[obm-l] Re: [obm-l] área de triângulo( compartilhando)
Se u é o ângulo entre os lados de comprimento a e b, temos: S = a*b*sen(u)/2 = (a^2+b^2)/4. Daí, pela condição de igualdade entre as médias geométrica e aritmética, temos que sen(u)=1 e a=b. Logo os ângulos do triângulo são 90°, 45°, 45°. Em 13 de maio de 2018 23:52, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > As medidas de dois lados de um triângulo são a e b e sua área é igual a > (a^2+b^2)/4 > > Determine os ângulos do triângulo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fwd: não sei como fazer, tentei desigualdades de médias e não saiu
Existem 85 triplas (p, q, r) com p escreveu: > > Em dom, 13 de mai de 2018 às 20:12, Pacini Bores > escreveu: > >> Desculpe-me esqueci d colocar um dado na questão na hora d escrever. Os > números p, q é r são primos ímpares. Havia colocado apenas ímpares. > >> Oi Daniel, >> >> Estranho, pois p=999, q= 1001 e r =1; teremos p+q+r=2001 , pqr+1= >> 100= (1000)^2. >> >> Ou seja, k=1000 ? >> >> Pacini >> >> Em 13/05/2018 2:56, Daniel Quevedo escreveu: >> >> >> >> - Mensagem encaminhada - >> De: Daniel Quevedo >> Data: dom, 13 de mai de 2018 às 02:54 >> Assunto: >> Para: ob...@mat-puc.rio.br >> >> >> Sabendo que p, q e r são números impares distintos com p+q+r= 2001 e que >> k é um inteiro positivo tal que pqr +1 =k^2, a soma dos algarismos do único >> valor possível para k é igual a: >> A) 20 >> B) 21 >> C) 22 >> D) 23 >> E) 24 >> -- >> Fiscal: Daniel Quevedo >> -- >> Fiscal: Daniel Quevedo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] área de triângulo( compartilhando)
As medidas de dois lados de um triângulo são a e b e sua área é igual a (a^2+b^2)/4 Determine os ângulos do triângulo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fwd: não sei como fazer, tentei desigualdades de médias e não saiu
Ah, assim fica bem melhor. Temos pqr=(k+1)(k-1). Como p, q e r sao primos, entao (trocando a ordem de p,q,r se necessario) {pq,r}={k+1,k-1}. Ou seja, pq-r=2 ou -2. Entao p+q+(pq+-2)=2001, ou seja ((p+1)/2)((q+1)/2)=501 ou 500 As unicas fatoracoes de 501 em dois fatores sao 1.501 e 3.167, que rapidamente verificam-se inuteis. As unicas fatoracoes de 500 em dois fatores sao 1.500, 2.250, 4.125, 5.100, 10.50, 20.25. Verificando uma a uma para ver quais dao p, q primos, encontramos apenas (p,q)=(3,499), portanto r=2001-p-q=1499 (ok, tambem primo) e k=r-1=1498. Entao 22 eh a resposta? Abraco, Ralph. 2018-05-13 22:30 GMT-03:00 Daniel Quevedo : > > Em dom, 13 de mai de 2018 às 20:12, Pacini Bores > escreveu: > >> Desculpe-me esqueci d colocar um dado na questão na hora d escrever. Os > números p, q é r são primos ímpares. Havia colocado apenas ímpares. > >> Oi Daniel, >> >> Estranho, pois p=999, q= 1001 e r =1; teremos p+q+r=2001 , pqr+1= >> 100= (1000)^2. >> >> Ou seja, k=1000 ? >> >> Pacini >> >> Em 13/05/2018 2:56, Daniel Quevedo escreveu: >> >> >> >> - Mensagem encaminhada - >> De: Daniel Quevedo >> Data: dom, 13 de mai de 2018 às 02:54 >> Assunto: >> Para: ob...@mat-puc.rio.br >> >> >> Sabendo que p, q e r são números impares distintos com p+q+r= 2001 e que >> k é um inteiro positivo tal que pqr +1 =k^2, a soma dos algarismos do único >> valor possível para k é igual a: >> A) 20 >> B) 21 >> C) 22 >> D) 23 >> E) 24 >> -- >> Fiscal: Daniel Quevedo >> -- >> Fiscal: Daniel Quevedo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fwd: não sei como fazer, tentei desigualdades de médias e não saiu
Em dom, 13 de mai de 2018 às 20:12, Pacini Bores escreveu: > Desculpe-me esqueci d colocar um dado na questão na hora d escrever. Os números p, q é r são primos ímpares. Havia colocado apenas ímpares. > Oi Daniel, > > Estranho, pois p=999, q= 1001 e r =1; teremos p+q+r=2001 , pqr+1= > 100= (1000)^2. > > Ou seja, k=1000 ? > > Pacini > > Em 13/05/2018 2:56, Daniel Quevedo escreveu: > > > > - Mensagem encaminhada - > De: Daniel Quevedo > Data: dom, 13 de mai de 2018 às 02:54 > Assunto: > Para: ob...@mat-puc.rio.br > > > Sabendo que p, q e r são números impares distintos com p+q+r= 2001 e que k > é um inteiro positivo tal que pqr +1 =k^2, a soma dos algarismos do único > valor possível para k é igual a: > A) 20 > B) 21 > C) 22 > D) 23 > E) 24 > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Fiscal: Daniel Quevedo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Realmente eu me expressei mal ali. Eu quis dizer que o menor N deve ser 1, 2 ou 5. Em 13 de maio de 2018 21:22, Jeferson Almir escreveu: > Boa noite. > Eu só não entendi essa passagem > “ Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50 > menores ou iguais a 5).“ > Pois pra mim eu teria que levar em conta somente os divisores de 50 > > Em dom, 13 de mai de 2018 às 19:43, Bruno Visnadi < > brunovisnadida...@gmail.com> escreveu: > >> Não sei se ficou meio confuso: >> De fato a função é injetiva, pois se f(a) = f(b) então f^50(a) = f^50(b) >> e a = b. E claramente é sobrejetiva, portanto, é bijetiva. Existem 5! = 120 >> bijeções de S em S. Vamos descontar as que não tem a propriedade desejada. >> Em cada bijeção de S em S, dado um a, existe um menor N tal que f^N(a) = >> a. Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50 >> menores ou iguais a 5). >> Se existem um a cujo N é igual a 3, temos um caso em que f(a) = b, f(b) >> = c e f(c) = a . Existem 10 maneiras de escolher a, b, c de S, duas >> maneiras de escolher o 'ciclo' entre eles (a->b->c ou a->c->b), e mais 2 >> maneiras de escolher a imagem dos outros 2 elementos (se forem x e y, >> podemos ter f(x) = x e f(y) = y ou f(x) = y e f(y) = x). Então temos 10*2*2 >> = 40 funções deste tipo. >> Se existe um a cujo N é igual a 4, temos um caso em que f(a) = b, f(b) = >> c e f(c) = d e f(d) = a. Temos 5 maneiras de escolher estes 4 elementos de >> S, e mais 6 maneiras de ordenar o 'ciclo' entre eles (basta fixar um deles >> e vemos que são 3! maneiras). Então 6*5 = 30 funções deste tipo. >> Logo a quantidade de funções com as propriedades que buscamos é 120-40-30 >> = 50. >> >> Em 13 de maio de 2018 18:03, Jeferson Almir >> escreveu: >> >>> Seja S = { 1,2,3,4,5 }, quantas são as funções de f: S -> S tais que >>> f^50(x)= x para todo x pertencente a S ?? ( f^50(x) = fofofo...of(x) >>> Eu provei que ela era injetiva e acho que provei também que ela era >>> sobrejetiva mas minha resposta dar 45 . O gabarito diz que são 50. Desde já >>> agradeço qualquer ajuda. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Boa noite. Eu só não entendi essa passagem “ Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50 menores ou iguais a 5).“ Pois pra mim eu teria que levar em conta somente os divisores de 50 Em dom, 13 de mai de 2018 às 19:43, Bruno Visnadi < brunovisnadida...@gmail.com> escreveu: > Não sei se ficou meio confuso: > De fato a função é injetiva, pois se f(a) = f(b) então f^50(a) = f^50(b) e > a = b. E claramente é sobrejetiva, portanto, é bijetiva. Existem 5! = 120 > bijeções de S em S. Vamos descontar as que não tem a propriedade desejada. > Em cada bijeção de S em S, dado um a, existe um menor N tal que f^N(a) = > a. Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50 > menores ou iguais a 5). > Se existem um a cujo N é igual a 3, temos um caso em que f(a) = b, f(b) = > c e f(c) = a . Existem 10 maneiras de escolher a, b, c de S, duas > maneiras de escolher o 'ciclo' entre eles (a->b->c ou a->c->b), e mais 2 > maneiras de escolher a imagem dos outros 2 elementos (se forem x e y, > podemos ter f(x) = x e f(y) = y ou f(x) = y e f(y) = x). Então temos 10*2*2 > = 40 funções deste tipo. > Se existe um a cujo N é igual a 4, temos um caso em que f(a) = b, f(b) = > c e f(c) = d e f(d) = a. Temos 5 maneiras de escolher estes 4 elementos de > S, e mais 6 maneiras de ordenar o 'ciclo' entre eles (basta fixar um deles > e vemos que são 3! maneiras). Então 6*5 = 30 funções deste tipo. > Logo a quantidade de funções com as propriedades que buscamos é 120-40-30 > = 50. > > Em 13 de maio de 2018 18:03, Jeferson Almir > escreveu: > >> Seja S = { 1,2,3,4,5 }, quantas são as funções de f: S -> S tais que >> f^50(x)= x para todo x pertencente a S ?? ( f^50(x) = fofofo...of(x) >> Eu provei que ela era injetiva e acho que provei também que ela era >> sobrejetiva mas minha resposta dar 45 . O gabarito diz que são 50. Desde já >> agradeço qualquer ajuda. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Fwd: não sei como fazer, tentei desigualdades de médias e não saiu
Oi Daniel, Estranho, pois p=999, q= 1001 e r =1; teremos p+q+r=2001 , pqr+1= 100= (1000)^2. Ou seja, k=1000 ? Pacini Em 13/05/2018 2:56, Daniel Quevedo escreveu: > - Mensagem encaminhada - > De: Daniel Quevedo > Data: dom, 13 de mai de 2018 às 02:54 > Assunto: > Para: ob...@mat-puc.rio.br > > Sabendo que p, q e r são números impares distintos com p+q+r= 2001 e que k é > um inteiro positivo tal que pqr +1 =k^2, a soma dos algarismos do único valor > possível para k é igual a: > A) 20 > B) 21 > C) 22 > D) 23 > E) 24 -- > > Fiscal: Daniel Quevedo -- > > Fiscal: Daniel Quevedo > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Não sei se ficou meio confuso: De fato a função é injetiva, pois se f(a) = f(b) então f^50(a) = f^50(b) e a = b. E claramente é sobrejetiva, portanto, é bijetiva. Existem 5! = 120 bijeções de S em S. Vamos descontar as que não tem a propriedade desejada. Em cada bijeção de S em S, dado um a, existe um menor N tal que f^N(a) = a. Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50 menores ou iguais a 5). Se existem um a cujo N é igual a 3, temos um caso em que f(a) = b, f(b) = c e f(c) = a . Existem 10 maneiras de escolher a, b, c de S, duas maneiras de escolher o 'ciclo' entre eles (a->b->c ou a->c->b), e mais 2 maneiras de escolher a imagem dos outros 2 elementos (se forem x e y, podemos ter f(x) = x e f(y) = y ou f(x) = y e f(y) = x). Então temos 10*2*2 = 40 funções deste tipo. Se existe um a cujo N é igual a 4, temos um caso em que f(a) = b, f(b) = c e f(c) = d e f(d) = a. Temos 5 maneiras de escolher estes 4 elementos de S, e mais 6 maneiras de ordenar o 'ciclo' entre eles (basta fixar um deles e vemos que são 3! maneiras). Então 6*5 = 30 funções deste tipo. Logo a quantidade de funções com as propriedades que buscamos é 120-40-30 = 50. Em 13 de maio de 2018 18:03, Jeferson Almir escreveu: > Seja S = { 1,2,3,4,5 }, quantas são as funções de f: S -> S tais que > f^50(x)= x para todo x pertencente a S ?? ( f^50(x) = fofofo...of(x) > Eu provei que ela era injetiva e acho que provei também que ela era > sobrejetiva mas minha resposta dar 45 . O gabarito diz que são 50. Desde já > agradeço qualquer ajuda. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta
Valeu Raph e os demais. Aprendi muito com vcs!! Em sáb, 12 de mai de 2018 às 20:25, Ralph Teixeira escreveu: > Oops, eh verdade, esqueci de mostrar que f nao tem ponto fixo em Z_2005 > (obviamente f nao tem ponto fixo, pois f(f(a))<>a). > > Suponha por absurdo que f(a)=a+K.2005 para algum a em {0,1,...2004}, com K > natural. Entao f(a+K.2005)=f(f(a))=a+2005. Agora, usando nossa > propriedadezinha: > > f(a+K.2005)-f(a)=K.2005 > a+2005 - (a+K.2005) = K.2005 > K = 1/2 (absurdo). > > Abraco, Ralph. > > > > 2018-05-12 2:49 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa < > bernardo...@gmail.com>: > >> Oi Ralph, >> >> 2018-05-11 20:03 GMT-03:00 Ralph Teixeira : >> > (Vou supor que 0 eh natural; se nao for, apenas troque 0 por 2005 ali >> > embaixo e ajeite as coisas) >> > >> > Primeiro: f eh injetiva. De fato, f(a)=f(b) => f(f(a))=f(f(b)) => >> > a+2005=b+2005 => a=b. >> > >> > Segundo: para todo n natural, f(n+2005)=f(f(f(n)))=f(n)+2005. Portanto, >> por >> > indução, para qualquer K natural, tem-se >> > f(n+K.2005)=f(n)+K.2005, ou seja, f(n+K.2005)-f(n)=K.2005. >> > >> > VERSÃO CURTA COM TERMINOLOGIA "MOD": >> > Ou seja, mostramos que a=b (mod 2005) => f(a)=f(b) (mod 2005). >> > Agora, se f(m)=n (mod 2005), entao f(n)=f(f(m))=m+2005=m (mod 2005). Ou >> > seja, f estah bem definida e eh sua propria inversa em Z_2005, o que eh >> > absurdo, pois Z_2005 tem um numero impar de elementos. >> >> Peraí, não entendi direito... se f(n) == n (mod 2005), temos uma >> função que é sua própria inversa mod 2005. Temos que excluir este >> caso... >> >> > 2018-05-11 10:42 GMT-03:00 Jeferson Almir : >> >> >> >> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 >> ??? >> >> >> >> Abraços, >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Função Composta
Seja S = { 1,2,3,4,5 }, quantas são as funções de f: S -> S tais que f^50(x)= x para todo x pertencente a S ?? ( f^50(x) = fofofo...of(x) Eu provei que ela era injetiva e acho que provei também que ela era sobrejetiva mas minha resposta dar 45 . O gabarito diz que são 50. Desde já agradeço qualquer ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.