Re: [obm-l] geometria plana
Legal! Obrigado, Ralph! A relação entre estas 3 soluções cabe bem na discussão que eu queria ter sobre educação matemática (resolução de problemas é uma parte importante dela). A solução por geometria sintética eu já conhecia. Ela usa construções auxiliares, no caso, paralelogramos construídos a partir de duas das medianas. Neste problema, as construções auxiliares são mais ou menos óbvias. Mas há vários problemas de geometria cuja solução sintética usa construções auxiliares nada óbvias e que parecem vir "do além". Imagino que esta seja a fonte mais comum de dificuldade em problemas olímpicos de geometria. A solução por vetores (que é essencialmente algébrica) também usa paralelogramos, mas de forma implícita. Pois a soma de vetores no plano (na qual a solução é baseada) obedece à chamada "lei do paralelogramo". De fato, me parece possível definir um paralelogramo a partir da soma de vetores, mais ou menos assim: dados os pontos A, B, C no plano, e definindo os vetores v = AB e w = AC, então o ponto D tal que AD = v + w é tal que os pontos A, B, C, D são vértices de um paralelogramo (no caso, o paralelogramo ABDC). É interessante que, por causa disso, o uso de vetores dispensa a busca de uma construção auxiliar, o que resulta numa solução mais "automática". Ou seja, o uso de vetores em geometria foi um avanço tecnológico, que suplantou, em vários casos, o "artesanato" da solução sintética. A ideia de usar uma transformação afim, que me ocorreu porque o Anderson Torres mencionou "homotetia" (um tipo específico de transformação afim) em relação a outro problema, no fundo também usa vetores mas, além deles, também usa transformações lineares e uma estratégia de solução que, em linhas gerais, é: 1) usar uma transformação invertível pra transformar o problema original num outro mais fácil de resolver (no caso, o problema original proposto para um triângulo equilátero); 2) resolver o problema mais fácil; 3) usar a transformação inversa pra obter automaticamente a solução do problema original (triângulo qualquer). Este tipo de estratégia é usado toda vez que fazemos uma "mudança de variáveis". *** A solução sintética também usa o fato de que as medianas de um triângulo o subdividem em seis triângulos de mesma área. Em geral, três cevianas que são concorrentes subdividem um triângulo em seis outros triângulos e o uso "esperto" das áreas destes triângulos resulta numa demonstração razoavelmente simples e intuitiva do teorema de Ceva (vide, por exemplo, o livro Geometry Revisited, de Coxeter e Greitzer). A demonstração usual de Ceva usa semelhança: no triângulo ABC, com cevianas concorrentes AM, BN e CP, trace a reta r contendo A e paralela a BC e, em seguida, considere os pontos Q e R de intersecção das cevianas BN e CP (ou seus prolongamentos) com a reta r. Usando semelhança de pares de triângulos adequados e alguma álgebra, chega-se à relação de Ceva: AP/PB * BM/MC * CN/NA = 1. Mas o que eu queria dizer é que acho bem possível que as teorias de área e de semelhança sejam equivalentes, no sentido de que tudo o que é possível demonstrar por meio de uma delas também é possível por meio da outra. O que me leva a dizer isso é o seguinte: no triângulo ABC, com alturas BH e CK, temos: 1) 2*área(ABC) = AB*CK = AC*BH e 2) a semelhança dos triângulos retângulos AHB e AKC (ângulo A comum) implica que: AB/BH = AC/CK <==> AB*CK = AC*BH Ou seja, chega-se à mesma relação (algébrica) entre elementos de um triângulo por dois caminhos aparentemente distintos: área e semelhança. Hoje em dia, estas duas teorias são apresentadas supondo-se conhecidas as propriedades dos números reais (vide Medida e Forma em Geometria, do Elon Lages Lima). Em particular, este livro (que é ótimo) apresenta a teoria da semelhança com base na definição: As figuras planas F e G são ditas semelhantes (de razão k) se existir uma função f:F -> G e um número real positivo k tais que, para quaisquer pontos X e Y de F: dist(f(X),f(Y)) = k*dist(X,Y), onde dist(X,Y) = distância entre X e Y = medida do segmento XY. []s, Claudio. 2018-07-29 19:44 GMT-03:00 Ralph Teixeira : > Sim! Quando aplica-se qualquer transformacao linear a um objeto, a razao > entre o volume da figura nova e o da figura antiga eh constante e igual ao > determinante da transformacao! Entao ambas as areas ficariam multiplicadas > pelo mesmo numero, e a razao se manteria! > > Outro detalhe: teria que ver se a transformacao linear leva medianas em > medianas... Mas isso tambem eh verdade e vem direto da definicao de > "transf. linear", pontos medios se preservam. > > Abraco, Ralph. > > On Sun, Jul 29, 2018 at 5:53 PM Claudio Buffara > wrote: > >> Idéia que me ocorreu: todo triângulo é afim-equivalente a um triângulo >> equilátero. >> Mediante translações, as medianas de um triângulo equilátero de lado 1 >> formam um triângulo equilátero cujos lados medem raiz(3)/2 e, portanto, >> cuja área é 3/4. >> Será que uma transformação afim preserva a razão entre as áreas do >>
Re: [obm-l] geometria plana
Pra mim não é tão fácil ver 3, to enferrujado na geometria plana. Pra justificar acho que uma boa forma de ver é dizer que o triângulo APQ é congruente ao PBC. Para concluir, o caminho mais curto que eu vi foi usar que o triângulo MNR é semelhante ao BAN, e a razão é 1/2. Em 28 de julho de 2018 20:51, Claudio Buffara escreveu: > Idéia que me ocorreu: todo triângulo é afim-equivalente a um triângulo > equilátero. > Mediante translações, as medianas de um triângulo equilátero de lado 1 > formam um triângulo equilátero cujos lados medem raiz(3)/2 e, portanto, > cuja área é 3/4. > Será que uma transformação afim preserva a razão entre as áreas do > triângulo original e do triângulo “medianico”? > > Abs, > Cláudio. > > Enviado do meu iPhone > > Em 28 de jul de 2018, à(s) 19:08, matematica10complicada < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > > Então,podemos fazer o seguinte: > > Considere um triângulo ABC, cujas medianas são AM, BN, CP, e baricentro > G desta forma > > 1)Monte um paralelogramo BNQM de forma que MQ intercepte AC em R. > > 2)Como o baricentro divide em seis áreas iguais, temos que a área do > triângulo AGN será 1/6. > > 3)É fácil ver que MQ=BN, e AQ=CP. > > 4) Desta forma a área procurada será a do triângulo AMQ que é o dobro > da área do triângulo AMR=3/8. > > Portanto a resposta é 3/4. > > > Douglas Oliveira. > Grande Abraço. > > Em 28 de julho de 2018 16:32, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > >> Seja um triangulo ABC cuja area eh igual a 1. Determinar a area do >> triangulo cujos lados sao iguais à s medianas do triangulo ABC >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] geometria plana
Sim! Quando aplica-se qualquer transformacao linear a um objeto, a razao entre o volume da figura nova e o da figura antiga eh constante e igual ao determinante da transformacao! Entao ambas as areas ficariam multiplicadas pelo mesmo numero, e a razao se manteria! Outro detalhe: teria que ver se a transformacao linear leva medianas em medianas... Mas isso tambem eh verdade e vem direto da definicao de "transf. linear", pontos medios se preservam. Abraco, Ralph. On Sun, Jul 29, 2018 at 5:53 PM Claudio Buffara wrote: > Idéia que me ocorreu: todo triângulo é afim-equivalente a um triângulo > equilátero. > Mediante translações, as medianas de um triângulo equilátero de lado 1 > formam um triângulo equilátero cujos lados medem raiz(3)/2 e, portanto, > cuja área é 3/4. > Será que uma transformação afim preserva a razão entre as áreas do > triângulo original e do triângulo “medianico”? > > Abs, > Cláudio. > > Enviado do meu iPhone > > Em 28 de jul de 2018, à(s) 19:08, matematica10complicada < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > > Então,podemos fazer o seguinte: > > Considere um triângulo ABC, cujas medianas são AM, BN, CP, e baricentro > G desta forma > > 1)Monte um paralelogramo BNQM de forma que MQ intercepte AC em R. > > 2)Como o baricentro divide em seis áreas iguais, temos que a área do > triângulo AGN será 1/6. > > 3)É fácil ver que MQ=BN, e AQ=CP. > > 4) Desta forma a área procurada será a do triângulo AMQ que é o dobro > da área do triângulo AMR=3/8. > > Portanto a resposta é 3/4. > > > Douglas Oliveira. > Grande Abraço. > > Em 28 de julho de 2018 16:32, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > >> Seja um triangulo ABC cuja area eh igual a 1. Determinar a area do >> triangulo cujos lados sao iguais à s medianas do triangulo ABC >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] geometria plana
Idéia que me ocorreu: todo triângulo é afim-equivalente a um triângulo equilátero. Mediante translações, as medianas de um triângulo equilátero de lado 1 formam um triângulo equilátero cujos lados medem raiz(3)/2 e, portanto, cuja área é 3/4. Será que uma transformação afim preserva a razão entre as áreas do triângulo original e do triângulo “medianico”? Abs, Cláudio. Enviado do meu iPhone Em 28 de jul de 2018, à(s) 19:08, matematica10complicada escreveu: > Então,podemos fazer o seguinte: > > Considere um triângulo ABC, cujas medianas são AM, BN, CP, e baricentro G > desta forma > > 1)Monte um paralelogramo BNQM de forma que MQ intercepte AC em R. > > 2)Como o baricentro divide em seis áreas iguais, temos que a área do > triângulo AGN será 1/6. > > 3)É fácil ver que MQ=BN, e AQ=CP. > > 4) Desta forma a área procurada será a do triângulo AMQ que é o dobro da > área do triângulo AMR=3/8. > > Portanto a resposta é 3/4. > > > Douglas Oliveira. > Grande Abraço. > > Em 28 de julho de 2018 16:32, marcone augusto araújo borges > escreveu: >> Seja um triangulo ABC cuja area eh igual a 1. Determinar a area do >> triangulo cujos lados sao iguais à s medianas do triangulo ABC >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
