[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Questão - Teoria dos Nùmeros
trank dinei, zero stress... Agora tow esperando uma solução aí, cara tow maior tempao com essa questão e nada... Alguem ajuda aih pessoal: determinar todos os n naturarais, tal que (2^n-1)/n é inteiro. Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Questão - Teoria dos Nùmeros From: edward.elric...@gmail.com Date: Tue, 1 Feb 2011 19:41:28 -0200 To: obm-l@mat.puc-rio.br Na verdade eu viajei Haha, misturei sem querer duas soluções q eu estava tentando, oq eu fiz esta absurdamente errado! Enviado via iPhone 4 Em 01/02/2011, às 18:46, João Maldonado escreveu: Date: Tue, 1 Feb 2011 17:28:45 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão - Teoria dos Nùmeros From: edward.elric...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sabemos que n não pode ser par. Seja p um numero primo que divide n (n=p*n´). Temos que 2^n =1 (mod p), mas sabemos que a^(p-1)= 1 (mod p) => a^p =2 (mod p) sempre que mdc(a,p) = 1 Na verdade a^p = 2 (mod p) se e somente se a = y.p + 2, para y = 0, 1, 2... Ex: 3^4 = 1 (mod 5), mas 3^5 = 3 (mod 5) Mas 1 =2^n = 2^(p*n') = (2^n')^p = 2 , pois mdc( 2^n' , p ) = 1 logo 1= 0 mod p Logo 1 = 2 (mod p) Unica solução é n=1. Correto. Desculpe ter apontado as falhas, é que demorei um pouco para entender no começo e outros podem ficar sem entender por um detalhe bobo que nem esse queficou de lado, mas aliás, só a corriji porque ela merece ser corrigida, foi uma ótima solução. Eu mesm fiquei quebrando a cabeça por uma meia hora pra tentar resolver o problema. []'s João 2011/2/1 Jordan Piva Aí pessoal, alguém pode me ajudar c/ uma questão: Achar todos os naturais tais que (2^n-1)/n é inteiro. Essa questão é de um artigo da eureka mto antigo, serio soh consegui ver q n não é par, nem multiplo de 3, nem de 5. Vi que não é primo e nem potencia de primo, mas daih naum saiu mais nd, devo tah mongolizando. Abrcs a todos!
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Questão - Teoria dos Nùmeros
Oi Dinei, blz? Tow brincando com o cubo aki hehe! Se liga que a^(p-1) =1 (mod p) qndo mdc(a,p)=1 blz, porque isso implica a^p=2 (mod p)? Tow mongolizando mto? Naum seria a^p=a (modp)? Date: Tue, 1 Feb 2011 17:28:45 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão - Teoria dos Nùmeros From: edward.elric...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sabemos que n não pode ser par. Seja p um numero primo que divide n (n=p*n´). Temos que 2^n =1 (mod p), mas sabemos que a^(p-1)= 1 (mod p) => a^p =2 (mod p) sempre que mdc(a,p) = 1 Mas 1 =2^n = 2^(p*n') = (2^n')^p = 2 , pois mdc( 2^n' , p ) = 1 logo 1= 0 mod p Unica solução é n=1. 2011/2/1 Jordan Piva Aí pessoal, alguém pode me ajudar c/ uma questão: Achar todos os naturais tais que (2^n-1)/n é inteiro. Essa questão é de um artigo da eureka mto antigo, serio soh consegui ver q n não é par, nem multiplo de 3, nem de 5. Vi que não é primo e nem potencia de primo, mas daih naum saiu mais nd, devo tah mongolizando. Abrcs a todos!
[obm-l] Teoria dos Números
Putz galera, ninguem pra me ajudar? (2^n-1)/n inteiro, achar todos os naturais n... Sei que nao é multiplo de 2, 3 e 5, que não é primo nem potência de primo. E que se um primo p dividir n, com n = pk, então p divide 2^k-1, mas não saiu mais nada Abrcs a Todos!
[obm-l] Questão - Teoria dos Nùmeros
Aí pessoal, alguém pode me ajudar c/ uma questão: Achar todos os naturais tais que (2^n-1)/n é inteiro. Essa questão é de um artigo da eureka mto antigo, serio soh consegui ver q n não é par, nem multiplo de 3, nem de 5. Vi que não é primo e nem potencia de primo, mas daih naum saiu mais nd, devo tah mongolizando. Abrcs a todos!
RE: [obm-l] Determinante...
Oi Ruy, esse enunciado também dah pra resolver por variacao de parametros Subtraia x de td mundo, o novo determinante Dx serah triangular => Dx = (-x)^n Depois subtraia y de td mundo => Dy = (-y)^n depois pela equacao da variacao de parametros vc vai ter: Dx = D - x. Soma dos cof Dy = D - y.Soma dos cof Multiplicando a primeira por x a segunda por y e subtraindo: D = (Dx - Dy)/(x-y) = ((-x)^n - (-y)^n)/(x-y) O caso x=y é ainda mais facil, é só usar variaçaao de parametros apenas uma vez. Abracos Date: Thu, 15 Jul 2010 16:33:51 -0300 Subject: Re: [obm-l] Determinante... From: ruymat...@ig.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Grande Renato Moraes, aprendi algo com você e portanto foi muito válido. Tenho que dizer porém que errei o enunciado. Acima da diagonal principal só x e abaixo da diagonal principal , só y. Ja aprendi um algorítmo legal com vc, se souber de algum que resolva esse determinante serei-lhe muito grato. Valeu pelo altruísmo. R. Oliveira Em 14 de julho de 2010 23:38, Renato Moraes escreveu: Existe um metodo de variacao de parametros que torna esse estilo de determinante mais facil. Seja B a matriz do problema e A uma matriz onde diminuimos x de todos os elementos de B. Assim teremos A uma matriz com elementos na diagonal principal p1-x , p2-x , ... e o resto 0. O metodo consiste , de forma resumida , em detB = detA + x(soma dos cofatores de todos os elemntos de A) . A demonstracao pode ser feita usando Jacobi de forma recorrente . Usando esse metodo nessa questao , chegamos a : detB= x(p1-x)(p2-x)...(pn-x)(1/x + 1/(p1-x) + 1/(p2-x) + ... + 1/(pn-x)) Date: Wed, 14 Jul 2010 12:53:50 -0300 Subject: Re: [obm-l] Determinante... From: ruymat...@ig.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Resolvi no braço fazendo aparecer muitos zeros e aplicando laplace de uma forma recorrente. Ficou horrivel e grande antes de perceber uma generalizaçãodepois do seu mail vi que fiz passagens erradas. Ainda espero uma solução mais pratica para esse problema. Abraços, R. Oliveira Em 10 de julho de 2010 03:26, Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu: 2010/7/10 ruy de oliveira souza : > Uma matriz quadrada de ordem n tem os seguintes elementos: na diagonal > principal tem os elementos p1, p2, p3, , pn. Acima da diagonal > principal só elementos iguais a x. Abaixo da diagonal principal só > elementos iguais a x. Calcule o determinante dessa matriz. Quero conferir o > meu resultadose alguém resolver agradeço antecipadamente. Abraços > R. Oliveira. Como é que você fez ? Na mão ? Deu quanto ? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = O INTERNET EXPLORER 8 DÁ DICAS DE SEGURANÇA PARA VOCÊ SAIBA MAIS! _ ACESSE SEUS EMAILS DE QUALQUER LUGAR PELO SEU CELULAR. CLIQUE E VEJA COMO FAZER ISSO. http://celular.windowslive.com.br/hotmail.asp?produto=Hotmail&utm_source=Live_Hotmail&utm_medium=Tagline&utm_content=ACESSESEUS85&utm_campaign=MobileServices
RE: [obm-l] matrizes
Oi Regis, desculpa não ter colocado a questão... Basicamente é para calcular a inversa de uma matriz A =(a_ij), onde os termos da diagonal principal valem x+y e fora são todos iguais a x. Achei a solução oficial bem legal, tem no site da obm, a forma que eu fiz deu mais trabalho. Com relação a minha dúvida na solução oficial já consegui entender, de qualquer forma vlw... Att. Jordan Piva Date: Tue, 18 Aug 2009 08:47:29 -0700 From: regisgbar...@yahoo.com.br Subject: Re: [obm-l] matrizes To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Jordan Gostaria de ver a questão em questão. Regis --- Em sáb, 15/8/09, Jordan Piva escreveu: De: Jordan Piva Assunto: [obm-l] matrizes Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 15 de Agosto de 2009, 16:00 Oi pessoal, tudo bom? Estava olhando uma questão da OBM-U, tinha uma questão de matrizes que dei uma solução, mas gostaria de saber sobre um pedaço da solução oficial, basicamente no meio da solução ele usa que a inversa de uma matriz A é uma função analítica de A. Como se pode demonstrar isso? Alguém sabe um livro que tenha a demonstração? Abraços, Att. Jordan Piva Quer uma internet mais segura? Baixe agora o novo Internet Explorer 8. É grátis! Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes _ Emoticons e Winks super diferentes para o Messenger. Baixe agora, é grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
RE: [obm-l] matrizes
Ah pessoal deixa pra lá, é só usar Cayley-Hamilton... foi mal, de qualquer forma continuo aceitando sugestões de livros de álg. lin. para olimpíadas Abraços. From: jfp...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] matrizes Date: Sat, 15 Aug 2009 16:00:45 -0300 Oi pessoal, tudo bom? Estava olhando uma questão da OBM-U, tinha uma questão de matrizes que dei uma solução, mas gostaria de saber sobre um pedaço da solução oficial, basicamente no meio da solução ele usa que a inversa de uma matriz A é uma função analítica de A. Como se pode demonstrar isso? Alguém sabe um livro que tenha a demonstração? Abraços, Att. Jordan Piva Quer uma internet mais segura? Baixe agora o novo Internet Explorer 8. É grátis! _ Descubra todas as novidades do novo Internet Explorer 8 http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmail&utm_medium=Tagline&utm_campaign=IE8
[obm-l] matrizes
Oi pessoal, tudo bom? Estava olhando uma questão da OBM-U, tinha uma questão de matrizes que dei uma solução, mas gostaria de saber sobre um pedaço da solução oficial, basicamente no meio da solução ele usa que a inversa de uma matriz A é uma função analítica de A. Como se pode demonstrar isso? Alguém sabe um livro que tenha a demonstração? Abraços, Att. Jordan Piva _ Emoticons e Winks super diferentes para o Messenger. Baixe agora, é grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm -l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões de Combinatória. (ajuda)
Tudo bem, isso acontece. Espero ter ajudado tb. Abrcs From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões de Combinatória. (ajuda) Date: Sun, 26 Apr 2009 10:17:09 -0300 Obrigado Rafael e Jordan, foi uma completa falta de desatenção mesmo, acho que eu estava com pressa indo para o show do cézar menotti e fabiano que nem percebi os erros (só pra você ver na q.4, contei a solução 2^6.3^6 e não contei 2^6 nem 3^6). Desculpe pelos erros Vinícius, não vai acontecer de novo. Abraço From: rafael.a...@gmail.com Date: Sat, 25 Apr 2009 13:42:05 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões de Combinatória. (ajuda) To: obm-l@mat.puc-rio.br Existem mais possibilidades a serem removidas na questão 4... Sabemos que se um número é, simultaneamente, um quadrado perfeito e um cubo perfeito, então ele é uma sexta potência. Logo, basta remover todas as sextas potências de 1 a 100=10^6, ou seja, remover 10: Então temos: 1000 + 100 - 10 = 1090. Como o problema pergunta quantos números NÃO são quadrados nem cubos, a resposta é 100-1090 = 998910. 2009/4/24 Joao Maldonado Ola Vinícius, aí vai... 1.) O número não vai começar com 0 e o número deve começar com 53, 54, 56, 57, 6 ou 7. 53, 54, 56 ou 57 -> 4.6!/3! 6 ou 7 -> 2.7!/3! Total = 6.5.4.(4+2.7) = 120.18 = 2160 possibilidades. 2.) 6! = 720 posibilidades (porém nesse resultado o mesmo cubo pode ser encontrado de 6 maneiras somente fazendo uma rotação de um outro cubo), caso contrário seriam 6!/6 = 5! = 120 possibilidades 3.) a) n! b) Caso a minha interpretação esteja correta como voxê colocou a conjunção "e" ao invés da "ou" no final da frase, não poderia acontecer as 3 coisas SIMULTANEAMENTE, ou seja, o primeiro lugar ser o número 1, o segundo o número 2 e o terceiro o número 4 é uma possibilidade válida. Consequentementeteríamos (n-3)! possibilidades da corrida terminar com 1-2-3, assim a resposta é: n! - (n-3)! 4.) Esse quatro é mais legalzinho. OK, quadrado perfeito: 1² = 1 e 1000² = 100 -> Teremos 1000 quadrados perfeitos. cubos perfeitos -> 1³ = 1 e 100³ = 100 -> Teremos 100 cubos perfeitos. Toda quarta potência é um quadrado então consequentemente podemos ignorar esta opção. Temos que tirar os casos em que x² = y³ -> ou seja, x = a1^6k.a2^6k...an^6k e y = b1^6k.b2^6k...bn^6k para todo ai e bi primos (além da solução x=1). Temos no máximo x ou y produto das potências de 2 primos pois 2^6.3^6.5^6 > 100 Temos k = 1 pois: 2^12.3^12 > 100 Possibilidades: (1) ; 2^6.3^6 = (46656) ; 2^6.5^6 = (100) Total = 1000 + 100 - 3 = 1097 possiblidades. Abraço, João --- Em sex, 24/4/09, Vinícius escreveu: De: Vinícius Assunto: [obm-l] Questões de Combinatória. (ajuda) Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 24 de Abril de 2009, 16:21 1. Quantos números inteiros de cinco algarismos distintos e maiores do que 53.000 podemser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? 2. De quantos modos se pode pintar um cubo, usando seis cores fixas distintas, sendo cada face de uma cor? 3. Em uma corrida há n participantes. Antes de a corrida começar, cada participante recebeum número entre 1 e n.a) De quantas maneiras diferentes os participantes podem terminar a corrida? b) De quantas maneiras o 1o lugar NÃO é o participante número 1, o 2o lugar NÃO é oparticipante número 2 e o 3o lugar NÃO é o participante número 3? 4. Quantos inteiros entre 1 e 100, inclusive, não são quadrados perfeitos, nem cubos perfeitos,nem quartas potências perfeitas? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes -- Rafael Quer saber qual produto Windows Live combina melhor com o seu perfil? Clique aqui e descubra! _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demo stracao interessante - equacao do 3o gra u e o último teorema de fermat.
Interessante voltarem nesse assunto, pq curiosamente hj estava lendo um livro do elon de forma despretenciosa (meu professor de matematico e suas historias), um livro ateh entao dedicado a professores do ensino medio, alunos da graduacao (ou ateh do proprio ensino medio) que gostam de matemática. mas eis que me surge o então: Teorema de Gelfond Schneider de forma muito interessante, vejamos: Um problema interessante que muitos devem ter visto no ensino medio eh: quantas raizes tem a equacao 2^x = x^2? Quem jah teve a oportunidade de vê-lo sabe que é um problema bem interessante e que suas solucoes óbvias são: x=2 e x=4, mas o interessante é que quando desenhamos o gráfico dessas funções percebemos que existe uma outra raiz negativa (desenhem). E em geral nos perguntamos como achá-la, depois de um tempo percebemos que o problema não nos pede as solições e sim quantas são as raízes. Bem aqueles que gostam de matemática no mínimo devem ficar intrigados para saber como achar essa raiz de forma analítica (lembremos que no ensino médio não vemos soluções numéricas) e mesmo que tenhamos visto sempre é interessante tentar ter uma idéia algébrica para resolvê-lo, mas aonde quero chegar? Através do Teorema podemos mostrar que não existe solução algébrica para essa equação, vejamos: Primeiro mostramos que x não pode ser racional: se x = -p/q (lembre que pelo grafico sabe-se que x eh negativo) então: 2^(-p/q) = (-p/q)^2 => p^(2q) * 2^p = q^(2p) Quando p é impar temos um número impar de 2 do lado direito enquanto na esquerda temos um número par, absurdo. Se p é par como sempre podemos considerar p/q irredutivel entao q é ímpar assim o lado direito é divisível por 2 mas o esquerdo não, também absurdo. Assim x é irracional. Se existisse solução algébrica, teríamos 2 e x algébricos (sendo x irracional), assim por Gelfonde Schneider: 2^x é transendente. Por outro lado obviamente x^2 é algébrico, absurdo. Assim não existe solução algébrica. Muito legal isso. Tinha até esquecido desse problema. O livro tem várias coisas interessantes, deve ter na internet sei lah. É isso. Abraçs Date: Mon, 27 Apr 2009 13:52:18 -0700 From: bousk...@ymail.com Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá! O Vidal (grande Vidal!) me ensinou o seguinte teorema: Teorema de Gelfond-Schneider: SE “a” e “b” são números algébricos E “b” é irracional, ENTÃO a^b é transcendente (portanto, irracional). Aí é só fazer o caso particular: a=b=sqrt(2) ... algébricos ( x^2=2 ) e irracionais (é óbvio!). Logo, sqrt(2)^sqrt(2) é transcendente (não-algébrico), portanto, irracional. Sds., Albert bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em seg, 27/4/09, Marcelo Salhab Brogliato escreveu: De: Marcelo Salhab Brogliato Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 27 de Abril de 2009, 18:52 Olá Marcone, suponha que sqrt(2)^sqrt(2) sera racional.. logo: sqrt(2)^sqrt(2) = p/q elevando a sqrt(2), temos: [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) = (p/q)^(sqrt(2)) mas [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) = sqrt(2)^(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)^2 = 2 assim: (p/q)^(sqrt(2)) = 2 humm... nao estou conseguindo achar a contradicao.. preciso pensar mais.. hehehe mas tenho que sair agora.. tento novamente de noite.. mas acho q o caminho eh esse.. abraços, Salhab 2009/4/23 marcone augusto araújo borges caiu no provao de 2000:raiz de 2 elevado a raiz de 2 é racional ou irracional?Ja vi na lista,achei q tinha entendido,mas agora tento localizar a explicação e nao consigo From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Date: Thu, 23 Apr 2009 14:20:34 -0300 Muito Obrigado pela resposta Bouskela (posso te chamar assim?), adorei o livro, há muitas coisas interessantes nele. Grande Abraço, João Victor Date: Tue, 21 Apr 2009 10:30:22 -0700 From: bousk...@ymail.com Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá! Lamento não ter respondido antes... Felizmente, o caso particular x^3 + y^3 = z^3 do chamado Último Teorema de Fermat é muito simples. Veja, por exemplo, o item 10.1 - El caso p=3 no livro Teoría de Números do Carlos Ivorra Castillo ( http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf ). Saudações, AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em ter, 14/4/09, Joao Maldonado escreveu: De: Joao Maldonado Assunto: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 14 de Abril de 2009, 21:18 Preciso de ajuda para resolv
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Questões de Comb inatória. (ajuda)
Bem Joao ha um erro na sua solucao p/ questao 2, veja que na realidade teríamos inicialmente 6!=720 formas porém você tem que descontar as rotacoes do cubo. Fixe uma face (como se estivesse segurando o cubo com uma face em sua direção). Com esta face fixa voltada para você quantas rotações podemos fazer? quatro. Como podemos fixar qualquer uma das 6 faces temos um total de 6x4=24 casos repetidos a serem desconsiderados assim: Resp.: 720/24=30 Date: Fri, 24 Apr 2009 16:20:33 -0700 From: joao_maldonad...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questões de Combinatória. (ajuda) To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Vinícius, aí vai... 1.) O número não vai começar com 0 e o número deve começar com 53, 54, 56, 57, 6 ou 7. 53, 54, 56 ou 57 -> 4.6!/3! 6 ou 7 -> 2.7!/3! Total = 6.5.4.(4+2.7) = 120.18 = 2160 possibilidades. 2.) 6! = 720 posibilidades (porém nesse resultado o mesmo cubo pode ser encontrado de 6 maneiras somente fazendo uma rotação de um outro cubo), caso contrário seriam 6!/6 = 5! = 120 possibilidades 3.) a) n! b) Caso a minha interpretação esteja correta como voxê colocou a conjunção "e" ao invés da "ou" no final da frase, não poderia acontecer as 3 coisas SIMULTANEAMENTE, ou seja, o primeiro lugar ser o número 1, o segundo o número 2 e o terceiro o número 4 é uma possibilidade válida. Consequentementeteríamos (n-3)! possibilidades da corrida terminar com 1-2-3, assim a resposta é: n! - (n-3)! 4.) Esse quatro é mais legalzinho. OK, quadrado perfeito: 1² = 1 e 1000² = 100 -> Teremos 1000 quadrados perfeitos. cubos perfeitos -> 1³ = 1 e 100³ = 100 -> Teremos 100 cubos perfeitos. Toda quarta potência é um quadrado então consequentemente podemos ignorar esta opção. Temos que tirar os casos em que x² = y³ -> ou seja, x = a1^6k.a2^6k...an^6k e y = b1^6k.b2^6k...bn^6k para todo ai e bi primos (além da solução x=1). Temos no máximo x ou y produto das potências de 2 primos pois 2^6.3^6.5^6 > 100 Temos k = 1 pois: 2^12.3^12 > 100 Possibilidades: (1) ; 2^6.3^6 = (46656) ; 2^6.5^6 = (100) Total = 1000 + 100 - 3 = 1097 possiblidades. Abraço, João --- Em sex, 24/4/09, Vinícius escreveu: De: Vinícius Assunto: [obm-l] Questões de Combinatória. (ajuda) Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 24 de Abril de 2009, 16:21 1. Quantos números inteiros de cinco algarismos distintos e maiores do que 53.000 podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? 2. De quantos modos se pode pintar um cubo, usando seis cores fixas distintas, sendo cada face de uma cor? 3. Em uma corrida há n participantes. Antes de a corrida começar, cada participante recebe um número entre 1 e n. a) De quantas maneiras diferentes os participantes podem terminar a corrida? b) De quantas maneiras o 1o lugar NÃO é o participante número 1, o 2o lugar NÃO é o participante número 2 e o 3o lugar NÃO é o participante número 3? 4. Quantos inteiros entre 1 e 100, inclusive, não são quadrados perfeitos, nem cubos perfeitos,nem quartas potências perfeitas? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes _ Messenger 2009: Instale já! http://download.live.com
RE: [obm-l] 6 amigos no cinema
Na realidade tem alguns erros nessa sua ideia, eu acho. Repare que para resolver a parte 1) você não escolheu as moças que sentariam juntas e aih você pode pensar que para concertar isso era só multiplicar por C3,2 e aí você chegaria ao seguinte resultado 240 x C3,2 = 720, mas como? o mesmo que o total? Isso é simples, repare que ao fazer essa escolha de 2 pessoas você pode ter escolhido M1 e M2 para sentarem juntas porém quando você considera a permutação dos 5 (o bloco M1M2 a mulher M3 e os homens H1 H2 H3) vão ter casos em que M3 estará do lado do bloco M1 e M2, então aparecerá por exemplo o bloco M2M3 nesses casos. Agora considere que na escolha das 2 mulheres tenha sido M2 e M3 assim quando você considerar a nova permutação dos 5 teremos ainda terá o bloco M2 e M3, ou seja, alguns casos foram considerados 2 vezes, e por isso está dando o mesmo que o total. Como resolver a parte (1) então? Nela você quer o número de formas que dados 3 rapazes e 3 moças termos 2 mocas sentadas juntas certo? Considere o problema contrário o de não ter duas moças juntas. Teríamos: _H1_H2_H3_ Teríamos que escolher dentre esses 4 espaços 3 para entrarem as mulheres: C4,3 depois considerar as permutaçoes de rapazes e moças assim no total: C4,3 x 3! x 3! = 144 Sendo assim a resposta de (1) seria: 720-144=576 e não 240. O mesmo problema acontece em (2) e pensando dessa forma começaria a ficar muito mais dificil, acredito que a solução que deram foi bem melhor. Acho que é isso. Vlw, Jordan Piva Date: Fri, 20 Mar 2009 09:42:24 -0300 Subject: Re: [obm-l] 6 amigos no cinema From: palmerimsoa...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br OPS! quem escreveu o texto abaixo fui eu Palmerim. Enviei sem querer pelo e-mail do meu amigo Ney Falcao quando tentava ajuda-lo a resolver a questão. Afinal, a resposta é 72 ou 144, amigos? Palmerim 2009/3/20 Ney Falcao Olá Ney, Paulo Cesar e Rafael Geralmente há mais de uma forma de resolver esses problemas, e algumas vezes acabamos deixando escapar algum detalhe (deve ser por isso que muitos alunos "odeiam" análise combinatória). Devo ter deixado escapar algum detalhe, porque a solução está parecendo outra para mim, mas não consigo detectar a falha. Ajudem-me, se for possível. Analisei da seguinte forma: 1) Se os rapazes e as moças pudessem se sentar em qualquer das seis poltronas e do lado de quem quisessem (independente do sexo) então seria um problema trivial de permutação, teríamos 6! = 720. Mas como duas moças devem estar sempre juntas, podemos considerar as duas moças como se fossem uma só pessoa, e assim, ao invés de 6 pessoas, contaríamos 5 pessoas e teríamos 5! = 120. Só que as duas moças podem permutar entre si (2! = 2) e para cada permutação das moças teremos as 120 permutações do grupo todo. Portanto, há 2 x 120 = 240 grupamentos que podem ser formados onde duas moças estão sempre juntas. 2) Só que entre esses possíveis 240 grupamentos estão incluídos aqueles onde há dois rapazes sempre juntos também. Então, precisamos retirar todos os grupamentos que contém 2 rapazes juntos e também contém 2 moças juntas e assim restarão só os grupamentos onde há 2 moças juntas, mas não há 2 rapazes juntos, certo? 3) Agora, para calcular quantos grupamentos podemos formar onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas, podemos fazer como fizemos para o cálculo anterior: consideramos 2 moças como se fossem 1 só pessoa e consideramos dois rapazes come se fossem 1 só pessoa. Neste caso, então, das 6 pessoas passaríamos a ter apenas 4 “pessoas’ para permutar, ou seja, 4! = 24. Mas, não podemos esquecer que os dois rapazes que estão juntos podem permutar entre si (2!=2) e o mesmo se dá com as duas moças juntas (2!=2). Assim, teremos 24 X 2 X 2 = 96 grupamentos onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas. 4) Finalmente, 240 – 96 = 144. A pergunta agora é: onde foi que eu errei??? Abraços Palmerim Seis amigos vão ao cinema, sendo 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que duas moças estejam sempre juntas e dois rapazes nunca estejam juntos? _ Windows Live Messenger. O melhor em multitarefa. http://www.microsoft.com/windows/windowslive/products/messenger.aspx
RE: [obm-l] 6 amigos no cinema
Na realidade tem alguns erros nessa sua ideia, eu acho. Repare que para resolver a parte 1) você não escolheu as moças que sentariam juntas e aih você pode pensar que para concertar isso era só multiplicar por C3,2 e aí você chegaria ao seguinte resultado 240 x C3,2 = 720, mas como? o mesmo que o total? Isso é simples, repare que ao fazer essa escolha de 2 pessoas você pode ter escolhido M1 e M2 para sentarem juntas porém quando você considera a permutação dos 5 (o bloco M1M2 a mulher M3 e os homens H1 H2 H3) vão ter casos em que M3 estará do lado do bloco M1 e M2, então aparecerá por exemplo o bloco M2M3 nesses casos. Agora considere que na escolha das 2 mulheres tenha sido M2 e M3 assim quando você considerar a nova permutação dos 5 teremos ainda o bloco M2 e M3, ou seja, alguns casos foram considerados 2 vezes, e por isso está dando o mesmo que o total. Como resolver a parte (1) então? Nela você quer o número de formas que dados 3 rapazes e 3 moças termos 2 mocas sentadas juntas certo? Considere o problema contrário o de não ter duas moças juntas. Teríamos: _H1_H2_H3_ Teríamos que escolher dentre esses 4 espaços 3 para entrarem as mulheres: C4,3 depois considerar as permutaçoes de rapazes e moças assim no total: C4,3 x 3! x 3! = 144 Sendo assim a resposta de (1) seria: 720-144=576 e não 240. O mesmo problema acontece em (2) e pensando dessa forma começaria a ficar muito mais dificil, acredito que a solução que deram foi bem melhor. Acho que é isso. Vlw, Jordan Piva Date: Fri, 20 Mar 2009 09:42:24 -0300 Subject: Re: [obm-l] 6 amigos no cinema From: palmerimsoa...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br OPS! quem escreveu o texto abaixo fui eu Palmerim. Enviei sem querer pelo e-mail do meu amigo Ney Falcao quando tentava ajuda-lo a resolver a questão. Afinal, a resposta é 72 ou 144, amigos? Palmerim 2009/3/20 Ney Falcao Olá Ney, Paulo Cesar e Rafael Geralmente há mais de uma forma de resolver esses problemas, e algumas vezes acabamos deixando escapar algum detalhe (deve ser por isso que muitos alunos "odeiam" análise combinatória). Devo ter deixado escapar algum detalhe, porque a solução está parecendo outra para mim, mas não consigo detectar a falha. Ajudem-me, se for possível. Analisei da seguinte forma: 1) Se os rapazes e as moças pudessem se sentar em qualquer das seis poltronas e do lado de quem quisessem (independente do sexo) então seria um problema trivial de permutação, teríamos 6! = 720. Mas como duas moças devem estar sempre juntas, podemos considerar as duas moças como se fossem uma só pessoa, e assim, ao invés de 6 pessoas, contaríamos 5 pessoas e teríamos 5! = 120. Só que as duas moças podem permutar entre si (2! = 2) e para cada permutação das moças teremos as 120 permutações do grupo todo. Portanto, há 2 x 120 = 240 grupamentos que podem ser formados onde duas moças estão sempre juntas. 2) Só que entre esses possíveis 240 grupamentos estão incluídos aqueles onde há dois rapazes sempre juntos também. Então, precisamos retirar todos os grupamentos que contém 2 rapazes juntos e também contém 2 moças juntas e assim restarão só os grupamentos onde há 2 moças juntas, mas não há 2 rapazes juntos, certo? 3) Agora, para calcular quantos grupamentos podemos formar onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas, podemos fazer como fizemos para o cálculo anterior: consideramos 2 moças como se fossem 1 só pessoa e consideramos dois rapazes come se fossem 1 só pessoa. Neste caso, então, das 6 pessoas passaríamos a ter apenas 4 “pessoas’ para permutar, ou seja, 4! = 24. Mas, não podemos esquecer que os dois rapazes que estão juntos podem permutar entre si (2!=2) e o mesmo se dá com as duas moças juntas (2!=2). Assim, teremos 24 X 2 X 2 = 96 grupamentos onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas. 4) Finalmente, 240 – 96 = 144. A pergunta agora é: onde foi que eu errei??? Abraços Palmerim Seis amigos vão ao cinema, sendo 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que duas moças estejam sempre juntas e dois rapazes nunca estejam juntos? _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger! http://www.amigosdomessenger.com.br/
