Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)
O Bernardo já mostrou que m + n é múltiplo de 3. Resta mostrar que é também múltiplo de 8. Pelo mesmo raciocínio, mn = -1 (mod 8). Para que isto seja possível, um dos números m e n tem que ser congruente a 1 módulo 8 e, o outro, congruente a -1. Logo, m + n = 1 + (-1) = 0 (mod 8), ou seja, m + n é múltiplo de 8 Artur Costa Steiner Em 10/07/2013, às 22:17, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Sejam m e n dois números naturais tais que mn + 1 é multiplo de 24. Mostre que m + n tambem é múltiplo de 24. Se possivel,gostaria que alguem resolvesse por congruencia.Obrigado. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)
2013/7/11 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com O Bernardo já mostrou que m + n é múltiplo de 3. Resta mostrar que é também múltiplo de 8. Pelo mesmo raciocínio, mn = -1 (mod 8). Para que isto seja possível, um dos números m e n tem que ser congruente a 1 módulo 8 e, o outro, congruente a -1. Logo, m + n = 1 + (-1) = 0 (mod 8), ou seja, m + n é múltiplo de 8 m poderia ser 3 e n ser 5. 3*5 = 15 = 16 - 1 = -1 (mod 8) -- []'s Lucas -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Probabilidade - muito interessante...
Se a primeira pessoa sentar justamente no seu assento, todas as outras também sentarão corretamente porque já tem os cartões de embarque e encontrarão seus assentos disponíveis e a última pessoa encontrará seu assento disponível. Se a primeira pessoa sentar no assento que a última sentaria, todas as outras irão sentar corretamente e a última encontrará seu assento ocupado pela primeira sobrando apenas o assento da primeira. Se a primeira sentar em um assento que não seja o dela nem o da última pessoa, uma das outras pessoas irá encontrar seu assento ocupado pela primeira e sentará ou no assento da primeira (e a última encontrará seu assento disponível), ou da última (e a última encontrará seu assento ocupado) ou em outro assento e as possibilidades para a próxima que iria sentar neste assento seriam as mesmas da anterior. O número de possibilidades é sempre par onde metade deixa o último assento disponível e metade deixa ocupado. A solução está correta? Será que existe uma solução mais simples? 2013/7/11 Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com *Recentemente, eu peguei um avião que tinha 137 assentos. Eu gosto sempre de ser o primeiro a embarcar e não foi diferente nesta ocasião. Infelizmente, assim que eu entrei no avião, percebi que havia perdido o meu cartão de embarque e não conseguia me lembrar de qual era o meu assento. Sem saber o que fazer, eu escolhi aleatoriamente um assento qualquer e me sentei. Claro que havia a probabilidade de 1/137 de eu ter escolhido o assento correto, ou seja, aquele que estava marcado no meu cartão de embarque. À medida que os demais passageiros embarcavam, cada um se dirigia ao seu assento e sentava-se, a menos que o mesmo estivesse ocupado. Neste caso, o passageiro abria mão de sentar-se no assento que estava originalmente atribuído a ele (conforme o cartão de embarque) e escolhia um outro assento qualquer para se sentar. Percebi que fui o único passageiro que perdeu o cartão de embarque.* * * *A questão que se coloca é a seguinte: qual a probabilidade de o último passageiro a embarcar encontrar o seu assento desocupado, ou seja, encontrar o assento que está no seu cartão de embarque disponível para ele se sentar?* Este problema está explicado no livro Introduction to counting and probability do David Patrick e tem uma resposta surpreendente: a probabilidade é de 50%... Para sentir a solução, vale a pena pensar no problema para os casos em que o avião tem 2, 3, 4 e 5 assentos... -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.* *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios.* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Análise combinatória
Não consegui achar uma forma de resolver isto sem recorrer a um computador. Com os inteiros de 1 a 100, quantos conjuntos de 4 elementos podemos formar de modo que a diferença positiva entre dois elementos do conjunto seja maior ou igual a 2? Abraços. Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória
2013/7/11 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com
Não consegui achar uma forma de resolver isto sem recorrer a um
computador.
Com os inteiros de 1 a 100, quantos conjuntos de 4 elementos podemos
formar de modo que a diferença positiva entre dois elementos do conjunto
seja maior ou igual a 2?
Utilizando da seguinte identidade:
sum_{0 = k = n} kCm = (n+1)C(m+1)
, onde xCy é o numero de combinações de x objetos, y a y,
podemos obter uma expressão para o valor procurado.
Em vez de considerar as posições, consideremos a posição inicial x e as
diferenças d1, d2 e d3, de modo que os números selecionados sejam x, x+d1,
x+d1+d2, x+d1+d2+d3.
Se fixarmos k = d1+d2+d3, de quantas formas podemos selecionar uma tripla
(d1, d2, d3)? Basta fazer uma combinação completa de k-6 em 3 pedaços e
então adicionar a cada um dos 3 pedaços o +2 pra respeitar a restrição de
ser = 2. O número de triplas é portanto (k-6 + 2)C2.
Fixado k, podemos selecionar a posição inicial de 100-k-1 formas.
Assim o número total de formas é
sum_{6 = k = 99} (100 - k - 1) (k-6 +2)C2.
Para nos livrarmos do k no fator podemos fazer o seguinte:
(99 - 3 - (k-3)) (k-4)C2 = 96 (k-4)C2 -(k-3) (k-4)C2 = 96 (k-4)C2
- 3 (k-3)C3
E assim a expressão pode ser obtida da identidade mostrada no início com
algumas manipulaçõezinhas algébricas.
--
[]'s
Lucas
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)
Leia a mensagem inicial do Marcone Augusto Araujo Borges. A questão original perdeu-se pelo caminho (parece o jogador que vai driblando e e esquece a bola ou a brincadeira do telefone sem fio, de antigamente, claro...) De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 11 de Julho de 2013 15:19 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência) 2013/7/11 Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br: De: Lucas Prado Melo luca...@dcc.ufba.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 11 de Julho de 2013 6:43 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência) 2013/7/11 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com O Bernardo já mostrou que m + n é múltiplo de 3. Resta mostrar que é também múltiplo de 8. Pelo mesmo raciocínio, mn = -1 (mod 8). Para que isto seja possível, um dos números m e n tem que ser congruente a 1 módulo 8 e, o outro, congruente a -1. Logo, m + n = 1 + (-1) = 0 (mod 8), ou seja, m + n é múltiplo de 8 m poderia ser 3 e n ser 5. 3*5 = 15 = 16 - 1 = -1 (mod 8) CUIDADO: nem 3*5+1=16, nem 3+5=8 é divisível por 24 Não, mas o princípio é analisar módulo cada uma das potências de primos que dividem 24, e o Artur e o Lucas completaram a solução com a parte mod 8. Aliás, a propriedade vale par qualquer divisor, desde que seja menor que pelo menos um entre m e n . Que propriedade? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Probabilidade - muito interessante...
Consideremos o embarque dos 136 passageiros, inclusive você, i.e. excluindo o último (consideramos o voo lotado) Assim que alguém (inclusive você) ocupar o seu lugar ou o do último passageiro a embarcar, os passageiros seguintes encontrarão o próprio lugar vago, ocupando-o. Portanto, quando o centésimo trigésimo sétimo passageiro embarcar, encontrará vago ou o próprio lugar ou o seu, com probabilidade meio à meio De: Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 11 de Julho de 2013 10:16 Assunto: [obm-l] Probabilidade - muito interessante... Recentemente, eu peguei um avião que tinha 137 assentos. Eu gosto sempre de ser o primeiro a embarcar e não foi diferente nesta ocasião. Infelizmente, assim que eu entrei no avião, percebi que havia perdido o meu cartão de embarque e não conseguia me lembrar de qual era o meu assento. Sem saber o que fazer, eu escolhi aleatoriamente um assento qualquer e me sentei. Claro que havia a probabilidade de 1/137 de eu ter escolhido o assento correto, ou seja, aquele que estava marcado no meu cartão de embarque. À medida que os demais passageiros embarcavam, cada um se dirigia ao seu assento e sentava-se, a menos que o mesmo estivesse ocupado. Neste caso, o passageiro abria mão de sentar-se no assento que estava originalmente atribuído a ele (conforme o cartão de embarque) e escolhia um outro assento qualquer para se sentar. Percebi que fui o único passageiro que perdeu o cartão de embarque. A questão que se coloca é a seguinte: qual a probabilidade de o último passageiro a embarcar encontrar o seu assento desocupado, ou seja, encontrar o assento que está no seu cartão de embarque disponível para ele se sentar? Este problema está explicado no livro Introduction to counting and probability do David Patrick e tem uma resposta surpreendente: a probabilidade é de 50%... Para sentir a solução, vale a pena pensar no problema para os casos em que o avião tem 2, 3, 4 e 5 assentos... -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ momentos excepcionais pedem ações excepcionais. Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Primos
Mostre que a soma de dois primos consecutivos nunca é o dobro de um primo Peço ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Primos
Considerando p1 e p2 dois primos consecutivos maiores que 2. Podemos escrever p1 = 2*m+1 e p2 = 2*n+1. p1+p2 = 2*(m+n+1). Se p1+p2 for o dobro de um primo, então m+n+1 seria esse primo. Mas, como n m, temos p1 = 2*m+1 m+n+1 2*n+1 = p2, ou seja, m+n+1 seria um primo entre os dois consecutivos, o que é uma contradição. 2013/7/11 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Mostre que a soma de dois primos consecutivos nunca é o dobro de um primo Peço ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Primos
Oi, Marcone, Números primos são da forma 6k - 1 ou 6k + 1. Imediato... Nehab On 11/07/2013 23:16, marcone augusto araújo borges wrote: Mostre que a soma de dois primos consecutivos nunca é o dobro de um primo [Upload Photo to Facebook] [Google+] [Twitt] [Send by Gmail] [Upload Video to Facebook] [Google+] [Twitt] [Send by Gmail] Peço ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória
Seja {A_n} a quantidade de seqüências com 4 números escolhidos de 1 a n
tais que a diferença positiva seja maior ou igual a 2 (n=4).
Seja {B_n} a quantidade de seqüências com 3 números escolhidos de 1 a n
tais que a diferença positiva seja maior ou igual a 2 (n=3).
Seja {C_n} a quantidade de seqüências com 2 números escolhidos de 1 a n
tais que a diferença positiva seja maior ou igual a 2 (n=2).
Para sabermos quanto vale A_(n+1), devemos dividir nossa contagem em duas
partes:
i) escolher 4 números dentre os que vão de 1 a n tais que a diferença
positiva seja maior ou igual a 2. Isto pode ser feito de A_n maneiras.
ii) escolher o (n+1) como um número obrigatório a constar no nosso conjunto
de 4. Após isso, escolher 3 números entre os que vão de 1 a (n-1), cuja
diferença positiva seja maior ou igual a 2. Isto pode ser feito de B_(n-1)
maneiras.
Podemos escrever: A_(n+1) = A_n + B_(n-1) (n=4).
Analogamente teremos: B_(n+1) = B_n + C_(n-1) (n=3).
Pensando de maneira similar, temos também: C_(n+1) = C_n + (n-1) (n=2).
Temos três séries telescópicas. Resolvendo e lembrando que a soma das
colunas do triângulo de Pascal é o número binomial localizado na diagonal à
direita do último elemento do somatório, obteremos:
C_n = binomial (n-1,2) = (n-1).(n-2)/2!
B_n = binomial (n-2,3) = (n-2)(n-3)(n-4)/3!
A_n = binomial (n-3,4) = (n-3)(n-4)(n-5)(n-6)/4!
Em quinta-feira, 11 de julho de 2013, Lucas Prado Melo escreveu:
2013/7/11 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com javascript:_e({},
'cvml', 'steinerar...@gmail.com');
Não consegui achar uma forma de resolver isto sem recorrer a um
computador.
Com os inteiros de 1 a 100, quantos conjuntos de 4 elementos podemos
formar de modo que a diferença positiva entre dois elementos do conjunto
seja maior ou igual a 2?
Utilizando da seguinte identidade:
sum_{0 = k = n} kCm = (n+1)C(m+1)
, onde xCy é o numero de combinações de x objetos, y a y,
podemos obter uma expressão para o valor procurado.
Em vez de considerar as posições, consideremos a posição inicial x e as
diferenças d1, d2 e d3, de modo que os números selecionados sejam x, x+d1,
x+d1+d2, x+d1+d2+d3.
Se fixarmos k = d1+d2+d3, de quantas formas podemos selecionar uma tripla
(d1, d2, d3)? Basta fazer uma combinação completa de k-6 em 3 pedaços e
então adicionar a cada um dos 3 pedaços o +2 pra respeitar a restrição de
ser = 2. O número de triplas é portanto (k-6 + 2)C2.
Fixado k, podemos selecionar a posição inicial de 100-k-1 formas.
Assim o número total de formas é
sum_{6 = k = 99} (100 - k - 1) (k-6 +2)C2.
Para nos livrarmos do k no fator podemos fazer o seguinte:
(99 - 3 - (k-3)) (k-4)C2 = 96 (k-4)C2 -(k-3) (k-4)C2 = 96 (k-4)C2
- 3 (k-3)C3
E assim a expressão pode ser obtida da identidade mostrada no início com
algumas manipulaçõezinhas algébricas.
--
[]'s
Lucas
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Primos
Acho que não existe uma fórmula fechada para os primos. Acho que tentamos encontrá-la há um bom tempo... mas sem sucesso, apesar de inúmeras outras portas que foram abertas com a teoria analítica dos números. Em sexta-feira, 12 de julho de 2013, Nehab escreveu: Oi, Marcone, Números primos são da forma 6k - 1 ou 6k + 1. Imediato... Nehab On 11/07/2013 23:16, marcone augusto araújo borges wrote: Mostre que a soma de dois primos consecutivos nunca é o dobro de um primo Peço ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
