Re: [obm-l] probabilidade, álgebra, pol inômio
Alguém poderia resolver, pois tenho dificuldade com polinômios ? Na questão 03) faça Q(x)=P(x)-1, e observe que 1,2,3,4 e 5 são as raízes de Q(x). Isso eu entendi, mas como, a partir disso, resolver a questão ? A questão 02) é uma equação não-algébrica. Em uma mensagem de 23/07/05 13:32:19 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Assunto:Re: [obm-l] probabilidade, álgebra, polinômio Data:23/07/05 13:32:19 Hora padrão leste da Am. Sul De:[EMAIL PROTECTED] Responder-para:obm-l@mat.puc-rio.br Para:obm-l@mat.puc-rio.br Enviado pela Internet Na questão 03) faça Q(x)=P(x)-1, e observe que 1,2,3,4 e 5 são as raízes de Q(x). A questão 02) é uma equação não-algébrica. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = []`s Rafael
Re: [obm-l] probabilidade, álgebra, pol inômio
Obrigado mffmartinelli ! Agora espero que alguém me esclareça os 2 primeiros. Em uma mensagem de 23/07/05 19:48:00 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Assunto:Re: [obm-l] probabilidade, álgebra, polinômio Data:23/07/05 19:48:00 Hora padrão leste da Am. Sul De:[EMAIL PROTECTED] Responder-para:obm-l@mat.puc-rio.br Para:obm-l@mat.puc-rio.br Enviado pela Internet Na questão 03) faça Q(x)=P(x)-1, e observe que 1,2,3,4 e 5 são as raízes de Q(x). Ora, então Q(x)=A*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5) e P(x), por sua vez, é tal que P(x)=A*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)+1. Como P(6)=0 então A*120+1=0. Logo A=-1/120 e P(0)=(-1/120)*-120+1=2 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = []`s Rafael
[obm-l] probabilidade, álgebra, polinômio
Olá, pessoal ! 1) O vírus X aparece nas variantes X1 e X2. Se um indivíduo tem esse vírus, a probabilidade de ser a variante X1 é de 3/5. Se o indivíduo tem o vírus X1, a probabilidade de esse indivíduo sobreviver é de 2/3; mas, se o indivíduo tem o vírus X2, a probabilidade de ele sobreviver é de 5/6. Nessas condições, qual a probabilidade de o indivíduo portador do vírus X sobreviver? A) 1/3 B) 7/15 C) 3/5 D) 2/3 E) 11/15 2) x^2- 2^(x+ 1)=0 Possui quantas raízes reais? x^2 =2^(x+1) duas funções F(x) = x^2 f(x)= 2^(x+1) Faça o gráfico das duas funções e as intersecções serão as raízes . x=-1 é uma raiz real . Alguém pode dar uma solução algébrica ? 3) (ITA-SP) Se P(x) é um polinômio de grau 5, que satisfaz as condições 1 = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) e P(6) = 0, então temos: a) P(0) = 4 b) P(0) = 3 c) P(0) = 9 d) P(0) = 2 e) n.d.a []`s Rafael
Re: [obm-l] Oswald de Souza (off)
Eu ia perguntar isso, mas acabei esquecendo, pois tenho a mesma curiosidade. Outra pergunta: Se houvesse uma seleção dos 10 brasileiros mais hábeis em resolver problemas de matemática, quantos, vocês acham, que sairiam dessa lista ? Vou começar opinando: 10 ;-) LOLOL Em uma mensagem de 21/06/05 19:27:14 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Assunto:[obm-l] Oswald de Souza (off) Data:21/06/05 19:27:14 Hora padrão leste da Am. Sul De:[EMAIL PROTECTED] Responder-para:obm-l@mat.puc-rio.br Para:obm-l@mat.puc-rio.br Enviado pela Internet Sei que isso é totalmente off-topic, mas qdo se fala em matematica todo leigo pensa em Oswald de Souza (aquele que fica falando de loteria, futebol), alguem ai sabe onde esse cara se formou, se pesquisa matematica... ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = []`s Rafael
Re: (Link Errado) Re: [obm-l] Martin Garder
um matemtico realmente fantstico ! H algumas semanas estava lendo a seo da "Parade Magazine" em que Marilyn Vos Savant (A mulher mais inteligente do mundo atualmente, segundo o Guiness Book) desafiada a resolver puzzles e questes aleatrias. Uma das pessoas que enviou um puzzle para ver se ela iria conseguir resolver foi justamente o Martin Gardner. Ela conseguiu resolver e ainda o parabenizou por ele continuar criando puzzles apesar da idade. Eu tenho um livro dele entitulado "Divertimentos Matemticos". Em uma mensagem de 16/06/05 08:51:32 Hora padro leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Assunto:(Link Errado) Re: [obm-l] Martin Garder Data:16/06/05 08:51:32 Hora padro leste da Am. Sul De:[EMAIL PROTECTED] Responder-para:obm-l@mat.puc-rio.br Para:obm-l@mat.puc-rio.br Enviado pela Internet O link correto http://www.ams.org/notices e entre no exemplar de junho/julho de 2005. Para ver os artigos da notices necessrio se cadastrar. Abraos, Ed. --- edmilson motta [EMAIL PROTECTED] wrote: Vejam uma entrevista com este grande divulgador da Matemtica http://www.ams.org/notices/200506/ Ed. __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = []`s Rafael
[obm-l] Quina Sena
Olá, pessoal ! Sabendo-se que após a retirada da quinta dezena, apenas 60 jogos foram premiados com a quina. Supor que 10% jogaram 8 dezenas, 20 % jogaram 7 dezenas e o restante 6 dezenas (% dos 60 premiados com a quina). Qual a probabilidade de ninguém fazer a sena ? []`s Rafael
Re: [obm-l] Peso dos cachorros
Obrigado ! Em uma mensagem de 02/06/05 23:33:06 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Assunto:Re: [obm-l] Peso dos cachorros Data:02/06/05 23:33:06 Hora padrão leste da Am. Sul De:[EMAIL PROTECTED] Responder-para:obm-l@mat.puc-rio.br Para:obm-l@mat.puc-rio.br Enviado pela Internet Como os 10 # sao 2 a 2 distintos podemos supor ABCDE. Somando tudo 4(A+B+C+D+E)=9560 ou A+B+C+D+E=2390 A+B=900 e D+E=1010 fornecem C=480 e isto mostra que todas as incognitas sao multiplas de 10 o que nos leva a usar decagramas (dag); as novas incognitas (1/10 das antigas) terao valores inteiros. a+b=90 fornece a45bc=48 o que da 2 possibilidades: 1) a=43 e b=47 ou 2) a=44 e b=46. Analogamente 3) d=49 e e=52 ou 4) d=50 e e=51. 1) e 3) dariam b+e=99 (nao figura entre os dados) 4) daria c+e=99 (idem). Resta apenas 2) e 3). Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = []`s Rafael
[obm-l] Combinatória
Olá, pessoal ! (EEM-SP) De quantos modos podemos ordenar 2 livros de matemática, 3 de português e 4 de física, de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e, além disso, os de física fique, entre si, sempre na mesma ordem? (Resp.: 48) []`s Rafael
[obm-l] Peso dos cachorros
Olá, pessoal ! Em uma loja de animais há cinco cachorrinhos. O dono pesou os animais colocando dois de cada vez na balança, em todas as combinações possíveis. Por exemplo: Tico e Teco, depois Tico e Tuco, depois Teco e Tuco, e assim por diante. Os valores obtidos após todas as pesagens foram: 900g - 920g - 930g - 940g - 950g - 960g - 970g - 980g - 1000g - 1010g A massa (peso) dos cinco cachorrinhos é: Eu fiz e cheguei aos seguintes valores: A = 438,75 B = 461,25 C = 481,25 D = 491,25 E = 518,75 Primeiramente escrevi todas as equações: A + B = 900 A + C = 920 A + D = 930 ... D + E = 1010 Depois somei as 4 primeiras equações ... A + B + C + D + E = 3690 - 4*A (I) Depois somei a 5ª, a 6ª e a 7ª equação ... B + C + D + E = 2880 - 3*B (II) Substituindo (II) em (I), teremos: A + (2880 - 3*B) = 3690 - 4*A 5*A - 3*B = 810 (III) Com (III) e (I) encontraremos: A = 438,75 B = 461,25 Depois é só substituir para encontrar os outros valores ! Acertei ? []`s Rafael
Re: [obm-l] Raízes em P.A
Em uma mensagem de 23/05/05 19:57:02 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Assunto:Re: [obm-l] Raízes em P.A Data:23/05/05 19:57:02 Hora padrão leste da Am. Sul De:[EMAIL PROTECTED] Responder-para:obm-l@mat.puc-rio.br Para:obm-l@mat.puc-rio.br Enviado pela Internet Sejam x-3r, x-r, x+r e x+3r as raizes da equacao. Sabemos q a soma das raizes eh zero, donde x = 0. O somatorio do produto dois a dois das raizes deve ser b/a. Portanto 3r^2-3r^2-9r^2-r^2-3r^2+3r^2 = b/a = 10r^2 = -b/a = r^2 = -b/10a. Alem disso, o produto das raizes eh c/a. Logo 9r^4 = c/a = 9b^2/100a^2 = c/a = 9b^2 = 100ac. Acho q eh isso! --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal ! Qual a relação que deve existir entre os coeficientes da equação ax^4 + bx^2 + c = 0, para que as raízes fiquem em P.A ? []`s Rafael __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Obrigado ! O modo como você montou a P.A, ou seja, x-3r, x-r, x+r e x+3r, "matou" o problema ! []`s Rafael
[obm-l] Progressões
Agradeço de antemão a todos que responderam à questão sobre sequências que enviei. Vou lê-las com bastante calma. []`s Rafael
Re: [obm-l] Aritmética
Em uma mensagem de 04/05/05 14:34:06 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 01.O excesso de gordura no organismo é nocivo à saúde. Considere uma pessoa, com massa corporal estável, que deseje perder gordura, sem alterar sua dieta alimentar. Para essa pessoa, um dispêndio energético de 9 kcal em atividades físicas corresponde à perda de 1 g de gordura corporal. Para perder 6,0 kg de gordura, o tempo, em minutos, que ela necessita dedicar a atividades físicas, despendendo, em média, 12 kcal/min, corresponde a: a) 2,0 × 102 b) 4,5 × 103 c) 8,0 × 104 d) 6,0 × 105 02.Uma pista de corrida com 7,5 km de extensão tem a forma de uma curva circular fechada. Um ciclista é capaz de fazer o percurso completo em 20 minutos, enquanto um corredor o faz em meia hora. Considere que o ciclista e o corredor partam do mesmo ponto A da pista, no mesmo instante, ambos mantendo velocidades constantes ao longo de todo o percurso, porém deslocando-se em sentidos contrários.O tempo mínimo necessário, em minutos, para que ambos voltem a se encontrar é igual a: a) 10 b) 12 c) 13 d) 15 03.Três operários foram contratados para executar uma tarefa pela qual receberiam, juntos, a importância total de R$180,00. Um deles trabalhou cinco dias; o segundo, quatro; o último, três. Supondo-se que cada um tenha recebido a mesma quantia por dia de trabalho, o valor pago ao que trabalhou menos dias foi: a) R$ 15,00 b) R$ 30,00 c) R$ 45,00 d) R$ 60,00 1) 9 Kcal / 1 g = x Kcal / 6000 g x = 54000 Kcal 12 Kcal / 1 min = 54000 Kcal / y min y = 4500 min = 4,5*10^3 min 2) velocidade do ciclista (V[1]) = 7,5 km / 20 min = 7500 m / 20 min = 375 m / min velocidade do corredor (V[2] = 7,5 km / 30 min = 7500 m / 30 min = 250 m / min t*(v[1] + v[2]) = 7500 t = 7500 / (375 + 250) t = 7500 / 625 t = 12 minutos 3) a + b + c = 180 a/5 = b/4 = c/3 = (a + b + c) / (5 + 4 + 3) = 180 / 12 = 15 a = 5*15 = 75 b = 4*15 = 60 c = 3*15 = 45 O que trabalhou menos dias (3 dias) foi o c e lhe foi pago 45 reais []`s Rafael
[obm-l] Progressões
Olá, pessoal ! 1) Considere as progressões seguintes de n termos e calcule as somas indicadas a) (1 + 2 + 3 + ...) b) (1^2 + 2^2 + 3^2 + ...) c) (1^3 + 2^3 + 3^3 + ...) d) (2 + 4 + 6 + ...) e) (2^2 + 4^2 + 6^2 + ...) f) (2^3 + 4^3 + 6^3 + ...) g) (1 + 3 + 5 + ...) h) (1^2 + 3^2 + 5^2 + ...) i) (1^3 + 3^3 + 5^3 + ...) Os itens a, d e g, como pode ver, são absolutamente triviais, logo não precisam resolvê-los. Os outros, eu não consegui resolver. []`s Rafael
Re: [obm-l] Off-Topic - Grupo de Física e Química
Eu conheço um de Física: http://www.fisica.net/forum/index.php?sid=22e44f2fd485ac5a71739b7e2d2a039a Em uma mensagem de 20/03/05 16:56:58 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá! Alguém tem conhecimento de algum grupo que discuta questões sobre física e química? Desculpe pela mensagem off-topic. Abraços, Daniele.
[obm-l] IV Olimpíada De Maio - octógono
Olá, pessoal ! O chão do pátio tem desenhado um octógono regular. Emiliano escreve nos vértices deste os números de 1 a 8 em qualquer ordem. Deixa uma pedra no ponto 1. Caminha em direção ao ponto 2 e, havendo percorrido 1/2 do caminho, se detém e deixa a segunda pedra. Daí caminha em direção ao ponto 3 e, havendo percorrido 1/3 do caminho, se detém e deixa a terceira pedra. Daí caminha em direção ao ponto 4 e, havendo percorrido 1/4 do caminho, se detém e deixa a quarta pedra. Deste modo segue até que, depois de deixar a sétima pedra, caminha em direção ao ponto 8, e havendo percorrido 1/8 do caminho, deixa a oitava pedra. A quantidade de pedras que ficarem no centro do octógono depende da ordem em que ele escreveu os números nos vértices. Qual é a maior quantidade de pedras que podem ficar no centro? []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton)
Re: [obm-l] 3 problemas em aberto
Valeu, Fábio ! Faz um certo tempo que eu não vejo uma solução tão brilhante como essa :- o Em uma mensagem de 22/02/05 20:46:25 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Acho que eu sei fazer o problema: ao invés de contar cortes, eu vou contar pinturas do tabuleiro de preto e branco de tal forma que as duas componentes geradas são conexas e têm a mesma área. Como as pinturas XXOO OOXX XOOX OXXO são evidentemente induzidas pelo mesmo corte, temos que dividir o resultado da contagem por 2 ao final. A observação inicial é que se as duas componentes são conexas, o corte só pode tocar a fronteira do tabuleiro duas vezes -- uma para entrar, outra para sair. Logo, a interseção da componente branca com o "anel" formado pelos 12 quadrados exteriores é conexa (e analogamente para a parte preta): *..* (anel formado pelos quadrados externos) *..* Essa interseção pode ter quatro, cinco, seis, sete ou oito quadrados brancos, já que as áreas são iguais. Evidentemente, por causa da dualidade das cores, o número de tabuleiros com quatro quadrados brancos e com oito quadrados brancos é o mesmo (idem para cinco e sete). Caso I -- 4 quadrados brancos: == Neste caso, todos os quatro quadrados centrais devem ser brancos, e basta escolher onde começa a "fita" de quadrados brancos no anel. Logo temos 12 possibilidades. Caso II -- 5 quadrados brancos: === Neste caso, três quadrados centrais são brancos, e o formato da fita externa pode ser de dois tipos, dependendo do ponto de começo desta (eu estou fixando o sentido horário): 1211 1..2 2..1 1121 # Subcaso 1 -- 8 possibilidades X..O X..X Neste caso, o único caso impossível é o representado no diagrama: XOXO XOOX Logo temos 8*3 = 24 possibilidades neste caso. # Subcaso 2 -- 4 possibilidades XOOO X..O X..O Novamente, o único caso impossível é o representado no diagrama: XOOO XOXO XOOO Logo temos 4*3 = 12 possibilidades neste caso. No total, temos 24+12 = 36 possibilidades para o caso II. Caso III -- 6 quadrados brancos: Neste caso, dois quadrados centrais são brancos, e o formato da fita externa pode ser novamente de dois tipos: 1121 2..1 1..2 1211 # Subcaso 1: 8 possibilidades X..O X..O Neste caso, as quatro pinturas centrais que não desconectam os quadrados centrais são possíveis, logo temos 8*4 = 32 possibilidades. # Subcaso 2: 4 possibilidades O..O X..X A única pintura que não desconecta quadrados que é impossível é esta: OXXO XOOX Logo temos 3*4 = 12 possibilidades. Logo no caso III temos 32+12 = 44 possibilidades. == Logo, no total, temos (12+36+44+36+12)/2 = 140/2 = 70 cortes. []s, -- Fábio Dias Moreira []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton)
Re: [obm-l] Torneiras
Há também consegui resolver de outro modo: T1: 15 horas enche todo o tanque 1 hora enche 1/15 do tanque T2: 18 horas enche todo o tanque 1 hora enche 1/18 do tanque T1 e T2 em 1 hora enchem: 1/15 + 1/18 do tanque = 11/90 do tanque Assim em 5 horas, eles enchem 5*11/90 = 11/18 do tanque. Logo, T2 vai encher 18/18 - 11/18 = 7/18 em 7 horas, pois em 1 hora T2 enche 1/18. Em uma mensagem de 24/02/05 16:19:33 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Eu resolvi de uma forma mais demorada, mas vou mostrar. fluxo = variação do volume / tempo fluxo1 x 15 = V fluxo2 x 18 = V V volume total do recipiente. Em 5 horas as duas enchem juntas. (fluxo1) x 5 + (fluxo2) X 5 = V' (volume cheio do tanque nas primeiras 5 horas) (fluxo2) x T = V '' (V'' restante do volume para encher tanque e T o tempo que queremos). V' + V'' = V (fluxo1) x 5 + (fluxo2) X 5 + (fluxo2) x T = V onde (fluxo1) = V/15 (fluxo2) = V/18 substituindo (V/15) x 5 + (V/18) x (5 + T) = V coloca o V em evidência e corta dos dois lados supondo ele ser diferente de zero e é claro que ele é. 1/3 + (5+T)/18 = 1 , (5+T)/18 = 2/3, (5+T)/6 = 2, 5+T = 12, T= 12 - 5 = 7 Alternativa a) 7h Atenciosamente André Sento Sé Barreto Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] wrote: Se a torneira 1 enche o tanque em 15 horas, em 5 horas ela encheu 1/3 do tanque. Logo resta a torneira 2 encher o restante (2/3). Como a torneira 2 enche o tanque em 18, ela enche 2/3 em 12. Como 12 - 5 = 7, ainda faltam 7 horas. Resposta (a). Nao e bem um problema olimpico nao? -Auggy From: [EMAIL PROTECTED] Um tanque tem duas torneiras.A primeira enche o tanque em 15 horas e a segunda em 18 horas.Estando o tanque vazio e abrindo-se as duas torneiras durante as primeiras 5 horas, enche-se uma parte do tanque.Podemos afirmar que , a segunda torneira encherá o restante do tanque em: a) 7 horas b) 8 horas c) 13 horas d) 10 horas e) 8,5 horas Agradeço desde de já []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton)
Re: [obm-l] Citacao do Newton
Na verdade, a citação que vi era assim: " Se vi mais longe foi por estar sobre os ombros de gigantes" Um cara, que inclusive pertence a uma das High IQ`societies, em outro forum me sugeriu que a citação ficaria estilisticamente melhor como: "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." Ele disse que esses gigantes, a que se refere a citação, são Galileu Galilei e Kepler. É bem provável isso, mas vocês não acham que Newton superou Galileu e Kepler em genialidade e/ou inteligência ? Em uma mensagem de 21/02/05 09:23:30 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: on 20.02.05 15:53, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton) Se nao me engano, a citacao correta eh: "Se enxerguei um pouco mais longe foi por estar em pe sobre os ombros de gigantes". Em ingles: "If I have seen a little farther than others it is because I have stood on the shoulders of giants." Mas, na minha opiniao, o que ele deveria ter dito eh: "Se enxerguei um pouco mais longe foi porque inventei um telescopio melhor." []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton)
[obm-l] Eureka 02 - IV OLIMPÍADA DE MAIO - problema 02
Olá pessoal ! Dado um tabuleiro quadriculado de 4 x 4, com cada casa pintada de uma cor distinta, deseja-se cortá-lo em dois pedaços de igual área mediante um só corte, que siga os lados das casas do tabuleiro. De quantas maneiras se pode fazer isto? Obs. Os pedaços em que se divide o tabuleiro devem ser peças inteiras; não devem ser desconectados pelo corte. Resp: 70 maneiras []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton)
Re: [obm-l] probleminha
Olá ! maquete === muro real 1 m --- 50 m x --- 12 m x = 0,24 m = 24 cm Em uma mensagem de 20/02/05 18:47:24 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: para montar-se uma maquete, o engenheiro utilizou a escala 1:50. Considerando essa escala, qual será a dimenção de um muro de 12 m de comprimento a ser representado nesta maquete? 20 cm 24 cm 26 cm 28 cm desde já agradeço! Elton []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton)
Re: [obm-l] Eureka 02: No mínimo 21 númer os
Obrigado, Fábio e Brunno ! Em uma mensagem de 12/02/05 04:08:30 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: a maior "energia potencial" ocorre quando temos numeros que podem gerar novos numeros com os mesmos algarismos. Por exemplo 2288 gera 6 (Binomial4,2) numeros diferentes só com 2 e 8. entao podemos partir para 2244, tambem com alta energia potencial. Os com media energia potencial seriam os tipo 4455, que geram tambem 6, mas acabam "matando" a sequencia. Assim, a maior sequencia que encontrei foi (entre parenteses, os digitos possiveis para o proximo numero): 1199 (1;5;9) 1919 (1;5;9) 1991 (1;5;9) 9911 (1;5;9) 9191 (1;5;9) 9119 (1;5;9) 1195 (1;5;7) 1155 (1;3;5) 1515 (1;3;5) 1551 (1;3;5) 5511 (1;3;5) 5151 (1;3;5) 5115 (1;3;5) 1135 (1;3;4) 1133 (1;2;3) 1313 (1;2;3) 1331 (1;2;3) 3311 (1;2;3) 3131 (1;2;3) 3113 (1;2;3) 3321 (1;2;3) 2233 (2;3) 2323 (2;3) 2332 (2;3) 3322 (2;3) 3232 (2;3) 3223 (2;3) (2) On Sat, 12 Feb 2005 02:54:44 -0200, Fábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] wrote: -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [EMAIL PROTECTED] escreveu: | Olá pessoal ! | | Escolha um número de quatro dígitos (nenhum deles zero) e começando com | ele construa uma lista de 21 números distintos, de quatro dígitos cada | um, que satisfaça a seguinte regra: depois de escrever cada novo número | da lista devem-se calcular todas as médias entre dois dígitos desse | número, descartando-se as médias que não dão um número inteiro, e com os | que restam se forma um número de quatro dígitos que ocupará o lugar | seguinte na lista. Por exemplo, se na lista se escreveu o número 2946, o | seguinte pode ser ou 3434 ou 5345 ou qualquer outro número armado | com os dígitos 3, 4 ou 5. | [...] Você já sabe construir uma lista com 6 números? 12 números? 18 números? Não é muito difícil ver que a lista sempre acaba (se você for esperto) em um número de quatro dígitos iguais. Portanto, você quer começar com um número que tenha a maior "energia potencial" possível. (Eu me lembro de ter feito essa questão da prova -- sim, eu estou ficando velho -- e eu tenho a impressão de que esse 21 pode ser refinado para 29. Eu estou falando besteira?) []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton)
[obm-l] Eureka 02: No mínimo 21 números
Olá pessoal ! Escolha um número de quatro dígitos (nenhum deles zero) e começando com ele construa uma lista de 21 números distintos, de quatro dígitos cada um, que satisfaça a seguinte regra: depois de escrever cada novo número da lista devem-se calcular todas as médias entre dois dígitos desse número, descartando-se as médias que não dão um número inteiro, e com os que restam se forma um número de quatro dígitos que ocupará o lugar seguinte na lista. Por exemplo, se na lista se escreveu o número 2946, o seguinte pode ser ou 3434 ou 5345 ou qualquer outro número armado com os dígitos 3, 4 ou 5. Resp: Há muitas soluções []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton)
Re: [obm-l] Numeros no chapeu
Falando de tempo suficiente para se resolver um problema ... Qual o tempo máximo e aconselhável para alguém ficar "quebrando a cabeça" em um problema antes de enviar para um forum ou lista de e-mail como essa ? Alguns, se não me engano a escola russa, defendem a idéia da aprendizagem passiva dizendo que o sujeito não deve "quebrar a cabeça" e sim buscar sanar quaisquer de suas dúvidas com alguém o mais rápido possível. Já comentamos aqui na lista sobre isso há certo tempo e, se não me engano, vocês defendem a primeira idéia, não é ? Mas, na época, nada se falou sobre o tempo máximo de tentativa na resolução de um mesmo problema. []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton) Em uma mensagem de 07/02/05 09:31:36 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Acho que dei tempo suficiente para quem quisesse pensar sozinho. Segue abaixo a solucão completa para o problema original dos chapéus. Primeiro o enunciado: (...)
Re: [obm-l] Dúvida!!
Olá ! Chamemos de x a distância que vai do pé da escada até o pé da cerca. Chamemos de y a distância que vai da base do prédio até o ponto em que a escada toca o prédio. Chamemos de h1 a hipotenusa do triângulo que possui os seguintes catetos: == altura da cerca (8 pés) == x Chamemos de h2 a hipotenusa do triângulo que possui os seguintes catetos: == (y - 8) == 1 (distância da cerca ao prédio) Por semelhança de triângulos, temos: 8 / y = x / (x + 1) (I) h1 = sqrt(x^2 + 64) (II) h2 = sqrt(y^2 - 16y + 65) (III) (h1 + h2)^2 = (x + 1)^2 + y^2 (sqrt(x^2 + 64) + sqrt(y^2 - 16y + 65)) = sqrt((x + 1)^2 + y^2) (IV) De (I) e (IV) temos um sistema e daí encontramos x e y, depois substitua os valores de x e y em (II) e (III). Por fim, some h1 + h2 e encontrará a resposta. Em uma mensagem de 08/02/05 00:58:43 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, boa noite Não entendi essa questão..caso algum amigo possa ajudar ficarei muito grato... Uma cerca de 8 pés de altura, num terreno plano, é paralela a um edificio alto.Se a cerca está a 1 pé do edificio, determine o comprimento da escada mais curta que se apóie, por sobre a cerca , no solo e na parede do edificio. Resp:5^(3/2) Abraços Vinícius Meireles Aleixo []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton)
[obm-l] Casais em travessias
Olá pessoal ! Após uma cheia cinco casais ficaram cercados de água e viram-se compelidos a fugir do hotel, onde passavam férias, num barco que não comportava mais de três pessoas de cada vez. Cada marido era tão ciumento que não permitia que a sua mulher permanecesse no barco, ou noutro lugar, com qualquer outro homem (ou homens), a não ser que ele próprio estivesse presente. Qual o menor número possível de travessias para salvar os cinco casais ? Obs: No livro em que vi esse problema, o autor disse que ele tinha conseguido atravessar todos os casais em 13 travessias, mas ele não descartou a hipótese desse número ser menor e deixou isso a cargo do leitor. Tentei fazer e saiu com 9 travessias, vejam: H1 M1 H2 M2 H3 M3 == H4 M4 H5 M5 H1 H2 H3 M1M2M3 H4 M4 H5 M5 H1 H2 H3 M1 === M2M3 H4 M4 H5 M5 H1 H2 H3 M1M2M3M4M5 H4 H5 H1 H2 H3 M1 === M2M3M4 H4 H5 H3 H4 M1H1 M2H2 M3M4M5 H5 M3 H3 H4 === M1H1 M2H2 M4M5 H5 M3 = M1H1 M2H2 M4H4 M5H5 H3 M3 H3 M1H1 M2H2 M4H4 M5H5 = M1H1 M2H2 M4H4 M5H5 M3H3 Será que cometi algum erro ? Se sim, digam-me qual. Se não, é esse o menor número de travessias ? []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton)
[obm-l] Numeros no chapéu
Olá pessoal ! There are 3 persons (let's call them A,B and C) in a room. Each of them wears a hat with a positive integer number marked on the hat. Each of the three persons can see the number on the two other hats, but cannot see the number on his/her own hat. We tell them that one of the number is the sum of the two other numbers but they don't know which one is the sum of the two others. We ask A: Do you know what is your number? A looks at B and C, thinks and answers: I don't know. Note here that the three persons are very intelligent and if they say that they don't know, it is because there are no possibility for them to deduce their number. We then ask B: Do you know what is your number? B looks at A and C, thinks and answers: I don't know. We then ask C: Do you know what is your number? C looks at A and B, thinks and answers: Idon't know. A thinks a little and say suddenly: Wait a minute! Now I know my number! I have 50. What numbers have B and C respectively? []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton)
Re: [obm-l] Numeros no chap éu
Obrigado ! Bem interessante ! Fiquei agora curioso em saber o porquê da solução 20, 30, 50 ser única ?! Em uma mensagem de 03/02/05 08:14:26 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Thu, Feb 03, 2005 at 03:04:22AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: There are 3 persons (let's call them A,B and C) in a room. Each of them wears a hat with a positive integer number marked on the hat. Each of the three persons can see the number on the two other hats, but cannot see the number on his/her own hat. We tell them that one of the number is the sum of the two other numbers but they don't know which one is the sum of the two others. We ask A: Do you know what is your number? A looks at B and C, thinks and answers: I don't know. Note here that the three persons are very intelligent and if they say that they don't know, it is because there are no possibility for them to deduce their number. We then ask B: Do you know what is your number? B looks at A and C, thinks and answers: I don't know. We then ask C: Do you know what is your number? C looks at A and B, thinks and answers: Idon't know. A thinks a little and say suddenly: Wait a minute! Now I know my number! I have 50. What numbers have B and C respectively? Os números são 50, 20, 30. Na primeira jogada A pensou: O meu número é 10 ou 50, não sei qual. Quando B disse que não sabia, A não se surpreendeu. Ele pensou: Se eu tiver 10, B fica sem saber se tem 20 ou 40. Se eu tiver 50, B fica sem saber se tem 20 ou 80. Em qualquer um dos três casos, ele sabe que eu não teria como saber a resposta. Mas quando foi a vez de C responder, houve mais expectativa da parte de A. Se o chapéu dele tivesse um 10, C iria deduzir que o seu (C) tinha 30. De fato, imaginemos que A tivesse um 10: C veria um 10 e um 20. Então C pensaria: eu tenho ou 10 ou 30. Se eu tiver 10, B vê dois chapéus iguais e imediatamente descobre a resposta. Ora, B (que é inteligente) não sabe a resposta: assim eu não posso ter um 10. Donde eu tenho um 30. Como C não fez nada disso, A deduz que o seu é um 50. Não vou completar a solucão: fica para vocês pensarem pq esta é a única resposta possível. []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton)
[obm-l] Eureka: Quantos quadrados ?
Olá pessoal ! Têm-se 1998 peças retangulares de 2cm de altura e 3cm de comprimento e com elas se armam quadrados (sem superposições nem buracos). Qual é a maior quantidade de quadrados diferentes que se pode ter ao mesmo tempo? []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton)
Re: [obm-l] IV OLIMPÍADA DE MAIO
Uns 2 dias após eu ter enviado este problema, eu consegui resolvê-lo. Minha resolução foi bem parecida com a sua. Eu também percebi que há Binom(4,3) = 4 maneiras de pormos as varetas internas. Depois eu esbocei quantas disposições eu teria para cada uma das 4 disposições. Vi que eram 4, logo o resultado só pode ser 4*4 =16 modos. Ps: Estou tentando resolver um outro problema também da Eureka. Vou enviá-lo em outro e-mail. Em uma mensagem de 31/01/05 16:09:12 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Muito justa a reclamacao do Fael. Assim, aqui vai a minha tentativa de solucao pro problema da Eureka 2 que ele mandou pra lista na semana passada e que ninguem respondeu. Estou supondo que a peca eh movel e totalmente simetrica, de forma que pinturas que difiram umas das outras apenas por uma rotacao ou um "flip" sao consideradas indistinguiveis. Chame os vertices de A, B e C e o centro de P. Chame as cores de 1, 2, 3 e 4. As varetas interiores podem ser pintadas de Binom(4,3) = 4 maneiras distintas. Suponha, pra fixar ideias, que PA = 1, PB = 2 e PC = 3 (ou seja, PA foi pintada com a cor 1, etc...). Caso 1: Um dos lados tem a cor 4. Esse lado pode ser escolhido de 3 maneiras distintas. Nesse caso, as cores dos outros dois lados ficam automaticamente determinadas (por exemplo, se AB = 4, entao soh pode ser BC = 1 e AC = 2). Caso 2: Nenhum dos lados tem a cor 4. Nesse caso, as cores tambem ficam automaticamente determinadas (AB = 3, BC = 1 e AC = 2). Logo, o numero de pinturas distintas eh igual a 4*(3+1) = 16. []s, Claudio. on 27.01.05 06:40, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal ! Problema 01 da IV OLIMPÍADA DE MAIO - prímeiro nível (Eureka 02, pag. 17): Com seis varetas se construiu uma peça como a da figura. As três varetas exteriores são iguais entre si. As três varetas interiores são iguais entre si. Deseja-se pintar cada vareta de uma cor só de modo que, em cada ponto de união, as três varetas que chegam tenham cores diferentes.As varetas só podem ser pintadas de azul, branco, vermelho ou verde. De quantas maneiras pode-se pintar a peça? Obs: A figura é bem simples ! Esboce um triângulo equilátero e una o centro desse triângulo com seus vértices. []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton)
Re: [obm-l] RE: [obm-l] lista de discussão de fisica
Olá ! http://www.somatematica.com.br/ Em uma mensagem de 30/01/05 22:12:43 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Aproveitando a deixa, e de alguma lista de discussao so de problemas de matematica para o vestibullar? From: Vinícius Meireles Aleixo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] lista de discussão de fisica Date: Sat, 29 Jan 2005 22:36:07 -0200 oi, boa noite Alguém aí sabe de alguma lista de discussão de ex. de física Abraços Vinícius Meirele Aleixo []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton)
Re: [obm-l] RE: [obm-l] lista de discussão de fisica
Vou completar o comentário abaixo escrevendo em negrito: "A obm-l foi criada para se discutir problemas olimpicos mas, nos ultimos meses (ou serah anos?), isso eh o que menos tem aparecido por aqui." e quando aparece o problema não é comentado/resolvido. Enviei há pouco tempo um problema olímpico (Eureka 02) e ninguém resolveu ! É óbvio que ninguém é obrigado a resolver problema de ninguém, mas solicitar problemas olímpicos na lista e não resolvê-los, ainda que raramente apareçam, é uma incoerência. Em uma mensagem de 30/01/05 23:57:25 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: on 30.01.05 22:08, saulo bastos at [EMAIL PROTECTED] wrote: Aproveitando a deixa, e de alguma lista de discussao so de problemas de matematica para o vestibullar? Parece que existe mais de uma. Eu acho que quem tiver interesse exclusivo em vestibulares e/ou concursos nao olimpicos em geral deveria deixar a obm-l e ingressar numa lista mais especializada, ateh porque uma tal lista deve contar com a participacao de professores de cursinhos, os quais podem dar boas dicas de resolucao de problemas e de bibliografia apropriada. A obm-l foi criada para se discutir problemas olimpicos mas, nos ultimos meses (ou serah anos?), isso eh o que menos tem aparecido por aqui. Naturalmente, existe a possibilidade de a lista obm-l ampliar o seu escopo e passar a englobar vestibulares e/ou matematica superior (por exemplo, teoria da medida - um topico que foi amplamente discutido nos ultimos dias e que, ao que me consta, nao faz parte do "programa" das olimpiadas, nem mesmo das universitarias). Soh que isso certamente vai depender da aprovacao do Nicolau e da disposicao dele de investir seu tempo numa lista com esse novo perfil. []s, Claudio. []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton)
Re: [obm-l] lista de discussão de fisica
Veja essa: http://www.fisica.net/forum/index.php?sid=34e1a770d53a7d59feb195f5400779c0 Em uma mensagem de 29/01/05 22:38:30 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: oi, boa noite Alguém aí sabe de alguma lista de discussão de ex. de física Abraços Vinícius Meirele Aleixo []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton)
[obm-l] IV OLIMPÍADA DE MAIO
Olá pessoal ! Problema 01 da IV OLIMPÍADA DE MAIO - prímeiro nível (Eureka 02, pag. 17): Com seis varetas se construiu uma peça como a da figura. As três varetas exteriores são iguais entre si. As três varetas interiores são iguais entre si. Deseja-se pintar cada vareta de uma cor só de modo que, em cada ponto de união, as três varetas que chegam tenham cores diferentes.As varetas só podem ser pintadas de azul, branco, vermelho ou verde. De quantas maneiras pode-se pintar a peça? Obs: A figura é bem simples ! Esboce um triângulo equilátero e una o centro desse triângulo com seus vértices. []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton)
[obm-l] IV OLIMPÍADA DE MAIO
Olá pessoal ! Problema 01 da IV OLIMPÍADA DE MAIO - prímeiro nível (Eureka 02, pag. 17): Com seis varetas se construiu uma peça como a da figura. As três varetas exteriores são iguais entre si. As três varetas interiores são iguais entre si. Deseja-se pintar cada vareta de uma cor só de modo que, em cada ponto de união, as três varetas que chegam tenham cores diferentes.As varetas só podem ser pintadas de azul, branco, vermelho ou verde. De quantas maneiras pode-se pintar a peça? Obs: A figura é bem simples ! Esboce um triângulo equilátero e una o centro desse triângulo com seus vértices. []s, Rafael "Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." (Isaac Newton)
Re: [obm-l] ESA 2004 .2
Elton, (1 - 3/4)*s = (1 - 4/5)*s + 85 s = 1700 Cruz ficou com 1/5*s, ou seja, 1/5*1700 = 340 reais []s, Rafael "Se consegui enxergar mais longe é porque procurei ver acima dos ombros dos gigantes." (Isaac Newton) Em uma mensagem de 17/01/05 14:12:37 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Dois sargentos, Miranda e Cruz, resolveram fazer, cada um, um saque de mesmo valor, de suas cadernetas de poupança. No final do mês, o sargento Miranda havia gasto ¾ de seu saque e o sargento Cruz havia gasto 4/5 de seu saque, sendo que o sargento Miranda ficou com R$ 85,00 a mais que o sargento Cruz. Com quanto ficou o sargento Cruz o final do mês? 425 365 510 450 340
Re: [obm-l] Setores (problema da Eureka)
... Em uma mensagem de 13/01/05 20:14:53 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal ! Alguém poderia me explicar a resolução do problema 03 da página 05 da Eureka 02 ? Obs: A resolução está na página 09. Para cada i com 1 = i = 2n , em exatamente n das posições do disco A o setor S_i terá cor coincidente com o setor do disco A que está sobre ele. Por quê ? Assim, o número médio de setores com cores coincidentes nos dois discos para as 2n posições do disco A é 2n × n/2n = n (Qual a lógica dessa equação ? O que se pensou para fazer o produto no 1º membro ?), e necessariamente há posições do disco A para as quais há pelo menos n setores com cores coincidentes. []s, Rafael "Se consegui enxergar mais longe é porque procurei ver acima dos ombros dos gigantes." (Isaac Newton)
[obm-l] Setores (problema da Eureka)
Olá pessoal ! Alguém poderia me explicar a resolução do problema 03 da página 05 da Eureka 02 ? Obs: A resolução está na página 09. Para cada i com 1 = i = 2n , em exatamente n das posições do disco A o setor S_i terá cor coincidente com o setor do disco A que está sobre ele. Por quê ? Assim, o número médio de setores com cores coincidentes nos dois discos para as 2n posições do disco A é 2n × n/2n = n (Qual a lógica dessa equação ? O que se pensou para fazer o produto no 1º membro ?), e necessariamente há posições do disco A para as quais há pelo menos n setores com cores coincidentes. []s, Rafael "Deus não joga dados com o universo" (Albert Einstein)
Re: [obm-l] probleminha
Elton,
Chamemos os números de x e y. Conforme o enunciado, temos:
x = n (I);
y = n + 1 (II);
n^2 + (n+1)^2 = 61
n^2 + n^2 + 2n + 1 = 61
2n^2 + 2n - 60 = 0
n_1 = -5 (não convém nem em (I) nem em (II) - os números são naturais)
n_2 = 5
x = n (I);
y = n + 1 (II);
x = 5
y = 5 + 1 = 6
S = {5,6}
Em uma mensagem de 08/01/05 22:31:35 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Determine 2 numeros naturais consecutivos tal que a
soma de seus quadrados seja igual a 61?
[]s,
Rafael
"Deus não joga dados com o universo" (Albert Einstein)
Re: [obm-l] off - Professorado, requisitos?
Se não me engano, há um artigo na LDB (Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional) que assegura ao indivíduo de "notório saber" a possibilidade de obter um diploma de nível superior. Este "notório saber" está relacionado à disciplina do qual ele quer o diploma. Eu não tenho a absoluta certeza se é exatamente assim - vou verificar depois aqui na LDB e ver se encontro o artigo. Pois quando eu ainda estava na faculdade havia uma matéria e a leitura da LBD era imprescindível. Obs: Eu sei que existem várias pessoas aqui que não são formadas em Matemática mas possuem um "notório saber" nesta disciplina, logo poderiam, por hipótese, obter o diploma. Ao que parece, o indivíduo que se dispuser a isso terrá que se submeter a uma avaliação (ou bateria de testes, não sei ao certo) para avaliar se ele realmente conhece todos os assuntos abordados no curso do qual ele quer o diploma. Se alguém conhecer sobre esta norma da LDB e estiver em desacordo com o falei, por favor, me corrija. Em uma mensagem de 07/01/05 16:30:08 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Fri, Jan 07, 2005 at 01:22:06PM -0200, Fabio Niski wrote: Pessoal, como anda hj em dia os requisitos para exercer a profissao de professor em uma instituicao de ensino? O que diz a lei e o que de fato as escolas e universidades estao fazendo? Alguem formado como bacharael em matematica pode dar aulas sem ter nenhum curso de educacao? E nas universidades? Nas escolas não, nas universidades sim. Por lei, eu posso dar aula em instituições de ensino superior mas por não ter licenciatura não posso dar aula no ensino médio ou fundamental. Mais surpreendente ainda, se eu desejar completar o curso de licenciatura na PUC eu sou obrigado a cursar disciplinas que eu tenho direito de ensinar. É possivel voce ser contratado para dar aula sem diploma? Tecnicamente não. Por outro lado, todos sabemos muito bem que no Brasil as leis nem sempre são seguidas. As instituições de ensino particular muitas vezes avaliam a competência do candidato de forma mais inteligente do que uma simples verificação de que ele tem este ou aquele diploma. Como funciona isso? Sao leis federais? Estaduais? Municipais? As leis em questão são federais. []s, N. []s, Rafael "Deus não joga dados com o universo" (Albert Einstein)
[obm-l] Eureka 02 (xadrez: brasileiros argentinos)
Ol pessoal ! Algum poderia me explicar como foi o raciocnio para se chegar a seguinte equao: 2s + E = k*( k 1) Obs: Ela se refere ao problema do xadrez. Est no final da pag. 55 e incio da 56 da Eureka 02. No precisem explicar todo problema ! Apenas essa passagem me interessa. Se eu no entender outra passagem ulteriormente, eu vos digo, ok ? []s, Rafael "Deus no joga dados com o universo" (Albert Einstein)
Re: [obm-l] Eureka 02 (xadrez: brasileiros argentinos)
Ok Carlos ! O lado direito eu tinha entendido. Eu imaginei um arranjo de K brasileiros tomados 2 a 2, i.é, A(k;2) = k*(k-1). O que eu não estava entendendo era o E. Mas agora já entendi esta parte. Se tivermos apenas 1 jogo - entre os brasileiros - em que ocorreu empate, então teremos E = 2. Ex: X empatou com Y, então Y também empatou com X. Logo há 2 empates. Em uma mensagem de 03/01/05 21:54:55 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Rafael , Suponha que tenhamos b1,b2,b3,...,bk brasileiros . É evidente que o total de jogos ( como no enunciado ) é dado por k(k-1)/2 , ok ? ; porém no jogo (b1,b2) ,por exemplo , se b1 ganhar teremos uma vitória e uma derrota , ou seja , esta partida será contada em dobro .Para o empate de b2 com b5 , por exemplo , teremos b2 empatando com b5 e b5 empatando com b2 e, levando em consideração todos os empates (E) vistos desta forma , isto justifica a igualdade 2s+E = k(k-1) . Observe que neste produto os pares (b1,b2) e (b2,b1) são pares distintos . []´s Carlos Victor []s, Rafael "Deus não joga dados com o universo" (Albert Einstein)
[obm-l] =?ISO-8859-1?Q?Combinat=F3ria?=
Olá pessoal ! Uma urna tem 10 bolas: 4 brancas, 3 azuis, 3 vermelhas. De quantas maneira prodemos formar 1 grupo com 5 bolas usando, pelo menos, 1 de cada cor? Resp: 42 []s, Rafael "Deus não joga dados com o universo" (Albert Einstein)
=?ISO-8859-1?Q?Re:=20[obm-l]=20Re:[obm-l]=20Combinat=F3ria?=
Talvez o examinador tenha pensado assim: 10 - 3 bolas = 7 bolas e estas devem ser tomadas 2 a 2. Destarte, A(7;2) = 42 O erro que eu vejo é que foi considerado a ordem de apenas dos 2 bolas, então o gabarito deve estar errado mesmo. Caso consideremos a ordem para todas as bolas, o resultado será diferente de 42. Em uma mensagem de 28/12/04 01:51:22 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal ! Uma urna tem 10 bolas: 4 brancas, 3 azuis, 3 vermelhas. De quantas maneira prodemos formar 1 grupo com 5 bolas usando, pelo menos, 1 de cada cor? Supondo que bolas de uma mesma cor sao indistinguiveis e que ordem nao importa eu achei apenas 6: tome uma bola de cada cor. As duas restantes podem ser BB, AA, VV, BA, BV e AV == 6 possibilidades. Onde estah o erro? []s, Claudio. Resp: 42 []s, Rafael "Deus não joga dados com o universo" (Albert Einstein)
[obm-l] =?ISO-8859-1?Q?Quest=E3o=20da=20Eureka=2001?=
Olá pessoal, O questão abaixo encontra-se na Eureka 01 e foi resolvido na Eureka 03. O problema é que eu enviei para vários fóruns e listas, inclusive esta lista OBM-l, e ninguém entendeu a resolução presente na Eureka 03 (pg. 57). Se conseguirem entender a resolução, gostaria que "traduzissem" para mim OU, se preferirem, dar uma outra solução. 1) Mostre que toda sequência com n^2 + 1 elemento possui uma subsequência crescente com n + 1 elementos ou uma subsequência decrescente com n + 1 elementos. []s, Rafael "Deus não joga dados com o universo" (Albert Einstein)
[obm-l] =?ISO-8859-1?Q?L=F3gica=20de=20Proposi=E7=F5es?=
Olá pessoal ! Para os que entendem de Lógica Proposicional: Quais das expressões seguintes são fórmulas (wff's) e quais não são: a) ~~~R b) (~R) c) PQ d) ~(P -- Q) e) ~(~P ^ ~Q) []s, Rafael "Nada é permanente, exceto a mudança" (Heráclito) ICQ 192039325
Re: [obm-l] Duvidas!
Quanto segunda questo ... 1500/3 = 500 e como voc paga 575 mensalmente, logo os juros pagos so de 75 reais/mensais. Vejamos: J = c*i*t/100 75 = 500*i*1/100 i = 15% Logo se voc quer a taxa de juros ai est (15% a.m). Se voc quer os juros, ento a resposta 75 reais. Obs: Se estiver errado, por favor, corrijam-me. Em uma mensagem de 05/12/04 23:41:59 Hor. de vero leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 01.Uma das razes da equao x3 3x2 x + m = 0 k, onde kp / 6 =y, sendo y raiz da equao trigonomtrica sen2 y + 3 seny = 0 , no intervalo [0: 2 p ]. A soma dos quadrados das outras razes da equao igual a: 02.O preo de um aparelho de TV, quando comprado a vista, de R$ 1.500,00. A loja financia o pagamento em trs prestaes mensais de R$ 575,00, sendo a primeira paga um ms aps a compra. Quais os juros mensais simples embutidos no financiamento? Gostaria de saber , se nesta questo 02 poderia usar a frmula de juros simples? se verdade a resposta 5%, caso contrario qual a resposta? Agradeo desde de j. []s, Rafael "Nada permanente, exceto a mudana" (Herclito) ICQ 192039325
Re: [obm-l]
Olá Mário ! 1) ...aumentando em 20% o diâmetro da base ... (100 + 20)%*4 = 120%*4 = 1,2*4 = 4,8 cm V[cone] = volume do cone V[cone] = ((Área da base)*altura)/3 (I) Área da base = pi*r^2 = pi*(2,4)^2 = 576*pi cm^2 Voltando em (I): V[cone] = 576*pi*3/3 = 576*pi cm^3 2) volume da esfera = E volume do cubo = C a = aresta do cubo E / C = 4/3*pi*r^3 = (4/3*pi*(a/2)^3) / a^3 = pi / 6 3) Vamos por partes: ... volume do cilindro obtido da rotação do retângulo em torno do lado "a" ... V[a] = B*h = (pi*r^2)*h = (pi*5^2)*4 = 100*pi cm^3 ... volume do cilindro obtido pela rotação do retângulo em torno do lado "b" ... V[b] = B*h = (pi*r^2)*h = (pi*4^2)*5 = 80*pi cm^3 Logo, V[a] / V[b] = 100*pi / 80*pi = 5/4 Em uma mensagem de 28/11/04 00:49:15 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá amigos: preciso ajuda para os seguintes problemas: 1) seja V1 o volume de um cone reto de altura 3 cm e diâmetro da base 4 cm. Aumentando o diâmetro da base em 20% e mantendo a mesma altura, obtemos um cone de volume V2, cujo valor é? 2) considere uma esfera inscrita num cubo. A melhor aproximação para a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é? 3) as medidas dos lados "a" e "b" de um retângulo são 4cm e 5cm. A razão entre o volume do cilindro obtido da rotação do retângulo em torno do lado "a" e o volume do cilindro obtido pela rotação do mesmo retângulo em torno do lado "b" é? Muito obrigado, Mário []s, Rafael "Nada é permanente, exceto a mudança" (Heráclito) ICQ 192039325
Re: [obm-l] Duvidas
aryqueirozq, 1) x = 4 horas + y horas Em 4 horas ele gastou 4,00 + 3,50 + 3,00 + 2,50 = 13 reais. Em y horas ele gastou 25 - 13 = 12 reais. Como à partir da 5ª hora temos 2 reais por hora, então y = 12/2 = 6 horas. Assim, x = 4 + 6 = 10 horas 2) "R$ 0,44 cada duas unidades" Logo, 0,22 cada unidade. "R$ 2,00 cada cinco unidades" Logo, 2/5 = 0,4 cada unidade. 0,4*m - 0,22*m = 45 m = 45 / (0,4 - 0,22) m = 45 / 0,18 m = 250 maças Em uma mensagem de 13/11/2004 18:59:54 Hor. de verão leste da Am. Su, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 01.Em um estacionamento para veículos, paga-se por hora, em fração de hora, de acordo com a tabela: 1ª hora --- R$ 4,00 2ª hora --- R$ 3,50 3ª hora --- R$ 3,00 4ª hora --- R$ 2,50 A partir da 5ª hora --- R$ 2,00 por hora ou fração Após x horas, um motorista retira o seu veículo e deve pagar R$ 25,00. O valor de x, em horas é : a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 02.Um feirante compra maçãs ao preço de R$ 0,44 cada duas unidades e as vende ao preço de R$ 2,00 cada cinco unidades . O número de maçãs que deverá vender para obter um lucro de R$ 45,00 é : a) 150 b) 200 c) 250 d) 300 e) 350 Agradeço desde de já. []s, Rafael "Nada é permanente, exceto a mudança" (Heráclito)
[obm-l] Re: Eureka: Uma das piores soluções desta revista
??? Em uma mensagem de 31/10/2004 21:18:18 Hor. de verão leste da Am. Su, Faelccmm escreveu: Olá ! O que está difícil de entendersão as 2 últimas linhas da solução dada na Eureka 03 (pg 57, problema 06).Veja: "... Assim, existem ..., com n+1 termos ..." Começa-se com uma inequação meiomaluca dizendo que 1=i_1 i_2 ... i_n+1. Por que não ser: 1 i_1 i_2 ... i_n+1 Em vez de: 1=i_1 i_2 ... i_n+1. Quem são estes i`s ? []s, Rafael "Nada é permanente, exceto a mudança" (Heráclito)
Re: [obm-l] Números decimais X Números irracionais
Eu tive, a princípio, o mesmo raciocínio que o seu, mas me passaram um raciocínio que eu acho mais coerente. Veja: Todos os números decimais podem ser escritos como uma fração a / b (número racional) de números inteiros. Os números irracionais não podem ser escritos como uma fração a / b de números inteiros ! Em uma mensagem de 3/11/2004 11:16:32 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Se eu tenho a definicao correta, todo numero real eh decimal, pois pode ser representado por uma expansao decimal. No caso de numeros irracionais como PI, a expansao da parte fracionaria eh infinita e nao periodica, mas ainda assim existe. Artur --- [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Pessoal ! O número PI é um número decimal ? Os números irracionais são números decimais. []s, Rafael
[obm-l] Números decimais X Números irracionais
Olá Pessoal ! O número PI é um número decimal ? Os números irracionais são números decimais. []s, Rafael
[obm-l] Eureka: Uma das piores soluções desta revista
Olá ! O que está difícil de entendersão as 2 últimas linhas da solução dada na Eureka 03 (pg 57, problema 06).Veja: "... Assim, existem ..., com n+1 termos ..." Começa-se com uma inequação meiomaluca dizendo que 1=i_1 i_2 ... i_n+1. Por que não ser: 1 i_1 i_2 ... i_n+1 Em vez de: 1=i_1 i_2 ... i_n+1. Quem são estes i`s ?
[obm-l] Eureka - seqüência com n^2 + 1 elementos
Olá pessoal ! Alguém poderia me explicar uma passagem da solução do problema 06 da Eureka 03 --pg 57. Ei-la: "...com f(i[1]) = f(i[2]) = ... = f(i[n+1]), mas nesse caso devemos ter a(i[1]) = a(i[2]) = a(n^2 + 1), com n + 1 termo ..."
Re: RES: RES: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL
Veja bem: cosx + senx = cos(pi/2 - t) + sen(pi/2 - t) = sen(t) + cos(t) = 3/5 + 4/5 = 7/5 Pela equação acima percebe-se que cosx + senx = sen(t) + cos(t) = 7/5 O valor do sen(t) e do cos(t) nós já tínhamos encontrado -- eu apenas substitui. Em uma mensagem de 17/10/2004 04:15:19 Hor. de verão leste da Am. Su, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Rafael aqui vc achou sent e cost Não era cosx e senx procurados??? De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: domingo, 17 de outubro de 2004 03:41 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: RES: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL Veja: sex(x+t) = sen(x)*cos(t) + sen(t)*cos(x) = 1 (I) Divida a equação original por 5: 3*senx + 4*cosx = 5 sen(x)*3/5+ 4/5*cos(x) = 1 (II) Comparando (I) e (II) temos que: cost = 3/5 e sent = 4/5 Eu também não entendi uma passagem na solução do Claúdio: cosx + senx = raiz(2)*sen(x + Pi/4) = Eu resolvi por outra forma a partir de cosx + senx: cosx + senx = cos(pi/2 - t) + sen(pi/2 - t) = sen(t) + cos(t) = 3/5 + 4/5 = 7/5
Re: [obm-l] ENC: exercicio de vestibular
Olá, log[b]a = log de a na base b. y = 2^(log[6]5*log[2]6) Aplicando o log[2] nos 2 membros: log[2]y = log[6]5*log[2]6 log[2]y / log[2]6 = log[6]5 log[2]y / log[2]6 = log[2]5 / log[2]6 (mudança de base) y = 5 Em uma mensagem de 17/10/2004 04:20:21 Hor. de verão leste da Am. Su, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Peço obrigado a todos que tem me ajudado E sem querer abusar, peço ajuda com mais esse exercício Sendo y=2log65.log26 , o valor de y é Obrigado
[obm-l] Questão 05 Eureka
Olá pessoal ! Na Eureka 03 (pg. 56), há a solução do problema 05. Alguém poderia traçar (desenhar) a construção geométrica proposta ?
Re: [obm-l] postos de gasolina
Obrigado, Domingos !
Falando em indução, se tiverem algum material (apostila on-line, endereço na internet, etc...) onde eu possa estudar isto, agradeceria muito. Eu até encontrei algumas coisas, mas eu gostaria de algum paper que tivesse MUITOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO. Dos que encontrei há apenas 2 exemplos (exercício), na maioria das vezes aquele exemplo da soma de uma P.A ;-)
Se não me engano é um dos axiomas de Peano, não é isso ?
Em uma mensagem de 16/10/2004 11:04:25 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Gostei! Muito interessante o problema.
Em vez de contar a quantidade de litros que cada posto tem, vamos contar
a distância que o total de gasolina do posto permite o carro andar.
Sejam {1, ..., n} (mod n) os postos e x_i 0 é a "quantidade" de
gasolina (no sentido acima) no posto i.
Sabemos por hipótese que x_1 + ... + x_n = C, onde C é o comprimento do
circuito.
Seja d_i a distância do posto i ao posto i+1 (mod n, ou seja d_n é a
dist. de x_n a x_1), claramente
d_1 + ... + d_k = C.
Seja k o posto com maior valor de x_k/d_k.
Claramente x_k/d_k = 1, caso contrário, x_i d_i para todo i e isso é
uma contradição.
Agora a prova segue por indução!
Forme um novo circuito sem o trecho entre os postos k e k + 1.
No lugar do trecho e dos dois postos de gasolina, colocamos um único
posto, cuja quantidade de gasolina é x_k + x_{k-1} - d_k 0.
Note que o novo circuito formado tem tamanho C - d_k, a capacidade dos
postos é C - d_k e a soma das distâncias entre postos consecutivos é C -
d_k. Aplique a hip. indutiva e veja que se é possível percorrer o
circuito formado então o circuito original também pode ser percorrido.
O caso base é n = 1, que é trivial!
Olá pessoal !
Em uma pista circular há postos de gasolina, e o total de
gasolinaquehá nos postos é exatamente o suficiente para um carro dar
uma volta.Prove que existe um posto de onde um carro com o tanque
inicialmente vazio pode partir e conseguir dar uma volta completa na
pista (parando para reabastecer nos postos).
[obm-l] 1000 primeiros dígitos de n^1998
Olá pessoal ! Prove que existe n pertencente a N tal que os 1000 primeiros dígitos de n^1998 são iguais a 1.
Re: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL
Olá ! 3sen(x) + 4cos(x) = 5 3((sen(x) + cos(x)) + 2cos(x) = 5 cos(x) = 1 e sen(x) + cos(x) = 1 Em uma mensagem de 17/10/2004 00:37:28 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola pessoal alguém pode me ajudar neste também O valor de cos x + sen x, sabendo que 3.sen x + 4.cos x = 5, Obrigado
Re: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL
Entendi meu erro ... 3sen(x) + 4cos(x) = 5 3((sen(x) + cos(x)) + 2cos(x) = 5 Em vez de: 3sen(x) + 4cos(x) = 5 3((sen(x) + cos(x)) + cos(x) = 5 Mesmo assim não daria certo, pois para que esta equação estivesse correta deveríamos ter cos(x) = 2 (absurdo) ! Em uma mensagem de 17/10/2004 00:47:11 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá ! 3sen(x) + 4cos(x) = 5 3((sen(x) + cos(x)) + 2cos(x) = 5 cos(x) = 1 e sen(x) + cos(x) = 1
Re: [obm-l] 1000 primeiros dígitos de n^1998
Aquele de maior valor. Em uma mensagem de 17/10/2004 01:07:45 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: o primeiro digito é o das unidades ou o de maior valor? On Sat, Oct 16, 2004 at 10:45:59PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal ! Prove que existe n pertencente a N tal que os 1000 primeiros dígitos de n^1998 são iguais a 1.
Re: [obm-l] 1000 primeiros dígitos de n^1998
Qual ramo ? Em uma mensagem de 17/10/2004 01:01:52 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Uma curiosidade: como estamos interessados nos 1000 primeiros digitos, este eh um problema de combinatoria (principio das casas de pombos, pra ser mais exato). Se estivessemos interessados nos 1000 ultimos digitos, seria um problema de teoria dos numeros. Se estivessemos interessados em 1000 digitos no meio, de que area da matematica estariamos falando? []s, Claudio. on 17.10.04 00:45, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal ! Prove que existe n pertencente a N tal que os 1000 primeiros dígitos de n^1998 são iguais a 1.
Re: RES: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL
Exatamente ! Esse foi o erro inicial que cometi. Veja que a idéia era fazer: 3((sen(x) + cos(x)) + cos(x) = 5 Mas mesmo assim não daria certo, pois cos(x) teria de ser igual a 2 (impossível). Em uma mensagem de 17/10/2004 03:03:41 Hor. de verão leste da Am. Su, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Fael não entendi No 1 caso não ira resultar em 3senx+3cosx+2cosx em 3senx+5cosx Obrigado De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: domingo, 17 de outubro de 2004 01:34 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL Entendi meu erro ... 3sen(x) + 4cos(x) = 5 3((sen(x) + cos(x)) + 2cos(x) = 5 Em vez de: 3sen(x) + 4cos(x) = 5 3((sen(x) + cos(x)) + cos(x) = 5 Mesmo assim não daria certo, pois para que esta equação estivesse correta deveríamos ter cos(x) = 2 (absurdo) !
Re: RES: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL
Veja: sex(x+t) = sen(x)*cos(t) + sen(t)*cos(x) = 1 (I) Divida a equação original por 5: 3*senx + 4*cosx = 5 sen(x)*3/5+ 4/5*cos(x) = 1 (II) Comparando (I) e (II) temos que: cost = 3/5 e sent = 4/5 Eu também não entendi uma passagem na solução do Claúdio: cosx + senx = raiz(2)*sen(x + Pi/4) = Eu resolvi por outra forma a partir de cosx + senx: cosx + senx = cos(pi/2 - t) + sen(pi/2 - t) = sen(t) + cos(t) = 3/5 + 4/5 = 7/5 Em uma mensagem de 17/10/2004 03:01:14 Hor. de verão leste da Am. Su, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Cláudio como vc pode comprovar que sex(x+t)=1 Como cost=3/5 ??? Obrigado 3*senx + 4*cosx = 5 == sen(x + t) = 1, onde cost = 3/5 e sent = 4/5 == x + t = Pi/2 + 2*k*Pi, onde k eh inteiro == x = Pi/2 - t + 2*k*Pi cosx + senx = raiz(2)*sen(x + Pi/4) = raiz(2)*sen(Pi/2 - t + 2*k*Pi + Pi/4) = raiz(2)*sen(3*Pi/4 - t) = raiz(2)*(sen(3*Pi/4)*cost - cos(3Pi/4)*sent) = raiz(2)*((1/raiz(2))*3/5 - (-1/raiz(2))*4/5) = 3/5 + 4/5 = 7/5. []s, Claudio. on 17.10.04 01:36, Brunno at [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal alguém pode me ajudar neste também O valor de cos x + sen x, sabendo que 3.sen x + 4.cos x = 5, Obrigado
[obm-l] Parcelas de 1998
Ol pessoal !
Abaixo esta um problema e sua soluo. Tive dvidas em algumas passagens.
Passagem 01)
(i) se n (n 4) par, temos (n/2)*(n/2) n
(ii) se n (n 3) mpar, temos ((n-1)/2)*((n+1)/2) n
Eu entendi as desigualdades acima, mas no entendo qual a relao dela com o problema. Por que o autor da soluo as criou ?
Passagem 02)
Com as observaes (i) e (ii) devemos ter n_i pertencente a {1, 2, 3, 4} ...
Eu at entendo que (i) U (ii) = (n = 5), mas no entendi a afirmao acima ?!
***
Escreva 1998 como soma de (um nmero arbitrrio de) parcelas
de modo que o produto das parcelas seja o maior possvel.
SOLUAO:
Observe inicialmente que, dado n pertencente a N,
(i) se n (n 4) par, temos (n/2)*(n/2) n
(ii) se n (n 3) mpar, temos ((n-1)/2)*((n+1)/2) nSejam 1998 = n_1 + n_2 + n_3 + n_k eP = n_1*n_2*n_3*n_kCom as observaes (i) e (ii) devemos ter n_i pertencente a {1, 2, 3, 4} e como 4 = 2*2podemos substituir 4 por "2 + 2" e teremos n_i pertencente a {1, 2, 3} logo P = [1^(alfa)]*[2^(beta)]*[3^(gama)]. evidente que alfa = 0, pois se alfa = 1, 1+2 pode ser substitudo por um 3 e "1 + 3" pode ser substitudo por "2 + 2". Tambm beta = 2, pois "2 + 2 + 2" pode ser substitudo por "3 +3" ( 3*3 2*2*2) e conseqentemente
P = [2^(beta)]*[3^(gama)] com (beta = 1 ou 2). Como 1998 = 3*666 + 0,
P = 3^666 e S = 3 + 3 + 3 + 3 +...+ 3 (666 vezes)
Re: [obm-l] Parcelas de 1998
Ol !
As passagens de sua explicao que no entendi foram:
p1) Bom, agora temos um passo de "induo" que funciona muito bem: Suponha
que voc tenha numa soma um a_k que seja maior do que 4. Ele pode ser
decomposto em b_1 + b_2, com produto maior do que a_k, e assim esta
no a soma cujo produto dos termos mximo. Ento, a soma tem
apenas termos entre {1, 2, 3, 4}
p2) Uma outra maneira de fazer a "tacada final" (que o mais fcil...)
seria resolver o problema de maximizar 2^x * 3^y restrito a 2x + 3y =
1998. Bom, isto equivalente (tire o log) a maximizar x*log(2) +
y*log(3), com restrio linear em x e y tambm. Ora, voc sabe que
este problema tem soluo no bordo (mas voc pode fazer as contas,
nada te impede... substitua x na segunda equao, e mos obra), e
basta tentar o bordo, que so as solues com x mnimo e as com y
mnimo.
Em uma mensagem de 15/10/2004 18:40:54 Hora padro leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Bom, a talvez isso fique simples se voc considerar um problema com um
nmero menor: escreva 10 como soma de nmeros naturais a_i tais que
seu produto seja o maior possvel. A primeira coisa que voc pode ver
ir aumentanto o nmero de a_i e vendo no que d. imediato que a
melhor soluo com dois caras 5 + 5, j que (n-x)(n+x) = n^2 - x^2
n^2 (seja n = 10/2).
Esta a linha-mestra de raciocnio ( a proposio (i)! ), mas ainda
no est perfeito, pois 11 mpar. Para a nossa sorte, temos que a
melhor decomposio (isto (ii)! ) (n/2+1/2)(n/2-1/2) se temos n
mpar.
Bom, agora temos um passo de "induo" que funciona muito bem: Suponha
que voc tenha numa soma um a_k que seja maior do que 4. Ele pode ser
decomposto em b_1 + b_2, com produto maior do que a_k, e assim esta
no a soma cujo produto dos termos mximo. Ento, a soma tem
apenas termos entre {1, 2, 3, 4} (voc no ia ser louco de botar zero,
claro, ento no vem ao caso se zero natural...). A observao (iii)
retira o 4 da lista, e em seguida ele retira o 1.
Falta apenas decidir dentre todos os jeitos de escrever 1998 como soma
de "2" e "3", qual d o maior produto. Assim, temos que ele elimina a
possibilidade de "2+2+2", pois o produto destes 8, enquanto "3+3"
faz um produto 9. E a ele divide 1998 por 3 para saber o mximo de
"3" que pode usar, e descobre que pode ser tudo "3".
Uma outra maneira de fazer a "tacada final" (que o mais fcil...)
seria resolver o problema de maximizar 2^x * 3^y restrito a 2x + 3y =
1998. Bom, isto equivalente (tire o log) a maximizar x*log(2) +
y*log(3), com restrio linear em x e y tambm. Ora, voc sabe que
este problema tem soluo no bordo (mas voc pode fazer as contas,
nada te impede... substitua x na segunda equao, e mos obra), e
basta tentar o bordo, que so as solues com x mnimo e as com y
mnimo.
Abraos,
Bernardo Costa
On Fri, 15 Oct 2004 16:50:43 EDT, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ol pessoal !
Abaixo esta um problema e sua soluo. Tive dvidas em algumas passagens.
Passagem 01)
(i) se n (n 4) par, temos (n/2)*(n/2) n
(ii) se n (n 3) mpar, temos ((n-1)/2)*((n+1)/2) n
Eu entendi as desigualdades acima, mas no entendo qual a relao dela com o
problema. Por que o autor da soluo as criou ?
Passagem 02)
Com as observaes (i) e (ii) devemos ter n_i pertencente a {1, 2, 3, 4} ...
Eu at entendo que (i) U (ii) = (n = 5), mas no entendi a afirmao acima
?!
***
Escreva 1998 como soma de (um nmero arbitrrio de) parcelas
de modo que o produto das parcelas seja o maior possvel.
SOLUAO:
Observe inicialmente que, dado n pertencente a N,
(i) se n (n 4) par, temos (n/2)*(n/2) n
(ii) se n (n 3) mpar, temos ((n-1)/2)*((n+1)/2) n
Sejam 1998 = n_1 + n_2 + n_3 + n_k e P = n_1*n_2*n_3*n_k
Com as observaes (i) e (ii) devemos ter n_i pertencente a {1, 2, 3, 4} e
como 4 = 2*2
podemos substituir 4 por "2 + 2" e teremos n_i pertencente a {1, 2, 3} logo
P = [1^(alfa)]*[2^(beta)]*[3^(gama)]. evidente que alfa = 0, pois se alfa
= 1, "1+2" pode ser substitudo por um 3 e "1 + 3" pode ser substitudo por
"2 + 2". Tambm beta = 2, pois "2 + 2 + 2" pode ser substitudo por "3 +3"
( 3*3 2*2*2) e conseqentemente
P = [2^(beta)]*[3^(gama)] com (beta = 1 ou 2). Como 1998 = 3*666 + 0,
P = 3^666 e S = 3 + 3 + 3 + 3 +...+ 3 (666 vezes)
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
Re: [obm-l] Parcelas de 1998
Claudio,
Poderia ser mais claro ? Pois so problemas de nvel olmpico, resolvi comear a estudar estes tipos de problema -- atravs da Eureka -- h pouco tempo.
Em uma mensagem de 15/10/2004 20:03:31 Hora padro leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
O enunciado nao diz que as parcelas devem ser inteiras.
Com 666 parcelas igaus a 3, o logaritmo do produto serah igual a 731,67578.
Por outro lado, se tivermos 734 parcelas iguais a "e" (base dos logaritmos naturais) e uma igual a 1998 - 734*e, o logaritmo do produto serah 735,02286.
[]s,
Claudio.
on 15.10.04 18:50, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ol pessoal !
Abaixo esta um problema e sua soluo. Tive dvidas em algumas passagens.
Passagem 01)
(i) se n (n 4) par, temos (n/2)*(n/2) n
(ii) se n (n 3) mpar, temos ((n-1)/2)*((n+1)/2) n
Eu entendi as desigualdades acima, mas no entendo qual a relao dela com o problema. Por que o autor da soluo as criou ?
Passagem 02)
Com as observaes (i) e (ii) devemos ter n_i pertencente a {1, 2, 3, 4} ...
Eu at entendo que (i) U (ii) = (n = 5), mas no entendi a afirmao acima ?!
***
Escreva 1998 como soma de (um nmero arbitrrio de) parcelas
de modo que o produto das parcelas seja o maior possvel.
SOLUAO:
Observe inicialmente que, dado n pertencente a N,
(i) se n (n 4) par, temos (n/2)*(n/2) n
(ii) se n (n 3) mpar, temos ((n-1)/2)*((n+1)/2) nSejam 1998 = n_1 + n_2 + n_3 + n_k eP = n_1*n_2*n_3*n_kCom as observaes (i) e (ii) devemos ter n_i pertencente a {1, 2, 3, 4} e como 4 = 2*2podemos substituir 4 por "2 + 2" e teremos n_i pertencente a {1, 2, 3} logo P = [1^(alfa)]*[2^(beta)]*[3^(gama)]. evidente que alfa = 0, pois se alfa = 1, 1+2 pode ser substitudo por um 3 e "1 + 3" pode ser substitudo por "2 + 2". Tambm beta = 2, pois "2 + 2 + 2" pode ser substitudo por "3 +3" ( 3*3 2*2*2) e conseqentemente
P = [2^(beta)]*[3^(gama)] com (beta = 1 ou 2). Como 1998 = 3*666 + 0,
P = 3^666 e S = 3 + 3 + 3 + 3 +...+ 3 (666 vezes)
Re: [obm-l] Parcelas de 1998
Entendi, obrigado ! Em uma mensagem de 15/10/2004 20:47:08 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Eu soh disse que, se nao nos restringirmos a parcelas inteiras, 666 parcelas iguais a 3 nao eh a solucao otima. Existe uma solucao cujo produto eh maior, apesar das parcelas serem irracionais. E como estamos tratando de numeros muito grandes, tais como 3^666, eh mais facil comparar os seus logaritmos naturais. []s, Claudio. on 15.10.04 21:15, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Claudio, Poderia ser mais claro ? Pois são problemas de nível olímpico, resolvi começar a estudar estes tipos de problema -- através da Eureka -- há pouco tempo.
Re: [obm-l] Parcelas de 1998
Já entendi ! Obrigado !
Em uma mensagem de 15/10/2004 20:09:49 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá !
As passagens de sua explicação que não entendi foram:
p1) Bom, agora temos um passo de "indução" que funciona muito bem: Suponha
que você tenha numa soma um a_k que seja maior do que 4. Ele pode ser
decomposto em b_1 + b_2, com produto maior do que a_k, e assim esta
não é a soma cujo produto dos termos é máximo. Então, a soma tem
apenas termos entre {1, 2, 3, 4}
p2) Uma outra maneira de fazer a "tacada final" (que é o mais fácil...)
seria resolver o problema de maximizar 2^x * 3^y restrito a 2x + 3y =
1998. Bom, isto é equivalente (tire o log) a maximizar x*log(2) +
y*log(3), com restrição linear em x e y também. Ora, você sabe que
este problema tem solução no bordo (mas você pode fazer as contas,
nada te impede... substitua x na segunda equação, e mãos à obra), e
basta tentar o bordo, que são as soluções com x mínimo e as com y
mínimo.
[obm-l] postos de gasolina
Olá pessoal ! Em uma pista circular há postos de gasolina, e o total de gasolinaquehá nos postos é exatamente o suficiente para um carro dar uma volta.Prove que existe um posto de onde um carro com o tanque inicialmente vazio pode partir e conseguir dar uma volta completa na pista (parando para reabastecer nos postos).
Re: [obm-l] M últiplos de 9 - problema de 5ª série
Valeu Cláudio ! Mas achei pensei numa solução diferente e bem mais simples ! Não sei se está certo ! Para n 3 Múltiplos de 9 menores que 10^n (eqn) x1+x2+...+xn = 9(n-2) |===| (eqn-a) x1+x2+...+xn = 9(n-1) (eq(n-1)) x1+x2+...+x(n-1) = 9(n-2) |===| (eq.(n-1)-a) x1+x2+...+x(n-1) = 9(n-1) (eq(n-2)) x1+x2+...+x(n-2) = 9(n-2) |===| (eq.(n-2)-a) x1+x2+...+x(n-2) = 9(n-1) (...) (eq2) x1+x2 = 9(n-2) |===| (eq.2-a) x1+x2 = 9(n-1) O que temos que provar é que (eq2 +...+eqn) (eq2-a +...+ eqn-a) Se provarmos que eqneqn-a, eq(n-1)eq(n-1)-a, ..., eq2eq2-a então a desigualdade acima estará provada e a questão resolvida. Como cada incógnita varia de 0 a 9, então o total de "espaços livres" na equação (eqn) x1+x2+...+xn = 9(n-2) (eqn-a) x1+x2+...+xn = 9(n-1) Espaços livres de (eqn) = 9*n - 9*(n-2) Espaços livres de (eqn-a) = 9*n - 9*(n-1) Espaços livres de (eqn) Espaços livres de (eqn-a) Como os espaços livres deixados pelas equação cuja soma é 9(n-2) é maior que os deixados por aquelas cuja soma vale 9(n-1), temos mais possibilidades de preenchimento (nº de soluções) naqueles de soma 9(n-2). Em uma mensagem de 8/10/2004 11:09:46 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Uma sugestao: Sejam A(n-1) e A(n-2) os conjuntos dos multiplos de 9 inferiores a 10^n cujas somas dos algarismos sao 9(n-1) e 9(n-2), respectivamente. Prove que existe uma sobrejecao de A(n-2) em A(n-1) (o mais facil eh exibir uma) mas que nao existe nenhuma de A(n-1) em A(n-2) ou, alternativamente, que nenhuma funcao de A(n-2) em A(n-1) eh injetiva. []s, Claudio. on 08.10.04 02:35, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Na verdade é um problema olímpico (Cone Sul), mas coloquei "problema de 5ª série" sem nenhuma ironia, mas apenas enfatizando a criatividade do examinador que ao criar este problema, que possui conceitos de Ens.Fun., faz com que até mesmo aqueles que fazem pós em Matemática não saibam resolvê-lo sem utilizar matemática de superior. Acredito que haja alguma solução de E.M (envolvendo binomiais), ou melhor, vou mais longe. Pelos elementos do enunciado, deve haver uma solução bem mágica e elegante com conceitos de E.F (múltiplos, divisores, etc...). De qualquer forma, tentei resolver utilizando conceitos de E.M, mas não sei se está certo ou não. Vejam e, se possível, me corrijam ... Em uma mensagem de 7/10/2004 01:16:55 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal, O problema abaixo já passou pela lista, mas não tinha entendido a resolução, foi a partir daí que resolvi tentar uma outra resolução para ele. Abaixo esta o problema e a resolução. Se errei em algo, me digam por favor ! Seja n um número natural, n 3. Demonstrar que entre os múltiplos de 9 menores que 10^n há mais números com a soma de seus dígitos igual a 9(n-2) que números com a soma de seus dígitos igual a 9(n-1).
Re: [obm-l] M últiplos de 9 - problema de 5ª série
E aí, pessoal ? Está certo ou não ? Em uma mensagem de 8/10/2004 16:08:43 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Valeu Cláudio ! Mas achei pensei numa solução diferente e bem mais simples ! Não sei se está certo ! Para n 3 Múltiplos de 9 menores que 10^n (eqn) x1+x2+...+xn = 9(n-2) |===| (eqn-a) x1+x2+...+xn = 9(n-1) (eq(n-1)) x1+x2+...+x(n-1) = 9(n-2) |===| (eq.(n-1)-a) x1+x2+...+x(n-1) = 9(n-1) (eq(n-2)) x1+x2+...+x(n-2) = 9(n-2) |===| (eq.(n-2)-a) x1+x2+...+x(n-2) = 9(n-1) (...) (eq2) x1+x2 = 9(n-2) |===| (eq.2-a) x1+x2 = 9(n-1) O que temos que provar é que (eq2 +...+eqn) (eq2-a +...+ eqn-a) Se provarmos que eqneqn-a, eq(n-1)eq(n-1)-a, ..., eq2eq2-a então a desigualdade acima estará provada e a questão resolvida. Como cada incógnita varia de 0 a 9, então o total de "espaços livres" na equação (eqn) x1+x2+...+xn = 9(n-2) (eqn-a) x1+x2+...+xn = 9(n-1) Espaços livres de (eqn) = 9*n - 9*(n-2) Espaços livres de (eqn-a) = 9*n - 9*(n-1) Espaços livres de (eqn) Espaços livres de (eqn-a) Como os espaços livres deixados pelas equação cuja soma é 9(n-2) é maior que os deixados por aquelas cuja soma vale 9(n-1), temos mais possibilidades de preenchimento (nº de soluções) naqueles de soma 9(n-2). Em uma mensagem de 8/10/2004 11:09:46 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Uma sugestao: Sejam A(n-1) e A(n-2) os conjuntos dos multiplos de 9 inferiores a 10^n cujas somas dos algarismos sao 9(n-1) e 9(n-2), respectivamente. Prove que existe uma sobrejecao de A(n-2) em A(n-1) (o mais facil eh exibir uma) mas que nao existe nenhuma de A(n-1) em A(n-2) ou, alternativamente, que nenhuma funcao de A(n-2) em A(n-1) eh injetiva. []s, Claudio. on 08.10.04 02:35, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Na verdade é um problema olímpico (Cone Sul), mas coloquei "problema de 5ª série" sem nenhuma ironia, mas apenas enfatizando a criatividade do examinador que ao criar este problema, que possui conceitos de Ens.Fun., faz com que até mesmo aqueles que fazem pós em Matemática não saibam resolvê-lo sem utilizar matemática de superior. Acredito que haja alguma solução de E.M (envolvendo binomiais), ou melhor, vou mais longe. Pelos elementos do enunciado, deve haver uma solução bem mágica e elegante com conceitos de E.F (múltiplos, divisores, etc...). De qualquer forma, tentei resolver utilizando conceitos de E.M, mas não sei se está certo ou não. Vejam e, se possível, me corrijam ... Em uma mensagem de 7/10/2004 01:16:55 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal, O problema abaixo já passou pela lista, mas não tinha entendido a resolução, foi a partir daí que resolvi tentar uma outra resolução para ele. Abaixo esta o problema e a resolução. Se errei em algo, me digam por favor ! Seja n um número natural, n 3. Demonstrar que entre os múltiplos de 9 menores que 10^n há mais números com a soma de seus dígitos igual a 9(n-2) que números com a soma de seus dígitos igual a 9(n-1).
Re: [obm-l] Múltiplos de 9 - problema de 5ª série
Na verdade um problema olmpico (Cone Sul), mas coloquei "problema de 5 srie" sem nenhuma ironia, mas apenas enfatizando a criatividade do examinador que ao criar este problema, que possui conceitos de Ens.Fun., faz com que at mesmo aqueles que fazem ps em Matemtica no saibam resolv-lo sem utilizar matemtica de superior. Acredito que haja alguma soluo de E.M (envolvendo binomiais), ou melhor, vou mais longe. Pelos elementos do enunciado, deve haver uma soluo bem mgica e elegante com conceitos de E.F (mltiplos, divisores, etc...). De qualquer forma, tentei resolver utilizando conceitos de E.M, mas no sei se est certo ou no. Vejam e, se possvel, me corrijam ... Em uma mensagem de 7/10/2004 01:16:55 Hora padro leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ol pessoal, O problema abaixo j passou pela lista, mas no tinha entendido a resoluo, foi a partir da que resolvi tentar uma outra resoluo para ele. Abaixo esta o problema e a resoluo. Se errei em algo, me digam por favor ! Seja n um nmero natural, n 3. Demonstrar que entre os mltiplos de 9 menores que 10^n h mais nmeros com a soma de seus dgitos igual a 9(n-2) que nmeros com a soma de seus dgitos igual a 9(n-1). Para n = 4 (caso 9(n-2)) mltiplos de 9 menores que 10^4 e soma dos dgitos igual a 9(4-2) = 18 x + y + z + w = 18 (Para 0 = x,y,z,w = 9) (I) x + y + z = 18 (Para 0 = x,y,z,w = 9) (II) x + y = 18 (Para 0 = x,y,z,w = 9) (III) Por funes geratrizes tem-se que: O nmero de solues de (I) 670 O nmero de solues de (II) 55 O nmero de solues de (III) 1 TOTAL = 670 + 55 + 1 = 726 Para n = 4 (caso 9(n-1)) mltiplos de 9 menores que 10^4 e soma dos dgitos igual a 9(4-1) = 27 x + y + z + w = 27 (Para 0 = x,y,z,w = 9) (I-a) x + y + z = 27 (Para 0 = x,y,z,w = 9) (II-b) x + y = 27 (Para 0 = x,y,z,w = 9) (III-c) Por funes geratrizes tem-se que: O nmero de solues de (I-a) 220 O nmero de solues de (II-b) 1 O nmero de solues de (III-c) 0 TOTAL = 220 + 1 + 0 = 221 Prova-se, pois, que para n = 4 (base da induo) a afirmao do enunciado est correta ! Vou tentar resolver por induo, atravs das etapas: Hiptese de induo: Admitir que valha para qualquer n (n 4) Provar: Vale para qualquer n + 1 (n 4) Admitindo que seja correto o caso: Para mltiplos de 9 menores que 10^n 9(n-2) 9(n-1) OU como preferirem: 9n 18 9n 9 n 2 n 1 (acho que eu deveria fazer isso no incio, pois iria facilitar... De qualquer forma vou continuar !) Temos que provar que: mltiplos de 9 menores que 10^(n+1) e ... Obs: 10^(n+1) = 10^n / 10 (=solues em II e III. E em II-b e III-c, ou seja, no contamos as solues I e I-a) ...e soma dos dgitos igual a 9((n+1) - 2) 9((n+1) - 2). Calculando: 9((n+1) - 2) 9((n+1) - 1) 9(n-1) 9n (dividindo por 9) n-1 n (somando (-1) em ambos os lados) n-2 n-1 (multiplicando por 9) 9(n-2) 9(n-1) HIPTESE DE INDUO Est certa esta resoluo?
[obm-l] Múltiplos de 9 - problema de 5ª série
Ol pessoal, O problema abaixo j passou pela lista, mas no tinha entendido a resoluo, foi a partir da que resolvi tentar uma outra resoluo para ele. Abaixo esta o problema e a resoluo. Se errei em algo, me digam por favor ! Seja n um nmero natural, n 3. Demonstrar que entre os mltiplos de 9 menores que 10^n h mais nmeros com a soma de seus dgitos igual a 9(n-2) que nmeros com a soma de seus dgitos igual a 9(n-1). Para n = 4 (caso 9(n-2)) mltiplos de 9 menores que 10^4 e soma dos dgitos igual a 9(4-2) = 18 x + y + z + w = 18 (Para 0 = x,y,z,w = 9) (I) x + y + z = 18 (Para 0 = x,y,z,w = 9) (II) x + y = 18 (Para 0 = x,y,z,w = 9) (III) Por funes geratrizes tem-se que: O nmero de solues de (I) 670 O nmero de solues de (II) 55 O nmero de solues de (III) 1 TOTAL = 670 + 55 + 1 = 726 Para n = 4 (caso 9(n-1)) mltiplos de 9 menores que 10^4 e soma dos dgitos igual a 9(4-1) = 27 x + y + z + w = 27 (Para 0 = x,y,z,w = 9) (I-a) x + y + z = 27 (Para 0 = x,y,z,w = 9) (II-b) x + y = 27 (Para 0 = x,y,z,w = 9) (III-c) Por funes geratrizes tem-se que: O nmero de solues de (I-a) 220 O nmero de solues de (II-b) 1 O nmero de solues de (III-c) 0 TOTAL = 220 + 1 + 0 = 221 Prova-se, pois, que para n = 4 (base da induo) a afirmao do enunciado est correta ! Vou tentar resolver por induo, atravs das etapas: Hiptese de induo: Admitir que valha para qualquer n (n 4) Provar: Vale para qualquer n + 1 (n 4) Admitindo que seja correto o caso: Para mltiplos de 9 menores que 10^n 9(n-2) 9(n-1) OU como preferirem: 9n 18 9n 9 n 2 n 1 (acho que eu deveria fazer isso no incio, pois iria facilitar... De qualquer forma vou continuar !) Temos que provar que: mltiplos de 9 menores que 10^(n+1) e ... Obs: 10^(n+1) = 10^n / 10 (=solues em II e III. E em II-b e III-c, ou seja, no contamos as solues I e I-a) ...e soma dos dgitos igual a 9((n+1) - 2) 9((n+1) - 2). Calculando: 9((n+1) - 2) 9((n+1) - 1) 9(n-1) 9n (dividindo por 9) n-1 n (somando (-1) em ambos os lados) n-2 n-1 (multiplicando por 9) 9(n-2) 9(n-1) HIPTESE DE INDUO Est certa esta resoluo?
Re: [obm-l] Títulos das Mensagens
Concordo ! Inclusive este assunto sobre o 0! já tinha aparecido na lista, mas devido aos "threads" generalistas como os que citou fica difícil encontrar as mensagens. Em uma mensagem de 4/10/2004 11:55:19 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, pessoal: Seria muito bom se todos nós fizéssemos um esforço para dar títulos relevantes às mensagens que enviamos para a lista. Por exemplo, no caso abaixo, o mais óbvio seria "0! = 1" ou, pelo menos, "Fatorial". Títulos tais como "Dúvida", "Questão", "Ajuda!", "Probleminha Difícil" e outros do gênero dificultam a vida de quem se interessa por tópicos específicos ou quem quer pesquisar algum tema nos arquivos da lista. Um abraço a todos, Claudio.
Re: [obm-l] UM SENHOR PROBLEMA!
Olá, Eram 2 questões e respondi apenas 1. Tinha me esquecido desta. Vamos lá: ponteiro dos segundos == Uma volta em 1 minutos. ponteiro dos minutos == Uma volta em 60 minutos. ponteiro das horas == Uma volta em 12*60 minutos = 720 minutos. Como o m.m.c (1,60,720) = 720 temos que a taxa de encontro é de 1 encontro a cada 12 horas. Em uma mensagem de 1/10/2004 20:23:59 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caro Fael, e quanto à pergunta da meia-noite ao meio-dia, haverá quantos encontros dos ponteiros?
Re: [obm-l] FAZENDO A HORA!
Olá, Entre o meio-dia e a meia-noite, o ponteiro dos minutos passa 10 vezes por cima do ponteiro das horas. Em uma mensagem de 30/9/2004 20:22:35 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Entre o meio-dia e a meia-noite, quantas vezes o ponteiro dos minutos de um relógio passa por cima do ponteiro das horas? E da meia-noite ao meio-dia haverá quantos encontros dos ponteiros? Um abraço à todos!
[obm-l] Combinatória (talvez por indução)
Olá pessoal, Agradeço a todos que tentaram responder e tiveram idéias bem criativas, mas faço das minhas palavras o que Domingos disse: "... é muito mais legal ter uma fórmula fechada! Será que existe? ..." Acho até daria por achar esta fórmula por indução, mas o problema é como se dará a relação entre n, k, e b para estabelecermos a base da indução. Ex: x[1] + x[2] + ... + x[n] = k (para algum b 0 que será o limite máximo de quaisquer incógnitas) Fazendo a base de indução em n x[1] = 1 x[1] + x[2] = 1 x[1] + x[2] + x[3] = 1 (...) Fazendo a base de indução em k x[1] + x[2] = 1 x[1] + x[2] = 2 x[1] + x[2] = 3 x[1] + x[2] = 4 (...) x[1] + x[2] + x[3] = 15 Para b = 5 b = 6 b = 7 b = 8 (...) É, meus amigos ! Achar uma fórmula fechada para isso é um quebra-cabeça e tanto ;-) ! Em uma mensagem de 28/9/2004 17:12:42 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: A idéia de funções geradoras é legal, mas é muito mais legal ter uma fórmula fechada! Será que existe? E se formos menos ambiciosos e fixarmos um parâmetro (digamos os valores são dígitos e k e n são livres)? [ ]'s Qual o coeficiente de t^27 no desenvolvimento de: (1 + t + t^2 + t^3 + t^4 + t^5 + t^6 + t^7 + t^8 + t^9)^4 ? Resposta (usando PARI-GP): 220. Minha pergunta pra voce: Por que isso tah certo?
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
É uma excelente resolução para o caso específico x + y + z + w = 27, ficaria melhor ainda se expandíssemos este seu argumento para uma generalização. Pois para x + y + z + w = 18 ele não funciona. x + y + z + w = 18 a = 9 - x b = 9 - y c = 9 - z d = 9 - w a + b + c + d = 36 - (x + y + z + w) = 36 - 18 = 18 Temos que qualquer valor da equação poderá ser maior que 9. E se fizéssemos ? ... a + b + c + d = 18 a/2 + b/2 + c/2 + d/2 = 9 Temos 220 equações com incónitas a/2, b/2, c/2 e d/2. Como elas terão valores [0;9] ... Em uma mensagem de 28/9/2004 20:36:32 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi gente, Eu fiz de outro jeito... Sejam a=9-x, b=9-y, c=9-w e d=9-z. Temos a+b+c+d=9 e 0=a,b,c,d=9. Podemos ignorar a desigualdade da direita porque a soma de a,b,c,d é 9 e, portanto, nenhum desses números vai ser maior que 9. Assim, o número de soluções é binom(9+3,3)=220. []'s Shine
Re: [obm-l] Combinatória
Ok !
Falando novamente sobre o assunto, vejam as equações:
(I): x1 + x2 + x3 + x4 = 27 (o maior valor para incógnitas é 9 e todos os valores são naturais)
(II): x1 + x2 + x3 + x4 = 18 (o maior valor para incógnitas é 9 e todos os valores são naturais)
Há como provar que a equação (II) possui mais soluções que (I) sem resolvê-las pelo método exposto por você ?
Da para generalizar este problema, ou seja, comparar 2 equações destes tipos (com cotas superior) e dizer qual a que possui mais soluções ?
Em uma mensagem de 29/9/2004 14:44:33 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
On Tue, Sep 28, 2004 at 01:54:07PM -0300, Nicolau C. Saldanha wrote:
Vocês conhecem a fórmula para resolver
x[1] + x[2] + x[3] + ... + x[n] = k, em que
0 = x[1] , x[2] , x[3] , ... , x[n] = a (a k) ?
Um exemplo do caso geral acima :
Resolva x + y + w + z = 27 sendo que o maior valor que as incógnitas podem
assumir seja 9, ou seja,
0 = x, y, w, z = 9
Eu acho que a pergunta não está muito bem formulada. Eu adivinho que você
quer saber *quantas* soluções *inteiras* a equação tem. É isso? Se for,
não é difícil.
O número de soluções de x1 + x2 + ... + xn = k, xi = 0 é binom(k+n-1,n-1).
Agora é só fazer inclusão e exclusão: o número de soluções de
x1 + x2 + ... + xn = k, xi = 0, x1 = b é binom(k-b+n-1,n-1):
basta fazer y1 = x1 - b e considerar o problema y1 + x2 + ... + xn = k - b.
Assim, para calcular o número de soluções com 0 = xi b precisamos tirar
fora estas soluções, com o cuidado usual do somar de volta o que for excluído
duas vezes e assim por diante:
binom(k+n-1,n-1) - n*binom(k-b+n-1,n-1) + binom(n,2)*binom(k-2b+n-1,n-1) -...
= Soma_{i = 0} (-1)^i binom(n,i) binom(k - i*b + n - 1, n - 1)
O que eu fiz está incompleto: faltou especificar o valor máximo de i.
É bem claro pelo raciocínio que devemos ter k - i*b = 0.
Se definirmos binom(x,y) da forma usual como um polinômio em x
de grau y para cada valor fixo de y então a soma completa dá zero,
como podemos facilmente provar.
Assim, a resposta é
Soma_{i = 0, i = k/b} (-1)^i binom(n,i) binom(k - i*b + n - 1, n - 1)
ou
- Soma_{i = 0, i k/b} (-1)^i binom(n,i) binom(k - i*b + n - 1, n - 1)
Outra maneira de obter a segunda fórmula é observar que o número
de solucões para k é igual ao número de solucões para n*(b-1) - k.
No problema proposto com n = 4, k = 27, b = 10 a resposta é
binom(27+4-1,4-1) - 4*binom(27-10+4-1,4-1) + 6*binom(27-2*10+4-1,4-1) =
binom(30,3) - 4*binom(20,3) + 6*binom(10,3) =
4060 - 4*1140 + 6*120 = 220.
Observem que a segunda fórmula permite chegar à resposta mais rapidamente:
4*binom(0,3) - binom(-10,3) = 4*0 + 220 = 220.
Isto pode ser confirmado procurando o coeficiente de x^27 (ou de x^9)
em ((x^10-1)/(x-1))^4 =
36 35 34 33 32 31 30 29 28
x + 4 x + 10 x + 20 x + 35 x + 56 x + 84 x + 120 x + 165 x
27 26 25 24 23 22 21
+ 220 x + 282 x + 348 x + 415 x + 480 x + 540 x + 592 x
20 19 18 17 16 15 14
+ 633 x + 660 x + 670 x + 660 x + 633 x + 592 x + 540 x
13 12 11 10 9 8 7
+ 480 x + 415 x + 348 x + 282 x + 220 x + 165 x + 120 x
6 5 4 3 2
+ 84 x + 56 x + 35 x + 20 x + 10 x + 4 x + 1
[]s, N.
Re: [obm-l] Intervalos
Pelo que eu entendi disso tudo é que qualquer intervalo LIMITADO OU NÂO de números REAIS contém INFINITOS elementos. Em uma mensagem de 29/9/2004 01:51:21 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Afinal, intervalos fechados são ou não finitos ? Correcao: voce jah pode ter visto autores, mas nao BONS autores... []s, Claudio. on 28.09.04 11:08, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Com rela??o ? letra B, acho interessante comentar que j? vi bons autores chamarem de finitos intervalos como (a,b) ou [a,b], com a e b n?meros reais finitos. Isto, por?m, conflita frontalmente com as defini??es de conjuntos finitos e infinitos e causa confus?o. (a,b) e [a,b] s?o conjuntos limitados mas inifinitos. Acho que, a bem da clareza e da coer?ncia entre as defini??es, jamais se deve dizer que (a,b) e [a,b] s?o intervalos finitos. Diga-se que s?o limitados, caso se deseje deixar claro que seus pontos extremos s?o n?meros reais Artur --- [EMAIL PROTECTED] wrote: Ol? pessoal, (Cesesp, PE - 77) Sejam R o conjunto dos n?meros reais, a e b elementos de R tais que a b, qual dentre as seguintes alternativas ? verdadeira ? a) Se x pertence a (a,b), ent?o x^2 pertence a (a,b); b) (a,b) ? um conjunto ilimitado pois tem uma infinidade de elementos; c) (a,b) tem um n?mero finito de elementos pois ? um conjunto limitado; d) (a,b) = [a,b) U (a.b] e [a,b] = [a,b) inter (a,b]; e) (a,b) = [a,b) inter (a,b] e [a,b] = (a,b] U [a,b); Estou com d?vidas, pois acredito que a alt. B e a alt. E est?o corretas ...
Re: [obm-l] GATOS VIRTUAIS!
Em uma mensagem de 27/9/2004 21:19:26 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Pessoal! Caro Fael, a hipótese das salas espelhadas é algo completamente alheio ao enunciado do problema. Vale salientar que a condição imposta no enunciado é que cada gato vê três gatos, o que não ocorre com os "gatos virtuais", já que eles não enxergam. Pelo sim, pelo não, gostei do seu raciocínio inovador, pois quem tenta resolver um problema pode normalmente errar e quem não tenta, já errou. Voltemos ao enigma da "Bebida Grátis" para discutirmos a impossibilidade de resolução imposta pelo nobre colega, Domingos Jr. Afinal! quem pagou a cerveja? A propósito, porque a diferença absoluta entre 1 e 2 decibéis é muito menor do que a diferença entre 2 e 3 decibéis? Um abraço à todos!
Re: [obm-l] GATOS VIRTUAIS!
Define-ne decibéis em função de uma escala logarítmica. Em uma função logarítmica crescente, a função é maior no intervalo [2;3] do que no intervalo [1;2]. É isso ? Em uma mensagem de 27/9/2004 21:19:26 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: A propósito, porque a diferença absoluta entre 1 e 2 decibéis é muito menor do que a diferença entre 2 e 3 decibéis? Um abraço à todos!
Re: [obm-l] Combinatória
Realmente é bem difícil ! Em uma mensagem de 27/9/2004 15:15:00 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ninguém sabe essa ? Em uma mensagem de 25/9/2004 20:29:27 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal, É sabido, por várias formas, como calcular equações do tipo: x[1] + x[2] + x[3] + ... + x[n] = k, em que 0 = x[1] , x[2] , x[3] , ... , x[n] = k, ou seja, as incógnitas são naturais. Pergunta: Vocês conhecem a fórmula para resolver x[1] + x[2] + x[3] + ... + x[n] = k, em que 0 = x[1] , x[2] , x[3] , ... , x[n] = a (a k) ? Um exemplo do caso geral acima : Resolva x + y + w + z = 27 sendo que o maior valor que as incógnitas podem assumir seja 9, ou seja, 0 = x, y, w, z = 9
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] Soluçoes Inteiras
Trata-se da equação de Pell. Se não me engano há infinitas soluções neste tipo de equação. Em uma mensagem de 25/9/2004 16:58:51 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ah desculpe, nem vi que digitei errado: eh x² - 2y² = -1 eu tinha digitado +... From: "eritotutor" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Soluçoes Inteiras Date: Sat, 25 Sep 2004 16:37:15 -0300 Se x e y pertencem a R, temos que x^2 e y^2 sao sempre positivos e portanto, 2y^2 tb eh. Assim a equaçao nao possui nenhuma soluçao inteira, nem real. Acho que o enunciado da questao nao era bem esse. []s -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Sat, 25 Sep 2004 19:02:44 + Assunto: [obm-l] Soluçoes Inteiras Meu professor me passou o seguinte problema: Ache todas as soluçoes inteiras de x² + 2y² = -1 So que eu nao tenho ideias para achar as soluçoes e provar que sao unicas, poderiam me ajudar?
[obm-l] Combinatória
Olá pessoal, É sabido, por várias formas, como calcular equações do tipo: x[1] + x[2] + x[3] + ... + x[n] = k, em que 0 = x[1] , x[2] , x[3] , ... , x[n] = k, ou seja, as incógnitas são naturais. Pergunta: Vocês conhecem a fórmula para resolver x[1] + x[2] + x[3] + ... + x[n] = k, em que 0 = x[1] , x[2] , x[3] , ... , x[n] = a (a k) ? Um exemplo do caso geral acima : Resolva x + y + w + z = 27 sendo que o maior valor que as incógnitas podem assumir seja 9, ou seja, 0 = x, y, w, z = 9
Re: [obm-l] RE: [obm-l] 8ª Cone Sul - tabuleiro
Boa resolução também ! São 3 entradas para 3 opções em cada entrada {0,1,2}, logo 3^3 = 27.
Em uma mensagem de 20/9/2004 13:59:38 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Estava pensando... O movimento descrito (altera 3 e mantém 1) não seria o
equivalente ao oposto (mantém 3 e altera 1?)
Tentei isso e deu certo. Seria mais ou menos em trabalhar com algarismos na
base 3. o resultado inicial seria:
1000
2000
0100
1100
...
Traduzindo para o movimento normal, teríamos:
0111
0222
1200
1011
...
Logo, fica fácil ver que poderíamos obter as 27 combinações sem repetição.
Só para dar a resposta completa:
0111
0222
1200
1011
1122
2100
2211
2022
0120
0201
0012
1020
1101
1212
2220
2001
2112
0210
0021
0102
1110
1221
1002
2010
2121
2202
SDS
JG
-Original Message-
From: Domingos Jr. [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, September 19, 2004 10:06 AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] 8ª Cone Sul - tabuleiro
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Valeu Domingos,
A única passagem que não entendi de sua solução foi:
(... suponha que tenhamos 0 = x = 3 elementos {0, 1} dentre os
elementos da
linha anterior sem incluir o elemento selecionado e há 3 - x elementos 2
dentre esses mesmos caras ...)
a linha anterior (a inicial, por exemplo) tem 4 elementos, sendo que um
deles será mantido na linha seguinte.
desconsiderando esse cara que está fixo, sobram 3 elementos: sendo que x
deles são entradas 0 ou 1 e os outros 3 - x são entradas 2.
acho que agora fica claro por que a soma da linha seguinte é S' = S + x
- 2(3 - x), certo?
sinceramente, eu acho que 27 é um número grandinho, eu não teria saco
para 'escrever' a solução de um problema desses.
[ ]'s
[obm-l] Soma de Dígitos
Olá pessoal, O problema abaixo já passou pela lista, mas a solução envolvia derivadas. Vocês poderiam resolvê-lo sem utilizar conceitos de nível superior ? 1) Seja n um número natural, n 3. Demonstrar que entre os múltiplos de 9 menores que 10^n há mais números com a soma de seus dígitos igual a 9(n-2) que números com a soma de seus dígitos igual a 9(n-1).
Re: [obm-l] União Problemática
O Nicolau já provou isso na lista. A demonstração está nos arquivos do grupo. Em uma mensagem de 19/9/2004 18:32:57 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Como se calcula o número dessas n uniões: n( A1 U A2 U A3 U...U An ) = ? Eu só sei até três. Se possível gostaria de uma demonstração desse fato. Obrigado (^_^)
Re: [obm-l] 8ª Cone Sul - tabuleiro
Ninguém sabe ? Em uma mensagem de 13/9/2004 22:40:55 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: É uma questão do Cone Sul também ... Ninguém quer tentar ? Em uma mensagem de 12/9/2004 18:26:33 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal, Considere um tabuleiro de n linhas e 4 colunas. Na 1a linha são escritos 4 zeros (um em cada casa). A seguir, cada linha é obtida a partir da linha anterior realizando a seguinte operação: uma das casas, a escolher, é mantida como na linha anterior; as outras três são trocadas: se na linha anterior havia um 0 se coloca 1, se havia 1 se coloca 2 e se havia 2 se coloca 0. Construa o maior tabuleiro possível com todas as suas linhas distintas e demonstre que é impossível construir um maior.
Re: [obm-l] 8ª Cone Sul - tabuleiro
Valeu Domingos,
A única passagem que não entendi de sua solução foi:
(... suponha que tenhamos 0 = x = 3 elementos {0, 1} dentre os elementos da
linha anterior sem incluir o elemento selecionado e há 3 - x elementos 2
dentre esses mesmos caras ...)
Em uma mensagem de 18/9/2004 20:22:18 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
ok, pensando um pouco eu achei algo que deve levar a resposta:
considere a soma dos elementos de uma linha módulo 3, chame tal soma de S.
o procedimento para obter a próxima linha é manter o valor de um
elemento da linha anterior e alterar os demais.
suponha que tenhamos 0 = x = 3 elementos {0, 1} dentre os elementos da
linha anterior sem incluir o elemento selecionado e há 3 - x elementos 2
dentre esses mesmos caras.
fica claro que a soma da próxima linha é S' = S + x - 2(3 - x) = S - 6 +
3x = S (mod 3).
como a primeira linha tem soma 0, provamos que todas as linhas desse seu
tabuleiro tem soma múltipla de 3.
agora veja que as somas possíveis são 0, 3 e 6, sendo que 0 só pode ser
obtido de uma maneira e é a primeira linha do tabuleiro.
3 pode ser obtido como um 0 e três 1's (há 4 maneiras de dispô-los), ou
como um 1, um 2 e dois 0's (2*binomial(4, 2) = 12 maneiras).
6 pode ser obtido como um 0 e três 2's (4 maneiras), ou como dois 1's e
dois 2's (binomial(4, 2) = 6 maneiras).
eu imagino que seja possível conseguir todas essas possibilidades e aí
vc teria uma demonstração de que não é possível construir nada maior,
mas é só um palpite.
[ ]'s
É uma questão do Cone Sul também ... Ninguém quer tentar ?
Em uma mensagem de 12/9/2004 18:26:33 Hora padrão leste da Am. Sul,
[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá pessoal,
Considere um tabuleiro de /n/ linhas e 4 colunas.
Na 1a linha são escritos 4 zeros (um em cada casa). A seguir, cada
linha é obtida a partir da linha anterior realizando a seguinte
operação: uma das casas, a escolher, é mantida como na linha
anterior; as outras três são trocadas: se na linha anterior havia um
0 se coloca 1, se havia 1 se coloca 2 e se havia 2 se coloca 0.
Construa o maior tabuleiro possível com todas as suas linhas
distintas e demonstre que é impossível construir um maior.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] 8ª Cone Sul - tabuleiro
Valeu Paulo, Gostei da solução. Eu até sabia que eram 27 "4-uplas", mas não estava conseguindo provar. Veja como cheguei nas 27 "4-uplas": Tentei ordenar os números em ordem crescente, mas como há apenas 3 dígitos, haverá períodos, ou seja, 3 números da forma 0xyz, 3 números da forma 1xyz, 3 números da forma 2xyz, 3 números da forma 0x`y`z`, 3 números da forma 1x`y`z`, etc... Fui fazendo isso até chegar um momento em que não ocorrem repetições: 0111 0222 1002 1110 1221 2001 2112 2220 0021 0102 0210 1011 1122 1200 2010 2121 2202 0012 0120 0201 1212 1020 1101 2211 2022 2100 Temos, pois, 9*3 = 27 "4-uplas". Em uma mensagem de 18/9/2004 21:30:53 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Coloquei uma solução completa para este problema em http://www.teorema.mat.br/phpBB2/viewtopic.php?p=167#167 - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, September 18, 2004 7:21 PM Subject: Re: [obm-l] 8ª Cone Sul - tabuleiro Ninguém sabe ? Em uma mensagem de 13/9/2004 22:40:55 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: É uma questão do Cone Sul também ... Ninguém quer tentar ? Em uma mensagem de 12/9/2004 18:26:33 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal, Considere um tabuleiro de n linhas e 4 colunas. Na 1a linha são escritos 4 zeros (um em cada casa). A seguir, cada linha é obtida a partir da linha anterior realizando a seguinte operação: uma das casas, a escolher, é mantida como na linha anterior; as outras três são trocadas: se na linha anterior havia um 0 se coloca 1, se havia 1 se coloca 2 e se havia 2 se coloca 0. Construa o maior tabuleiro possível com todas as suas linhas distintas e demonstre que é impossível construir um maior.
Re: [obm-l] 8ª Cone Sul - tabuleiro
É uma questão do Cone Sul também ... Ninguém quer tentar ? Em uma mensagem de 12/9/2004 18:26:33 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal, Considere um tabuleiro de n linhas e 4 colunas. Na 1a linha são escritos 4 zeros (um em cada casa). A seguir, cada linha é obtida a partir da linha anterior realizando a seguinte operação: uma das casas, a escolher, é mantida como na linha anterior; as outras três são trocadas: se na linha anterior havia um 0 se coloca 1, se havia 1 se coloca 2 e se havia 2 se coloca 0. Construa o maior tabuleiro possível com todas as suas linhas distintas e demonstre que é impossível construir um maior.
Re: [obm-l] Infinitas soluções - equaçã o
Domingos, Veja o que encontrei: http://www.math.sfu.ca/History_of_Math/India/12thCenturyAD/Chakravala.html Deve ser o intervalo de inteiros [-4;4] mesmo. Em uma mensagem de 12/9/2004 13:18:44 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: [EMAIL PROTECTED] wrote: Valeu Domingos, O segredo deve ser esse mesmo, ou seja, achar um terno, substituir um dos valores deste terno na equação e a mesma ficará com 2 incógnitas. Depois é só modelar a mesma para assumir a forma de uma equação de Pell (x^2 - b*y^2 = 1) que possui infinitas soluções. Em relação às equações de Pell, uma dúvida conceitual: x^2 - b*y^2 = a ... Quais os valores que "a" pode assumir ? Eu ouvi dizer que é 1 ou -1. Outra referência dizia o intervalo de inteiros [-4;4]. x^2 + b*y^2 = 1 se b não é quadrado perfeito há infinitos pares (x, y) de inteiros que são solução da eq. se tivermos -1 no lado direito isso pode não é sempre verdade. isso é o que eu conheço a respeito disso, talvez alguém saiba mais a respeito. [ ]'s
[obm-l] 8ª Cone Sul - tabuleiro
Olá pessoal, Considere um tabuleiro de n linhas e 4 colunas. Na 1a linha são escritos 4 zeros (um em cada casa). A seguir, cada linha é obtida a partir da linha anterior realizando a seguinte operação: uma das casas, a escolher, é mantida como na linha anterior; as outras três são trocadas: se na linha anterior havia um 0 se coloca 1, se havia 1 se coloca 2 e se havia 2 se coloca 0. Construa o maior tabuleiro possível com todas as suas linhas distintas e demonstre que é impossível construir um maior.
Re: [obm-l] Infinitas soluções - equaçã o
Ok. Em uma mensagem de 12/9/2004 18:25:35 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: [EMAIL PROTECTED] wrote: Domingos, Veja o que encontrei: http://www.math.sfu.ca/History_of_Math/India/12thCenturyAD/Chakravala.html Deve ser o intervalo de inteiros [-4;4] mesmo. Em uma mensagem de 12/9/2004 13:18:44 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: há métodos pra achar a solução dessas equações quando elas existem, no entanto, me parece que o único caso em que há garantia de infinitas soluções é x^2 + Dy^2 = 1, com D 0, natural, não-quadrado. veja http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html [ ]'s
Re: [obm-l] Infinitas soluções - equação
Para Domingos ou qualquer outro participante da lista, 1- Por que 5|B e 3|C pois 3 e 5 so primos ? 2- Esse um problema olmpico, logo deve haver uma resoluo que no envolva criao de programa de computador para resolv-lo. Logo como algum poderia resolv-lo em um vestibular, concurso, olimpada e processos seletivos em geral ? Em uma mensagem de 9/9/2004 05:57:05 Hora padro leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ol pessoal, Demonstrar que existem infinitos ternos (a, b, c), com a, b, c nmeros naturais, que satisfazem a relao: 2a^2+ 3b^2 5c^2 = 1997. estou sentindo Deja-vu... j resolvi esse aqui na lista, d uma olhada. mensagem de 22/07/2004 Com um programa de computador (bem simples, feito em VB) eu encontrei a soluo a = 31, b = 20, c = 15. Na verdade, eu encontrei vrias, mas essa pareceu particularmente promissora pois quando a = 31, 2a2 = 1922, que perto de 1997. Ento, vamos mostrar que existem infinitas solues naturais com a = 31: 2*312 + 3b2 - 5^c2 = 1997 3b2 - 5c2 = 75 d pra ver que 5|B e 3|C pois 3 e 5 so primos, sendo assim, sejam b = 5B c = 3C 75B2 - 45C2 = 75 5B2 - 3C2 = 5 agora temos que 5|C, seja ento C = 5D 5B2 - 75D2 = 5 B2 - 15D2 = 1 essa aqui uma instncia da famosa eq. de Pell, que admite uma infinidade de solues inteiras (podemos assumir que as sol. so naturais pois se (B, C) soluo da eq. acima, ento (|B|, |C|) tambm ).
Re: [obm-l] Infinitas soluções - equação
Valeu Domingos, O segredo deve ser esse mesmo, ou seja, achar um terno, substituir um dos valores deste terno na equação e a mesma ficará com 2 incógnitas. Depois é só modelar a mesma para assumir a forma de uma equação de Pell (x^2 - b*y^2 = 1) que possui infinitas soluções. Em relação às equações de Pell, uma dúvida conceitual: x^2 - b*y^2 = a ... Quais os valores que "a" pode assumir ? Eu ouvi dizer que é 1 ou -1. Outra referência dizia o intervalo de inteiros [-4;4]. Em uma mensagem de 11/9/2004 20:14:33 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: [EMAIL PROTECTED] wrote: Para Domingos ou qualquer outro participante da lista, 1- Por que 5|B e 3|C pois 3 e 5 são primos ? 2- Esse é um problema olímpico, logo deve haver uma resolução que não envolva criação de programa de computador para resolvê-lo. Logo como alguém poderia resolvê-lo em um vestibular, concurso, olimpíada e processos seletivos em geral ? Em uma mensagem de 9/9/2004 05:57:05 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 1- na verdade é 5|b e 3|c, falha minha... é bem simples, 3b^2 = 5c2 + 75 5 divide o lado direito, então 5|3b^2, sabemos então que 5|b^2 e, portanto 5|b... a outra asserção é análoga. você não precisa de um programa de computador... mas vai ter que inspecionar alguns valores na mão... eu sou preguiçoso, uso o pc.
[obm-l] Infinitas soluções - equação
Ol pessoal,Demonstrar que existem infinitos ternos (a, b, c), com a, b, c nmeros naturais, que satisfazem a relao: 2a^2+ 3b^2 5c^2 = 1997.
Re: [obm-l] geometria
Os termos "cevianas" e "medianas" são a mesma coisa ? Parece que "ceviana" é uma homenagem a Ceva (geômetra), não é isso ? Em uma mensagem de 8/9/2004 20:09:17 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Boa noite, Gostaria, por favor, de um auxilio na seguinte questao: Consideremos ABC um triangulo e AM e BP são cevianas desse triangulo, sendo M um ponto do segmento BC e P um ponto do segmento AC. Essas cevianas se interceptam num ponto Q. Sabendo que a area do triangulo ABC eh S, que AP = 2PC e que AQ = 3QM. Calcular o valor da area do triangulo PQM em funçao area do triangulo ABC. Obrigado
