RES: [obm-l] Geometria

[Claudio Arconcher]

Caros colegas, se bem entendi, o ponto D não pode ser marcado sobre a reta, ele 
deve ser construído.
A construção do ponto D é simples: tome-se o ponto Q`, simétrico do ponto Q, 
com relação à reta suporte dos pontos A,B e C, o quadrilátero PQRQ` é cíclico 
já que o ângulo BQ`C mede 60º e o ângulo PQR deve ser de 120º.
A intersecção dessa circunferência com a  reta por C paralela à reta BQ, 
fazendo 60º com a suporte mencionada, produz o ponto R, lado do terceiro 
triângulo equilátero CDR, aí sai o ponto D.
Uma construção utilizando o Geogebra mostra que as medidas deveriam ser 3,5 e 
x, e não 5,3 e x .
Por favor confiram.
Abraço.
Claudio

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
Douglas Oliveira de Lima
Enviada em: quinta-feira, 12 de abril de 2018 08:56
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Geometria

Caros amigos , tenho um problema bem legal e estou compartilhando. Ai vai:

Numa reta marcam-se os pontos A,B,C,D nesta ordem , e no mesmo semiplano 
constroem-se os triângulos equiláteros ABP, BCQ e CDR de lados 5, 3 e x 
respectivamente, sendo o angulo PQR igual a 120 graus, determine x.



Será que teria alguma construção bonita para solucionå-lo?

Abraco
Douglas Oliveira.

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.

[https://ipmcdn.avast.com/images/icons/icon-envelope-tick-round-orange-animated-no-repeat-v1.gif]
  Livre de vírus. 
www.avast.com.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

RES: [obm-l] Geometria plana

[Claudio Arconcher]

Bom dia caros colegas.
Ponhamos ABCD o quadrado (o ponto A está no lado de baixo e à esquerda, 
segue-se o ponto B à direita, C e D estão no lado de acima fechando o circuito 
ABCD ).
Ponhamos: AP=x e AQ=y, segue-se, QD=1-y e PB=1-x.
Tracemos a circunferência de centro C e raio 1, ela tangencia AD em D e AB em 
B, agora seja M um ponto no quarto dessa circunferência interno ao quadrado 
ABCD e tracemos a tangente a ela por M, cortando AD em Q e AB em P ( serão, de 
fato os pontos esperados ), tem-se: QD=1-y = QM e PB=1 – x = PM, o perímetro do 
triângulo retângulo QAP é igual a 2. Reciprocamente se consideramos o triângulo 
AQP de perímetro 2 fixado antes o ponto M será o mesmo, todos esses triângulos 
são assim obtidos, com PQ tangente à circunferência em um ponto M com a 
propriedade descrita.
Agora basta examinar as congruências dos triângulos retângulos CDQ e CMQ e, 
também, CBP e CMP, isso nos leva a concluir que o ângulo PCQ mede 45 º.
Espero que o “coelhinho da Páscoa” concorde comigo.
Abraço.
Cláudio.

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
Douglas Oliveira de Lima
Enviada em: domingo, 1 de abril de 2018 17:25
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Geometria plana

Olá amigos, pra quem gosta de geometria plana, compartilhando aqui uma questão 
do coelhinho da páscoa que achei legal.

1) Em um quadrado ABCD de lado unitário tomam-se os pontos P e Q sobre os lados 
AB e AD respectivamente, de modo que o perímetro do triângulo APQ seja igual a 
2. Calcule a medida do ângulo  PCQ.

Um abraço

Douglas Oliveira.

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.

[https://ipmcdn.avast.com/images/icons/icon-envelope-tick-round-orange-animated-no-repeat-v1.gif]
  Livre de vírus. 
www.avast.com.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] O nome do matemático.

[Claudio Arconcher]

Finalmente consegui localizar a Matemática Universitária que conta a famosa
história do matemático George Dantzig: ele chegou atrasado

para uma aula de Estatística e copiou dois problemas passados pelo professor
pensando tratar-se de uma tarefa para casa. Os problemas eram

problemas em aberto na área. George teve muito trabalho mas conseguiu
resolvê-los e os entregou ao professor. Somente cinco semanas depois o cara

percebeu o que tinha acontecido. Um dos trabalhos tornou-se a tese de
doutorado do George Dantzig.

Fonte: Matemática Universitária  Número 5  Junho de 1987.

Espero ter ajudado;

Claudio.

[obm-l] RES: [obm-l] nome de Matemático

[Claudio Arconcher]

Esse fato está contado numa das antigas edições da revista da SBM, a
Matemática Universitária. Não lembro o número da revista mas é coisa de uns
vinte anos

atrás.  Não garanto, mas parece que o protagonista foi Tobias Dantzig.

Um abraço.

Claudio

 

  _  

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Welma Pereira
Enviada em: domingo, 27 de fevereiro de 2011 13:07
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] nome de Matemático

 

Olá Pessoal,

 

Será que podiam me ajudar? Estou a procura do nome do matemático que
resolveu um grande problema porque pensou que era lição de casa?

 

Agradeço

Welma

[obm-l] RES: [obm-l] Geometria plana- triângulo retângulo

[Claudio Arconcher]

Seja M o ponto médio da hipotenusa e H o pé da perpendicular tirada do
vértice A sobre a hipotenusa BC.

O triângulo ABH é retângulo em H com ângulo em B medindo 50º e ângulo em A
medindo 40º.

O triângulo AMC é isósceles com ângulos em A e C medindo 40º.

O ângulo HAM mede 10º.

Creio que é isso.

Saludos.

Claudio

 

  _  

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Lucas Hagemaister
Enviada em: quarta-feira, 17 de novembro de 2010 22:21
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Geometria plana- triângulo retângulo

 

No triângulo retângulo ABC, sendo med(B)=50º, o ângulo formado pela altura e
pela mediana traçadas a partir do vértice do ângulo reto A mede quanto?

[obm-l] Resultados brasileiros na IMO 2009

[Claudio Arconcher]

Olá caros colegas

Alguém viu alguma reportagem sobre o brilhante resultado da equipe olímpica
brasileira em algum jornal de grande circulação ?

Se positivo por favor me diga qual foi o jornal.

Grato

Arconcher

Re: [obm-l] Revista on line

[Claudio Arconcher]

Também achei-a excelente caro colega Benedito, o colega Ponce foi quem a 
descobriu.
Um abraço.
Arconcher

[obm-l] Tangentes a uma circunferência

[Claudio Arconcher]

Certamente todos conhecemos um procedimento para traçar as tangentes a uma 
circunferência por um ponto externo a ela.Trivial se podemos utilizar a 
régua e o compasso. Muito mais interessante se pudermos utilizar somente a 
régua. Testei a pergunta com alguns colegas e todos se surpreenderam.
Eis a questão para quem se interessar: trace as tangentes a uma circunferência 
por um ponto externo a ela fazendo uso apenas de uma régua não graduada.
Um abraço,
Arconcher.

[obm-l] Re: [obm-l] Tangentes a uma circunferência

[Claudio Arconcher]

Trata-se do seguinte: há um famoso teorema devido a um grande geômetra do 
século 19 chamado Jakob Steiner que estabelece
que toda construção com régua e compasso pode ser feita usando somente a régua 
( no sentido que podemos somente traçar retas ) desde que
nos seja dado, no plano, uma circunferência fixa e seu centro ( na verdade 
basta qualquer arco de comprimento positivo ).
Torna-se interessante então procurar soluções elementares para muitas 
construções abolindo o uso do compasso.
A solução do nosso colega Rogério Ponce usa um teorema muito legal de geometria 
projetiva ( Eureka 8 - artigo do prof.Luciano de Castro )
sobre a reta polar do ponto de concorrência de dois lados opostos de um 
quadrilátero inscrito. É interessante notar ainda que nesse caso
o centro da circunferência não foi solicitado.
Melhorou?

Pergunta- É possível construir o ponto médio de um segmento de reta usando 
somente a régua ?
( A resposta é negativa e a demonstração é muito legal também, pode ser 
encontrada em The Enjoyment of Mathematics - Hans Rademacher e Otto Toeplitz)

Acho que esses temas interessam aos que gostam de geometria.

Um abraço
Arconcher.

Re: [obm-l] construir segmento

[Claudio Arconcher]

A construção de \sqrt[4][ a^4 + b^4] feita lá na antiga RPM foi assim:

Façamos a^2=d.m e b^2=d.n, assim d é a hipotenusa de um triângulo retângulo de 
catetos a e b e m e n são as respectivas projeções sobre a hipotenusa
dos catetos a e b. Portanto d, m, n são construtíveis sem o uso do segmento 
unitário.
Agora fica fácil, a^4 + b^4 = d^2 [ m^2 + n^2 ] e \sqrt[2][ a^4 + b^4 
]=d.\sqrt[ m^2 + n^2 ]e \sqrt[2][ d.\sqrt[ m^2 + n^2 ] é apenas a média 
geométrica entre os segmentos
d e \sqrt[m^2 + n^2 ], todos construtíveis como manda o figurino.
Agora a questão posta por você me parece que é equivalente a construir o 
segmento de medida x sendo dado o segmento de medida \sqrt[x] . Acho que isso 
não é possível sem usar o segmento unitário. Usando o segmento unitário é óbvio.

Saludos
Arconcher.