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Em 23 de março de 2018 10:35, Claudio Buffara escreveu: > Na verdade os meus questionamentos surgiram por causa do meu interesse em > ensino de matemática. > > Por exemplo, produtos notáveis e fatorações são notoriamente mal ensinados, > pelo menos nos livros didáticos de 8o e 9o ano que eu examinei. Eu acho que uma motivação mais geométrica pode ser bastante útil para muitos produtos notáveis. Por exemplo, a diferença de quadrados é bem facilmente explicada de forma geométrica: um quadrado com um quadradinho a menos no canto pode ser quebrado em dois trapézios que formam um retângulo. O quadrado da soma é mais fácil ainda. Por outro lado, eu não penso que minha solução foi a mais mágica de todas, apenas era desconhecida. Sempre que noto uma expressão simétrica, eu penso em como escrevê-la em função ou dos polinômios simétricos elementares ou da soma de potências (x^k+y^k+z^k). > Nenhum menciona que: > a) as generalizações de (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 e x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) > para expoentes maiores levam ao teorema do binômio (erroneamente chamado de > binômio de Newton - nota histórica: Newton generalizou o teorema para > expoentes racionais) e à fórmula da soma dos termos de uma PG; > b) (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 é a base para a ideia de se completar > quadrados, a qual, por sua vez, não só resulta na fórmula para as raízes de > uma equação quadrática, mas também na elucidação das propriedades da função > quadrática; > c) o uso inteligente da expansão de (x+y)^3 leva à formula das raízes de uma > equação cúbica. Essa eu não conhecia. Ainda penso que as formas mais naturais de lidar com a cúbica são o Método Gugu-Euler (tentar uma solução da forma x=raizcúbica(y1)+raizcúbica(y2)) ou usar a fatoração de x^3+y^3+z^3-3xyz. Mas o cubo da soma, per se? Isso me parece mágico demais. (Acho que até imagino o que seja: identificar o termo constante com a soma de cubos e o termo "linear" com o triplo do produto...) > > *** > > Há tempos, o Hermann, participante desta lista, postou uma dúvida sobre > produtos notáveis e pediu dicas de livros com exercícios sobre produtos > notáveis e fatoração. > Eu tenho duas sugestões, ambas em inglês: > - Algebra, de I.M.Gelfand e A.Shen - Birkhäuser (este faz as generalizações > que eu mencionei acima) > - A Problem Book in Algebra, de V.A. Krechmar - Mir Publishers (pros > entusiastas) > Ambos estão disponíveis na Amazon. > > *** > > Anos atrás eu gostava de soluções "mágicas", obtidas por meio de alguma > sacada brilhante que eu jamais conseguiria ter. > Após me deparar com várias destas soluções, me ocorreu que elas talvez > tivessem um efeito perverso na motivação dos estudantes de matemática, pois > passavam a impressão de que é preciso ser um gênio para dominar a matéria. > Daí o meu interesse em saber como vocês obtiveram certas fatorações. > Entendo que trabalho braçal, experiência, alguma lógica e um pouco de > otimismo são, para a maioria de nós, as únicas formas de progredir na > resolução de um problema como o que deu origem a este thread. > > Dito isso (e posso estar enganado) nem o Pedro José e nem mais ninguém > explicou de onde veio a conjectura (correta) de que: > z = -(x+y)/2 é solução de (x + y)(y + z)(z + x)/2 + (x + y + z)3 = – xyz > > []s, > Claudio. > > > > 2018-03-23 6:20 GMT-03:00 Anderson Torres : >> >> Em 21 de março de 2018 09:47, Claudio Buffara >> escreveu: >> > Como você passou de: >> > 4abc + (a+b+c)^3 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = 1 >> > >> > Para: >> > 4(a+b+c)(ab+ac+bc) - 4abc = 1 >> >> It's kind of magic. Eu simplesmente abri tudo com vontade e notei >> certas repetições >> que sempre aparecem em certas fatorações; ou melhor dizendo, estava >> pensando em >> escrever tudo em termos dos famigerados polinômios simétricos e cheguei >> nisso. >> >> Sempre que vejo algo como (a^2b+ab^2), já escrevo ab(a+b) e tento >> procurar um abc >> para isso resultar em ab(a+b+c). >> >> Mas não avancei daí. Penso que dá para fatorar ainda mais... >> >> > >> > ??? >> > >> > []s, >> > Claudio. >> > >> > >> > 2018-03-20 23:14 GMT-03:00 Anderson Torres >> > : >> >> >> >> Em 13 de março de 2018 20:19, Douglas Oliveira de Lima >> >> escreveu: >> >> > Essa achei legal e estou postando. >> >> > >> >> > Resolva nos inteiros a seguinte equação: (x + y)(y + z)(z + x)/2 + >> >> > (x + >> >> > y + >> >> > z)3 = 1 – xyz . >> >> > >> >> >> >> Substituição mágica: x=-a+b+c, y=a-b+c, z=a+b-c. Com isso, x+y=2c, >> >> x+y+z=a+b+c e >> >> >> >> 4abc + (a+b+c)^3 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = 1 >> >> >> >> Usando polinômios simétricos, >> >> >> >> 4(a+b+c)(ab+ac+bc) - 4abc = 1 >> >> >> >> Agora estou confuso... >> >> >> >> > Abraço do >> >> > Douglas Oliveira >> >> > >> >> > -- >> >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> >> >> >> >> ===
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Este não é o problema de alguma IMO não? Eu lembro de ter resolvido, quase igual à solução oficial: substituir s,t,u por a+1,b+1,c+1 e calcular os possiveis valores de 1/a+1/b+1/c + 1/ab+1/ac+1/bc usando desigualdades - para daí limitar os valores de a,b,c. Em 23 de março de 2018 17:01, Claudio Buffara escreveu: > Enfim, nesse meio tempo acho que resolvi o problema... > > Devemos achar inteiros s, t, u, com 1 < s < t < u e tais que: > (stu -1)/((s-1)(t-1)(u-1)) = k (k inteiro positivo) > > Após diversas aplicações do truque (método?) de somar e subtrair a mesma > coisa, chegamos a: > stu - 1 = (s-1)(t-1)(u-1) + (s-1)(t-1) + (s-1)(u-1) + (t-1)(u-1) + (s-1) + > (t-1) + (u-1) > > Dividindo isso por (s-1)(t-1)(u-1), obtemos: > 1 + 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) + > 1/((s-1)(t-1)) = k ==> > > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) + > 1/((s-1)(t-1)) = k-1 > > Agora a ideia é achar cotas para s e para k. > > 1 < s < t < u ==> s >= 2, t >= 3 e u >= 4 ==> o lado esquerdo é menor ou > igual que: > 1/3 + 1/2 + 1 + 1/6 + 1/3 + 1/2 = 2+5/6 > > Ou seja, como o lado esquerdo é inteiro (e positivo), só poderá ser igual a > 1 ou a 2 ==> k = 2 ou k = 3. > > Se s >= 4, então t >= 5 e u >= 6, e o lado esquerdo será, no máximo, igual > a: > 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/20 + 1/15 + 1/12 < 1. > > Logo, devemos ter s = 2 ou s = 3. > > s = 2 ==> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(u-1) + 1/(t-1) = k-1 ==> > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k-2 ==> > Como k-2 deve ser inteiro positivo, k só pode ser 3 e, portanto: > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = 1 ==> > (2 + 1/(t-1))/(u-1) = 1 - 2/(t-1) ==> > u = 1 + (2t - 1)/(t - 3) = 3 + 5/(t-3) ==> > t = 4 e u = 8 ou t = 8 e u = 4 (não serve pois t deve ser menor do que > u) > > s = 3 ==> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/2 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(2(u-1)) + 1/(2(t-1)) = k-1 ==> > (3/2)/(u-1) + (3/2)/(t-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k - 3/2 ==> > 3/(u-1) + 3/(t-1) + 2/((t-1)(u-1)) = 2k - 3 ==> > (3 + 2/(t-1))/(u-1) = 2k - 3t/(t-1) ==> > (3t - 1)/(u-1) = 2k(t-1) - 3t ==> > u = 1 + (3t - 1)/((2k-3)t - 2k) > > k = 2 ==> u = 1 + (3t-1)/(t-4) = 4 + 11/(t-4) ==> t = 5 e u = 15 > > k = 3 ==> u = 1 + (3t-1)/(3t-6) = 2 + 5/(3t-6) ==> XXX > > As únicas soluções são: > (2,4,8) e (3,5,15) > > []s, > Claudio. > > 2018-03-23 15:38 GMT-03:00 Pedro José : >> >> Boa tarde! >> >> Aproveitando que deu o que falar o problema postado pelo Douglas, tem um >> que achei mais interessante. >> >> (s-1)(t-1).(u-1) | stu -1, com s, t, u inteiros e 1 > >> Saudações, >> Pedro >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Teorema fundamental da álgebra
Em 24 de março de 2018 20:13, Carlos P. escreveu: > Boa noite! > > Estou estudando análise complexa e gostaria de alguns esclarecimentos sobre > o TFA. > > 1) Na prova baseada no teorema de Liouville, as únicas propriedades de > polinômios de grau >= 1 utilizadas é que são funções inteiras tais que lim z > ---> oo p(z) = oo. Logo, o teorema aplica-se igualmente a qualquer inteira f > tal que lim z ---> oo f(z) = oo, certo? Não está restrito a polinômios. > > 2) Alguém conhece uma prova do TFA que, além de mostrar a existência de > raízes, mostre que há exatamente n raízes, contando suas ordens? Me > informaram que há uma Mas isso é imediato, não? Se você demonstra que todo polinômio tem ao menos uma raiz complexa, basta fatorar! Por exemplo, sabendo que x^2+1 tem uma raiz, é só aplicar o mesmo para (x^2+1)/(x-raiz) Não sei qual o interesse que haveria em algo maior que isso, um teorema que mostre de uma vez todas as raízes... > > Muito obrigado > > Carlos > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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Muito fácil pra ser de IMO... 2018-03-26 6:58 GMT-03:00 Anderson Torres : > Este não é o problema de alguma IMO não? Eu lembro de ter resolvido, > quase igual à solução oficial: substituir s,t,u por a+1,b+1,c+1 e > calcular os possiveis valores de > 1/a+1/b+1/c + 1/ab+1/ac+1/bc usando desigualdades - para daí limitar > os valores de a,b,c. > > Em 23 de março de 2018 17:01, Claudio Buffara > escreveu: > > Enfim, nesse meio tempo acho que resolvi o problema... > > > > Devemos achar inteiros s, t, u, com 1 < s < t < u e tais que: > > (stu -1)/((s-1)(t-1)(u-1)) = k (k inteiro positivo) > > > > Após diversas aplicações do truque (método?) de somar e subtrair a mesma > > coisa, chegamos a: > > stu - 1 = (s-1)(t-1)(u-1) + (s-1)(t-1) + (s-1)(u-1) + (t-1)(u-1) + > (s-1) + > > (t-1) + (u-1) > > > > Dividindo isso por (s-1)(t-1)(u-1), obtemos: > > 1 + 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) + > > 1/((s-1)(t-1)) = k ==> > > > > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) + > > 1/((s-1)(t-1)) = k-1 > > > > Agora a ideia é achar cotas para s e para k. > > > > 1 < s < t < u ==> s >= 2, t >= 3 e u >= 4 ==> o lado esquerdo é menor ou > > igual que: > > 1/3 + 1/2 + 1 + 1/6 + 1/3 + 1/2 = 2+5/6 > > > > Ou seja, como o lado esquerdo é inteiro (e positivo), só poderá ser > igual a > > 1 ou a 2 ==> k = 2 ou k = 3. > > > > Se s >= 4, então t >= 5 e u >= 6, e o lado esquerdo será, no máximo, > igual > > a: > > 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/20 + 1/15 + 1/12 < 1. > > > > Logo, devemos ter s = 2 ou s = 3. > > > > s = 2 ==> > > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(u-1) + 1/(t-1) = k-1 ==> > > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k-2 ==> > > Como k-2 deve ser inteiro positivo, k só pode ser 3 e, portanto: > > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = 1 ==> > > (2 + 1/(t-1))/(u-1) = 1 - 2/(t-1) ==> > > u = 1 + (2t - 1)/(t - 3) = 3 + 5/(t-3) ==> > > t = 4 e u = 8 ou t = 8 e u = 4 (não serve pois t deve ser menor do > que > > u) > > > > s = 3 ==> > > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/2 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(2(u-1)) + 1/(2(t-1)) = k-1 > ==> > > (3/2)/(u-1) + (3/2)/(t-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k - 3/2 ==> > > 3/(u-1) + 3/(t-1) + 2/((t-1)(u-1)) = 2k - 3 ==> > > (3 + 2/(t-1))/(u-1) = 2k - 3t/(t-1) ==> > > (3t - 1)/(u-1) = 2k(t-1) - 3t ==> > > u = 1 + (3t - 1)/((2k-3)t - 2k) > > > > k = 2 ==> u = 1 + (3t-1)/(t-4) = 4 + 11/(t-4) ==> t = 5 e u = 15 > > > > k = 3 ==> u = 1 + (3t-1)/(3t-6) = 2 + 5/(3t-6) ==> XXX > > > > As únicas soluções são: > > (2,4,8) e (3,5,15) > > > > []s, > > Claudio. > > > > 2018-03-23 15:38 GMT-03:00 Pedro José : > >> > >> Boa tarde! > >> > >> Aproveitando que deu o que falar o problema postado pelo Douglas, tem um > >> que achei mais interessante. > >> > >> (s-1)(t-1).(u-1) | stu -1, com s, t, u inteiros e 1 >> > >> Saudações, > >> Pedro > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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De fato, trata-se do problema 1 da IMO 1992. Abs, Matheus Secco Em Seg, 26 de mar de 2018 09:24, Claudio Buffara escreveu: > Muito fácil pra ser de IMO... > > 2018-03-26 6:58 GMT-03:00 Anderson Torres : > >> Este não é o problema de alguma IMO não? Eu lembro de ter resolvido, >> quase igual à solução oficial: substituir s,t,u por a+1,b+1,c+1 e >> calcular os possiveis valores de >> 1/a+1/b+1/c + 1/ab+1/ac+1/bc usando desigualdades - para daí limitar >> os valores de a,b,c. >> >> Em 23 de março de 2018 17:01, Claudio Buffara >> escreveu: >> > Enfim, nesse meio tempo acho que resolvi o problema... >> > >> > Devemos achar inteiros s, t, u, com 1 < s < t < u e tais que: >> > (stu -1)/((s-1)(t-1)(u-1)) = k (k inteiro positivo) >> > >> > Após diversas aplicações do truque (método?) de somar e subtrair a mesma >> > coisa, chegamos a: >> > stu - 1 = (s-1)(t-1)(u-1) + (s-1)(t-1) + (s-1)(u-1) + (t-1)(u-1) + >> (s-1) + >> > (t-1) + (u-1) >> > >> > Dividindo isso por (s-1)(t-1)(u-1), obtemos: >> > 1 + 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) + >> > 1/((s-1)(t-1)) = k ==> >> > >> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) + >> > 1/((s-1)(t-1)) = k-1 >> > >> > Agora a ideia é achar cotas para s e para k. >> > >> > 1 < s < t < u ==> s >= 2, t >= 3 e u >= 4 ==> o lado esquerdo é menor ou >> > igual que: >> > 1/3 + 1/2 + 1 + 1/6 + 1/3 + 1/2 = 2+5/6 >> > >> > Ou seja, como o lado esquerdo é inteiro (e positivo), só poderá ser >> igual a >> > 1 ou a 2 ==> k = 2 ou k = 3. >> > >> > Se s >= 4, então t >= 5 e u >= 6, e o lado esquerdo será, no máximo, >> igual >> > a: >> > 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/20 + 1/15 + 1/12 < 1. >> > >> > Logo, devemos ter s = 2 ou s = 3. >> > >> > s = 2 ==> >> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(u-1) + 1/(t-1) = k-1 ==> >> > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k-2 ==> >> > Como k-2 deve ser inteiro positivo, k só pode ser 3 e, portanto: >> > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = 1 ==> >> > (2 + 1/(t-1))/(u-1) = 1 - 2/(t-1) ==> >> > u = 1 + (2t - 1)/(t - 3) = 3 + 5/(t-3) ==> >> > t = 4 e u = 8 ou t = 8 e u = 4 (não serve pois t deve ser menor do >> que >> > u) >> > >> > s = 3 ==> >> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/2 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(2(u-1)) + 1/(2(t-1)) = >> k-1 ==> >> > (3/2)/(u-1) + (3/2)/(t-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k - 3/2 ==> >> > 3/(u-1) + 3/(t-1) + 2/((t-1)(u-1)) = 2k - 3 ==> >> > (3 + 2/(t-1))/(u-1) = 2k - 3t/(t-1) ==> >> > (3t - 1)/(u-1) = 2k(t-1) - 3t ==> >> > u = 1 + (3t - 1)/((2k-3)t - 2k) >> > >> > k = 2 ==> u = 1 + (3t-1)/(t-4) = 4 + 11/(t-4) ==> t = 5 e u = 15 >> > >> > k = 3 ==> u = 1 + (3t-1)/(3t-6) = 2 + 5/(3t-6) ==> XXX >> > >> > As únicas soluções são: >> > (2,4,8) e (3,5,15) >> > >> > []s, >> > Claudio. >> > >> > 2018-03-23 15:38 GMT-03:00 Pedro José : >> >> >> >> Boa tarde! >> >> >> >> Aproveitando que deu o que falar o problema postado pelo Douglas, tem >> um >> >> que achei mais interessante. >> >> >> >> (s-1)(t-1).(u-1) | stu -1, com s, t, u inteiros e 1 > >> >> >> Saudações, >> >> Pedro >> >> >> >> -- >> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> >> acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Bom dia! Agora estou contente. Posso alardear que pelo menos matei um problema da IMO. (s-1)(t-1)(u-1) | ust-1 1 1 temos que k(s,t,u) >=2 e só atende quando k(s,t,u) é inteiro. Fixando-se duas váriaveis k é monótona decrescente para a outra; assim kmax(s) = k(s,s+1,s+2)= (s(s+1)(s+2)-1)/(s-1)s(s+1)>=2, então s(s+1)(s+2)/s(s-1)(s+1)>2; s < 4. fazendo um estudo de paridade: se uma das variáveis for par as outras duas também serão e k será ímpar. Se uma das variáveis for ímpar, todas serão ímpares e k poderá ser tanto ímpar quanto par. u s v k P P P I III - s=2. k>=3 Para kmax (2,t) = k(2,t,t+1) = (2t(t+1)-1)/t(t-1)>=3 então: 2t(t+1)/t(t-1) >3 : t < 5, pela paridade t=4 e kmax(2,4) = 47/15, só serve k = 3. s=2, t=4 e k=3 temos v=8. (2,4,8) s=3 k>=2 Para kmax (3,t) = k(3,t,t+1) = (3t(t+1)-1)/2t(t-1)>=2 então: 3t(t+1)/2t(t-1) >2 : t < 7, pela paridade t=5 e kmax(3,5) = 13/6, só serve k = 2. s=3, t= 5 e k=2 temos v= 15. (3,5,15) Só atendem: (2,4,8) e (3,5,15) Achei curioso que em ambas soluções, u=st. Saudações, PJMS Em 26 de março de 2018 09:44, Matheus Secco escreveu: > De fato, trata-se do problema 1 da IMO 1992. > > Abs, > > Matheus Secco > > Em Seg, 26 de mar de 2018 09:24, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Muito fácil pra ser de IMO... >> >> 2018-03-26 6:58 GMT-03:00 Anderson Torres : >> >>> Este não é o problema de alguma IMO não? Eu lembro de ter resolvido, >>> quase igual à solução oficial: substituir s,t,u por a+1,b+1,c+1 e >>> calcular os possiveis valores de >>> 1/a+1/b+1/c + 1/ab+1/ac+1/bc usando desigualdades - para daí limitar >>> os valores de a,b,c. >>> >>> Em 23 de março de 2018 17:01, Claudio Buffara >>> escreveu: >>> > Enfim, nesse meio tempo acho que resolvi o problema... >>> > >>> > Devemos achar inteiros s, t, u, com 1 < s < t < u e tais que: >>> > (stu -1)/((s-1)(t-1)(u-1)) = k (k inteiro positivo) >>> > >>> > Após diversas aplicações do truque (método?) de somar e subtrair a >>> mesma >>> > coisa, chegamos a: >>> > stu - 1 = (s-1)(t-1)(u-1) + (s-1)(t-1) + (s-1)(u-1) + (t-1)(u-1) + >>> (s-1) + >>> > (t-1) + (u-1) >>> > >>> > Dividindo isso por (s-1)(t-1)(u-1), obtemos: >>> > 1 + 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) + >>> > 1/((s-1)(t-1)) = k ==> >>> > >>> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) + >>> > 1/((s-1)(t-1)) = k-1 >>> > >>> > Agora a ideia é achar cotas para s e para k. >>> > >>> > 1 < s < t < u ==> s >= 2, t >= 3 e u >= 4 ==> o lado esquerdo é menor >>> ou >>> > igual que: >>> > 1/3 + 1/2 + 1 + 1/6 + 1/3 + 1/2 = 2+5/6 >>> > >>> > Ou seja, como o lado esquerdo é inteiro (e positivo), só poderá ser >>> igual a >>> > 1 ou a 2 ==> k = 2 ou k = 3. >>> > >>> > Se s >= 4, então t >= 5 e u >= 6, e o lado esquerdo será, no máximo, >>> igual >>> > a: >>> > 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/20 + 1/15 + 1/12 < 1. >>> > >>> > Logo, devemos ter s = 2 ou s = 3. >>> > >>> > s = 2 ==> >>> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(u-1) + 1/(t-1) = k-1 ==> >>> > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k-2 ==> >>> > Como k-2 deve ser inteiro positivo, k só pode ser 3 e, portanto: >>> > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = 1 ==> >>> > (2 + 1/(t-1))/(u-1) = 1 - 2/(t-1) ==> >>> > u = 1 + (2t - 1)/(t - 3) = 3 + 5/(t-3) ==> >>> > t = 4 e u = 8 ou t = 8 e u = 4 (não serve pois t deve ser menor do >>> que >>> > u) >>> > >>> > s = 3 ==> >>> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/2 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(2(u-1)) + 1/(2(t-1)) = >>> k-1 ==> >>> > (3/2)/(u-1) + (3/2)/(t-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k - 3/2 ==> >>> > 3/(u-1) + 3/(t-1) + 2/((t-1)(u-1)) = 2k - 3 ==> >>> > (3 + 2/(t-1))/(u-1) = 2k - 3t/(t-1) ==> >>> > (3t - 1)/(u-1) = 2k(t-1) - 3t ==> >>> > u = 1 + (3t - 1)/((2k-3)t - 2k) >>> > >>> > k = 2 ==> u = 1 + (3t-1)/(t-4) = 4 + 11/(t-4) ==> t = 5 e u = 15 >>> > >>> > k = 3 ==> u = 1 + (3t-1)/(3t-6) = 2 + 5/(3t-6) ==> XXX >>> > >>> > As únicas soluções são: >>> > (2,4,8) e (3,5,15) >>> > >>> > []s, >>> > Claudio. >>> > >>> > 2018-03-23 15:38 GMT-03:00 Pedro José : >>> >> >>> >> Boa tarde! >>> >> >>> >> Aproveitando que deu o que falar o problema postado pelo Douglas, tem >>> um >>> >> que achei mais interessante. >>> >> >>> >> (s-1)(t-1).(u-1) | stu -1, com s, t, u inteiros e 1 >> >> >>> >> Saudações, >>> >> Pedro >>> >> >>> >> -- >>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> >> acredita-se estar livre de perigo. >>> > >>> > >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> = >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> >>> = >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de
[obm-l] Re: [obm-l] n^n = n (mod 8) para n ímpar
Em 25 de março de 2018 15:28, Artur Steiner escreveu: > Embora simples, acho interessante mostrar isso (aqui, = significa congruente > a). Parece não ser muito conhecido. > > Artur Costa Steiner > Binômio de Newton? Se n=2k+1 com k inteiro, temos (2k+1)^n = soma{0 <= j <= n} binom(n,j) (2k)^j Módulo 8, só precisamos olhar j=0,1,2: binom(n,2)4k^2 + binom(n,1)2k + binom(n,0) n(n-1) * 2k^2+n * 2k + 1 (2k+1)*2k * 2k^2+(2k+1) * 2k + 1 4k^3*(2k+1) +(2k+1) * 2k + 1 8k^4* + 4k^3 +(2k+1) * 2k + 1 4k^3 + 4k^2+ 2k + 1 4k^2(k+1) +2k+1 É claro que k(k+1) é par, logo 4k^2(k+1) é 0 módulo 8 E isso nos deixa com 2k+1=n > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Revista para olímpicos (gratuita, online)
Gostei! Vou até enviar... Em 5 de fevereiro de 2018 10:44, Tássio Naia escreveu: > Salve, > > Gostaria de sugerir aos colegas a leitura do Archimede Mathematical Journal, > um periódico voltado para olímpicos. > > http://amj-math.com/ > > Até, > Tássio > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] n^n = n (mod 8) para n ímpar
n^2 == 1 (mod 8) se n é ímpar. Pra ver isso, basta testar n = 1, 3, 5, 7. Daí e’ só elevar ambos os lados da congruência ao expoente (n-1)/2, obtendo: n^(n-1) == 1 (mod 8). Finalmente, multiplique esta congruência por n. Abs Enviado do meu iPhone Em 26 de mar de 2018, à(s) 22:22, Anderson Torres escreveu: > Em 25 de março de 2018 15:28, Artur Steiner > escreveu: >> Embora simples, acho interessante mostrar isso (aqui, = significa congruente >> a). Parece não ser muito conhecido. >> >> Artur Costa Steiner >> > > Binômio de Newton? > > Se n=2k+1 com k inteiro, temos (2k+1)^n = soma{0 <= j <= n} binom(n,j) (2k)^j > > Módulo 8, só precisamos olhar j=0,1,2: > > binom(n,2)4k^2 + binom(n,1)2k + binom(n,0) > > n(n-1) * 2k^2+n * 2k + 1 > > (2k+1)*2k * 2k^2+(2k+1) * 2k + 1 > > 4k^3*(2k+1) +(2k+1) * 2k + 1 > > 8k^4* + 4k^3 +(2k+1) * 2k + 1 > > 4k^3 + 4k^2+ 2k + 1 > > 4k^2(k+1) +2k+1 > > É claro que k(k+1) é par, logo 4k^2(k+1) é 0 módulo 8 > > E isso nos deixa com 2k+1=n > > >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =