[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos
Olá, Claudio!
Boa tarde!
Muito obrigado pela ajuda!
Um abraço!
Luiz
On Sat, Apr 7, 2018, 5:25 PM Claudio Buffara
wrote:
> O máximo que dá pra dizer é que A contém todos os múltiplos positivos de 3.
> Pois 3 pertence a A ==> 3+3 = 6 pertence a A ==> 6+3 = 9 pertence a A ==>
> etc.
>
> Mais formalmente, por indução, fica:
> Seja K o conjunto dos n em N tais que 3n pertence a A.
> 3 = 3*1 pertence a A ==> 1 pertence a K
> Hipótese de indução: suponhamos que n pertence a K, ou seja, 3n pertence a
> A
> Pelo enunciado, 3n + 3 = 3*(n+1) pertence a A ==> n+1 pertence a K
> Logo, K = N (estou supondo que 0 não pertence a N).
>
> Mas se, por exemplo, 1 pertencer a A (o que não é vedado, a princípio,
> pelo enunciado), então A = N (supondo que 0 não é natural) ou então
> (supondo que 0 é natural) N\{0} está contido em A.
> Ou seja, não é possível determinar qual o menor elemento de A. Apenas que
> este é <= 3.
>
> Mesmo supondo que 3 seja o menor elemento de A, não dá pra garantir que o
> próximo elemento é 3+3 = 6, pois as condições do enunciado não impedem que
> 4 ou 5 pertençam a A.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> 2018-04-07 16:33 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
>
>> Olá, pessoal!
>> Boa tarde!
>> Estou tentando fazer o exercício abaixo:
>>
>> Considere um conjunto A de números naturais definido recursivamente da
>> seguinte maneira:
>> I. 3∈A;
>> II. se x∈A e y∈A então x+y∈A. Prove que A é o conjunto dos múltiplos
>> de 3.
>>
>> Estou com muitas dúvidas:
>> . Posso dizer que 3 é o menor elemento de A?
>> . Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento?
>> . Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero?
>> . Posso fazer a demonstração por indução?
>>
>> Agradeço qualquer ajuda.
>> Muito obrigado e um abraço!
>> Luiz
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos
O máximo que dá pra dizer é que A contém todos os múltiplos positivos de 3.
Pois 3 pertence a A ==> 3+3 = 6 pertence a A ==> 6+3 = 9 pertence a A ==>
etc.
Mais formalmente, por indução, fica:
Seja K o conjunto dos n em N tais que 3n pertence a A.
3 = 3*1 pertence a A ==> 1 pertence a K
Hipótese de indução: suponhamos que n pertence a K, ou seja, 3n pertence a A
Pelo enunciado, 3n + 3 = 3*(n+1) pertence a A ==> n+1 pertence a K
Logo, K = N (estou supondo que 0 não pertence a N).
Mas se, por exemplo, 1 pertencer a A (o que não é vedado, a princípio, pelo
enunciado), então A = N (supondo que 0 não é natural) ou então (supondo que
0 é natural) N\{0} está contido em A.
Ou seja, não é possível determinar qual o menor elemento de A. Apenas que
este é <= 3.
Mesmo supondo que 3 seja o menor elemento de A, não dá pra garantir que o
próximo elemento é 3+3 = 6, pois as condições do enunciado não impedem que
4 ou 5 pertençam a A.
[]s,
Claudio.
2018-04-07 16:33 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
> Olá, pessoal!
> Boa tarde!
> Estou tentando fazer o exercício abaixo:
>
> Considere um conjunto A de números naturais definido recursivamente da
> seguinte maneira:
> I. 3∈A;
> II. se x∈A e y∈A então x+y∈A. Prove que A é o conjunto dos múltiplos de
> 3.
>
> Estou com muitas dúvidas:
> . Posso dizer que 3 é o menor elemento de A?
> . Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento?
> . Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero?
> . Posso fazer a demonstração por indução?
>
> Agradeço qualquer ajuda.
> Muito obrigado e um abraço!
> Luiz
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Exercício sobre Conjuntos
Olá, pessoal! Boa tarde! Estou tentando fazer o exercício abaixo: Considere um conjunto A de números naturais definido recursivamente da seguinte maneira: I. 3∈A; II. se x∈A e y∈A então x+y∈A. Prove que A é o conjunto dos múltiplos de 3. Estou com muitas dúvidas: . Posso dizer que 3 é o menor elemento de A? . Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento? . Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero? . Posso fazer a demonstração por indução? Agradeço qualquer ajuda. Muito obrigado e um abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] dois de geometria
A solução que eu conheço é por analítica, escolhendo bem as coordenadas (mas sem perder generalidade). Assim, por exemplo, no das elipses, você pode tomar a equação de uma delas como sendo: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, com a >= b > 0, e a outra: (x-p)^2/c^2 + (y-q)^2/d^2 = 1, com 0 < c < d. (acima, se a = b, acabou, certo?) Dica: o sistema de equações: F(x,y) = 0 G(x,y) = 0 é equivalente ao sistema: F(x,y) = 0 aF(x,y) + bG(x,y) = 0 onde a e b são números reais quaisquer e b <> 0. []s, Claudio. 2018-04-07 11:10 GMT-03:00 Anderson Torres : > Continuando... > > Como resolve o das cônicas? Pensei em usar geometria analítica, mas > nenhuma ideia parece livre de contas enjoadas. > > O máximo que eu consigo imaginar é realizar uma translação seguida de > uma homotetia, de tal forma que pelo menos três pontos de intersecção > sejam pontos do círculo unitário centrado na origem, mas nenhuma conta > parece ir muito longe. > > Em 5 de abril de 2018 21:53, Claudio Buffara > escreveu: > > Se postou, eu não vi. Mil desculpas! > > > > []s, > > Claudio. > > > > 2018-04-05 21:35 GMT-03:00 Anderson Torres >: > >> > >> Em 3 de abril de 2018 16:32, Claudio Buffara > >> escreveu: > >> > O primeiro é reprise, pois ninguém resolveu (ainda): > >> > > >> > 1) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base > quadrada e > >> > tem > >> > cobertura no topo e nas quatro faces. > >> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba > a > >> > mesma quantidade de bolo e de cobertura. > >> > > >> > Dica: é relevante o fato do quadrado ser circunscritível; > >> > >> > >> Mas, eu já não postei essa? A ideia é tratar o bolo como se fosse > >> cilíndrico. > >> > >> Mais precisamente, marcar pontos equidistantes no perímetro do bolo e > >> traçar raios ligando o centro do bolo até esses pontos. > >> > >> Sempre que existir um ponto interno ao bolo com a mesma distância de > >> todos os lados do bolo, o problema é solúvel. > >> > >> > > >> > *** > >> > > >> > 2) Duas elipses cujos eixos maiores são perpendiculares se intersectam > >> > em > >> > quatro pontos. > >> > Prove que estes pontos pertencem a uma mesma circunferência. > >> > > >> > 2a) Prove que vale o mesmo se trocarmos a palavra "elipses" por > >> > "parábolas" > >> > e eliminarmos a palavra "maiores". > >> > > >> > []s, > >> > Claudio. > >> > > >> > > >> > > >> > -- > >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> > acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> > = > >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > >> > = > > > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] dois de geometria
Continuando... Como resolve o das cônicas? Pensei em usar geometria analítica, mas nenhuma ideia parece livre de contas enjoadas. O máximo que eu consigo imaginar é realizar uma translação seguida de uma homotetia, de tal forma que pelo menos três pontos de intersecção sejam pontos do círculo unitário centrado na origem, mas nenhuma conta parece ir muito longe. Em 5 de abril de 2018 21:53, Claudio Buffara escreveu: > Se postou, eu não vi. Mil desculpas! > > []s, > Claudio. > > 2018-04-05 21:35 GMT-03:00 Anderson Torres : >> >> Em 3 de abril de 2018 16:32, Claudio Buffara >> escreveu: >> > O primeiro é reprise, pois ninguém resolveu (ainda): >> > >> > 1) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e >> > tem >> > cobertura no topo e nas quatro faces. >> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a >> > mesma quantidade de bolo e de cobertura. >> > >> > Dica: é relevante o fato do quadrado ser circunscritível; >> >> >> Mas, eu já não postei essa? A ideia é tratar o bolo como se fosse >> cilíndrico. >> >> Mais precisamente, marcar pontos equidistantes no perímetro do bolo e >> traçar raios ligando o centro do bolo até esses pontos. >> >> Sempre que existir um ponto interno ao bolo com a mesma distância de >> todos os lados do bolo, o problema é solúvel. >> >> > >> > *** >> > >> > 2) Duas elipses cujos eixos maiores são perpendiculares se intersectam >> > em >> > quatro pontos. >> > Prove que estes pontos pertencem a uma mesma circunferência. >> > >> > 2a) Prove que vale o mesmo se trocarmos a palavra "elipses" por >> > "parábolas" >> > e eliminarmos a palavra "maiores". >> > >> > []s, >> > Claudio. >> > >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
