[obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Ralph Teixeira]

(Vou supor que 0 eh natural; se nao for, apenas troque 0 por 2005 ali
embaixo e ajeite as coisas)

Primeiro: f eh injetiva. De fato, f(a)=f(b) => f(f(a))=f(f(b)) =>
a+2005=b+2005 => a=b.

Segundo: para todo n natural, f(n+2005)=f(f(f(n)))=f(n)+2005. Portanto, por
indução, para qualquer K natural, tem-se
f(n+K.2005)=f(n)+K.2005, ou seja, f(n+K.2005)-f(n)=K.2005.

VERSÃO CURTA COM TERMINOLOGIA "MOD":
Ou seja, mostramos que   a=b (mod 2005) => f(a)=f(b) (mod 2005).
Agora, se f(m)=n (mod 2005), entao f(n)=f(f(m))=m+2005=m (mod 2005). Ou
seja, f estah bem definida e eh sua propria inversa em Z_2005, o que eh
absurdo, pois Z_2005 tem um numero impar de elementos.

VERSÃO LONGA, QUE EH O MESMO RACIOCÍNIO ESCRITO DE OUTRO JEITO:
Em outras palavras, mostramos que se a e b deixam o mesmo resto na divisão
por 2005, f(a) e f(b) também o fazem.

Agora olhe para o conjunto {f(0),f(1),f(2),f(3),...,f(2004)} e pense que
restos estes números deixam na divisão por 2005.
-- Não ha dois restos iguais! Se fosse, digamos, f(25)-f(19)=K.2005,
teríamos f(25)-f(19)=f(19+K(2005))-f(19), e, pela injetividade,
19+K(2005)=25, absurdo.
-- Mas então todos os restos de 0 a 2004 estão presentes ali naquele
conjunto...
-- ...porem, se f(a)=K.2005+b onde b eh o resto de f(a) na divisão por
2005, então f(b)=f(b+K.2005)-K.2005=f(f(a))-K.2005=a+(1-K).2005. Ou seja,
se f(a) deixa resto b, então f(b) deixa resto a.

Assim, f determinaria um PAREAMENTO dos números 0, 1, 2, 3, .., 2004 via
estes restos de divisao: f(a)=b (mod 2005) implica f(b)=a (mod 2005), e
vice-versa.

Porem, não pode existir este pareamento (são 2005 restos, numero impar!),
absurdo. Portanto, f não existe.

Abraco, Ralph.

2018-05-11 10:42 GMT-03:00 Jeferson Almir :

> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ???
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Bruno Visnadi]

 Vou considerar que 0 é natural (para N = {1, 2, 3...} a prova é análoga).
Lema 1: f é injetora.
Prova: Se f(a) = f(b) então f(f(a)) = f(f(b)) e a = b.
Lema 2: Se f(a) > 2004, então a está na imagem de f.
Prova: Se f(a) > 2004, então f(f(f(a) - 2005)) = f(a). Como a função é
injetora, f(f(a) - 2005) = a.
Suponha que existe uma função f, N -> N, tal que f(f(n)) = n + 2005.
Seja S o conjunto dos 2005 naturais [0, 2004]. Suponha que existam 1003
elementos t de S tais que f(t) ∈ S. Portanto, há no máximo 1002 elementos t
de S tais que f(t) ∉ S. Assim, uma vez que a função é injetora, pelo
princípio das casas dos pombos haveria um elemento t tal que f(f(t)) ∈ S ⇒
2015 + t  ∈ S, absurdo, pois 2005 + t > 2004.

Então existem pelo menos 1003 elementos t de S com f(t) > 2004. Sejam a1,
a2 (...) a1003 tais elementos. Pelo Lema 2, estes números estão na imagem
de f. Então existem 1003 números b1, b2, (...) b1003 tais que f(b1) = a1,
f(b2) = a2, (...) f(b1003) = a1003. Não podem haver i e j tais que bi = aj,
pois f(bi) < 2005 e f(aj) > 2004. Assim, se bi ∈ S, bi é um dos 1002
elementos t de S com f(t) ∈ S. Mas existem 1003 números bi, portanto, ao
menos um deles não pertence a S. Seja bk tal elemento, com f(bk) = ak. Pelo
Lema 2, bk está na imagem de f, então existe c com f(c) = bk ⇒ f(f(c)) =
f(bk) ⇒ 2005 + c = ak. Absurdo, pois ak < 2005.

Portanto, não existe tal f.

Em 11 de maio de 2018 18:46, Rodrigo Ângelo 
escreveu:

> acho que, de forma mais geral, não pode existir nenhuma f: |N -> |N, tal
> que f(f(n)) = n*p(n) + i, onde g(n) seja qualquer polinômio natural de n e
> i é um número ímpar
>
> On Fri, May 11, 2018 at 6:37 PM Rodrigo Ângelo 
> wrote:
>
>> Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m, onde
>> g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero
>> f(f(n)) = g(f(n)) + m
>>
>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos
>> g(f(n)) + m = n  + 2005
>> g(f(n)) = n  + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é um
>> polinômio, que é um absurdo.
>>
>> On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo 
>> wrote:
>>
>>> Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é
>>> um polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial
>>>
>>> On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica <
>>> saldana...@pucp.edu.pe> wrote:
>>>
 com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais
 geral

 El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo 
 escribió:

> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
> teríamos
> f(f(n)) = a(an + m) + m
> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>
> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m
> deve ser um número natural.
>
> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir <
> jefersonram...@gmail.com> wrote:
>
>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n +
>> 2005 ???
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Rodrigo Ângelo]

acho que, de forma mais geral, não pode existir nenhuma f: |N -> |N, tal
que f(f(n)) = n*p(n) + i, onde g(n) seja qualquer polinômio natural de n e
i é um número ímpar

On Fri, May 11, 2018 at 6:37 PM Rodrigo Ângelo 
wrote:

> Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m, onde
> g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero
> f(f(n)) = g(f(n)) + m
>
> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos
> g(f(n)) + m = n  + 2005
> g(f(n)) = n  + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é um
> polinômio, que é um absurdo.
>
> On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo 
> wrote:
>
>> Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é um
>> polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial
>>
>> On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica <
>> saldana...@pucp.edu.pe> wrote:
>>
>>> com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais
>>> geral
>>>
>>> El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo 
>>> escribió:
>>>
 Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
 teríamos
 f(f(n)) = a(an + m) + m
 f(f(n)) = (a^2)n + am + m

 Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m
 deve ser um número natural.

 On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir <
 jefersonram...@gmail.com> wrote:

> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005
> ???
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Claudio Buffara]

Mas pode ser que f não seja afim.

Enviado do meu iPhone

Em 11 de mai de 2018, à(s) 17:21, Rodrigo Ângelo  
escreveu:

> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então 
> teríamos
> f(f(n)) = a(an + m)Â + m
> f(f(n)) = (a^2)n + am + m 
> 
> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve 
> ser um número natural.
> 
>> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir  
>> wrote:
>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ???
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Rodrigo Ângelo]

Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m, onde
g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero
f(f(n)) = g(f(n)) + m

Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos
g(f(n)) + m = n  + 2005
g(f(n)) = n  + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é um
polinômio, que é um absurdo.

On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo 
wrote:

> Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é um
> polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial
>
> On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica <
> saldana...@pucp.edu.pe> wrote:
>
>> com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais
>> geral
>>
>> El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo 
>> escribió:
>>
>>> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
>>> teríamos
>>> f(f(n)) = a(an + m) + m
>>> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>>>
>>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m
>>> deve ser um número natural.
>>>
>>> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir <
>>> jefersonram...@gmail.com> wrote:
>>>
 Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005
 ???

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
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>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Rodrigo Ângelo]

Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é um
polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial

On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica <
saldana...@pucp.edu.pe> wrote:

> com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais geral
>
> El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo 
> escribió:
>
>> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
>> teríamos
>> f(f(n)) = a(an + m) + m
>> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>>
>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve
>> ser um número natural.
>>
>> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir 
>> wrote:
>>
>>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005
>>> ???
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Julio César Saldaña Pumarica]

com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais geral

El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo 
escribió:

> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
> teríamos
> f(f(n)) = a(an + m) + m
> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>
> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve
> ser um número natural.
>
> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir 
> wrote:
>
>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ???
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Bruno Visnadi]

Acredito que isso só prova que a função não pode ser um polinômio do
primeiro grau, mas não prova que ela não existe.

Em 11 de maio de 2018 17:21, Rodrigo Ângelo 
escreveu:

> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
> teríamos
> f(f(n)) = a(an + m) + m
> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>
> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve
> ser um número natural.
>
> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir 
> wrote:
>
>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ???
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Pedro José]

Boa noite!

Porém,  existem funções de|N em |N que não as afins.
Saudações,
PJMS

Em 11 de mai de 2018 17:33, "Rodrigo Ângelo" 
escreveu:

> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
> teríamos
> f(f(n)) = a(an + m) + m
> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>
> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve
> ser um número natural.
>
> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir 
> wrote:
>
>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ???
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Rodrigo Ângelo]

Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
teríamos
f(f(n)) = a(an + m) + m
f(f(n)) = (a^2)n + am + m

Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve
ser um número natural.

On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir 
wrote:

> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ???
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] olimpiada de maio

[Arthur Vieira]

*Para o problema 2 consegui chegar no resultado 7 mas não sei como provar.*


PROBLEMA 1

Dizemos que um número de quatro dígitos abcd , que começa com a e
termina com d, é intercambiável se existe um inteiro n > 1 tal que n *
abcd é um número de quatro dígitos que começa com d e termina com a.
Por exemplo, 1009 é intercambiável já que 1009*9=9081. Determine o maior
número intercambiável.

PROBLEMA 3

Dizemos que um número inteiro positivo é qua-divi se é divisível pela
soma dos quadrados de seus dígitos, e além disso nenhum de seus dígitos
é igual a zero.
a) Encontre um número qua-divi tal que a soma de seus dígitos seja 24.
b) Encontre um número qua-divi tal que a soma de seus dígitos seja 1001.

PROBLEMA 2

Quantas casas devem ser pintadas no mínimo em um tabuleiro 5 × 5 de tal
modo que em cada linha, em cada coluna e em cada quadrado 2 × 2 haja pelo
menos uma casa pintada?

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[obm-l] Função Composta

[Jeferson Almir]

Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ???

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