Bom dia! Estava indo pelo caminho errado, derivadas parciais.
x + y = ab/(a+b) + (1-a) (1-b) / (2-(a+b)) = ((a+b) - (a^2+b^2))/ (2(a+b) - (a+b)^2) Agora ficou fácil, basta mostrar que 2(a^2+b^2) >= (a+b)^2, o que implica em x + y <= 0,5 e S(PFQG) <= 1/4 Mas por Cauchy-Shwarz fica clara a desigualdade e o caso particular da igualdade só se dá para a = b. Portanto, a=b é a condição e a área máxima é 1/4. Atentar que a e b não podem assumir os valores 0 ou 1. Saudações, PJMS Em 11 de julho de 2017 20:50, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu: > Boa noite! > > Não consegui por completo, mas a solução é 1/4 e vale para BF=CG . BF<>0 e > BF <>1 > > S(PFQG) = S(FCD) - S(QCG) - S(PGD) ==> S(PFQG) = 1/2 - S(QCG) - S(PGD) (i) > > S (AGD) + S(BCG) = CG/2 +GD/2 = 1/2 > > S(QCG) + S(PGD) + S(APD) + S(BCQ) = S (AGD) + S(BCG) = 1/2 (ii) > > por (i), se S(PFQG) é máximo então S(QCG) + S(PGD) é mínimo. > > por (ii) se S(QCG) + S(PGD) é mínimo, então S(APD) + S(BCQ) é máximo. (iii) > > seja x a medida da altura do triângulo BCQ, relativo ao vértice Q e y a > altura do triângulo APD, relativa à P, de (iii) temos que x+ y deve ser > máximo. > > x = ab/(a+b) e y = (1-a) (1-b) / (2-(a+b)), onde x é a medida de BF e y a > medida de CG. > É fácil mostrar que quando a=b ==> x+ y = 1/2 e S(PFQG) = 1/4. > > Difícil, pelo menos para mim, é mostrar que x + y < 0,5, quando a<>b e por > conseguinte S(PFQG) < 1/4. > > Morri na praia. > > Saudações, > PJMS > > > Em 10 de julho de 2017 10:48, Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Sejam F e G pontos sobre AB e CD de um quadrado unitário ABCD. AG e DF se >> interceptam em P, >> e CF e BG se interceptam em Q. Determinar a posição dos pontos F e G para >> que o quadrilátero PFQG tenha área máxima. >> >> Douglas Oliveira. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.