(Vou supor que 0 eh natural; se nao for, apenas troque 0 por 2005 ali
embaixo e ajeite as coisas)
Primeiro: f eh injetiva. De fato, f(a)=f(b) => f(f(a))=f(f(b)) =>
a+2005=b+2005 => a=b.
Segundo: para todo n natural, f(n+2005)=f(f(f(n)))=f(n)+2005. Portanto, por
indução, para qualquer K natural, tem-se
f(n+K.2005)=f(n)+K.2005, ou seja, f(n+K.2005)-f(n)=K.2005.
VERSÃO CURTA COM TERMINOLOGIA "MOD":
Ou seja, mostramos que a=b (mod 2005) => f(a)=f(b) (mod 2005).
Agora, se f(m)=n (mod 2005), entao f(n)=f(f(m))=m+2005=m (mod 2005). Ou
seja, f estah bem definida e eh sua propria inversa em Z_2005, o que eh
absurdo, pois Z_2005 tem um numero impar de elementos.
VERSÃO LONGA, QUE EH O MESMO RACIOCÍNIO ESCRITO DE OUTRO JEITO:
Em outras palavras, mostramos que se a e b deixam o mesmo resto na divisão
por 2005, f(a) e f(b) também o fazem.
Agora olhe para o conjunto {f(0),f(1),f(2),f(3),...,f(2004)} e pense que
restos estes números deixam na divisão por 2005.
-- Não ha dois restos iguais! Se fosse, digamos, f(25)-f(19)=K.2005,
teríamos f(25)-f(19)=f(19+K(2005))-f(19), e, pela injetividade,
19+K(2005)=25, absurdo.
-- Mas então todos os restos de 0 a 2004 estão presentes ali naquele
conjunto...
-- ...porem, se f(a)=K.2005+b onde b eh o resto de f(a) na divisão por
2005, então f(b)=f(b+K.2005)-K.2005=f(f(a))-K.2005=a+(1-K).2005. Ou seja,
se f(a) deixa resto b, então f(b) deixa resto a.
Assim, f determinaria um PAREAMENTO dos números 0, 1, 2, 3, .., 2004 via
estes restos de divisao: f(a)=b (mod 2005) implica f(b)=a (mod 2005), e
vice-versa.
Porem, não pode existir este pareamento (são 2005 restos, numero impar!),
absurdo. Portanto, f não existe.
Abraco, Ralph.
2018-05-11 10:42 GMT-03:00 Jeferson Almir <jefersonram...@gmail.com>:
> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ???
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
