RES: [obm-l] probabilidade

[Luiz Viola]

P(X=5) = (10!/(5!(10-5)!)) x (0,5)^5 x (0,5)^5

 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Klaus Ferraz
Enviada em: domingo, 27 de
novembro de 2005 17:14
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] probabilidade

 



qual a probabilidade de
sair cinco caras quando eu jogo 10 vezes uma moeda. Independente da ordem.









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RES: [obm-l] Cadeia de Markov

[Luiz Viola]

não endentipq 2,3?

 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Gabriel Haeser
Enviada em: sábado, 26 de novembro
de 2005 21:50
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Cadeia de
Markov

 

sendo
P a matriz dada, basta encontrar o elemento 2,3 do limite P^n.



On 11/26/05, Luiz Viola <[EMAIL PROTECTED] > wrote:



Uma cadeia de Markov tem a seguinte matriz de
transição (nos estados 0, 1 e 2):

 

0.4  
0.4   0.2

0.6  
0.2   0.2

0.4  
0.2   0.4

 

Depois de um longo período de tempo, você observa a
cadeia e percebe que esta está no estado 1. Qual a probabilidade condicional de
que o estado anterior tenha sido o estado 2? Isto é, encontre

 

 

lim(n->∞)P(Xn-1=2|Xn=1)

 

Este é um problema sobre o comportamento de uma
Cadeia de Markov no longo prazo. Se alguém puder me ajudar, agradeço!!!

 

Abraço a todos!!

 

 

 





 







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[obm-l] Cadeia de Markov

[Luiz Viola]

Uma cadeia de Markov tem a seguinte matriz de transição (nos
estados 0, 1 e 2):

 

0.4   0.4   0.2

0.6   0.2   0.2

0.4   0.2   0.4

 

Depois de um longo período de tempo, você observa a cadeia e
percebe que esta está no estado 1. Qual a probabilidade condicional de que o
estado anterior tenha sido o estado 2? Isto é, encontre

 

 

lim(n->∞)P(Xn-1=2|Xn=1)

 

Este é um problema sobre o comportamento de uma Cadeia de Markov
no longo prazo. Se alguém puder me ajudar, agradeço!!!

 

Abraço a todos!!

 

 

 

[obm-l] (Urgente) Mais estatística...

[Luiz Viola]

Pessoal, obrigado com a ajuda nos dois últimos problemas...desculpe
encher a lista de estatística, mas esses exercícios estão me matando!
Esse é o último, prometo!

Let U1, U2, U3, be independent uniform random variables

a) Find the joint density of U(1), U(2), U(3) --> Esses índices são
subescritos...eu não entendi o porque do parênteses se no enunciado não
tem.

b) The locations of three gas stations are independently and randomly
placed along a mile of highway. What is the probability that two gas
stations are less than 1/3 mile apart?

Um abraço a todos!!!

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Artur Costa Steiner
Enviada em: quinta-feira, 17 de novembro de 2005 10:56
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] Mais estatística...

Este termo middle half eh de lascar... A traducao literal seria metade
do
meioJa vi middle third, mas nunca middle half.

Admitindo-se distribuicao uniforme, entao a probabilidade de que um
ponto
esteja em um intervalo de comprimento 0,5 eh 0,5/1 = 0,5. Admitindo-se
independencia entre as escolhas dos diversos pontos, a probabilidade de
que
todos estejam no intervalo desejado eh (0,5)^p.

Artur  

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Ricardo Bittencourt
Enviada em: quinta-feira, 17 de novembro de 2005 01:23
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Mais estatística...


Luiz Viola wrote:
> 
> Se 5 números são escolhidos aleatoriamente no intervalo [0,1], qual a 
> probabilidade de que todos estejam na primeira metade do intervalo?
> Obs: Não sei se traduzi certo. O problema original é: “If five numbers

> are chosen ar random in the interval [0,1], what is the probability
that 
> they all lie in the middle half of the interval?

"Middle half of the interval" é [0.25,0.75], mas no
fim das contas dá na mesma que [0,0.5] ou qualquer outro intervalo
contínuo de comprimento 0.5. A probabilidade pedida é 0.5^p, onde
p é o número de pontos.


Ricardo Bittencourt   http://www.mundobizarro.tk
[EMAIL PROTECTED]  "kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita"
-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=


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[obm-l] Mais estatística...

[Luiz Viola]

Se 5 números são escolhidos aleatoriamente no intervalo
[0,1], qual a probabilidade de que todos estejam na primeira metade do
intervalo?

 

Obs: Não sei se traduzi certo. O problema original é: “If
five numbers are chosen ar random in the interval [0,1], what is the probability
that they all lie in the middle half of the interval?

 

Abraços a todos!!

[obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] Estatística

[Luiz Viola]

Isso!!! Obrigado!!!

 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de leonardo maia
Enviada em: segunda-feira, 7 de
novembro de 2005 09:36
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Re:[obm-l]
Estatística

 

A
variável P a que ele se refere é contínua, com densidade f(p)=1. E, como X é
Bernoulli de parâmetro p, Prob(X=0 | p) = 1-p  e Prob(X=1 | p) = p. Com
isso,

Prob(x) = int[0,1] Prob(x|p) f(p) dp = ...

... int[0,1] (1-p) dp = 1/2, se x=0   ou

... int[0,1] p dp = 1/2, se x=1.

Pela definição de prob condicional,

f(p|x) = Prob(x|p) f(p) / Prob(x) = ...

... 2(1-p), se x=0   ou

... 2p, se x=1.

Espero que esteja claro. []'s, Leo.



On 11/6/05, Luiz H. Barbosa <[EMAIL PROTECTED]> wrote:





Você quer a distribuição conjunta
de P e X ?Se for...





 





P\X   |  0 |
1   | P(p)|











O
| 1/4|1/4| 1/2 |











1 
| 1/4|1/4| 1/2|











P(x)  |1/2 |1/2 |  1 | 











 





 





 





-- Início da mensagem
original --- 





De: [EMAIL PROTECTED]






Para: "Lista de mat" obm-l@mat.puc-rio.br






Cc: 





Data: Sun, 6 Nov 2005 11:57:14
-0200 





Assunto: [obm-l] Estatística 







> Pessoal, estou com esse
problema em distribuições conjuntas. Se alguém 





> puder me dar uma luz... 





> 





> 





> 





> P tem distribuição uniforme em
(0,1) e dado P=p, X tem distribuição de 





> Bernoulli com parâmetro p.
Encontre a distribuição condicional de P dado 





> X. 





> 





> 





> 





> Abraços!! 





> 





> 











 







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[obm-l] Estatística

[Luiz Viola]

Pessoal, estou com esse problema em distribuições conjuntas.
Se alguém puder me dar uma luz...

 

P tem distribuição uniforme em (0,1) e dado P=p, X tem
distribuição de Bernoulli com parâmetro p. Encontre a distribuição condicional
de P dado X.

 

Abraços!!

[obm-l] Poisson

[Luiz Viola]

Pessoal, se alguém puder me ajudar no item (ii)...

No item (i) achei P(X>4) = 1 – 8.5e^3 = 0.575

 

 

O número de aviões que chegam por hora em determinado
aeroporto possui distrib. de Poisson com parâmetro lambda = 3. A capacidade máxima
do aeroporto é de 4 aviões. 

 

(i)  
Calcule a probabilidade de que durante uma hora o
aeroporto não consiga acomodar todos os aviões que chegam.

(ii)
Qual deveria ser a capacidade mínima do aeroporto
para que em pelo menos 90% das horas ele acomode todos os aviões que chegam?

 

Obs: e^3 = 0,050

 

Abraços!

[obm-l] Densidade da Gama

[Luiz Viola]

Mostre que a integral da densidade de uma Gama com parametros
alfa e lambda é igual a 1.

 

 

Bom, eu usei integração por partes e lá no final encontrei
que a integral da densidade de uma gama é:

 

-(b^a) (e^(-bx)) (x^a) (Soma k=0 até infinito: x^(-k-1) / (a-(k+1))!)

 

onde:

 

alfa = a

lambda = b

 

Se não errei, teria que mostrar que essa coisa aí em cima é igual a 1.
Esse somatório significa alguma coisa?

 

Abraços a todos

Luiz

[obm-l] Cadeias de Markov

[Luiz Viola]

Alguém pode me ajudar? Como encontrar E(T|Xo=1) em uma cadeia de Markov?
T é o primeiro tempo de visita ao estado estacionário. Expectativas
iteradas...é isso? Mas o que são expectativas iteradas?? 

Abraços


=
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=

[obm-l] RES: [obm-l] (OFF-TOPIC) Bolsas de Iniciação C ientífica

[Luiz Viola]

Veja se ajuda...

 

http://www.impa.br/eventos/2005_jornadas_iniciacao_cientifica_no_impa.html

 

Abraço

 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Alan Pellejero
Enviada em: sábado, 17 de setembro
de 2005 10:16
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] (OFF-TOPIC)
Bolsas de Iniciação Científica

 



Caros colegas, 





desculpem-me o off-topic
novamente. 





Sou estudante do terceiro
ano de licenciatura em matemática, da unespar-fafija, em jacarezinho-pr.





Eu gostaria de saber como
se faz para conseguir bolsas de iniciação científica para graduação.
Infelizmente os professores daqui não sabem muito bem os procedimentos para
isso.





Procurei na internet, mas
só achei para mestrado e doutorado, nada com relação à graduação.





Possuo o interesse de
iniciar um projeto, mas falta um complemento na parte financeira...Por isso,
pensei na bolsa.





Fico muito grato àquele
que me responder!





Alan Uchoa Pellejero





Ps: Caso não seja
incômodo, mandem a resposta para [EMAIL PROTECTED]
, pois acesso com mais frequencia. 





Grato!









Novo Yahoo! Messenger com
voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale
agora!







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RES: [obm-l] CONJUNTOS

[Luiz Viola]

B = C U D, onde C = (B inter Acomplementar) e D = (A inter B)

 

A - B = {x | x E A e x ñE B} = {x | x E A e x ñE (C
U D)} = {x | x E A e x ñE C e ñE D} = {x | x E A e ñE D} = A –
D = A - (A inter B)

 

Acho que é isso, se não for, me corrijam...

Abraços a todos

 

 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Miguel Mossoro
Enviada em: sexta-feira, 9 de
setembro de 2005 20:04
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] CONJUNTOS

 



Olá a todos.





 





Quero provar que A - B =
A - (A inter B)





 





Usando o diagrama de venn
é fica fácil. Entretanto, eu queria provar por uma forma analítica. Eu cheguei
ao seguinte resultado:





 





Partindo do 2º membro:





A - (A inter B) = {x
| x E A e x ñE (A inter B) } = {x | x E A e (x ñE A e
x ñE B) } = vazio ???





 





Como é o procedimento
para responder nesse estilo??





 





Agradeço antecipadamente,





Mossoro



__
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[obm-l] RES: [obm-l] Somatório

[Luiz Viola]

dois caras quaisquer...uma constante...pode substituir por "a"
Abraço

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Enviada em: segunda-feira, 5 de setembro de 2005 22:37
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Somatório

Quem e esse Bp?

--- Luiz Viola <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:

> (Somatório de n=1 até infinito) [(n+k-1)C(k) x
> (Bp)^(n-1)] =
> (1-Bp)^(-k-1)
> 
>  
> 
> OBS: (n+k-1)C(k) -> Combinatória de n+k-1 tomado k a
> k
> 
>  
> 
> Porquê
> 
>  
> 
> 









___ 
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=
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=

[obm-l] Estatística

[Luiz Viola]

Os homens têm mais irmãs do que as mulheres?

Numa sociedade, os casais fazem o seguinte pra determinar o número de
filhos que terão:

Se o primeiro for menina, eles não têm mais filhos.
Se o primeiro for menino, eles têm uma segunda criança.

Se o segundo for menina, eles não têm mais filhos.
Se o segundo for menino, eles têm exatamente mais uma criança.

(ignoramos gêmeos, os sexos são equiprováveis e o sexo de crianças
diferentes são VAs independentes)

a)Qual a distribuição de probabilidades para o número de crianças na
família?

Achei P(X=x) = (1/2)^x  ;   x=1,2,3

b)Qual a distribuição de probabilidades para o número de meninas na
família?

Achei   P(X=0) = 1/8
P(X=1) = 7/8

c)Um menino é escolhido aleatoriamente dentre todos os meninos da
população. Qual a distribuição de probabilidades do número de irmãs
desse menino? Qual a dist. de probabilidades do número de irmãos?
???

abraços!!






=
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=

[obm-l] Somatório

[Luiz Viola]

(Somatório de n=1 até infinito) [(n+k-1)C(k) x (Bp)^(n-1)] =
(1-Bp)^(-k-1)

 

OBS: (n+k-1)C(k) -> Combinatória de n+k-1 tomado k a k

 

Porquê

 

[obm-l] Problema das velas

[Luiz Viola]

Faltou luz. Daí acendi 2 velas. Quando a luz voltou, apaguei
as velas. Sendo elas do mesmo tamanho, a primeira tinha autonomia de 3 horas,
enquanto que a outra tinha autonomia de 5 horas. Depois de apagadas notei que o
resto de uma tinha o dobro do resto de outra. Quanto tempo eu fiquei sem luz?

[obm-l] Matrizes

[Luiz Viola]

Pessoal, preciso trabalhar com matrizes de ordens grandes
(>4000). Alguém saberia de algum programinha simples para se fazer operações
elementares tipo transposição, multiplicação, inversão...?

 

Abraço

RES: [obm-l] Probabilidade

[Luiz Viola]

Bernardo, brigadão! Acho que entendi

Mas pq vc diz:

" Agora, veja que temos que calcular a probabilidade de a professora
dizer "C. vai ficar". Ora, se D. sai, isso é 1/2; se J. sai, isso é 1."?

Eu veria isso de cara como P("C. vai ficar") = 1/2

Aqui vc usa a lei da probabilidade total?

P("C. vai ficar") = 1/2* 1/3 + 1/3 = 1/2

PS: Eu nem me liguei no dado impossível de 3 lados. Pior que no livro
que propõe esse problema (Rice, J.; Mathematical Statistics 2ed), o
autor mesmo é quem diz: " ...she has made the decision as to who will
leave and who will stay at random by rolling a special three-sided
Dungeons end Dragons die."

hehehe...abraço!

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa
Enviada em: domingo, 28 de agosto de 2005 12:43
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Probabilidade

Só pra perturbar: como você faz um poliedro de 3 faces?? Eu conheço 4
lados (um tetraedro!) mas dos meus tempos de D&D, eu n~ao lembro
deste! Bom, ela poderia fazer um lançamento de um dado de 6 faces e
dizer
 1 ou 2 => 1
 3 ou 4 => 2
 5 ou 6 => 3
ou qualquer coisa assim, (outra soluç~ao: mod 3)

Bom, pro seu problema, o D. sabe que um dos dois vai ficar (o que é
normal, já que só um sai, se eu entendi). O dado pode ter dado que D.,
C., ou J. sai, com probabilidade 1/3 para cada um. A professora, ao
responder que C. fica (por exemplo) contempla dois casos: D. foi
sorteado e J. foi sorteado. O simétrico acontece se ela responde que
J. fica. Repare que no caso de D. ter sido sorteado, a professora pode
falar qualquer coisa, o que n~ao muda a probabilidade de ele já ter
sido sorteado antes (repare, o lançamento de dados já aconteceu, a
probabilidade de D. ter saido é a mesma, 1/3, sempre):
P(D. sai | "C. vai ficar") =
P("C. vai ficar" | D. sai ) *P(D. sai)/P("C. vai ficar") =
 1/2*1/3 / P("C. vai ficar")
Aqui eu suponho que, se D. sai, a professora responde "C. vai ficar"
ou "J. vai ficar" com igual probabilidade...
Agora, veja que temos que calcular a probabilidade de a professora
dizer "C. vai ficar". Ora, se D. sai, isso é 1/2; se J. sai, isso é 1.
Logo, temos 1/2* 1/3 + 1/3 = 1/6 + 1/3 = 1/2. Assim, temos que P(D.
sai | "C. vai ficar") = 1/2 * 1/3 / (1/2) = 1/3, como antes.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On 8/28/05, Luiz Viola <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Parece simples...mas não consegui enquadrar o problema...se alguém
tiver
> uma luz...agradeço...
> 
> Abraço a todos.
> 
> 
> Uma professora diz a 3 meninos (D. C. e J.) que dois deles ficarão
> depois da aula para ajuda-la a limpar apagadores. Ela disse que vai
> decidir quem pode sair e quem fica na sorte, lançando um dado de 3
lados
> (tipo D&D).
> 
> D. é esperto e tem uma idéia: Ele percebe que C. e J. certamente vão
ter
> que ficar e pergunta à professora dente eles, quem fica. Assim, ele
> pensa, se C. é nomeado, ele disputa com J. quem vai sair e cada um tem
> probabilidade 1/2 de conseguir. Por outro lado, se J. é nomeado, ele
> disputa com a saída com C. também com prob. 1/2.
> 
> Assim, apenas perguntando para a professora, D. aumenta suas chances
de
> sair de 1/3 para 1/2.
> 
> Ele está pensando corretamente?
> 
> 
>

=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>

=
>


=
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=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Probabilidade

[Luiz Viola]

Parece simples...mas não consegui enquadrar o problema...se alguém tiver
uma luz...agradeço...

Abraço a todos.


Uma professora diz a 3 meninos (D. C. e J.) que dois deles ficarão
depois da aula para ajuda-la a limpar apagadores. Ela disse que vai
decidir quem pode sair e quem fica na sorte, lançando um dado de 3 lados
(tipo D&D).

D. é esperto e tem uma idéia: Ele percebe que C. e J. certamente vão ter
que ficar e pergunta à professora dente eles, quem fica. Assim, ele
pensa, se C. é nomeado, ele disputa com J. quem vai sair e cada um tem
probabilidade 1/2 de conseguir. Por outro lado, se J. é nomeado, ele
disputa com a saída com C. também com prob. 1/2.

Assim, apenas perguntando para a professora, D. aumenta suas chances de
sair de 1/3 para 1/2. 

Ele está pensando corretamente?


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

[obm-l] Técnicas de contagem

[Luiz Viola]

Problema de probabilidade:

 

Um grupo de 12 pessoas sendo que:

 

5 Latinos

2 Asiáticos

3 Afro-americanos

2 Caucasianos

 

a) Qual a probabilidade de que, selecionadas 4 pessoas, os 4
grupos étnicos estejam presentes na seleção.

 

A resposta: (5x2x3x2) / (12C4)

“Entendi mais ou menos. Acho que pelo princípio
multiplicativo a resposta para o numerador é essa. Mas a ordem dos integrantes
aqui não é importante, porque o numerador é (5x2x3x2)?? Não deveria entrar uma
combinatória aqui? Não consigo enxergar...

 

b) A mesma pergunta do item a, porém para uma seleção de 5
pessoas.

 

A resposta é:

 

Casos favoráveis: (5C2)x2x3x2 + 5x(2C2)x3x2 + 5x2x(3C2)x2 +
5x2x3x(2C2) = 240

Casos possíveis: 12C5

 

“Tudo bem, entendi. Mas a questão é: porque utilizamos
5x2x3x2 para os casos favoráveis do item a e quando fazemos (acredito que esse
seja um erro comum)

5x2x3x2x8 = 480 para os casos favoráveis do item b, o
resultado é exatamente o dobro? É um erro de dupla contagem? Tive dificuldade
para explicar esse problema a uma aluna na aula de monitoria...Se alguém puder
me ajudar...agradeço bastante”

 

Um abraço a todos!

ENC: [obm-l] Problema do casal de filhos

[Luiz Viola]

A solução do livro é tal como a abaixo,
proposta por Thiago Kufner, publicada na nossa lista.

Mas eu não consigo aceitar naturalmente...

 

Abraço

Viola

 



Digamos que H representa um filho homem e M uma filha mulher.
Como o casal teve dois filhos, as possibilidades são (na ordem mais velha, mais
nova):

H, H
H, M
M, H
M, M

Na primeira situação descrita no problema, sabemos que a criança mais velha é
um menino. Só podemos ter duas das quatro situações acima:

H, M
H, H

Ou seja, para a outra criança (a mais nova) ser um menino, só há uma situação
entre duas possíveis. Por isso que a probabilidade é 1/2.

Na segunda situação, só sabemos que uma das duas crianças é menino. Ou seja,
das quatro situações possíveis, estamos lidando com apenas três (as que possuem
no mínimo um H):

H, H
H, M
M, H

Assim, temos apenas 1 entre 3 possibilidades que satisfazem o enunciado.
Portanto, para a situação 2, a probabilidade é 1/3.

[]'s
Kufner





 

RES: RES: [obm-l] Problema do casal de filhos

[Luiz Viola]

Intuitivamente pra mim é 1/2. Acho que para a maioria das pessoas a quem
eu propus o problema também responderam 1/2. O livro porém apresenta a
resposta 1/3, tal como propuseram a solução aqui na lista... eu não
consigo aceitar 1/3...nem fazendo força...

Abraço!
Viola

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: segunda-feira, 22 de agosto de 2005 13:29
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Problema do casal de filhos

On Sun, Aug 21, 2005 at 10:37:09PM -0300, Luiz Viola wrote:
>  Um homem visita um casal que tem dois filhos. Uma das crianças, um
> menino, vem à sala. Encontre a probabilidade (p) de o outro ser
> também um
> menino, se
> 
>  (i) sabe-se que a outra criança é mais nova
> 
> (ii) nada se sabe sobre a outra criança
> 
>  A resposta do item (ii) não é 1/2 Alguém consegue enxergar por
> que

Para mim a resposta correta é 1/2 sim (para ambos os itens) e
o raciocínio que foi apresentado para chegar a outro valor está
equivocado.
Tudo isto com suposições que me parecem naturais e que não vou
explicitar.
Pq exatamente você acha que a resposta deveria ser diferente de 1/2?

[]s, N. 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

=

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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RES: [obm-l] Problema do casal de filhos

[Luiz Viola]

Caramba...chegamos a um consenso?

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Fábio Dias Moreira
Enviada em: domingo, 21 de agosto de 2005 21:54
Para: Thyago A. Kufner
Assunto: Re: [obm-l] Problema do casal de filhos

[21/08/2005, [EMAIL PROTECTED]:
> [21/08/2005, [EMAIL PROTECTED]:
>> 
>>  Um homem visita um casal que tem dois filhos. Uma das crianças, um
>> menino, vem à sala. Encontre a probabilidade (p) de o outro ser
também um
>> menino, se
>> 
>>  (i) sabe-se que a outra criança é mais nova
>> 
>> (ii) nada se sabe sobre a outra criança
>> 
>>  A resposta do item (ii) não é 1/2 Alguém consegue enxergar por
>> que
>> 
> Digamos que H representa um filho homem e M uma filha mulher.
> Como o casal teve dois filhos, as possibilidades são (na ordem mais
velha,
> mais nova):

> H, H
> H, M
> M, H
> M, M

> Na primeira situação descrita no problema, sabemos que a criança mais
velha
> é um menino. Só podemos ter duas das quatro situações acima:

> H, M
> H, H

> Ou seja, para a outra criança (a mais nova) ser um menino, só há uma
> situação entre duas possíveis. Por isso que a probabilidade é 1/2.

> Na segunda situação, só sabemos que uma das duas crianças é menino. Ou
seja,
> das quatro situações possíveis, estamos lidando com apenas três (as
que
> possuem no mínimo um H):

> H, H
> H, M
> M, H

> Assim, temos apenas 1 entre 3 possibilidades que satisfazem o
enunciado.
> Portanto, para a situação 2, a probabilidade é 1/3.

> []'s
> Kufner
> www.cursinho.hpg.com.br 

Sim, mas nos casos (H, M) e (M, H) a probabilidade do menino, e não a
menina, entrar na sala, é 1/2 (afinal de contas, o enunciado não diz
nada que poderia sugerir uma assimetria entre um eventual menino e uma
eventual menina). Logo os três casos que você mostrou *não têm* a
mesma probabilidade -- a probabilidade desses dois casos é, digamos,
x, e, como a probabilidade de um menino entrar no caso (H, H) é o
dobro da dos outros casos, a probabilidade de (H, H) é 2x. Como a soma
das probabilidades é 1,

x + x + 2*x = 1 <=>
x = 1/4 <=>
2*x = 1/2.

Essa é, na realidade, uma aplicação do Teorema de Bayes -- o argumento
que eu fiz acima foi uma versão intuitiva da demonstração formal:

http://mathworld.wolfram.com/BayesTheorem.html

(E, de fato,

(1/4*1)/(1/4*1/2+1/4*1/2+1/4*1) = 1/2

como se poderia esperar.)

[]s,

-- 
Fábio Dias Moreira


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Problema do casal de filhos

[Luiz Viola]

Um homem visita um casal que tem dois filhos. Uma das
crianças, um menino, vem à sala. Encontre a probabilidade (p) de o outro ser
também um menino, se

 

(i)  
sabe-se que a outra criança é mais nova

(ii)
nada se sabe sobre a outra criança

 

A resposta do item (ii) não é 1/2 Alguém consegue
enxergar por que

[obm-l] Probabilidades

[Luiz Viola]

Será que alguém me ajuda com esses dois problemas 
de probabilidades? Sei que pode parecer trivial para vocês mas sou da área de 
economia e não tenho tanta intimidade assim com a matemática.
 
1) Provar que:
 
 P(A1 U A2 U ... U An) =< 
P(A1)+P(A2)+...+P(An)
 
 
2) Provar que
 
    P(A1 U A2 U ... U An) = (S 
i)P(Ai) - (S i
 
    S i é o somatório com índice 
i
 
 
Acho que essa última prova surge por indução não? 
Desculpem-me se a notação ficou bagunçada. Foi a melhor maneira que eu 
consegui para escrever as igualdades...
 
Abraços