[obm-l] Fatoração

[Daniel Quevedo]

A soma dos valores inteiros de a para os quais (x -10)(x+a) +1 seja
faturável num produto (x+b)(x+c) com b e c inteiros é:

A) 8
B) 10
C) 12
D) 20
E) 24

Resp: D
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Fiscal: Daniel Quevedo

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Produtos notáveis

[Daniel Quevedo]

O número de pares de números inteiros (a, b) com a, b não nulos tais que
(a^3 +b)(a+b^3)=(a+b)^4 é igual a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Gab b
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

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[obm-l] base de numeração

[Daniel Quevedo]

Os oito últimos algarismos do número 27^1986 quando escrito na base 2 são:
a) 11011001
b) 11011101
c) 1001
d) 11011011
e) 10011001

gab: A

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[obm-l] teoria dos números

[Daniel Quevedo]

Calcule a soma dos 3 últimos algarismos do número 2003^2002^2001.

R: 7

Daniel

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[obm-l] Dízima

[Daniel Quevedo]

A fração 168/(2^p .7^q) é a geratriz de uma dízima no qual a parte não
periódica possui 7 algarismos e o seu período possui no máximo 294
algarismos. O valor de p.q é:
A) 10
B) 20
C)30
D)40
E)50

Gab D
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Re: [obm-l] Infinito

[Daniel Quevedo]

Luiz 1/0 é impossível de ser efetuado. Uma maneira bem informal d mostrar é
falar q é igual a um número x. Assim, 0.x =1 (não há nenhum x q satisfaça a
equação)
Se fizer o mesmo com 0/0=x => 0.x = 0 => é indeterminado pq qqr número
satisfaz.

Obs essa explicação não estaria tecnicamente correta, mas acho q mostra o
fato

Em qui, 18 de abr de 2019 às 18:09, Luiz Antonio Rodrigues <
rodrigue...@gmail.com> escreveu:

> Olá, pessoal!
> Tudo bem?
> Um aluno do Ensino Médio me perguntou se 1 é infinitas vezes maior que
> zero.
> Eu respondi que 1/0 é infinito, mas que infinito vezes zero não pode ser 1.
> Mas confesso que fiquei com dúvidas sobre isso...
> O que vocês pensam a respeito?
> Um abraço!
> Luiz
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Teoria dos números

[Daniel Quevedo]

O número de pares ordenados  de inteiros positivos (*a, b*) tais que 8*b* +
1 é múltiplo de *a* e 8*a* + 1 é múltiplo de *b* é igual a:

R: 11

-- 
Daniel


Livre
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Re: [obm-l] Teoria de conjuntos

[Daniel Quevedo]

Tbm acho, essa é a questão 2647 do Gandhi problemas selecionados.

Em dom, 27 de jan de 2019 às 12:48, Bruno Visnadi <
brunovisnadida...@gmail.com> escreveu:

> Acho que falta alguma informação. Por exemplo, o número total de
> matemáticos.
>
> Em Dom, 27 de jan de 2019 09:07, Daniel Quevedo  escreveu:
>
>> Dentre matemáticos verificou-se que todos os geômetras eram analistas.
>> Metade de todos os analistas eram geômetras. Existem 30 algebristas e 20
>> geômetras. Nenhum algebrista é geômetra. O número de analistas que não são
>> geômetras nem algebristas é:
>>
>> R: 5
>>
>>
>> Não consegui chegar na resposta.
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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[obm-l] Teoria de conjuntos

[Daniel Quevedo]

Dentre matemáticos verificou-se que todos os geômetras eram analistas.
Metade de todos os analistas eram geômetras. Existem 30 algebristas e 20
geômetras. Nenhum algebrista é geômetra. O número de analistas que não são
geômetras nem algebristas é:

R: 5


Não consegui chegar na resposta.
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[obm-l] Soma de frações próprias

[Daniel Quevedo]

Colocando-se a fração 19/94 sob a forma 1/m + 1/n , onde m e n são inteiros
positivos o valor de m + n é igual a:

R: 475
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[obm-l] Teoria dos números

[Daniel Quevedo]

Se x, y e z são números reais positivos tais que xyz(x+y+z) = 1, o menor
valor da expressão (x+y)(y+z) é:
A) 1/2
B) 2/3
C) 4/3
D) 3/2
E) 2

R: e
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Fiscal: Daniel Quevedo

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Re: [obm-l] Divisibilidade

[Daniel Quevedo]

Alguém conseguiu fazer?

Em seg, 1 de out de 2018 às 10:37, Daniel Quevedo 
escreveu:

> Foi mal Cláudio d fato é -2/480 ... como digitei do celular sem querer
> esbarrei no número errado.
> Quanto ao fim da mensagem, o e-mail escreve automaticamente, vou consertar
> isso quando estiver no PC, nem reparei rs
>
> Em seg, 1 de out de 2018 às 10:23, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Bom dia! Tenho uma dúvida: por que, em toda questão que você posta, está
>> escrito embaixo "Fiscal: Daniel Quevedo" ?
>>
>> Outra dúvida: a última parcela é mesmo -1/480 ou será que é -2/480?
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>>
>> On Mon, Oct 1, 2018 at 9:20 AM Daniel Quevedo 
>> wrote:
>>
>>> Se p é q são inteiros positivos tais que
>>> P/q = 1 + 1/2 - 2/3 +1/4 + 1/5 - 2/6 + ... + 1/478 + 1/479 - 1/480
>>>
>>> Podemos afirmar que p é divisível por:
>>> A) 239
>>> B) 257
>>> C) 373
>>> D) 419
>>> E) 641
>>>
>>> R: a
>>> --
>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
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>> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>


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Re: [obm-l] Divisibilidade

[Daniel Quevedo]

Foi mal Cláudio d fato é -2/480 ... como digitei do celular sem querer
esbarrei no número errado.
Quanto ao fim da mensagem, o e-mail escreve automaticamente, vou consertar
isso quando estiver no PC, nem reparei rs

Em seg, 1 de out de 2018 às 10:23, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Bom dia! Tenho uma dúvida: por que, em toda questão que você posta, está
> escrito embaixo "Fiscal: Daniel Quevedo" ?
>
> Outra dúvida: a última parcela é mesmo -1/480 ou será que é -2/480?
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> On Mon, Oct 1, 2018 at 9:20 AM Daniel Quevedo  wrote:
>
>> Se p é q são inteiros positivos tais que
>> P/q = 1 + 1/2 - 2/3 +1/4 + 1/5 - 2/6 + ... + 1/478 + 1/479 - 1/480
>>
>> Podemos afirmar que p é divisível por:
>> A) 239
>> B) 257
>> C) 373
>> D) 419
>> E) 641
>>
>> R: a
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Divisibilidade

[Daniel Quevedo]

Se p é q são inteiros positivos tais que
P/q = 1 + 1/2 - 2/3 +1/4 + 1/5 - 2/6 + ... + 1/478 + 1/479 - 1/480

Podemos afirmar que p é divisível por:
A) 239
B) 257
C) 373
D) 419
E) 641

R: a
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[obm-l] Pares de inteiros

[Daniel Quevedo]

O número de pares de inteiros (a, b) com a e b não nulos tais que (a^3
+b)(a+ b^3) = (a +b)^4 é igual a:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9

R: b
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[obm-l] Valor mínimo

[Daniel Quevedo]

Se A, B, C e D são reais positivos então o valor mínimo de 1/A + 1/B + 4/C
+ 16/D é igual a:
A) 1/(A + B +C+D)
B) 16/(A + B +C+D)
C) 2/(A + B +C+D)
D) 64/(A + B +C+D)
E) 4/(A + B +C+D)

R: d
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Radiciação

[Daniel Quevedo]

Obrigado, questão fácil, não sei como não pensei nisso!

Em seg, 27 de ago de 2018 às 21:21, Artur Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:

> n^2 -10n +29 = (n- 5)^2 + 4 > (n - 5)^2. Logo, sqrt(n^2 -10n +29) > n - 5
>
> n^2 -10n +29 = (n - 4)^2 - (2n -13) < (n - 4)^2 para n > 6. Logo, para n >
> 6, sqrt(n^2 -10n +29) < n - 4.
>
> O inteiro pedido é portanto 20062006 - 5 = 20062001
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em seg, 27 de ago de 2018 19:33, Daniel Quevedo 
> escreveu:
>
>> O maior inteiro que não excede a sqrt(n^2 -10n +29) para n = 20062006 é
>> igual a:
>> A) 20062001
>> B)20062002
>> C) 20062003
>> D) 20062004
>> E)20062005
>>
>> R: a
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

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[obm-l] Radiciação

[Daniel Quevedo]

O maior inteiro que não excede a sqrt(n^2 -10n +29) para n = 20062006 é
igual a:
A) 20062001
B)20062002
C) 20062003
D) 20062004
E)20062005

R: a
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Daniel Quevedo]

Blz não sabia q era de lá, vou consultar. Obrigado!

Em qui, 23 de ago de 2018 às 10:30, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Esse é clássico. Foi o problema 6 da IMO de 1988 e é usualmente
> considerado o problema mais difícil proposto numa IMO, pelo menos até
> aquela data.
>
> Um bom ponto de partida pode ser este:
> https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta_jumping
> Ou então: https://mks.mff.cuni.cz/kalva/imo.html
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> 2018-08-23 9:57 GMT-03:00 Daniel Quevedo :
>
>> Sejam a e b inteiros estritamente positivos tais que (ab + 1) é um
>> divisor de (a^2 + b^2). Sobre o número  (a^2 +b^2)/(ab +1) podemos afirmar
>> que é um quadrado perfeito:
>> A) se, e só se, a e b também o forem.
>> B) se, e só se, a e b tiverem acreana paridade
>> C) se, e só se, a e b tiverem paridades distintas
>> D) somente para um número finito de valores de a e b
>> E) sempre
>>
>> R: e
>>
> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

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[obm-l] Teoria dos números

[Daniel Quevedo]

Sejam a e b inteiros estritamente positivos tais que (ab + 1) é um divisor
de (a^2 + b^2). Sobre o número  (a^2 +b^2)/(ab +1) podemos afirmar que é um
quadrado perfeito:
A) se, e só se, a e b também o forem.
B) se, e só se, a e b tiverem acreana paridade
C) se, e só se, a e b tiverem paridades distintas
D) somente para um número finito de valores de a e b
E) sempre

R: e
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equações do 2 grau

[Daniel Quevedo]

D fato o enunciado é só isso, o q tbm achei incompleto... mas a solução do
Matheus foi fantástica, parabéns!!!

Em seg, 20 de ago de 2018 às 11:25, Matheus Secco 
escreveu:

> Na verdade, foi construída essa função auxiliar para reinterpretar os
> dados do problema de outra maneira que fosse útil.
>
> Em seg, 20 de ago de 2018 11:01, Alexandre Antunes <
> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:
>
>> Bom dia,
>>
>> Mas o enunciado de 1a não estaria incompleto?
>> - o que diz que a expressão é relativa a uma equação (ou função) do 2°
>> grau?
>> - E se a função suposta for outra?
>>
>> Em Seg, 20 de ago de 2018 10:09, Matheus Secco 
>> escreveu:
>>
>>> Para a primeira, supondo a, b, c reais, considere a função quadrática
>>> f(x) = cx² + bx + a e veja que a^2+ab+ac = a(a+b+c) = f(0) * f(1).
>>> Do enunciado, tem-se f(0) * f(1) < 0 e isso significa que a função
>>> possui exatamente 1 raiz entre 0 e 1. Por se tratar de uma função
>>> quadrática, deve ter outra raiz real, que está fora do intervalo (0,1). Com
>>> isso, possui duas raízes reais distintas e então o discriminante b² - 4ac é
>>> positivo: b²> 4ac.
>>>
>>> On Sun, Aug 19, 2018 at 6:21 PM Daniel Quevedo 
>>> wrote:
>>>
>>>> 1) Se a^2 +ab + ac < 0, então:
>>>> A) a^2 > 4ab
>>>> B) b^2 > 4ac
>>>> C) c^2 > 4ab
>>>> D) a^2 = 4b
>>>> E) b^2 = 4ac
>>>>
>>>> R: B
>>>>
>>>> 2) sendo a, b e c inteiros ímpares, sobre as raizes da equação ax^2 +
>>>> bx + c = 0 podemos afirmar que:
>>>> A) são inteiros ímpares
>>>> B) são inteiros pares
>>>> C) não são racionais
>>>> D) são racionais não inteiras
>>>> E) não são reais
>>>>
>>>> R: C
>>>> --
>>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
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[obm-l] Equações do 2 grau

[Daniel Quevedo]

1) Se a^2 +ab + ac < 0, então:
A) a^2 > 4ab
B) b^2 > 4ac
C) c^2 > 4ab
D) a^2 = 4b
E) b^2 = 4ac

R: B

2) sendo a, b e c inteiros ímpares, sobre as raizes da equação ax^2 + bx +
c = 0 podemos afirmar que:
A) são inteiros ímpares
B) são inteiros pares
C) não são racionais
D) são racionais não inteiras
E) não são reais

R: C
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Questão do Gandhi

[Daniel Quevedo]

Seja D = a^2 + b^2 + c^2, onde a e b são inteiros consecutivos e c = a•b.
Então sobre a raiz quadrada de D podemos afirmar que:

A) é sempre inteiro par
B) algumas vezes é inteiro par, outras vezes não.
C) algumas vezes é racional, outras vezes não.
D) é sempre inteiro ímpar.
E) é sempre irracional.

Gab: d

PS: é fácil mostrar q D é inteiro ímpar, minha dificuldade está em mostrar
q a raiz quadrada tbm é.
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
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[obm-l]

[Daniel Quevedo]

Suprima CEM dígitos do número 1234567891011...60 de modo a obter o maior
número possível. A seguir, faça o mesmo para obter o menor número possível.
A soma dos algarismos da diferença entre estes dois números é:
A)61
B)62
C)63
D)64
E)65

R: E

Não achei nenhuma das soluções, na vdd meu número deu bem maior do q as
opções
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
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Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Daniel Quevedo]

Recebi

Em seg, 16 de jul de 2018 às 10:19, Kevin Felipe Kuhl Oliveira <
kevin_k...@usp.br> escreveu:

> Gostaria de saber se minhas mensagens são recebidas.
>
> Por favor, se você visualizou esta mensagem, me avise.
>
> Obrigado
> On 16 Jul 2018 09:52 -0300, matematica10complicada <
> profdouglaso.del...@gmail.com>, wrote:
>
> Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como]
>  algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente.
> Veja só:
>
> 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve
> existir um "a" para que isso seja verdade usando médias.
>
> 2) Depois estive a desenvolver,   x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36
> >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG.
>
> 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que  4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>=
> (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a.
>
> 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n ,
> teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma
> an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3.
>
> 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica   x^3+y^3/xy+9 >=
> x+y-3 o que de forma análoga teremos:
>
> P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9.
>
> Acho que é isso.
>
> Douglas Oliveira.
>
>
>
> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>
>> Agradeço desde já.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
>
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>
>
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] União de Dois Conjuntos

[Daniel Quevedo]

Mas calma aí, as vezes o contexto determina se a disjunção é inclusiva ou
exclusiva. No caso da mãe grávida o ou é exclusivo. Mas d um modo geral na
matemática o ou é inclusivo

Em qua, 4 de jul de 2018 às 20:14,  escreveu:

> Não resisto:
>
> A futura mãe, grávida, após os exames, pergunta ao médico:
> "É menino ou menina?"
> Resposta do médico; SIM.
>
>
>
> Quoting Claudio Buffara :
>
> > A união de dois conjuntos é definida com base no conectivo lógico "OU" (x
> > pertence a A união B <==> x pertence a A  OU  x pertence a B).
> > E, em matemática (e em lógica), o "OU" não é exclusivo (ao contrário do
> uso
> > quotidiano deste conectivo).
> > Ou seja, dadas as proposições P e Q, a proposição composta "P OU Q" será
> > verdadeira em três situações:
> > P verdadeira e Q falsa,
> > P falsa e Q verdadeira, e
> > P e Q ambas verdadeiras.
> > Assim, o matemático é o sujeito que, quando perguntado se prefere açúcar
> ou
> > adoçante no seu café, responde "Sim".
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> >
> > 2018-07-04 17:56 GMT-03:00 Ronei Lima Badaró :
> >
> >> Acredito que seja para ser didático já que o "ou" em casos do cotidiano
> >> pode ser excludente.
> >>
> >> Em Qua, 4 de jul de 2018 17:52, Alexandre Antunes <
> >> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:
> >>
> >>>
> >>> Nessa definição ele separa apenas na parte de A (sem a parte comum a
> B),
> >>> parte de B (sem a parte comum a A) e a interseção  entre A e B.
> >>>
> >>> Em Qua, 4 de jul de 2018 17:14, Luiz Antonio Rodrigues <
> >>> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
> >>>
> >>>> Olá, boa tarde!
> >>>> Eu achei a definição abaixo na Wikipedia.
> >>>> Não entendi porque tenho que considerar a intersecção também...
> >>>> Alguém pode me ajudar?
> >>>> Muito obrigado!
> >>>> Luiz
> >>>>
> >>>> The *union of two sets* A and B is the *set* of elements which are in
> >>>> A, in B, or in *both* A and B. For example, if A = {1, 3, 5, 7} and B
> =
> >>>> {1, 2, 4, 6} then A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
> >>>>
> >>>> --
> >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>>
> >>>
> >>> --
> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
> >  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
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[obm-l] Re: Equação 4 grau

[Daniel Quevedo]

Pessoal me desculpe, lá vai eu fazendo besteira novamente, anotei o
enunciado certo, gabarito certo e opções erradas. Me confundi.
As opções são:
A) (-3, 0)
B) (-2, 1)
C) (-1, 2)
D) (0, 3)
E) (1, 4)

Em ter, 26 de jun de 2018 às 15:09, Daniel Quevedo 
escreveu:

> As raizes reais da equação x^4 -4x=1 pertencem ao intervalo:
> A) (1,11)
> B) (2, 12)
> C) (3, 13)
> D) (4, 14)
> E) ( 5, 15)
>
> R: c
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

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[obm-l] Equação 4 grau

[Daniel Quevedo]

As raizes reais da equação x^4 -4x=1 pertencem ao intervalo:
A) (1,11)
B) (2, 12)
C) (3, 13)
D) (4, 14)
E) ( 5, 15)

R: c
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Fiscal: Daniel Quevedo

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[obm-l] equação do 2 grau

[Daniel Quevedo]

O número de pares ordenados (a, b), de números reais tais que as equações
x^2 + ax + b^2 = 0 e x^2 + bx + a^2 = 0 possuem pelo menos uma raiz comum é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

R: 0

PS: Não entendi a questão pq, se a = b, as equações são iguais e assim
satisfarão a condição (pelo menos uma raiz comum), mesmo que essas não
sejam reais. Mas como provar que para a diferente de b não há raizes comuns?

-- 
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[obm-l] Re: Números primos

[Daniel Quevedo]

olá a todos. Peço desculpas aos amigos pois escrevi o enunciado indo pro
trabalho (estava com ele na cabeça tentando um jeito de resolve-lo) e não o
escrevi direito. Essa é a questão 1035 do Problemas selecionados de
matemática. O enunciado traz: A soma dos 4 MENORES fatores primos distintos
do número 15^15^15 + 15.
Portanto não o crucifiquem, pelo menos não por isto, haha.
Mais uma vez desculpas pelo equívoco.

Aproveito o momento para pedir auxílio, pois esses problemas de Teoria dos
números são muito complexos pra mim. Quais materiais vcs estudam/estudaram
para chegar a resolver questões assim?
Desde já grato pelas respostas

Em 7 de junho de 2018 18:11, Daniel Quevedo  escreveu:

> A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é:
> R: 39
>
> Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos os
> fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é fator.
> Minha dificuldade é descobrir o terceiro
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>



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Fiscal: Daniel Quevedo

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[obm-l] Números primos

[Daniel Quevedo]

A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é:
R: 39

Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos os
fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é fator.
Minha dificuldade é descobrir o terceiro
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

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[obm-l] Re: [obm-l] Questão sobre divisor primo

[Daniel Quevedo]

De uma maneira bem informal 6| 12n^2 , para qqr n inteiro. Logo 12n^2+1= 1
(mod 6) ou seja é da forma 6k +1.

Uma demonstração formal seria por indução finita, onde P(0)= 12+1 = 13 =
1(mod 6)
Se P(n) é verdade, logo
P (n +1) = 12n^2 + 24n +12 + 1 = 6(2n^2 + 4n + 3) + 13 = 1 (mod 6) é vdd
Acho q é isso

Em qua, 6 de jun de 2018 às 11:38, Pedro Chaves 
escreveu:

> Caros Colegas,
>
> Não consegui resolver a questão abaixo. Peço auxílio.
>
> Questão:Para cada inteiro positivo n, mostrar que todo divisor primo
> de 12n^2 + 1 é da forma 6k +1, sendo k um inteiro positivo.
>
>
>
>
> <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email_source=link_campaign=sig-email_content=webmail>
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email_source=link_campaign=sig-email_content=webmail>.
> <#m_7705839601006527736_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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Re: [obm-l] Quadrado perfeito

[Daniel Quevedo]

Eu comecei a fazer e fiquei com números muito grandes. Como ABCD  é qp D =
1, 4, 6, 9 ( 5 não serve pq qqr número com final 5 termina em 25 e o número
2625 não é qp).
Mesmo usando alguns critérios de exclusão d qp não restrito muito as
possibilidades.
D qqr forma aguardo uma resolução ou continuação da questão.

Em dom, 3 de jun de 2018 às 14:04, Pedro José 
escreveu:

> Boa tarde!
> Só consegui na grosseria.
> Tem de ser um número maior que 31, para ter 4  algarismos.
> Então o número x será o quadrado de MN que será
> 100M^2+20N*M+N^2. Para satisfazer o problema.
> [(M^2+X)/10] =Y,
> Onde XY =2*(MN) e note que X pode ser o algarismo zero.
> [a] representa parte inteira de a
> Para
> N= 0, não atende dá só três algarismos. 100
> N=1 serve o M= 9, o 7 bate na trave.
> Verificando: 91^2=8281, atende de cara. Como é múltipla escolha
> poderia parar.
> Mas não atende para N=2,3,4,6,7,8,9.
> Para 5 não precisa verificar pois, o quadrado de um número 10*X+5 é
> 100*X*(X+1)+25.
> 26 não pode ser obtido do produto de dois números consecutivos.
> Mas se você tiver paciência, alguém posta uma soluçao mais elegante.
> Saudações,
> PJMS
>
> Em Dom, 3 de jun de 2018 12:10, Daniel Quevedo 
> escreveu:
>
>> O número de quatro algarismos ABCD é um quadrado perfeito. Sabendo que
>> incinero de dois algarismos AB e CD diferem de uma unidade, nessa ordem, a
>> soma A+B+C+D é igual a:
>> A) 15
>> B) 16
>> C) 17
>> D) 18
>> E) 19
>>
>> R: E
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Quadrado perfeito

[Daniel Quevedo]

O número de quatro algarismos ABCD é um quadrado perfeito. Sabendo que
incinero de dois algarismos AB e CD diferem de uma unidade, nessa ordem, a
soma A+B+C+D é igual a:
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19

R: E
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Daniel Quevedo]

De um livro q tenho. Não duvidaria q fosse d alguma olimpíada pq há muitas
questões q são tiradas daí. O nome é Problemas Selecionados de Matemática,
do Gandhi

Em sáb, 2 de jun de 2018 às 17:29, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> De onde é este problema?
> 1a fase de alguma olimpíada?
>
> Abs
>
> Enviado do meu iPhone
>
> Em 2 de jun de 2018, à(s) 16:15, Daniel Quevedo 
> escreveu:
>
> Muito obrigado a todos. De fato com a mudança de variável fica td mais
> fácil. Não tinha visto isso.Â
> Obrigado
>
> Em sáb, 2 de jun de 2018 às 16:02, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde.
>> A limitação para X5 obviamente não inclui 5, foi lambança.Â
>> Saudações,Â
>> PJMSÂ
>>
>> Em Sáb, 2 de jun de 2018 15:22, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Para |X| suficientemente grande, X^6 domina a soma dos outros termos.
>>>
>>> Mudando a notação, eu pus N = X e R = X5.
>>>
>>> Então: R^5*N^5 + R*N = N^6 + R^6.
>>>
>>> Caso 1: N >= 0:
>>> R <= 4, de modo que o lado esquerdo <= N*(1024*N^4 + 4).
>>> Já o lado direito >= N^6.
>>> N*(1024*N^4 + 4) < N^6Â
>>> ==> 1024*N^4 + 4 < N^5Â Â
>>> ==> 1024 + 4/N^4 < N
>>> ==> N >= 1025.
>>> Então, para a equação ser satisfeita, é necessário que N <= 1024.
>>>
>>> Caso 2: N < 0.
>>> Então o lado esquerdo <= 0 (com igualdade sss R = 0) e o lado direito
>>> é positivo.
>>> Logo, a equação não tem soluções com N < 0.
>>>
>>> Com uma planilha, eu achei apenas 5 soluções:
>>> 0, 1, 32, 243, 1024.
>>>
>>> A soma destes três números é 1300.
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>> 2018-06-02 14:10 GMT-03:00 Daniel Quevedo :
>>>
>>>> Seja Xn o resto da divisão de X por n. ParavX inteiro a soma de todos
>>>> os elementos do conjunto solução da equação: [(X5)^5].X^5 - X^6 -
>>>> (X5)^6 +X.(X5) = 0
>>>> É igual a:
>>>> A) 1100
>>>> B) 1300
>>>> C) 1500
>>>> D) 1700
>>>> E) 1900
>>>>
>>>> R: b
>>>> --
>>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Daniel Quevedo]

Muito obrigado a todos. De fato com a mudança de variável fica td mais
fácil. Não tinha visto isso.
Obrigado

Em sáb, 2 de jun de 2018 às 16:02, Pedro José 
escreveu:

> Boa tarde.
> A limitação para X5 obviamente não inclui 5, foi lambança.
> Saudações,
> PJMS
>
> Em Sáb, 2 de jun de 2018 15:22, Claudio Buffara 
> escreveu:
>
>> Para |X| suficientemente grande, X^6 domina a soma dos outros termos.
>>
>> Mudando a notação, eu pus N = X e R = X5.
>>
>> Então: R^5*N^5 + R*N = N^6 + R^6.
>>
>> Caso 1: N >= 0:
>> R <= 4, de modo que o lado esquerdo <= N*(1024*N^4 + 4).
>> Já o lado direito >= N^6.
>> N*(1024*N^4 + 4) < N^6
>> ==> 1024*N^4 + 4 < N^5
>> ==> 1024 + 4/N^4 < N
>> ==> N >= 1025.
>> Então, para a equação ser satisfeita, é necessário que N <= 1024.
>>
>> Caso 2: N < 0.
>> Então o lado esquerdo <= 0 (com igualdade sss R = 0) e o lado direito é
>> positivo.
>> Logo, a equação não tem soluções com N < 0.
>>
>> Com uma planilha, eu achei apenas 5 soluções:
>> 0, 1, 32, 243, 1024.
>>
>> A soma destes três números é 1300.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>> 2018-06-02 14:10 GMT-03:00 Daniel Quevedo :
>>
>>> Seja Xn o resto da divisão de X por n. ParavX inteiro a soma de todos os
>>> elementos do conjunto solução da equação: [(X5)^5].X^5 - X^6 - (X5)^6
>>> +X.(X5) = 0
>>> É igual a:
>>> A) 1100
>>> B) 1300
>>> C) 1500
>>> D) 1700
>>> E) 1900
>>>
>>> R: b
>>> --
>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Teoria dos números

[Daniel Quevedo]

Seja Xn o resto da divisão de X por n. ParavX inteiro a soma de todos os
elementos do conjunto solução da equação: [(X5)^5].X^5 - X^6 - (X5)^6
+X.(X5) = 0
É igual a:
A) 1100
B) 1300
C) 1500
D) 1700
E) 1900

R: b
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Divisibilidade

[Daniel Quevedo]

Se N= 1992abcd é divisível por 8640 então N/8640 é igual a:

R: 2306
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Aritmética dos restos

[Daniel Quevedo]

A soma dos 3 últimos algarismos do número 2003^2002^2001 é igual a:

R: 7
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Daniel Quevedo]

Sim, olhei rápido não percebi b/a^2 que tem que ter um algarismo. Está de
fato correta a solução

Em sex, 18 de mai de 2018 às 19:53, Pedro José <petroc...@gmail.com>
escreveu:

> Boa noite!
> Daniel,
> observe com calma a solução do colega. Ele não considerou a como um
> algarismo. Note que a solução apresentada por ele foi para a = 143.
> Acontecerá novamente para a=142857143 É mais uma infininixade de vezes.
> Mas sempre b/a^2=7 e portanto, único.
> Saudações,
> PJMS
>
> Em Sex, 18 de mai de 2018 19:34, Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>
> escreveu:
>
>>
>> Sim, agora olhei com mais calma e entendi. Está correto
>>
>> Em sex, 18 de mai de 2018 às 19:22, Otávio Araújo <
>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> E eu não usei a como um número natural qualquer?
>>>
>>> Em sex, 18 de mai de 2018 19:02, Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>
>>> escreveu:
>>>
>>>> A minha dúvida foi pq pensei em algo mais Geral, não interpretei a como
>>>> algarismo, mas colo número qualquer. Aí teríamos números como 1001 q é
>>>> divisível por 11. Mas assim acho q o problema não fecha.
>>>> Mas me parece q essa é a resolução correta.
>>>> Obrigado
>>>>
>>>> Em sex, 18 de mai de 2018 às 18:39, Otávio Araújo <
>>>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>>>
>>>>> * e é o único valor possível.
>>>>>
>>>>> Esqueci o "e" kkl
>>>>>
>>>>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo <
>>>>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>>>>
>>>>>> Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
>>>>>> (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
>>>>>> então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<=
>>>>>> a <10^n.
>>>>>> Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
>>>>>> critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois 
>>>>>> estes
>>>>>> nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. 
>>>>>> E
>>>>>> de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
>>>>>> caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
>>>>>> nesse caso é o único valor possível.
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>
>>>>>> escreveu:
>>>>>>
>>>>>>> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
>>>>>>> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = 
>>>>>>> aa.
>>>>>>> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 
>>>>>>> é:
>>>>>>>
>>>>>>> A) 0
>>>>>>> B) 1
>>>>>>> C) 2
>>>>>>> D) 3
>>>>>>> E) mais de 3
>>>>>>>
>>>>>>>
>>>>>>> R: b
>>>>>>> --
>>>>>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>>>>>
>>>>>>> --
>>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>>>
>>>>>>
>>>>> --
>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>
>>>> --
>>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Daniel Quevedo]

Sim, agora olhei com mais calma e entendi. Está correto

Em sex, 18 de mai de 2018 às 19:22, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
escreveu:

> E eu não usei a como um número natural qualquer?
>
> Em sex, 18 de mai de 2018 19:02, Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>
> escreveu:
>
>> A minha dúvida foi pq pensei em algo mais Geral, não interpretei a como
>> algarismo, mas colo número qualquer. Aí teríamos números como 1001 q é
>> divisível por 11. Mas assim acho q o problema não fecha.
>> Mas me parece q essa é a resolução correta.
>> Obrigado
>>
>> Em sex, 18 de mai de 2018 às 18:39, Otávio Araújo <
>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> * e é o único valor possível.
>>>
>>> Esqueci o "e" kkl
>>>
>>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo <
>>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>>> Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
>>>> (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
>>>> então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<= a
>>>> <10^n.
>>>> Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
>>>> critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
>>>> nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
>>>> de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
>>>> caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
>>>> nesse caso é o único valor possível.
>>>>
>>>>
>>>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>
>>>> escreveu:
>>>>
>>>>> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
>>>>> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
>>>>> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:
>>>>>
>>>>> A) 0
>>>>> B) 1
>>>>> C) 2
>>>>> D) 3
>>>>> E) mais de 3
>>>>>
>>>>>
>>>>> R: b
>>>>> --
>>>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>>>
>>>>> --
>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>
>>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problemas selecionados

[Daniel Quevedo]

A minha dúvida foi pq pensei em algo mais Geral, não interpretei a como
algarismo, mas colo número qualquer. Aí teríamos números como 1001 q é
divisível por 11. Mas assim acho q o problema não fecha.
Mas me parece q essa é a resolução correta.
Obrigado

Em sex, 18 de mai de 2018 às 18:39, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
escreveu:

> * e é o único valor possível.
>
> Esqueci o "e" kkl
>
> Em sex, 18 de mai de 2018 18:24, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
> escreveu:
>
>> Faça o seguinte: seja n o número de algarismos de a. Então b =
>> (10^n+1)*a.   ( * denota multiplicação)
>> então a^2 divide b -> a divide 10^n+1 e tem n algarismos ->  10^n-1<= a
>> <10^n.
>> Dai (10^n+1)/a só pode ser um dos números: 2,3,4,5,6,7,8,9. Usando os
>> critérios de divisibilidade, já podemos descartar 2,3,4,5,6,8,9 pois estes
>> nunva dividiram 10^n+1, qualquer que seja n natural. Assim só sobra o 7. E
>> de fato é possível, basta fazer n=3, pois 1001 é divisivel por 7. Nesse
>> caso a=1001/7=143, e b=143143 =143x1001=(143^2)x7. Assim b/a^2 seria 7
>> nesse caso é o único valor possível.
>>
>>
>> Em sex, 18 de mai de 2018 18:01, Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>
>> escreveu:
>>
>>> Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o
>>> número obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa.
>>> Sabendo que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:
>>>
>>> A) 0
>>> B) 1
>>> C) 2
>>> D) 3
>>> E) mais de 3
>>>
>>>
>>> R: b
>>> --
>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Problemas selecionados

[Daniel Quevedo]

Dado um inteiro positivo a > 1, escrito em notação decimal, seja b o número
obtido ao cooocarmos lado a lado duas cópias de a, isto é, b = aa. Sabendo
que b é múltiplo de a^2, o número de valores possíveis de b/a^2 é:

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) mais de 3


R: b
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Alguém pode ajudar?

[Daniel Quevedo]

Ok Anderson, me desculpe, acho q fica melhor enviar um por vez mesmo.
Obrigado Raphael é essa acresposta mesmo.

Em ter, 15 de mai de 2018 às 23:33, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> > 2) os inteiros m e n são primos entre si. Sabendo que a fração (m +
> > 2000n)/(n +2000m) pode ser simplificado cancelando o divisor comum d. A
> soma
> > dos algarismos do maior valor que d pode assumir é igual a:
> > R: 57
>
> d|m+2000n
> d|n+2000m
> d|1999(m-n)
>
> 1999 é primo
>
> Se d=1999, 1999|m+2000n, 1999|m+n, basta escolher m=1, n=1998, que
> funciona.
>
> A soma dos dígitos de 1999 na base 10 é 28
>
> P.S.: para deixar a lista mais organizada, envie apenas um problema
> por e-mail. A não ser que você queira enviar a prova toda.
>
> Em outras palavras: se quiser enviar problemas soltos, envie um por vez.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Alguém pode ajudar?

[Daniel Quevedo]

Em qua, 16 de mai de 2018 às 18:06, Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>
escreveu:

> Ok Anderson, me desculpe, acho q fica melhor enviar um por vez mesmo.
> Obrigado Raphael é essa acresposta mesmo.
>
desculpe: Ralph, meu celular completou o nome

>
> Em ter, 15 de mai de 2018 às 23:33, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> > 2) os inteiros m e n são primos entre si. Sabendo que a fração (m +
>> > 2000n)/(n +2000m) pode ser simplificado cancelando o divisor comum d. A
>> soma
>> > dos algarismos do maior valor que d pode assumir é igual a:
>> > R: 57
>>
>> d|m+2000n
>> d|n+2000m
>> d|1999(m-n)
>>
>> 1999 é primo
>>
>> Se d=1999, 1999|m+2000n, 1999|m+n, basta escolher m=1, n=1998, que
>> funciona.
>>
>> A soma dos dígitos de 1999 na base 10 é 28
>>
>> P.S.: para deixar a lista mais organizada, envie apenas um problema
>> por e-mail. A não ser que você queira enviar a prova toda.
>>
>> Em outras palavras: se quiser enviar problemas soltos, envie um por vez.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Alguém pode ajudar?

[Daniel Quevedo]

1)(olimpíada d maio) o número de valores inteiros de M para os quais as
raízes da equação x^2 - (M +M^2)d + M^3 - 1= 0 são inteiras é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

2) os inteiros m e n são primos entre si. Sabendo que a fração (m +
2000n)/(n +2000m) pode ser simplificado cancelando o divisor comum d. A
soma dos algarismos do maior valor que d pode assumir é igual a:
R: 57
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fwd: não sei como fazer, tentei desigualdades de médias e não saiu

[Daniel Quevedo]

Perfeito é essa a resposta. Só não entendi o passo pq-r =2 ou -2 . Não
deveria ser apenas um número da forma 2Q ou -2Q, ou seja par? Pq vc afirma
q é +-2?

Em dom, 13 de mai de 2018 às 23:20, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>
escreveu:

> Ah, assim fica bem melhor.
>
> Temos pqr=(k+1)(k-1). Como p, q e r sao primos, entao (trocando a ordem de
> p,q,r se necessario) {pq,r}={k+1,k-1}. Ou seja, pq-r=2 ou -2.
>
> Entao p+q+(pq+-2)=2001, ou seja ((p+1)/2)((q+1)/2)=501 ou 500
>
> As unicas fatoracoes de 501 em dois fatores sao 1.501 e 3.167, que
> rapidamente verificam-se inuteis.
> As unicas fatoracoes de 500 em dois fatores sao 1.500, 2.250, 4.125,
> 5.100, 10.50, 20.25. Verificando uma a uma para ver quais dao p, q primos,
> encontramos apenas
> (p,q)=(3,499), portanto r=2001-p-q=1499 (ok, tambem primo) e k=r-1=1498.
> Entao 22 eh a resposta?
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2018-05-13 22:30 GMT-03:00 Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>:
>
>>
>> Em dom, 13 de mai de 2018 às 20:12, Pacini Bores <pacini.bo...@globo.com>
>> escreveu:
>>
>>> Desculpe-me esqueci d colocar um dado na questão na hora d escrever. Os
>> números p, q é r são primos ímpares. Havia colocado apenas ímpares.
>>
>>> Oi Daniel,
>>>
>>> Estranho, pois p=999, q= 1001 e r =1; teremos  p+q+r=2001 , pqr+1=
>>> 100= (1000)^2.
>>>
>>> Ou seja, k=1000 ?
>>>
>>> Pacini
>>>
>>> Em 13/05/2018 2:56, Daniel Quevedo escreveu:
>>>
>>>
>>>
>>> - Mensagem encaminhada -
>>> De: Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>
>>> Data: dom, 13 de mai de 2018 às 02:54
>>> Assunto:
>>> Para: ob...@mat-puc.rio.br <ob...@mat-puc.rio.br>
>>>
>>>
>>> Sabendo que p, q e r são números impares distintos com p+q+r= 2001 e que
>>> k é um inteiro positivo tal que pqr +1 =k^2, a soma dos algarismos do único
>>> valor possível para k é igual a:
>>> A) 20
>>> B) 21
>>> C) 22
>>> D) 23
>>> E) 24
>>> --
>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>> --
>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Fiscal: Daniel Quevedo

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fwd: não sei como fazer, tentei desigualdades de médias e não saiu

[Daniel Quevedo]

Em dom, 13 de mai de 2018 às 20:12, Pacini Bores <pacini.bo...@globo.com>
escreveu:

> Desculpe-me esqueci d colocar um dado na questão na hora d escrever. Os
números p, q é r são primos ímpares. Havia colocado apenas ímpares.

> Oi Daniel,
>
> Estranho, pois p=999, q= 1001 e r =1; teremos  p+q+r=2001 , pqr+1=
> 100= (1000)^2.
>
> Ou seja, k=1000 ?
>
> Pacini
>
> Em 13/05/2018 2:56, Daniel Quevedo escreveu:
>
>
>
> ----- Mensagem encaminhada -
> De: Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>
> Data: dom, 13 de mai de 2018 às 02:54
> Assunto:
> Para: ob...@mat-puc.rio.br <ob...@mat-puc.rio.br>
>
>
> Sabendo que p, q e r são números impares distintos com p+q+r= 2001 e que k
> é um inteiro positivo tal que pqr +1 =k^2, a soma dos algarismos do único
> valor possível para k é igual a:
> A) 20
> B) 21
> C) 22
> D) 23
> E) 24
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
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> Fiscal: Daniel Quevedo
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> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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[obm-l] Fwd: não sei como fazer, tentei desigualdades de médias e não saiu

[Daniel Quevedo]

- Mensagem encaminhada -
De: Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com>
Data: dom, 13 de mai de 2018 às 02:54
Assunto:
Para: ob...@mat-puc.rio.br <ob...@mat-puc.rio.br>


Sabendo que p, q e r são números impares distintos com p+q+r= 2001 e que k
é um inteiro positivo tal que pqr +1 =k^2, a soma dos algarismos do único
valor possível para k é igual a:
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
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