[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número máximo de soluções.
Boa tarde! Corrigindo p^s||mdc(x*^2,y*^2), sendo... Ou p^(s/2)|| (x*,y*), sendo... Saudações, PJMS Em seg, 15 de out de 2018 às 13:42, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Do teorema de Jacobi saem dois corolários, simples, porém curiosos. > > (i) O número de divisores de um número inteiro da forma 4K+1 é maior ou > igual ao número de divisores da forma 4K+3. > (ii) Seja p um primo em Z+ e p=3 mod 4, se p^s||a e x^2+y^2 = a com x,y,a > inteiros e a<>0, admite solução, s é par e p^s||mdc(x*,y*), sendo (x*,y*) > uma solução da equação. > > Saudações, > PJMS > > Em ter, 18 de set de 2018 às 15:26, Pedro José > escreveu: > >> Boa tarde! >> Cláudio, >> já comecei o estudo do material. >> Curiosamente, quando do estudo do artigo do Znotes, referente a inteiros >> de gauss, comentara que a demonstração de que todo primo da forma 4k+1 pode >> ser escrita como a soma de um quadrado foi bastante simples. Que a única >> demonstração que conhecia usava um conceito de involução e era complicada e >> nem me lembrava mais, como era a linha de demonstração. Esse artigo usa >> esse conceito para provar que todo primo 4k+1 pode ser representado como a >> soma de dois quadrados. Vou aproveitar para dar uma recordada e ver se >> compreendo. De toda sorte, creio que não me esquecerei mais da apresentada >> no artigo Znotes, que é bem mais simples. >> estou curioso para saber como chegou-se a fórmula do número de soluções >> de x^2+y^2=a. >> >> Saudações, >> PJMS. >> >> >> Em sáb, 15 de set de 2018 às 22:15, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa noite! >>> Pacini, >>> desculpe-me, acabei não agradecendo. >>> Esse fora o meu primeiro pensamento. Cheguei a pensar a princípio, que >>> 12 seria o limitante. >>> Porém, não há limite. >>> Saudações, >>> PJMS. >>> , >>> >>> >>> Em Sáb, 15 de set de 2018 20:40, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa noite! Pacini, Eu estava querendo algo na linha que o Cláudio apresentou. Não há máximo então, pois posso pegar um primo, da forma 4k+1 e elevá-lo a x, x Natural e teremos 4(x+1) soluções, que não tem máximo. Cláudio, Grato. Ainda não li o artigo sugerido, pois, o computador da minha filha deu defeito, ela passou aqui e pegou o meu. Minha vista não me permite ler arquivos no celular. Saudações, PJMS Em Sex, 14 de set de 2018 21:49, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Veja aqui: > https://www.ams.org/publications/authors/books/postpub/gsm-160-summary.pdf > pgs. 22 a 24. > > []s, > Claudio. > > On Fri, Sep 14, 2018 at 9:37 PM Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> wrote: > >> Tem um teorema de Jacobi que diz que, para n inteiro positivo, o >> número de soluções inteiras (positivas, negativas e nulas) de x^2 + y^2 >> = n >> é igual a: >> 4*(d1(n) - d3(n)), onde: >> d1(n) = número de divisores positivos de n da forma 4k+1 >> e >> d3(n) = número de divisores positivos de n da forma 4k+3 >> >> >> On Fri, Sep 14, 2018 at 5:56 PM Pedro José >> wrote: >> >>> Boa tarde! >>> >>> Há algum estudo que possa indicar o número máximo de soluções nos >>> inteiros positivos de: >>> x^2 + y^2=a e para que a ou família de a acontece? >>> >>> Grato. >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número máximo de soluções.
Boa tarde! Do teorema de Jacobi saem dois corolários, simples, porém curiosos. (i) O número de divisores de um número inteiro da forma 4K+1 é maior ou igual ao número de divisores da forma 4K+3. (ii) Seja p um primo em Z+ e p=3 mod 4, se p^s||a e x^2+y^2 = a com x,y,a inteiros e a<>0, admite solução, s é par e p^s||mdc(x*,y*), sendo (x*,y*) uma solução da equação. Saudações, PJMS Em ter, 18 de set de 2018 às 15:26, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Cláudio, > já comecei o estudo do material. > Curiosamente, quando do estudo do artigo do Znotes, referente a inteiros > de gauss, comentara que a demonstração de que todo primo da forma 4k+1 pode > ser escrita como a soma de um quadrado foi bastante simples. Que a única > demonstração que conhecia usava um conceito de involução e era complicada e > nem me lembrava mais, como era a linha de demonstração. Esse artigo usa > esse conceito para provar que todo primo 4k+1 pode ser representado como a > soma de dois quadrados. Vou aproveitar para dar uma recordada e ver se > compreendo. De toda sorte, creio que não me esquecerei mais da apresentada > no artigo Znotes, que é bem mais simples. > estou curioso para saber como chegou-se a fórmula do número de soluções de > x^2+y^2=a. > > Saudações, > PJMS. > > > Em sáb, 15 de set de 2018 às 22:15, Pedro José > escreveu: > >> Boa noite! >> Pacini, >> desculpe-me, acabei não agradecendo. >> Esse fora o meu primeiro pensamento. Cheguei a pensar a princípio, que 12 >> seria o limitante. >> Porém, não há limite. >> Saudações, >> PJMS. >> , >> >> >> Em Sáb, 15 de set de 2018 20:40, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa noite! >>> Pacini, >>> Eu estava querendo algo na linha que o Cláudio apresentou. >>> Não há máximo então, pois posso pegar um primo, da forma 4k+1 e elevá-lo >>> a x, x Natural e teremos 4(x+1) soluções, que não tem máximo. >>> Cláudio, >>> Grato. Ainda não li o artigo sugerido, pois, o computador da minha filha >>> deu defeito, ela passou aqui e pegou o meu. Minha vista não me permite ler >>> arquivos no celular. >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> Em Sex, 14 de set de 2018 21:49, Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>> Veja aqui: https://www.ams.org/publications/authors/books/postpub/gsm-160-summary.pdf pgs. 22 a 24. []s, Claudio. On Fri, Sep 14, 2018 at 9:37 PM Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> wrote: > Tem um teorema de Jacobi que diz que, para n inteiro positivo, o > número de soluções inteiras (positivas, negativas e nulas) de x^2 + y^2 = > n > é igual a: > 4*(d1(n) - d3(n)), onde: > d1(n) = número de divisores positivos de n da forma 4k+1 > e > d3(n) = número de divisores positivos de n da forma 4k+3 > > > On Fri, Sep 14, 2018 at 5:56 PM Pedro José > wrote: > >> Boa tarde! >> >> Há algum estudo que possa indicar o número máximo de soluções nos >> inteiros positivos de: >> x^2 + y^2=a e para que a ou família de a acontece? >> >> Grato. >> Saudações, >> PJMS >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida conceitual (equações)
Boa tarde! Artur, não sou contrário a multiplicidade da raiz. Porém, mesmo coma a multiplicidade, a raiz continua sendo única. Todavia,não há como negar, facilita sobremaneira as relações de Girard, para soma e produto é fácil de ajeitar, mas quando passamos a somatório de produtos dois a dois, três a três... ficaria complicado. Saudações, PJMS Em seg, 15 de out de 2018 às 12:45, Artur Steiner < artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > Isso de se considerar multiplicidades no número de raízes de um polinômio > é uma convenção conveniente. Facilita muito no caso, por exemplo, das > famosas relações de Girard. Elas só funcionam se considerarmos as > multiplicidades. Em análise complexa há também vários teoremas relativos a > funções analíticas que contam os zeros da função contando multiplicidades. > > É claro, por exemplo, que o conjunto de zeros (ou raízes) da função f(x) = > x^3 é {0}. É uma única raiz com multiplicidade 3. Mas em muitas aplicações > é mais conveniente supor que são 3 raízes iguais a 0.Sem esquecer que esta > f só se anula para x = 0. > > Há muitas convenções convenientes na matemática. Por exemplo, embora a > soma seja uma operação binária, convenciona-se que uma soma de uma única > parcela é a própria parcela. Isto facilita muito. > > Artur Costa Steiner > > Em dom, 14 de out de 2018 06:33, Vanderlei Nemitz > escreveu: > >> Bom dia! >> Na seguinte questão, que me foi apresentada por um aluno, a resposta >> proposta é a alternativa C (1/2). Eu sempre pensei que apenas >> considerávamos multiplicidades em equações polinomiais. Como essa é uma >> equação exponencial, obtive a resposta B (-1/2). O que é correto pensar? >> >> O produto das raízes da equação 16.4^3x - 40.4^2x + 17.4^x - 2 = 0 é >> igual a: >> A) 1 >> B) - 0,5 >> C) 0,5 >> D) - 1 >> E) 0 >> >> Muito obrigado! >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida conceitual (equações)
Isso de se considerar multiplicidades no número de raízes de um polinômio é uma convenção conveniente. Facilita muito no caso, por exemplo, das famosas relações de Girard. Elas só funcionam se considerarmos as multiplicidades. Em análise complexa há também vários teoremas relativos a funções analíticas que contam os zeros da função contando multiplicidades. É claro, por exemplo, que o conjunto de zeros (ou raízes) da função f(x) = x^3 é {0}. É uma única raiz com multiplicidade 3. Mas em muitas aplicações é mais conveniente supor que são 3 raízes iguais a 0.Sem esquecer que esta f só se anula para x = 0. Há muitas convenções convenientes na matemática. Por exemplo, embora a soma seja uma operação binária, convenciona-se que uma soma de uma única parcela é a própria parcela. Isto facilita muito. Artur Costa Steiner Em dom, 14 de out de 2018 06:33, Vanderlei Nemitz escreveu: > Bom dia! > Na seguinte questão, que me foi apresentada por um aluno, a resposta > proposta é a alternativa C (1/2). Eu sempre pensei que apenas > considerávamos multiplicidades em equações polinomiais. Como essa é uma > equação exponencial, obtive a resposta B (-1/2). O que é correto pensar? > > O produto das raízes da equação 16.4^3x - 40.4^2x + 17.4^x - 2 = 0 é igual > a: > A) 1 > B) - 0,5 > C) 0,5 > D) - 1 > E) 0 > > Muito obrigado! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida conceitual (equações)
On Mon, Oct 15, 2018 at 8:07 AM Claudio Buffara wrote: > > Derivando e igualando a zero o lado esquerdo da sua equação, ficamos com: > -2*cos(x)*sen(x) + sen(x) = 0 ==> > sen(x) = 0 ou cos(x) = 1/2 ==> > x = 0 ou x = pi ou x = 2pi > ou x = pi/3 ou x = 5pi/3. > > Assim, uma definição que me parece adequado para equações em geral (e não > necessariamente polinomiais) da forma f(x) = 0 é que uma raiz de > multiplicidade n é raiz de f, f’, ... , f^(n-1) mas não é raiz de f^(n). > > Naturalmente, se f não tiver todas as derivadas, precisaremos achar uma > definição diferente. Mas talvez, neste caso, nem faça sentido falar em > multiplicidade de uma raiz. Essa definição funciona relativamente bem se f é analítica, porque o comportamento local é determinado por inteiros. Se f for apenas diferenciável, talvez seja complicado dizer algo, como o exemplo clássico de exp(-1/x^2). A raiz tem multiplicidade infinita? Enfim, existem, como você falou, boas razões para incorporar multiplicidade (por exemplo estabilidade numérica), mas isso em geral só faz sentido no mundo analítico, onde a noção de "grau" é dada pelas derivadas. Acho que mesmo no mundo C-infinito já pode haver problemas, mas não sou especialista (nessas :D) patologias. A questão original, incluindo multiplicidades, pode ser resolvida simplesmente usando as relações de Girard, que dependem de forma simples da equação. Vou tentar dar um exemplo que ilustra meu ponto de vista: qual o produto das raízes da equação x^2 - 4x + c? "Qualquer um" dirá "c". Mas, naturalmente, se c = 4, a única solução é x=2, e portanto (sem usar multiplicidades) este produto seria apenas 2. E daí a fórmula fica muito mais complicada, com um caso especial, e descontínua. A grande sacada do Girard foi, justamente, propor incorporar as multiplicidades, para simplificar as fórmulas (além, é claro, de incluir também as soluções negativas, antes consideradas como "absurdas" - este foi, provavelmente, o maior motivo de as pessoas considerarem raízes negativas como algo que fazia sentido, e portanto os números negativos também). Mas isso não quer dizer que a equação x^2 - 4x + 4 tenha duas soluções. É apenas uma forma mais conveniente de interpretar as raízes quando se pensam nas relações de Girard (e várias outras fórmulas). Neste sentido, acho que este tipo de questão mais atrapalha (porque "era só para usar a fórmula") - a menos que, justamente, se discuta *porque* falamos de multiplicidade: para que as fórmulas fiquem mais simples (e você pode incluir "bonitas" também, por minha conta). Nada mais. E esta "simplificação" do entendimento através da simplificação das fórmulas não se justifica sempre: este mesmo debate sobre multiplicidades leva a considerar objetos no infinito (para que todas as retas se intersectem sempre em um ponto), complexos (para x^2 + 1 = 0 ter raiz), etc. Muitas vezes, é útil ter esse entendimento unificado, onde tudo "só depende do grau". Mas será mesmo que se eu perguntar para você "em quantos pontos a reta x=3 corta a parábola y=x^2?" você vai dizer "2, é óbvio"? Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida conceitual (equações)
Exatamente nisso que estava pensando. Se fizessemos 4^x = y teriamos uma equação polinomial de grau 3, ai fica mais evidente a existência de múltiplas raizes. Abraços Kevin Kühl On 15 Oct 2018 07:25 -0300, Claudio Buffara , wrote: > Qual a soma das raizes de (2^x - 8)^3 = 0? > Se a equação acima fosse apresentada como: > 2^(3x) - 24*2^(2x) + 192*2^x - 512 = 0, > isso mudaria sua resposta? > > Enviado do meu iPhone > > Em 15 de out de 2018, à(s) 00:29, Vanderlei Nemitz > escreveu: > > > Valeu, Pedro! Tomara que mais alguém emita sua opinião. > > Um abraço! > > > > > Em dom, 14 de out de 2018 18:59, Pedro José > > > escreveu: > > > > Boa noite! > > > > Bom questionamento. Vou me posicionar na arquibancada. > > > > Minha posição é controversa. Se quer se levar em conta a repetição > > > > tem que se falar do produto das raÃzes, cada elevada a sua > > > > multiplicidade. No caso de soma, cada raiz multiplicada pela > > > > multiplicidade. > > > > Para esse exemplo, o conjunto solução é {1/2,-1} então o produto é > > > > -1/2. > > > > Em suma, não aceito n raÃzes iguais, mas sim uma raiz de > > > > multiplicidade n. > > > > Se quando queremos provar que algo é unico supomos a existência de > > > > dois e provamos que são iguais. Creio que seja contraditório dois ou > > > > nais iguais. > > > > Mas vamos observar as diversas posições, pois, creio que o assunto > > > > não seja pacÃfico. > > > > Saudações, > > > > PJMS > > > > > > > > > Em Dom, 14 de out de 2018 06:33, Vanderlei Nemitz > > > > > escreveu: > > > > > > Bom dia! > > > > > > Na seguinte questão, que me foi apresentada por um aluno, a > > > > > > resposta proposta é a alternativa C (1/2). Eu sempre pensei que > > > > > > apenas considerávamos multiplicidades em equações polinomiais. > > > > > > Como essa é uma equação exponencial, obtive a resposta B (-1/2). > > > > > > O que é correto pensar? > > > > > > > > > > > > O produto das raÃzes da equação 16.4^3x - 40.4^2x + 17.4^x - 2 = > > > > > > 0 é igual a: > > > > > > A) 1 > > > > > > B) - 0,5 > > > > > > C) 0,5 > > > > > > D) - 1 > > > > > > E) 0 > > > > > > > > > > > > Muito obrigado! > > > > > > > > > > > > -- > > > > > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > > > > > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > > > -- > > > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > > > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida conceitual (equações)
Derivando e igualando a zero o lado esquerdo da sua equação, ficamos com: -2*cos(x)*sen(x) + sen(x) = 0 ==> sen(x) = 0 ou cos(x) = 1/2 ==> x = 0 ou x = pi ou x = 2pi ou x = pi/3 ou x = 5pi/3. Assim, uma definição que me parece adequado para equações em geral (e não necessariamente polinomiais) da forma f(x) = 0 é que uma raiz de multiplicidade n é raiz de f, f’, ... , f^(n-1) mas não é raiz de f^(n). Naturalmente, se f não tiver todas as derivadas, precisaremos achar uma definição diferente. Mas talvez, neste caso, nem faça sentido falar em multiplicidade de uma raiz. Enviado do meu iPhone Em 15 de out de 2018, à(s) 08:13, Vanderlei Nemitz escreveu: > Claudio: > Eu ficaria com a mesma dúvida! > Pensaria em apenas uma raiz. > > Qual é a soma das raÃzes da equação (cos x)^2 - cos x + 1/4 = 0 no > intervalo [0, 2pi]? > > Em seg, 15 de out de 2018 07:00, Claudio Buffara > escreveu: >> Qual a soma das raizes de (2^x - 8)^3 = 0? >> Se a equação acima fosse apresentada como: >> 2^(3x) - 24*2^(2x) + 192*2^x - 512 = 0, >> isso mudaria sua resposta? >> >> Enviado do meu iPhone >> >> Em 15 de out de 2018, à (s) 00:29, Vanderlei Nemitz >> escreveu: >> >>> Valeu, Pedro! Tomara que mais alguém emita sua opinião. >>> Um abraço! >>> >>> Em dom, 14 de out de 2018 18:59, Pedro José >>> escreveu: Boa noite! Bom questionamento. Vou me posicionar na arquibancada. Minha posição é controversa. Se quer se levar em conta a repetição tem que se falar do produto das raÃÂzes, cada elevada a sua multiplicidade. No caso de soma, cada raiz multiplicada pela multiplicidade. Para esse exemplo, o conjunto solução é {1/2,-1} então o produto é -1/2. Em suma, não aceito n raÃÂzes iguais, mas sim uma raiz de multiplicidade n. Se quando queremos provar que algo é unico supomos a existência de dois e provamos que são iguais. Creio que seja contraditório dois ou nais iguais. Mas vamos observar as diversas posições, pois, creio que o assunto não seja pacÃÂfico. Saudações, PJMS Em Dom, 14 de out de 2018 06:33, Vanderlei Nemitz escreveu: > Bom dia! > Na seguinte questão, que me foi apresentada por um aluno, a resposta > proposta é a alternativa C (1/2). Eu sempre pensei que apenas > considerávamos multiplicidades em equações polinomiais. Como > essa é uma equação exponencial, obtive a resposta B (-1/2). O > que é correto pensar? > > O produto das raÃÂzes da equação 16.4^3x - 40.4^2x + 17.4^x - 2 = > 0 é igual a: > A) 1 > B) - 0,5 > C) 0,5 > D) - 1 > E) 0 > > Muito obrigado! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃÂrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃÂrus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida conceitual (equações)
Pensando só como uma equação, talvez faça sentido não considerar a multiplicidade. Mas, no seu exemplo, no intervalo [0,2pi], os gráficos de f(x) = cos(x) - 1/2 e de g(x) = (cos(x) - 1/2)^2 tem um comportamento bem distinto um do outro em vizinhanças de pi/3 e 5pi/3. Por exemplo, o gráfico de f corta o eixo x em pi/3 enquanto que o de g apenas tangencia o eixo neste ponto. Idem pros outros exemplos. Isso sugere que, mesmo nestes casos, talvez seja conveniente considerar a multiplicidade de uma raiz. Enviado do meu iPhone Em 15 de out de 2018, à(s) 08:13, Vanderlei Nemitz escreveu: > Claudio: > Eu ficaria com a mesma dúvida! > Pensaria em apenas uma raiz. > > Qual é a soma das raÃzes da equação (cos x)^2 - cos x + 1/4 = 0 no > intervalo [0, 2pi]? > > Em seg, 15 de out de 2018 07:00, Claudio Buffara > escreveu: >> Qual a soma das raizes de (2^x - 8)^3 = 0? >> Se a equação acima fosse apresentada como: >> 2^(3x) - 24*2^(2x) + 192*2^x - 512 = 0, >> isso mudaria sua resposta? >> >> Enviado do meu iPhone >> >> Em 15 de out de 2018, à (s) 00:29, Vanderlei Nemitz >> escreveu: >> >>> Valeu, Pedro! Tomara que mais alguém emita sua opinião. >>> Um abraço! >>> >>> Em dom, 14 de out de 2018 18:59, Pedro José >>> escreveu: Boa noite! Bom questionamento. Vou me posicionar na arquibancada. Minha posição é controversa. Se quer se levar em conta a repetição tem que se falar do produto das raÃÂzes, cada elevada a sua multiplicidade. No caso de soma, cada raiz multiplicada pela multiplicidade. Para esse exemplo, o conjunto solução é {1/2,-1} então o produto é -1/2. Em suma, não aceito n raÃÂzes iguais, mas sim uma raiz de multiplicidade n. Se quando queremos provar que algo é unico supomos a existência de dois e provamos que são iguais. Creio que seja contraditório dois ou nais iguais. Mas vamos observar as diversas posições, pois, creio que o assunto não seja pacÃÂfico. Saudações, PJMS Em Dom, 14 de out de 2018 06:33, Vanderlei Nemitz escreveu: > Bom dia! > Na seguinte questão, que me foi apresentada por um aluno, a resposta > proposta é a alternativa C (1/2). Eu sempre pensei que apenas > considerávamos multiplicidades em equações polinomiais. Como > essa é uma equação exponencial, obtive a resposta B (-1/2). O > que é correto pensar? > > O produto das raÃÂzes da equação 16.4^3x - 40.4^2x + 17.4^x - 2 = > 0 é igual a: > A) 1 > B) - 0,5 > C) 0,5 > D) - 1 > E) 0 > > Muito obrigado! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃÂrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃÂrus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida conceitual (equações)
Claudio: Eu ficaria com a mesma dúvida! Pensaria em apenas uma raiz. Qual é a soma das raízes da equação (cos x)^2 - cos x + 1/4 = 0 no intervalo [0, 2pi]? Em seg, 15 de out de 2018 07:00, Claudio Buffara escreveu: > Qual a soma das raizes de (2^x - 8)^3 = 0? > Se a equação acima fosse apresentada como: > 2^(3x) - 24*2^(2x) + 192*2^x - 512 = 0, > isso mudaria sua resposta? > > Enviado do meu iPhone > > Em 15 de out de 2018, à(s) 00:29, Vanderlei Nemitz > escreveu: > > Valeu, Pedro! Tomara que mais alguém emita sua opinião. > Um abraço! > > Em dom, 14 de out de 2018 18:59, Pedro José > escreveu: > >> Boa noite! >> Bom questionamento. Vou me posicionar na arquibancada. >> Minha posição é controversa. Se quer se levar em conta a repetição >> tem que se falar do produto das raÃzes, cada elevada a sua multiplicidade. >> No caso de soma, cada raiz multiplicada pela multiplicidade. >> Para esse exemplo, o conjunto solução é {1/2,-1} então o produto é >> -1/2. >> Em suma, não aceito n raÃzes iguais, mas sim uma raiz de multiplicidade >> n. >> Se quando queremos provar que algo é unico supomos a existência de dois >> e provamos que são iguais. Creio que seja contraditório dois ou nais >> iguais. >> Mas vamos observar as diversas posições, pois, creio que o assunto não >> seja pacÃfico. >> Saudações, >> PJMS >> >> Em Dom, 14 de out de 2018 06:33, Vanderlei Nemitz >> escreveu: >> >>> Bom dia! >>> Na seguinte questão, que me foi apresentada por um aluno, a resposta >>> proposta é a alternativa C (1/2). Eu sempre pensei que apenas >>> considerávamos multiplicidades em equações polinomiais. Como essa é uma >>> equação exponencial, obtive a resposta B (-1/2). O que é correto pensar? >>> >>> O produto das raÃzes da equação 16.4^3x - 40.4^2x + 17.4^x - 2 = 0 é >>> igual a: >>> A) 1 >>> B) - 0,5 >>> C) 0,5 >>> D) - 1 >>> E) 0 >>> >>> Muito obrigado! >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida conceitual (equações)
Qual a soma das raizes de (2^x - 8)^3 = 0? Se a equação acima fosse apresentada como: 2^(3x) - 24*2^(2x) + 192*2^x - 512 = 0, isso mudaria sua resposta? Enviado do meu iPhone Em 15 de out de 2018, à(s) 00:29, Vanderlei Nemitz escreveu: > Valeu, Pedro! Tomara que mais alguém emita sua opinião. > Um abraço! > > Em dom, 14 de out de 2018 18:59, Pedro José escreveu: >> Boa noite! >> Bom questionamento. Vou me posicionar na arquibancada. >> Minha posição é controversa. Se quer se levar em conta a repetição tem >> que se falar do produto das raÃzes, cada elevada a sua multiplicidade. No >> caso de soma, cada raiz multiplicada pela multiplicidade. >> Para esse exemplo, o conjunto solução é {1/2,-1} então o produto é -1/2. >> Em suma, não aceito n raÃzes iguais, mas sim uma raiz de multiplicidade n. >> Se quando queremos provar que algo é unico supomos a existência de dois e >> provamos que são iguais. Creio que seja contraditório dois ou nais iguais. >> Mas vamos observar as diversas posições, pois, creio que o assunto não >> seja pacÃfico. >> Saudações, >> PJMS >> >> Em Dom, 14 de out de 2018 06:33, Vanderlei Nemitz >> escreveu: >>> Bom dia! >>> Na seguinte questão, que me foi apresentada por um aluno, a resposta >>> proposta é a alternativa C (1/2). Eu sempre pensei que apenas >>> considerávamos multiplicidades em equações polinomiais. Como essa é uma >>> equação exponencial, obtive a resposta B (-1/2). O que é correto pensar? >>> >>> O produto das raÃzes da equação 16.4^3x - 40.4^2x + 17.4^x - 2 = 0 é >>> igual a: >>> A) 1 >>> B) - 0,5 >>> C) 0,5 >>> D) - 1 >>> E) 0 >>> >>> Muito obrigado! >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.