[obm-l] Soluções para uma Equação
Prove que dado p primo, existem infinitas p-uplas (a_1, ... , a_p) em Z^p tais que: (a_1)^1+(a_2)^2+ ... + (a_(p-1))^(p-1) = (a_p)^p Att.Sandoel Vieira
[obm-l] sequencia de funções
Mostrar que não existe uma sequências de funções contínuas f_n:[0,1]-->R, convergindo simplesmente para a função f:[0,1]-->R tal que f(x)=0 para x racional e f(x)=1 quando x é irracional. Vi uma demonstração que usa um teorema pesado usando que como as f_n sãocontínuas o conjunto dos elementos em que f é descontínua é de 1a categoria... Mas será que tem um jeito tranquilo de entendender usando epslon e delta? Fiquei apanhando dessa questão por um bom tempo. Alguém tem alguma ideia?
Re: [obm-l] sequencia de funções
A prova que conheço também é baseada neste teorema. Se (f_n) é uma sequência de funções contínuas definidas em um espaço topológico e com valores em R que convirja para uma função f, então o conjunto D das descontinuidades de f é de 1a categoria na classificação de Baire. Isto é, está contido numa união enumerável de conjuntos fechados com interior vazio. Como R é um espaço de Baire, D tem interior vazio. No caso da função que vc deu, D é todo o [0, 1], que não tem interior vazio. Isto prova o desejado. Mas o teorema aqui usado não é pesado não. A demonstração não é assim complicada. Baseia-se no fato de que D é Gdelta. O que também não é muito difícil de mostrar. Acho que provar isto via epsilon delta é bem mais complicado. Artur Costa Steiner Em 20/05/2013, às 21:49, Samuel Wainer escreveu: > Mostrar que não existe uma sequências de funções contínuas f_n:[0,1]-->R, > convergindo simplesmente > para a função f:[0,1]-->R tal que f(x)=0 para x racional e f(x)=1 quando x é > irracional. > > Vi uma demonstração que usa um teorema pesado usando que como as f_n > sãocontínuas o > conjunto dos elementos em que f é descontínua é de 1a categoria... > > Mas será que tem um jeito tranquilo de entendender usando epslon e delta? > Fiquei apanhando dessa questão por um bom tempo. > > Alguém tem alguma ideia?
Re: [obm-l] sequencia de funções
Aliás, na realidade, este seu exercício baseia-se em epsilon delta sim, porque a prova do teorema que vc citou baseia-se nisto. Recomendo que vc prove o teorema. Tudo de que vc precisa é o conceito de convergência puntual e o da definição epsilon delta de continuidade. Acho que fica mais fácil se vc primeiro provar que D é G delta. Artur Costa Steiner Em 20/05/2013, às 21:49, Samuel Wainer escreveu: > Mostrar que não existe uma sequências de funções contínuas f_n:[0,1]-->R, > convergindo simplesmente > para a função f:[0,1]-->R tal que f(x)=0 para x racional e f(x)=1 quando x é > irracional. > > Vi uma demonstração que usa um teorema pesado usando que como as f_n > sãocontínuas o > conjunto dos elementos em que f é descontínua é de 1a categoria... > > Mas será que tem um jeito tranquilo de entendender usando epslon e delta? > Fiquei apanhando dessa questão por um bom tempo. > > Alguém tem alguma ideia?
