Re: [obm-l] soma de quadrados
3^2 + 4^2 = 5^2 5^2 + 12^2 = 13^2 ==> 3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2 13^2 + 84^2 = 85^2 ==> 3^2 + 4^2 + 12^2 + 84^2 = 85^2 Em geral, dado a^2 ímpar, você quer x tal que a^2 + x^2 = (x+1)^2 ==> x = (a^2 -1)/2 a^2 = 85^2 ==> x = (85^2-1)/2 = 3612 ==> 3^2 + 4^2 + 12^2 + 84^2 + 3612^2 = 3613^2 Determinar a sequência que cresce mais devagar é outro problema... 2018-02-28 22:23 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com>: > 2018-02-28 22:01 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges > : > > Seja a sequência > > > > 3^2 + 4^2 = 5^2 > > 3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2 > > 3^2 + 4^2 + 12^2 + 84^2 = 85^2 > >. > >. > >. > > A soma de n quadrados é um quadrado > > Existe uma ´´lei de formação´´ ou uma recorrência para determinar > > uma soma dessas para, digamos, n = 10 ou n = 30 ou n = 100, ... > > Vou dar (um) próximo termo. Não é, necessariamente, o menor, nem o > melhor, mas ele tem uma "lei de formação" fácil. > > 3^2 + 4^2 + 12^2 + 84^2 + 204^2 = 221^2 > > > A sequência que eu obtive tem crescimento "exponencial", ou seja, o > n-ésimo termo é maior do que 2^n. Seria interessante saber se existe > uma sequência de crescimento polinomial... > > Abraços, > -- > Bernardo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como calcular?
2018-03-01 0:56 GMT-03:00 Gabriel Tostes : > Define a sequencia A_(n+1)= [ (A_n)^2 - 1 ] / n (1) > Então A_2= sqrt(1+2A3)=sqrt(1+2(sqrt(1+3A4))... Realimentando sempre > (substituindo A_n=sqrt(1+ nA_n+1) > vemos que A2 se iguala a x se lim n->oo da raiz 2^(n-2) de An é 0. Eu não entendi esta afirmação "A2 se iguala a x se lim ... = 0". Como você mostra isso? Além do mais, a sequência de raizes podia (podia...) tender a infinito. Acho que também tem que mostrar que não é o caso. Enfim, o que você escreveu (pode ser que você queira dizer outra coisa) é que "se o limite é zero, então A2 é finito", mas o que você precisa (para o argumento abaixo) é "se A2 é finito, então o limite é zero". > Seja An=n+1 + Bn. Bn outra sequencia. Realmente, essa transformação é mágica. Eu chutei o limite (usando um computador) e daí calculei os outros termos, vi An = n+1, e fui provar que dava. O que eu usei foi uma sequência dupla, T(n,m) = raiz(1 + n*raiz(1 + (n+1)*raiz(1 + raiz(1 + m) ... ))). Claro que T(n,m+1) > T(n,m), portanto lim T(n,m) existe (ou é infinito). E para provar que não é infinito eu usei que o limite deveria dar T(n,inf) = n+1, e provei que T(n,m) < n+1 para todo m... > Então, de 1: > n+2+B_(n+1)=n+2 + 2Bn + ( Bn^2 + 2Bn)/n -> B_(n+1) >= 2Bn, uma inducao > simples traz que: > Bn>=2^(n-2).B2 > Entao o limite quando n vai para o infinito da raiz 2^(n-2) de An eh igual a > B2, ou seja, B2=0 e > X= A2=3 -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulo quase Russo - 12º - 18º - 42º
Eu coloquei no Geogebra e deu 48,71º. Deve ter algo errado Em qua, 28 de fev de 2018 às 21:46, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > Em 28 de fevereiro de 2018 11:59, Claudio Buffara > escreveu: > > Sugestão 1: usando régua e transferidor, desenhe uma figura tão grande e > > precisa quanto puder (por exemplo, ocupando a maior parte de uma folha de > > A4). > > Daí, meça o ângulo EDB com o transferidor e obtenha uma conjectura. > > Já será um progresso: ao invés de ter que determinar o valor do ângulo e > > provar que seu raciocínio está correto, você precisará apenas provar sua > > conjectura. > > > > Sugestão 2: Como 12 = 360/30, considere um polígono regular convexo de 30 > > lados inscrito numa circunferência de centro A e tal que B e C sejam > > vértices (adjacentes) do polígono. > > Tô tentando resolver dessa forma, mas acredito ser mais promissor usar > um 15-ágono em que > os três vértices estão na circunferência circunscrita ao triângulo. > Dessa forma é mais fácil ver certas simetrias. > Por exemplo, as retas que definem os ângulos inferiores atingem > meios-arcos interessantes. Daí fica mais > fácil verificar algumas propriedades. > > > Considere os vértices P e Q do polígono tais que PAB, BAC e CAQ são > ângulos > > adjacentes (digamos com P, B, C, Q tomados no sentido anti-horário sobre > a > > circunferência), com PAB = 84 graus e CAQ = 36 graus. Prove que BQ > > intersecta AC em D e CP intersecta AB em E. > > Será que a reta suporte de DE intersecta a circunferência em pontos que > são > > vértices do polígono de 30 lados? > > Aqui está outra situação em que um desenho bem feito (agora também com um > > compasso) pode ajudar. > > Ou então, se você usar Geogebra ou algum outro software de geometria > > dinâmica... > > > > []s, > > Claudio. > > > > > > 2018-02-28 7:36 GMT-03:00 Jeferson Almir : > >> > >> Queria uma ajuda nesse problema de preferência por geometria sintética > :) > >> > >> Seja um triângulo ABC isósceles de base BC sendo A = 12º e os pontos E > e > >> D sobre AB e BC respectivamente tal que os ângulos ECB= 42º e DBC =18º. > >> Calcule o ângulo EDB. > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulo quase Russo - 12º - 18º - 42º
Opa !! Deu um valor legal. Eu tinha errado a resposta é 48º. Desculpem Em qui, 1 de mar de 2018 às 11:27, Jeferson Almir escreveu: > Eu coloquei no Geogebra e deu 48,71º. Deve ter algo errado > > Em qua, 28 de fev de 2018 às 21:46, Anderson Torres < > torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > >> Em 28 de fevereiro de 2018 11:59, Claudio Buffara >> escreveu: >> > Sugestão 1: usando régua e transferidor, desenhe uma figura tão grande e >> > precisa quanto puder (por exemplo, ocupando a maior parte de uma folha >> de >> > A4). >> > Daí, meça o ângulo EDB com o transferidor e obtenha uma conjectura. >> > Já será um progresso: ao invés de ter que determinar o valor do ângulo e >> > provar que seu raciocínio está correto, você precisará apenas provar sua >> > conjectura. >> > >> > Sugestão 2: Como 12 = 360/30, considere um polígono regular convexo de >> 30 >> > lados inscrito numa circunferência de centro A e tal que B e C sejam >> > vértices (adjacentes) do polígono. >> >> Tô tentando resolver dessa forma, mas acredito ser mais promissor usar >> um 15-ágono em que >> os três vértices estão na circunferência circunscrita ao triângulo. >> Dessa forma é mais fácil ver certas simetrias. >> Por exemplo, as retas que definem os ângulos inferiores atingem >> meios-arcos interessantes. Daí fica mais >> fácil verificar algumas propriedades. >> >> > Considere os vértices P e Q do polígono tais que PAB, BAC e CAQ são >> ângulos >> > adjacentes (digamos com P, B, C, Q tomados no sentido anti-horário >> sobre a >> > circunferência), com PAB = 84 graus e CAQ = 36 graus. Prove que BQ >> > intersecta AC em D e CP intersecta AB em E. >> > Será que a reta suporte de DE intersecta a circunferência em pontos que >> são >> > vértices do polígono de 30 lados? >> > Aqui está outra situação em que um desenho bem feito (agora também com >> um >> > compasso) pode ajudar. >> > Ou então, se você usar Geogebra ou algum outro software de geometria >> > dinâmica... >> > >> > []s, >> > Claudio. >> > >> > >> > 2018-02-28 7:36 GMT-03:00 Jeferson Almir : >> >> >> >> Queria uma ajuda nesse problema de preferência por geometria sintética >> :) >> >> >> >> Seja um triângulo ABC isósceles de base BC sendo A = 12º e os pontos >> E e >> >> D sobre AB e BC respectivamente tal que os ângulos ECB= 42º e DBC =18º. >> >> Calcule o ângulo EDB. >> >> >> >> -- >> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> >> acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como calcular?
Então, esse problema é bem interessante, se eu não me engano, ele tem sua origem com o matemático indiano Ramanujam, em um de seus escritos. Mas tem uma solução legal na dissertação do meu camarada Carlos Victor, do PROFMAT, veja: https://sca.profmat-sbm.org.br/sca_v2/get_tcc3.php?id=27919 , é o problema de número 49. Valeu forte abraço do Douglas Oliveira. Em 1 de março de 2018 10:08, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> escreveu: > 2018-03-01 0:56 GMT-03:00 Gabriel Tostes : > > Define a sequencia A_(n+1)= [ (A_n)^2 - 1 ] / n (1) > > Então A_2= sqrt(1+2A3)=sqrt(1+2(sqrt(1+3A4))... Realimentando sempre > (substituindo A_n=sqrt(1+ nA_n+1) > > vemos que A2 se iguala a x se lim n->oo da raiz 2^(n-2) de An é 0. > > Eu não entendi esta afirmação "A2 se iguala a x se lim ... = 0". Como > você mostra isso? Além do mais, a sequência de raizes podia > (podia...) tender a infinito. Acho que também tem que mostrar que não > é o caso. Enfim, o que você escreveu (pode ser que você queira dizer > outra coisa) é que "se o limite é zero, então A2 é finito", mas o que > você precisa (para o argumento abaixo) é "se A2 é finito, então o > limite é zero". > > > Seja An=n+1 + Bn. Bn outra sequencia. > > Realmente, essa transformação é mágica. Eu chutei o limite (usando um > computador) e daí calculei os outros termos, vi An = n+1, e fui provar > que dava. O que eu usei foi uma sequência dupla, T(n,m) = raiz(1 + > n*raiz(1 + (n+1)*raiz(1 + raiz(1 + m) ... ))). Claro que > T(n,m+1) > T(n,m), portanto lim T(n,m) existe (ou é infinito). E para > provar que não é infinito eu usei que o limite deveria dar T(n,inf) = > n+1, e provei que T(n,m) < n+1 para todo m... > > > Então, de 1: > > n+2+B_(n+1)=n+2 + 2Bn + ( Bn^2 + 2Bn)/n -> B_(n+1) >= 2Bn, uma inducao > simples traz que: > > Bn>=2^(n-2).B2 > > Entao o limite quando n vai para o infinito da raiz 2^(n-2) de An eh > igual a B2, ou seja, B2=0 e > > X= A2=3 > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulo quase Russo - 12º - 18º - 42º
Eis a solução, quem me apresentou esse problema pela primeira vez foi meu professor da UERJ Paulo César em 2003 se não me engano.. E depois peguei a revista que tinha a resolução com um grande amigo que faleceu "Gandhi" Antonio Luis dos Santos. O link da solução é http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200505/msg00212.html Já postado pelo Nicolau tem tempo. Vale a pena ler a revista é realmente muito boa, fala a respeito de 53 triplas de inteiros que satisfazem esse triângulo. Forte abraço do Douglas Oliveira. Em 1 de março de 2018 11:31, Jeferson Almir escreveu: > Opa !! Deu um valor legal. Eu tinha errado a resposta é 48º. Desculpem > > Em qui, 1 de mar de 2018 às 11:27, Jeferson Almir < > jefersonram...@gmail.com> escreveu: > >> Eu coloquei no Geogebra e deu 48,71º. Deve ter algo errado >> >> Em qua, 28 de fev de 2018 às 21:46, Anderson Torres < >> torres.anderson...@gmail.com> escreveu: >> >>> Em 28 de fevereiro de 2018 11:59, Claudio Buffara >>> escreveu: >>> > Sugestão 1: usando régua e transferidor, desenhe uma figura tão grande >>> e >>> > precisa quanto puder (por exemplo, ocupando a maior parte de uma folha >>> de >>> > A4). >>> > Daí, meça o ângulo EDB com o transferidor e obtenha uma conjectura. >>> > Já será um progresso: ao invés de ter que determinar o valor do ângulo >>> e >>> > provar que seu raciocínio está correto, você precisará apenas provar >>> sua >>> > conjectura. >>> > >>> > Sugestão 2: Como 12 = 360/30, considere um polígono regular convexo de >>> 30 >>> > lados inscrito numa circunferência de centro A e tal que B e C sejam >>> > vértices (adjacentes) do polígono. >>> >>> Tô tentando resolver dessa forma, mas acredito ser mais promissor usar >>> um 15-ágono em que >>> os três vértices estão na circunferência circunscrita ao triângulo. >>> Dessa forma é mais fácil ver certas simetrias. >>> Por exemplo, as retas que definem os ângulos inferiores atingem >>> meios-arcos interessantes. Daí fica mais >>> fácil verificar algumas propriedades. >>> >>> > Considere os vértices P e Q do polígono tais que PAB, BAC e CAQ são >>> ângulos >>> > adjacentes (digamos com P, B, C, Q tomados no sentido anti-horário >>> sobre a >>> > circunferência), com PAB = 84 graus e CAQ = 36 graus. Prove que BQ >>> > intersecta AC em D e CP intersecta AB em E. >>> > Será que a reta suporte de DE intersecta a circunferência em pontos >>> que são >>> > vértices do polígono de 30 lados? >>> > Aqui está outra situação em que um desenho bem feito (agora também com >>> um >>> > compasso) pode ajudar. >>> > Ou então, se você usar Geogebra ou algum outro software de geometria >>> > dinâmica... >>> > >>> > []s, >>> > Claudio. >>> > >>> > >>> > 2018-02-28 7:36 GMT-03:00 Jeferson Almir : >>> >> >>> >> Queria uma ajuda nesse problema de preferência por geometria >>> sintética :) >>> >> >>> >> Seja um triângulo ABC isósceles de base BC sendo A = 12º e os pontos >>> E e >>> >> D sobre AB e BC respectivamente tal que os ângulos ECB= 42º e DBC >>> =18º. >>> >> Calcule o ângulo EDB. >>> >> >>> >> -- >>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> >> acredita-se estar livre de perigo. >>> > >>> > >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> = >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> >>> = >>> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulo quase Russo - 12º - 18º - 42º
Na vdd acho que confundi esse problema com outro sinistro rs. Ah mas ta valendo, pelo menos agora agente tem outro. Abracos. Em 1 de mar de 2018 11:41, "Jeferson Almir" escreveu: > Opa !! Deu um valor legal. Eu tinha errado a resposta é 48º. Desculpem > > Em qui, 1 de mar de 2018 às 11:27, Jeferson Almir < > jefersonram...@gmail.com> escreveu: > >> Eu coloquei no Geogebra e deu 48,71º. Deve ter algo errado >> >> Em qua, 28 de fev de 2018 às 21:46, Anderson Torres < >> torres.anderson...@gmail.com> escreveu: >> >>> Em 28 de fevereiro de 2018 11:59, Claudio Buffara >>> escreveu: >>> > Sugestão 1: usando régua e transferidor, desenhe uma figura tão grande >>> e >>> > precisa quanto puder (por exemplo, ocupando a maior parte de uma folha >>> de >>> > A4). >>> > Daí, meça o ângulo EDB com o transferidor e obtenha uma conjectura. >>> > Já será um progresso: ao invés de ter que determinar o valor do ângulo >>> e >>> > provar que seu raciocínio está correto, você precisará apenas provar >>> sua >>> > conjectura. >>> > >>> > Sugestão 2: Como 12 = 360/30, considere um polígono regular convexo de >>> 30 >>> > lados inscrito numa circunferência de centro A e tal que B e C sejam >>> > vértices (adjacentes) do polígono. >>> >>> Tô tentando resolver dessa forma, mas acredito ser mais promissor usar >>> um 15-ágono em que >>> os três vértices estão na circunferência circunscrita ao triângulo. >>> Dessa forma é mais fácil ver certas simetrias. >>> Por exemplo, as retas que definem os ângulos inferiores atingem >>> meios-arcos interessantes. Daí fica mais >>> fácil verificar algumas propriedades. >>> >>> > Considere os vértices P e Q do polígono tais que PAB, BAC e CAQ são >>> ângulos >>> > adjacentes (digamos com P, B, C, Q tomados no sentido anti-horário >>> sobre a >>> > circunferência), com PAB = 84 graus e CAQ = 36 graus. Prove que BQ >>> > intersecta AC em D e CP intersecta AB em E. >>> > Será que a reta suporte de DE intersecta a circunferência em pontos >>> que são >>> > vértices do polígono de 30 lados? >>> > Aqui está outra situação em que um desenho bem feito (agora também com >>> um >>> > compasso) pode ajudar. >>> > Ou então, se você usar Geogebra ou algum outro software de geometria >>> > dinâmica... >>> > >>> > []s, >>> > Claudio. >>> > >>> > >>> > 2018-02-28 7:36 GMT-03:00 Jeferson Almir : >>> >> >>> >> Queria uma ajuda nesse problema de preferência por geometria >>> sintética :) >>> >> >>> >> Seja um triângulo ABC isósceles de base BC sendo A = 12º e os pontos >>> E e >>> >> D sobre AB e BC respectivamente tal que os ângulos ECB= 42º e DBC >>> =18º. >>> >> Calcule o ângulo EDB. >>> >> >>> >> -- >>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> >> acredita-se estar livre de perigo. >>> > >>> > >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> = >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> >>> = >>> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
