[obm-l] questão de treinamento olimpica.

[Mauricio de Araujo]

Sejam a1, a2, ..., a11 e b1, b2, ..., b11 duas permutações dos inteiros 1,
2, ..., 11. Considere os números a1.b1, a2.b2, a3.b3, ..., a11.b11. Mostre
que pelo menos dois destes números deixam o mesmo resto quando divididos
por 11.
Sugestão: Redução ao absurdo.

-- 
Abraços

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] questão de treinamento olimpica.

[Esdras Muniz]

Supondo por absurdo que isso ocorra, daí  temos que se a_i=11, então
b_i=11, do contrario, teríamos dois produtos de resto zero por 11. Então
vamos supor sem perda de generalidade que a_11=b_11=11.
daí, se x_i=a_i.b_i, supondo que {x_1,..., x_10} têm todos os restos
positivos possíveis por 11, então x_1.x_2...x_10 é congruente a (1.2...10)
(mod 11). (1.2...10)=(11-1)!.
Mas: x_1.x_2...x_10=(1.2...10)².
O teorema de Wilson garante que:
(11-1)! é congruente a -1 (mod 11). enquanto que (1.2...10)² é congruente a
1 (mod 11). O que é um absurdo.

Em 7 de outubro de 2015 08:59, Mauricio de Araujo <
mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:

> Sejam a1, a2, ..., a11 e b1, b2, ..., b11 duas permutações dos inteiros 1,
> 2, ..., 11. Considere os números a1.b1, a2.b2, a3.b3, ..., a11.b11. Mostre
> que pelo menos dois destes números deixam o mesmo resto quando divididos
> por 11.
> Sugestão: Redução ao absurdo.
>
> --
> Abraços
>
> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão de treinamento olimpica.

[Israel Meireles Chrisostomo]

Mas isso aí não pode ser resolvido pelo princípio da casa dos pombos?


Em 7 de outubro de 2015 10:29, Esdras Muniz 
escreveu:

> Supondo por absurdo que isso ocorra, daí  temos que se a_i=11, então
> b_i=11, do contrario, teríamos dois produtos de resto zero por 11. Então
> vamos supor sem perda de generalidade que a_11=b_11=11.
> daí, se x_i=a_i.b_i, supondo que {x_1,..., x_10} têm todos os restos
> positivos possíveis por 11, então x_1.x_2...x_10 é congruente a (1.2...10)
> (mod 11). (1.2...10)=(11-1)!.
> Mas: x_1.x_2...x_10=(1.2...10)².
> O teorema de Wilson garante que:
> (11-1)! é congruente a -1 (mod 11). enquanto que (1.2...10)² é congruente
> a 1 (mod 11). O que é um absurdo.
>
> Em 7 de outubro de 2015 08:59, Mauricio de Araujo <
> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:
>
>> Sejam a1, a2, ..., a11 e b1, b2, ..., b11 duas permutações dos inteiros
>> 1, 2, ..., 11. Considere os números a1.b1, a2.b2, a3.b3, ..., a11.b11.
>> Mostre que pelo menos dois destes números deixam o mesmo resto quando
>> divididos por 11.
>> Sugestão: Redução ao absurdo.
>>
>> --
>> Abraços
>>
>> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão de treinamento olimpica.

[Israel Meireles Chrisostomo]

Ah tah, agora que eu vi que é o produto

Em 7 de outubro de 2015 13:57, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Mas isso aí não pode ser resolvido pelo princípio da casa dos pombos?
>
>
> Em 7 de outubro de 2015 10:29, Esdras Muniz 
> escreveu:
>
>> Supondo por absurdo que isso ocorra, daí  temos que se a_i=11, então
>> b_i=11, do contrario, teríamos dois produtos de resto zero por 11. Então
>> vamos supor sem perda de generalidade que a_11=b_11=11.
>> daí, se x_i=a_i.b_i, supondo que {x_1,..., x_10} têm todos os restos
>> positivos possíveis por 11, então x_1.x_2...x_10 é congruente a (1.2...10)
>> (mod 11). (1.2...10)=(11-1)!.
>> Mas: x_1.x_2...x_10=(1.2...10)².
>> O teorema de Wilson garante que:
>> (11-1)! é congruente a -1 (mod 11). enquanto que (1.2...10)² é congruente
>> a 1 (mod 11). O que é um absurdo.
>>
>> Em 7 de outubro de 2015 08:59, Mauricio de Araujo <
>> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Sejam a1, a2, ..., a11 e b1, b2, ..., b11 duas permutações dos inteiros
>>> 1, 2, ..., 11. Considere os números a1.b1, a2.b2, a3.b3, ..., a11.b11.
>>> Mostre que pelo menos dois destes números deixam o mesmo resto quando
>>> divididos por 11.
>>> Sugestão: Redução ao absurdo.
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>>> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> Esdras Muniz Mota
>> Mestrando em Matemática
>> Universidade Federal do Ceará
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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