Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[faraujocosta]

Como faço para conseguir esse material?

Enviado via iPhone

Em 18/04/2013, às 22:18, Nehab  escreveu:

> Ora, ora,
> 
> Seu comentário me deixa muito, mas muito feliz.  Mas eu achei que eu estava 
> bem escondidinho!
> Na verdade, há centenas de materiais disponíveis para a turma mais afiada, 
> mas pouquíssimo material para você motivar a gurizada.
> E foi essa a intenção do referido texto e é também a de outros textos que 
> eu não publiquei.
> E, hoje, ando um pouco preguiçoso, pois meu maior barato é curtir netos.
> Mas mais uma meia dúzia de incentivos desses publico tudo e ainda escrevo 
> mais ! Hahaha.
> 
> Grande abraço,
> Nehab
> 
> 
> On 18/04/2013 16:27, Mauricio de Araujo wrote:
>> Tens razão, Carlos! 
>> 
>> à propósito, queria te parabenizar pelo material referente a médias e 
>> desigualdades que está no scribd e que encontrei recentemente... muito 
>> didático.
>> 
>> Grande abraço.
>> 
>> 
>> 2013/4/18 Nehab 
>>> Oi, Mauricio,
>>> 
>>> Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de 
>>> divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para quem 
>>> não aprendeu este conteúdo:
>>> 
>>> A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o seguinte 
>>> argumento:
>>> 
>>> - O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o último 
>>> algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada através de uma 
>>> tabelinha)...
>>> - Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6; logo, se n 
>>> não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5...
>>> 
>>> Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais simples de 
>>> forma mais intuitiva.
>>> 
>>> Abraços
>>> Nehab 
>>> 
>>> On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote:
 fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)...
 
 temos 3 números consecutivos => multiplo de 2 e 3
 
 note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois:
 
 ou n é múltiplo de 5 ou
 n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use 
 congruencia...
 
 n=1 (mod5) => n4=1(mod5);
 n=2(mod5) => n2=-1(mod5) => n4=1(mod5);
 n=3(mod5) => n2=-1(mod5) => n4=1(mod5);
 n=4(mod5) => n4=1(mod5)...
 
 Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30
 
 CQD.
 
 
 2013/4/18 marcone augusto araújo borges 
> Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
> Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
> unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai 
> acaba.
> Fui tentar por indução também e ai complicou.
> Alguém resolveria por indução?
> Â Â 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 
 -- 
 Abraços
 
 oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
 momentos excepcionais pedem ações excepcionais.
 A primeira vez é sempre a última chance.
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> 
>> -- 
>> Abraços
>> 
>> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
>> momentos excepcionais pedem ações excepcionais.
>> A primeira vez é sempre a última chance.
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Nehab]

Ora, ora,

Seu comentário me deixa muito, mas muito feliz.  Mas eu achei que eu 
estava bem escondidinho!
Na verdade, há centenas de materiais disponíveis para a turma mais 
afiada, mas pouquíssimo material para você motivar a gurizada.
E foi essa a intenção do referido texto e é também a de outros textos 
que eu não publiquei.

E, hoje, ando um pouco preguiçoso, pois meu maior barato é curtir netos.
Mas mais uma meia dúzia de incentivos desses publico tudo e ainda 
escrevo mais ! Hahaha.


Grande abraço,
Nehab


On 18/04/2013 16:27, Mauricio de Araujo wrote:

Tens razão, Carlos!

à propósito, queria te parabenizar pelo material referente a médias e 
desigualdades que está no scribd e que encontrei recentemente... muito 
didático.


Grande abraço.


2013/4/18 Nehab mailto:carlos.ne...@gmail.com>>

Oi, Mauricio,

Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de
divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para
quem não aprendeu este conteúdo:

A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o
seguinte argumento:

- O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o
último algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada
através de uma tabelinha)...
- Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6;
logo, se n não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5...

Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais
simples de forma mais intuitiva.

Abraços
Nehab

On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote:

fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)...

temos 3 números consecutivos => multiplo de 2 e 3

note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois:

ou n é múltiplo de 5 ou
n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use
congruencia...

n=1 (mod5) => n4=1(mod5);
n=2(mod5) => n2=-1(mod5) => n4=1(mod5);
n=3(mod5) => n2=-1(mod5) => n4=1(mod5);
n=4(mod5) => n4=1(mod5)...

Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30

CQD.


2013/4/18 marcone augusto araújo borges
mailto:marconeborge...@hotmail.com>>

Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30
[Upload Photo to Facebook]
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[Twitt]
[Send by Gmail]

Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo
de 10,e ai acaba.
Fui tentar por indução também e ai complicou.
Alguém resolveria por indução?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e

acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Abraços


oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
/momentos excepcionais pedem ações excepcionais./
/A primeira vez é sempre a última chance./

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e

acredita-se estar livre de perigo.



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e

acredita-se estar livre de perigo.




--
Abraços

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
/momentos excepcionais pedem ações excepcionais./
/A primeira vez é sempre a última chance./

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo. 



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Funções inteiras no plano complexo

[Artur Costa Steiner]

Eu me dei conta disso há pouco tempo. Achei interessante mostrar isto.

Sejam f e g funções inteiras tais que, para todo z, tenhamos |f(z)| <= |g(z)|. 
Existe então uma constante complexa k tal que, para todo complexo z, f(z) = k 
g(z).

Abraços

Artur Costa Steiner
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Divisibilidade(agradecendo)

[marcone augusto araújo borges]

Mesmo para uma questão considerada simples,vcs da lista sempre têm algo 
interessante para mostrar,uma abordagem diferente.Obrigado mais uma vez.
  
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Mauricio de Araujo]

Tens razão, Carlos!

à propósito, queria te parabenizar pelo material referente a médias e
desigualdades que está no scribd e que encontrei recentemente... muito
didático.

Grande abraço.


2013/4/18 Nehab 

>  Oi, Mauricio,
>
> Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de
> divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para quem não
> aprendeu este conteúdo:
>
> A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o seguinte
> argumento:
>
> - O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o último
> algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada através de uma
> tabelinha)...
> - Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6; logo, se n
> não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5...
>
> Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais simples de
> forma mais intuitiva.
>
> Abraços
> Nehab
>
> On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote:
>
>  fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)...
>
>  temos 3 números consecutivos => multiplo de 2 e 3
>
>  note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois:
>
>  ou n é múltiplo de 5 ou
> n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use
> congruencia...
>
>  n=1 (mod5) => n4=1(mod5);
> n=2(mod5) => n2=-1(mod5) => n4=1(mod5);
> n=3(mod5) => n2=-1(mod5) => n4=1(mod5);
> n=4(mod5) => n4=1(mod5)...
>
>  Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30
>
>  CQD.
>
>
> 2013/4/18 marcone augusto araújo borges 
>
>>  Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30
>>
>>  Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
>> Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
>> unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai
>> acaba.
>> Fui tentar por indução também e ai complicou.
>> Alguém resolveria por indução?
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
>
>  --
>  Abraços
>
> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
> *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
>  *A primeira vez é sempre a última chance.*
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>



-- 
Abraços

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
*momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
*A primeira vez é sempre a última chance.*

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Ralph Teixeira]

Ou, para evitar totalmente congruências e coisas assim, note que
n^2+1=(n+2)(n-2)+5. Então:

n^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)

O primeiro termo tem 5 números consecutivos, então é divisível por 2, 3 e
5. O segundo tem 3 números consecutivos e aquele fator 5, então também é.

Abraço,
Ralph


2013/4/18 Nehab 

>  Oi, Mauricio,
>
> Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de
> divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para quem não
> aprendeu este conteúdo:
>
> A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o seguinte
> argumento:
>
> - O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o último
> algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada através de uma
> tabelinha)...
> - Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6; logo, se n
> não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5...
>
> Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais simples de
> forma mais intuitiva.
>
> Abraços
> Nehab
>
> On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote:
>
>  fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)...
>
>  temos 3 números consecutivos => multiplo de 2 e 3
>
>  note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois:
>
>  ou n é múltiplo de 5 ou
> n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use
> congruencia...
>
>  n=1 (mod5) => n4=1(mod5);
> n=2(mod5) => n2=-1(mod5) => n4=1(mod5);
> n=3(mod5) => n2=-1(mod5) => n4=1(mod5);
> n=4(mod5) => n4=1(mod5)...
>
>  Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30
>
>  CQD.
>
>
> 2013/4/18 marcone augusto araújo borges 
>
>>  Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30
>>
>>  Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
>> Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
>> unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai
>> acaba.
>> Fui tentar por indução também e ai complicou.
>> Alguém resolveria por indução?
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
>
>  --
>  Abraços
>
> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
> *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
>  *A primeira vez é sempre a última chance.*
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Artur Costa Steiner]

m = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)

Como n - 1, n e  n + 1 são inteiros consecutivos, pelo menos um deles é par e 
um deles é divisível por 3. Logo, m é divisível por 6.

Se n for múltiplo de 5, m também é. Se não for, 5 é um primo que não divide n. 
Logo, pelo pequeno teorema de Fermat, temos novamente que m é divisível por 5. 

Assim, m é divisível  por 30.

Abraços.

Artur Costa Steiner

Em 18/04/2013, às 11:40, marcone augusto araújo borges 
 escreveu:

> Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30
> 
> Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
> Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
> unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai acaba.
> Fui tentar por indução também e ai complicou.
> Alguém resolveria por indução?
>   
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Nehab]

Oi, Mauricio,

Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de 
divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para quem 
não aprendeu este conteúdo:


A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o seguinte 
argumento:


- O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o último 
algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada através de uma 
tabelinha)...
- Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6; logo, se n 
não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5...


Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais simples 
de forma mais intuitiva.


Abraços
Nehab

On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote:

fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)...

temos 3 números consecutivos => multiplo de 2 e 3

note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois:

ou n é múltiplo de 5 ou
n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use 
congruencia...


n=1 (mod5) => n4=1(mod5);
n=2(mod5) => n2=-1(mod5) => n4=1(mod5);
n=3(mod5) => n2=-1(mod5) => n4=1(mod5);
n=4(mod5) => n4=1(mod5)...

Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30

CQD.


2013/4/18 marcone augusto araújo borges >


Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30
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Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de
10,e ai acaba.
Fui tentar por indução também e ai complicou.
Alguém resolveria por indução?

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e

acredita-se estar livre de perigo.




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Abraços

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
/momentos excepcionais pedem ações excepcionais./
/A primeira vez é sempre a última chance./

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acredita-se estar livre de perigo. 



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acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Mauricio de Araujo]

fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)...

temos 3 números consecutivos => multiplo de 2 e 3

note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois:

ou n é múltiplo de 5 ou
n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use
congruencia...

n=1 (mod5) => n4=1(mod5);
n=2(mod5) => n2=-1(mod5) => n4=1(mod5);
n=3(mod5) => n2=-1(mod5) => n4=1(mod5);
n=4(mod5) => n4=1(mod5)...

Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30

CQD.


2013/4/18 marcone augusto araújo borges 

> Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30
>
> Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
> Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
> unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai
> acaba.
> Fui tentar por indução também e ai complicou.
> Alguém resolveria por indução?
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>



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Abraços

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
*momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
*A primeira vez é sempre a última chance.*

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/4/18 marcone augusto araújo borges 
> Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30
>
> Alguém resolveria por indução?
Manda um binômio de Newton em (n+1)^5, e pela hipótese de indução,
resta mostrar que

C(5,1) n + C(5,2)n^2 + C(5,3)n^3 + C(5,4)n^4 é divisível por 30.
Explicitando isso daí, você obtém:

5(n + 2n^2 + 2n^3 + n^4), que é divisível por 5 (claro!) e por 2
(número par de termos de mesma paridade que n). Pra ver módulo 3,
Fermat nele, n^3 == n, logo o treco vira

5(n + 2n^2 + 2n + n^2) = 5(3n + 3n^3), e fim.
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=