Re: [obm-l] Geometria plana

[Pedro José]

Boa tarde!

Só faltaram as definições de a e b, a é a medida do segmento BF e b a do
segmento CG.

Desculpem-me,
PJMS

Em 12 de julho de 2017 09:08, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> Estava indo pelo caminho errado, derivadas parciais.
>
> x + y = ab/(a+b) + (1-a) (1-b) / (2-(a+b)) = ((a+b) - (a^2+b^2))/ (2(a+b)
> - (a+b)^2)
>
> Agora ficou fácil, basta mostrar que 2(a^2+b^2) >= (a+b)^2, o que implica
> em x + y <= 0,5 e S(PFQG) <= 1/4
> Mas por Cauchy-Shwarz fica clara a desigualdade e o caso particular da
> igualdade só se dá para a = b.
> Portanto, a=b é a condição e a área máxima é 1/4. Atentar que a e b não
> podem assumir os valores 0 ou 1.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em 11 de julho de 2017 20:50, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa noite!
>>
>> Não consegui por completo, mas a solução é 1/4 e vale para BF=CG . BF<>0
>> e BF <>1
>>
>> S(PFQG) =  S(FCD) - S(QCG) - S(PGD) ==> S(PFQG) = 1/2 - S(QCG) - S(PGD)
>> (i)
>>
>> S (AGD) + S(BCG) = CG/2 +GD/2 = 1/2
>>
>> S(QCG) + S(PGD) + S(APD) + S(BCQ) = S (AGD) + S(BCG) = 1/2 (ii)
>>
>> por (i), se S(PFQG) é máximo então S(QCG) + S(PGD) é mínimo.
>>
>> por (ii) se S(QCG) + S(PGD) é mínimo, então S(APD) + S(BCQ) é máximo.
>> (iii)
>>
>> seja x a medida da altura do triângulo BCQ, relativo ao vértice Q e y a
>> altura do triângulo APD, relativa à P, de (iii) temos que x+ y deve ser
>> máximo.
>>
>> x = ab/(a+b) e y = (1-a) (1-b) / (2-(a+b)), onde x é a medida de BF e y a
>> medida de CG.
>> É fácil mostrar que quando a=b ==> x+ y = 1/2 e S(PFQG) = 1/4.
>>
>> Difícil, pelo menos para mim, é mostrar que x + y < 0,5, quando a<>b e
>> por conseguinte S(PFQG) < 1/4.
>>
>> Morri na praia.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em 10 de julho de 2017 10:48, Douglas Oliveira de Lima <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Sejam F e G pontos sobre AB e CD de um quadrado unitário ABCD. AG e DF
>>> se interceptam em P,
>>> e CF e BG se interceptam em Q. Determinar a posição dos pontos F e G
>>> para que o quadrilátero PFQG tenha área máxima.
>>>
>>> Douglas Oliveira.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria plana

[Pedro José]

Bom dia!

Estava indo pelo caminho errado, derivadas parciais.

x + y = ab/(a+b) + (1-a) (1-b) / (2-(a+b)) = ((a+b) - (a^2+b^2))/ (2(a+b) -
(a+b)^2)

Agora ficou fácil, basta mostrar que 2(a^2+b^2) >= (a+b)^2, o que implica
em x + y <= 0,5 e S(PFQG) <= 1/4
Mas por Cauchy-Shwarz fica clara a desigualdade e o caso particular da
igualdade só se dá para a = b.
Portanto, a=b é a condição e a área máxima é 1/4. Atentar que a e b não
podem assumir os valores 0 ou 1.

Saudações,
PJMS

Em 11 de julho de 2017 20:50, Pedro José  escreveu:

> Boa noite!
>
> Não consegui por completo, mas a solução é 1/4 e vale para BF=CG . BF<>0 e
> BF <>1
>
> S(PFQG) =  S(FCD) - S(QCG) - S(PGD) ==> S(PFQG) = 1/2 - S(QCG) - S(PGD) (i)
>
> S (AGD) + S(BCG) = CG/2 +GD/2 = 1/2
>
> S(QCG) + S(PGD) + S(APD) + S(BCQ) = S (AGD) + S(BCG) = 1/2 (ii)
>
> por (i), se S(PFQG) é máximo então S(QCG) + S(PGD) é mínimo.
>
> por (ii) se S(QCG) + S(PGD) é mínimo, então S(APD) + S(BCQ) é máximo. (iii)
>
> seja x a medida da altura do triângulo BCQ, relativo ao vértice Q e y a
> altura do triângulo APD, relativa à P, de (iii) temos que x+ y deve ser
> máximo.
>
> x = ab/(a+b) e y = (1-a) (1-b) / (2-(a+b)), onde x é a medida de BF e y a
> medida de CG.
> É fácil mostrar que quando a=b ==> x+ y = 1/2 e S(PFQG) = 1/4.
>
> Difícil, pelo menos para mim, é mostrar que x + y < 0,5, quando a<>b e por
> conseguinte S(PFQG) < 1/4.
>
> Morri na praia.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em 10 de julho de 2017 10:48, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Sejam F e G pontos sobre AB e CD de um quadrado unitário ABCD. AG e DF se
>> interceptam em P,
>> e CF e BG se interceptam em Q. Determinar a posição dos pontos F e G para
>> que o quadrilátero PFQG tenha área máxima.
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.