Se tivermos 3 primos distintos os 2 primeiros valores da soma em ordem 
decrescente são
1/2+1/3+1/5+1/30 > 1
1/2+1/3+1/7+1/42 = 1
Logo temos (2, 3, 7, 42), já que quaisquer outros números implicariam e soma<1

Se tivermos 2 primos:
Se a=2
1/b+1/c+1/d = 1/2 -> b<=6 -> (2,6,6,6) ou b=3, 4 ou 5
Se b=3 -> 1/c+1/d = 1/6 -> c>6 e c<=12
d=6+36/(c-6) -> c=8,9 ou 12
Isso dá (2,3,8,24), (2,3, 9,18), (2,3,12,12)

Se b=4,  c>4 e c<=8
d=4+16(c-4) -> c = 5, 6, 8
Isso dá (2,4,5,20),(2,4,6,12)

Se b=5, 1/c+1/d=3/10, logo c<10 -> c=8 (pois c deve ser múltiplo de 2 e/ou 5),  
sem soluçã

Se a=3, B<=9/2 -> b=4 ou 3
Se b=3, 1/c+1/d=3, c<=6,
d=3+9(c-3), c=4, 6
Isso dá (3,3,4,6), (3,3,6,6)

Se b=4, 1/c+1/d = 5/12, c<=24/5 -> c=4
Isso dá (3,4,4,6)

Se tivermos 1 primo
p=2 ou 3
Pois  se p fosse 5, soma mámixa = 4/5<1
a=2 ou 3  (como já visto)
Se a=2
1/b+1/c+1/d = 1/2, b<=6, logo b=4
1/c+1/d = 1/4 -> c=d=8 -> (2,4,8,8)
Se a=3
1/b+1/c+1/d = 2/3 -> b<=9/2, logo b=3
1/c+1/d = 1/3, absurdo

Logo temos: (4,4,4,4), (2,4,8,8), (3,4,4,6), (3,3,4,6), (3,3,6,6),  (2,4,5,20), 
(2,3,6,12), (2,3,8,24), (2,3,9,18), (2,3,12,12) e (2,3,7,42)

[]'s
João


Date: Fri, 15 Feb 2013 16:31:10 -0800
From: profgr...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] problema
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá, companheiros!Um aluno me perguntou o seguinte:a 
<=b<=c<=d1/a+1/b+1/c+1/d=1Quantas quádruplas ordenadas (a, b, c, d) de naturais 
satisfazem a igualdade?Um abraço!Grego

RE: [obm-l] problema

2013-02-15 Thread João Maldonado 

abc + bcd + cda + dab = abcd -> a(bcd -bc-bd-cd) = bcd
Logo, temos qualquer número é divisor do produto dos outros 3 (I)

Ao fatorarmos abcd em potência de primos, podemos obter 1, 2, ou 3 primos 
distintos
Se houvesse 4 primos, por (I), cada um dos números, a, b, c, d deveria ser 
múltiplo dos 4 primos simultaneamente, o que daria a soma <= 4/2.3.5.7 < 1

Além disso, pelo menos um dos números que é menor ou igual a 4
Se a=4, (a,b,c,d) = (4,4,4,4)

Se tivermos 3 primos distintos os 2 primeiros valores da soma em ordem 
decrescente são
1/2+1/3+1/5+1/30 > 1
1/2+1/3+1/7+1/42 = 1
Logo temos (2, 3, 7, 42), já que quaisquer outros números implicariam e soma<1

Se tivermos 2 primos:
Se a=2
1/b+1/c+1/d = 1/2 -> b<=6 -> (2,6,6,6) ou b=3, 4 ou 5
Se b=3 -> 1/c+1/d = 1/6 -> c>6 e c<=12
d=6+36/(c-6) -> c=8,9 ou 12
Isso dá (2,3,8,24), (2,3, 9,18), (2,3,12,12)

Se b=4,  c>4 e c<=8
d=4+16(c-4) -> c = 5, 6, 8
Isso dá (2,4,5,20),(2,4,6,12)

Se b=5, 1/c+1/d=3/10, logo c<10 -> c=8 (pois c deve ser múltiplo de 2 e/ou 5),  
sem soluçã

Se a=3, B<=9/2 -> b=4 ou 3
Se b=3, 1/c+1/d=3, c<=6,
d=3+9(c-3), c=4, 6
Isso dá (3,3,4,6), (3,3,6,6)

Se b=4, 1/c+1/d = 5/12, c<=24/5 -> c=4
Isso dá (3,4,4,6)

Se tivermos 1 primo
p=2 ou 3
Pois  se p fosse 5, soma mámixa = 4/5<1
a=2 ou 3  (como já visto)
Se a=2
1/b+1/c+1/d = 1/2, b<=6, logo b=4
1/c+1/d = 1/4 -> c=d=8 -> (2,4,8,8)
Se a=3
1/b+1/c+1/d = 2/3 -> b<=9/2, logo b=3
1/c+1/d = 1/3, absurdo

Logo temos: (4,4,4,4), (2,4,8,8), (3,4,4,6), (3,3,4,6), (3,3,6,6),  (2,4,5,20), 
(2,3,6,12), (2,3,8,24), (2,3,9,18), (2,3,12,12) e (2,3,7,42)

[]'s
João


Date: Fri, 15 Feb 2013 16:31:10 -0800
From: profgr...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] problema
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá, companheiros!Um aluno me perguntou o seguinte:a 
<=b<=c<=d1/a+1/b+1/c+1/d=1Quantas quádruplas ordenadas (a, b, c, d) de naturais 
satisfazem a igualdade?Um abraço!Grego

RE: [obm-l] problema

2013-02-15 Thread João Maldonado 

Tem muita coisa errada ainda:

1)  Se b=5, 1/c+1/d=3/10, logo c<10 -> c=8 (pois c deve ser múltiplo de 2 e/ou 
5),  sem soluçã
Corrija para c=5, d=10

2) 
Se tivermos 3 primos distintos os 2 primeiros valores da soma em ordem 
decrescente são
1/2+1/3+1/5+1/30 > 1
1/2+1/3+1/7+1/42 = 1
Logo temos (2, 3, 7, 42), já que quaisquer outros números implicariam e soma<1

Eles não estão na ordem decrescente :)
Na verdade esqueça os casos de 1,2,3 primos, vamos fazer tudo no caso mais 
geral (eu tentei simplificar mas parece que piorou)

3) 
Se tivermos 2 primos:
Se a=2
1/b+1/c+1/d = 1/2 -> b<=6 -> (2,6,6,6) ou b=3, 4 ou 5
Se b=3 -> 1/c+1/d = 1/6 -> c>6 e c<=12
d=6+36/(c-6) -> c=8,9 ou 12
Isso dá (2,3,8,24), (2,3, 9,18), (2,3,12,12)

Na verdade temos c=10 também

4) 
E o caso (2,6,6,6) que eu tinha achado e não pus no final

Corrijindo temos 14 casos, conforme o post do Bouskela

[]'s
João



From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] problema
Date: Sat, 16 Feb 2013 02:57:59 -0200





abc + bcd + cda + dab = abcd -> a(bcd -bc-bd-cd) = bcd
Logo, temos qualquer número é divisor do produto dos outros 3 (I)

Ao fatorarmos abcd em potência de primos, podemos obter 1, 2, ou 3 primos 
distintos
Se houvesse 4 primos, por (I), cada um dos números, a, b, c, d deveria ser 
múltiplo dos 4 primos simultaneamente, o que daria a soma <= 4/2.3.5.7 < 1

Além disso, pelo menos um dos números que é menor ou igual a 4
Se a=4, (a,b,c,d) = (4,4,4,4)

Se tivermos 3 primos distintos os 2 primeiros valores da soma em ordem 
decrescente são
1/2+1/3+1/5+1/30 > 1
1/2+1/3+1/7+1/42 = 1
Logo temos (2, 3, 7, 42), já que quaisquer outros números implicariam e soma<1

Se tivermos 2 primos:
Se a=2
1/b+1/c+1/d = 1/2 -> b<=6 -> (2,6,6,6) ou b=3, 4 ou 5
Se b=3 -> 1/c+1/d = 1/6 -> c>6 e c<=12
d=6+36/(c-6) -> c=8,9 ou 12
Isso dá (2,3,8,24), (2,3, 9,18), (2,3,12,12)

Se b=4,  c>4 e c<=8
d=4+16(c-4) -> c = 5, 6, 8
Isso dá (2,4,5,20),(2,4,6,12)

Se b=5, 1/c+1/d=3/10, logo c<10 -> c=8 (pois c deve ser múltiplo de 2 e/ou 5),  
sem soluçã

Se a=3, B<=9/2 -> b=4 ou 3
Se b=3, 1/c+1/d=3, c<=6,
d=3+9(c-3), c=4, 6
Isso dá (3,3,4,6), (3,3,6,6)

Se b=4, 1/c+1/d = 5/12, c<=24/5 -> c=4
Isso dá (3,4,4,6)

Se tivermos 1 primo
p=2 ou 3
Pois  se p fosse 5, soma mámixa = 4/5<1
a=2 ou 3  (como já visto)
Se a=2
1/b+1/c+1/d = 1/2, b<=6, logo b=4
1/c+1/d = 1/4 -> c=d=8 -> (2,4,8,8)
Se a=3
1/b+1/c+1/d = 2/3 -> b<=9/2, logo b=3
1/c+1/d = 1/3, absurdo

Logo temos: (4,4,4,4), (2,4,8,8), (3,4,4,6), (3,3,4,6), (3,3,6,6),  (2,4,5,20), 
(2,3,6,12), (2,3,8,24), (2,3,9,18), (2,3,12,12) e (2,3,7,42)

[]'s
João


Date: Fri, 15 Feb 2013 16:31:10 -0800
From: profgr...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] problema
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá, companheiros!Um aluno me perguntou o seguinte:a 
<=b<=c<=d1/a+1/b+1/c+1/d=1Quantas quádruplas ordenadas (a, b, c, d) de naturais 
satisfazem a igualdade?Um abraço!Grego