[obm-l] TEORIA DOS CONJUNTOS - Problema
Bom dia senhores,
Eu precisava de uma ajuda meio urgente para alguns problemas de Teoria dos
Conjuntos. Vou enunciar os problemas e qualquer ajuda é muito bem vinda!!!
1) Sobre a Hierarquia Cumulativa dos conjuntos e o Axioma da Regularidade:
Define-se por recursão transfinita nos ordinais a hierarquia Cumulativa de
von Neuman V_a, para cada orinal a, da seguinte maneira:
(i) se a = 0 então V_a = { }
(ii) se a = B+ então V_a = P(V_B);
(iii) se 0 a = Ua então V_a = U{V_g:ga}.
a) Mostre, por indução transfinita nos ordinais, que V_a é conjunto
transitivo, para todo ordinal a.
b) Mostre que V_w é um conjunto que satisfaz o axioma do infinito
c) Mostre que são equivalentes:
- Todo conjunto pertence a algum V_a, para algum ordinal a.
- Vale o Axioma da regularidade: para todo conjunto X { } existe y E X
tal que y (inter) X = { }
d)Considere as sentensas:
i- O axioma da regularidade
ii- Não existe sequencia infinita do tipo ... E x_(n+1) E x_n E ... E x_1 E
x_0
Verifique que i = ii. Agora utilize o axioma da escolha e o teorema da
recursão para mostrar que ii = i
_-
OBRIGADO A TODOS!
Maurizio
[obm-l] DOIS PROBLEMAS!!
Dada uma sequencia finita de números inteiros positivos a1,a2,...,an, não necessariamente distintos, mostre que existe ao menos uma subsequencia cuja soma dos termos é divisível por n. Fatore 5^1985 - 1 num produto de tres numeros inteiros maiores que 5^100 Bom fds a todos!!! Grato, Maurizio
[obm-l] 2 PROBLEMAS - AJUDEM!
1. Seja P(x) um polinômio com coeficientes inteiros tal que P(0) = P(1) = 1. Considere x0 um inteiro qualquer e defina xn+1 = P(xn) para todo n = 0, 1, 2, 3,.. Prove que, para i diferente de j, xi e xj são primos entre si. 2. Seja f : N* à N* com f(n+1) f(f(n)) para todo n pertencente aos N*. Prove que f(n)=n. Desde já agradeço qualquer ajuda!! Obrigado, Maurizio
Re: [obm-l] PROBLEMA DO CAVALO
Obrigado! Adorei os links 2008/4/25 Arlane Manoel S Silva [EMAIL PROTECTED]: Oi Maurício. Acho que estava enganado quanto ao resultado que dei. Errei nas contas. Desculpas. Tenho uma nova solução elementar. Dê uma olhada. http://www.linux.ime.usp.br/~arlane/elet.pdfhttp://www.linux.ime.usp.br/%7Earlane/elet.pdf inté, Citando MauZ [EMAIL PROTECTED]: Boa noite Arlane, Eu pensei um pouco sobre o problema e tudo que você disse eu pensei, o dificil pra mim foi realmente fazer as contas... Eu pensei também da seguinte forma: pego um semi circulo e fixo o seu ponto P numa extremidade, como se o corte fosse feito no diametro que contem P. Ai eu fiz um segmento dividindo o semicirculo em 2, como se fosse 1/4 do cirtuclo total. Ao traçar o arco de raio R ele cruza esse segmento. Criando 2 secções pequenas, chamo de R1 e R2, essas duas partes devem ser iguais... Mas mesmo assim eu travei. não consegui fazer os calculos Obrigado, aguardo sua ajuda!!! 2008/4/24 Arlane Manoel S Silva [EMAIL PROTECTED]: Considere a circunferência de raio r e seja P pertencente a esta circunferência, o ponto onde está amarrada a tal corda de comprimento R, o qual devemos calcular. Agora considere a cirncuferencia de raio R centrada no ponto P. Então, a área entre as duas circunferências deve ser pi.r^2/2 pelo enunciado. Assim, basta determinar tal área em função de R e r. Caso não consiga verificar os detalhes é só pedir que faço com cuidado. Resolvendo para R, concluimos que R=r.sqrt(pi/2 + 1) (se tiver errada nas contas!) inté, Citando MauZ [EMAIL PROTECTED]: Olá a todos, Um cavalo come muito e fica preso numa cerca circular de raior r. Para ele comer toda a grama daonde fica em 2 dias ele foi preso por uma corda em um ponto da circunferencia da cerca e comeu toda a grama que pode alcançar, no segundo dia foi solto e comeu a outra metade. (metade no primeiro dia e metade no segundo dia). Qual o tamanho da corda que o prende? Agradeço! Maurizio -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estatística-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estatística-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] PROBLEMA DO CAVALO
Boa noite Arlane, Eu pensei um pouco sobre o problema e tudo que você disse eu pensei, o dificil pra mim foi realmente fazer as contas... Eu pensei também da seguinte forma: pego um semi circulo e fixo o seu ponto P numa extremidade, como se o corte fosse feito no diametro que contem P. Ai eu fiz um segmento dividindo o semicirculo em 2, como se fosse 1/4 do cirtuclo total. Ao traçar o arco de raio R ele cruza esse segmento. Criando 2 secções pequenas, chamo de R1 e R2, essas duas partes devem ser iguais... Mas mesmo assim eu travei. não consegui fazer os calculos Obrigado, aguardo sua ajuda!!! 2008/4/24 Arlane Manoel S Silva [EMAIL PROTECTED]: Considere a circunferência de raio r e seja P pertencente a esta circunferência, o ponto onde está amarrada a tal corda de comprimento R, o qual devemos calcular. Agora considere a cirncuferencia de raio R centrada no ponto P. Então, a área entre as duas circunferências deve ser pi.r^2/2 pelo enunciado. Assim, basta determinar tal área em função de R e r. Caso não consiga verificar os detalhes é só pedir que faço com cuidado. Resolvendo para R, concluimos que R=r.sqrt(pi/2 + 1) (se tiver errada nas contas!) inté, Citando MauZ [EMAIL PROTECTED]: Olá a todos, Um cavalo come muito e fica preso numa cerca circular de raior r. Para ele comer toda a grama daonde fica em 2 dias ele foi preso por uma corda em um ponto da circunferencia da cerca e comeu toda a grama que pode alcançar, no segundo dia foi solto e comeu a outra metade. (metade no primeiro dia e metade no segundo dia). Qual o tamanho da corda que o prende? Agradeço! Maurizio -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estatística-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
[obm-l] PROBLEMA DO CAVALO
Olá a todos, Um cavalo come muito e fica preso numa cerca circular de raior r. Para ele comer toda a grama daonde fica em 2 dias ele foi preso por uma corda em um ponto da circunferencia da cerca e comeu toda a grama que pode alcançar, no segundo dia foi solto e comeu a outra metade. (metade no primeiro dia e metade no segundo dia). Qual o tamanho da corda que o prende? Agradeço! Maurizio
Re: [obm-l] Problema Combinatória
Olá pessoal eu montei um esquema usando binomio de newton. Ficou da seguinte forma a resposta: Vou usar (a//b) como binomio a!/b!(a-b)! temos todas as combinações como: (n//p) e as que tem consecutivos como: (n-1//p-1)+(n-2//p-2)...(n-p+1//n-p), somando pela regra da diagonal: (n//p-1)-1 (sendo o primeiro binomio como pelo menos 2 consecutivos, o segundo com pelo menos 3, etc... Da segunte forma. a primeira escolha pego 1 livro e imediatamente o seu da direita. Num grupo de 24 livros por ex, tenho 23 maneiras de fazer isso, pelo fato do ultimo livro nao ter nada à sua direita) logo a solução é: (n//p)-(n//p-1) + 1 testei para alguns valores e tá OK,, O que vocês acham? []'s Maurizio Em 27/03/08, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Mauricio e colegas da lista, os 5 livros retirados determinam 6 intervalos , dos quais o mais 'a esquerda e o mais 'a direita podem ter o valor minimo de 0, e os outros quatro valem no minimo 1. Para uniformizar tudo, podemos imaginar que exista um livro a mais do lado direito, e outro do lado esquerdo da estante, de forma que agora precisamos determinar 6 intervalos, todos maiores que zero, somando um total de 24+2-5 = 21. Em outras palavras, o que procuramos e' o numero de solucoes inteiras positivas para a+b+c+d+e+f=21 que vale C(21-1, 6-1) = C(20,5) Ou seja, (20*19*18*17*16) / (5*4*3*2*1) = 15504 []'s Rogerio Ponce Em 26/03/08, MauZ[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá a todos! Numa estante com 24 livros, de quantas maneiras posso retirar 5 livros sem ter nenhum consecutivo? E no caso de n livros, quantas maneiras retiro p livros sem ter nenhum consecutivo? Pra completar vou colocar parte da minha tentativa de solução, preciso de ajuda pra saber se está certo até onde fiz e como finalizar pois empaquei. Fiz dessa forma: Todas Combinações - Combinações c/ Consecutivos Todas: 24!/5!19! Consecutivos: 23!/4!19! + 22!/3!19! + 21!/2!19! + 20!/1!19! Fiz uma formula geral com n e p e deu o seguinte: n!/p!(n-p!) - [(n-1)!/(p-1)!(n-p)! + (n-2)!/(p-2)!(n-p)!+...+(n-p+1)!/(n-p)!] Fatorando deu: (1/(n-p)!)[n!/p!-(n-1)!/(p-1)!-(n-2)!/(p-2)-...-(n-p+1)!/(n-p)!] Dae empaquei de vez... Não consegui continuar! Quem souber fazer por favor me dê a luz! Ou simplesmente indique o erro no meu raciocínio. Agradeço antecipadamente, Maurizio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Problema Combinatória
Olá a todos! Numa estante com 24 livros, de quantas maneiras posso retirar 5 livros sem ter nenhum consecutivo? E no caso de n livros, quantas maneiras retiro p livros sem ter nenhum consecutivo? Pra completar vou colocar parte da minha tentativa de solução, preciso de ajuda pra saber se está certo até onde fiz e como finalizar pois empaquei. Fiz dessa forma: Todas Combinações - Combinações c/ Consecutivos Todas: 24!/5!19! Consecutivos: 23!/4!19! + 22!/3!19! + 21!/2!19! + 20!/1!19! Fiz uma formula geral com n e p e deu o seguinte: n!/p!(n-p!) - [(n-1)!/(p-1)!(n-p)! + (n-2)!/(p-2)!(n-p)!+...+(n-p+1)!/(n-p)!] Fatorando deu: (1/(n-p)!)[n!/p!-(n-1)!/(p-1)!-(n-2)!/(p-2)-...-(n-p+1)!/(n-p)!] Dae empaquei de vez... Não consegui continuar! Quem souber fazer por favor me dê a luz! Ou simplesmente indique o erro no meu raciocínio. Agradeço antecipadamente, Maurizio
Re: [obm-l] Números de 0 a 100 (series) + Fila Indiana
Em 12/03/08, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] escreveu: Em 11/03/08, MauZ [EMAIL PROTECTED] escreveu: 1)Os números de 0 a 100 estão listados em uma ordem qualquer. Mostre que é possível riscar 90 deles de tal forma que os demais fiquem em ordem crescente ou decrescente. Consegui um método dessa forma: Pego o primeiro numero 90 que eu encontrar, depois procuro o proximo tal q a dif seja = 10, isso deve trazer uma sequencia decrescente. Caso esse método não funcione, o mesmo método invertido (começando do final) trará uma sequencia crescente. Mas não sei se é de fato verdade muito menos consegui provar. Bem, parece que isto é o mesmo que dizer Temos uma seqüência de 100 naturais (podemos supor isto sem perda de generalidade). Prove que existem 10 elementos nela que formam uma seqüência crescente ou decrescente. Em vez de apagar 90, escolhe 10! Imagine a seqüência (a_1,a_2,a_3,...,a_100). Para cada a_i, associe a maior seqüência crescente começando por a_i. Se alguma destas seqüências for grande (10 ou mais caras), acabou. Caso contrário, cada seqüência dessas tem tamanho no máximo 9. i == (b_i_1,b_i_2,b_i_3,...,b_i_9) A partir daqui, acho que dá pra apliucar um PCP (casa dos pombos) esperto. Cara, Sinceramente eu achei sua ideia muito interessante. Mas como eu formalizo essa ideia? eu tenho muita dificildade em formalizar a matemática! Eu to pensando pelo PCP e to quase entendendo pq funciona. mas se vc puder dar mais um empurrãozinho eu agradeço Abraços, Maurizio 2)Em uma fila indiana as pessoas vêem as cores pintadas nas nucas à sua frente. Há quatro cores possíveis e cada pessoa deve tentar acertar sua própria cor. Qual deve ser a estratégia (combinada entre eles a priori, antes mesmo de serem pintados) para que todos, menos eventualmente um, acertem? Esse segundo parece estranho o enunciado... mas pelo que entendi eles não podem falar um monte de coisa, devem apenas tnetar acertar a propria cor. E nada de jogos mortais e arrancar um pedaço da nuca! Agradeço qualquer ajuda, Maurizio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] soma de série
Claudio, acontece que 1+1+1+1 também tende ao infinito e são todos numeros inteiros... Agora a demonstração do Luiz eu achei genial! Parabéns e mto obrigado! Maurizio Em 11/03/08, Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED] escreveu: Entendi sua pergunta. Cara, no meu ponto de vista, qdo demonstramos que diverge, ou seja, tende ao infinito, automaticamente demonstramos q não pode ser inteiro. Tender ao infinito é uma forma de indeterminação. Não sei se existe uma outra interpretação/demonstração... Abraço. *MauZ [EMAIL PROTECTED]* escreveu: eu acabei de ver que é a serie harmonica... mas como faço pra demonstrar que nunca é inteiro? pq vai pro infinito, beleza... mas pode passar por algum inteiro, oque tem q provar q nunca acontece... se eu usar uma desigualdade como você msotrou e como achei outras aqui em livros eu saio um pouco do foco que é provar q não é inteiro... ou tou errado? se eu tiver falando besteira por favor me corrija! Obrigado Claudio, []s Maurizio Em 10/03/08, Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED] escreveu: Essa é, na verdade, a série harmônica, que diverge. Vc pode demonstrar usando integrais ou usando a desigualdade 1+1/2+...+1/(2^n-1)n/2. Vc encontra essas demonstrações no livro de Análise do Elon. Abraço. *MauZ [EMAIL PROTECTED]* escreveu: mostrar que 1+1/2+1/3+...+1/n não é inteiro pra qquer N1. Obrigado! -- Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento! -- Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] Números de 0 a 100 (series) + Fila Indiana
1)Os números de 0 a 100 estão listados em uma ordem qualquer. Mostre que é possível riscar 90 deles de tal forma que os demais fiquem em ordem crescente ou decrescente. Consegui um método dessa forma: Pego o primeiro numero 90 que eu encontrar, depois procuro o proximo tal q a dif seja = 10, isso deve trazer uma sequencia decrescente. Caso esse método não funcione, o mesmo método invertido (começando do final) trará uma sequencia crescente. Mas não sei se é de fato verdade muito menos consegui provar. 2)Em uma fila indiana as pessoas vêem as cores pintadas nas nucas à sua frente. Há quatro cores possíveis e cada pessoa deve tentar acertar sua própria cor. Qual deve ser a estratégia (combinada entre eles a priori, antes mesmo de serem pintados) para que todos, menos eventualmente um, acertem? Esse segundo parece estranho o enunciado... mas pelo que entendi eles não podem falar um monte de coisa, devem apenas tnetar acertar a propria cor. E nada de jogos mortais e arrancar um pedaço da nuca! Agradeço qualquer ajuda, Maurizio
[obm-l] Esfera... problema
Dois pontos na esfera de raio 1 estão conectados por um arco A contido no interior da esfera. Mostre que se o comprimento do arco A é menor do que 2 então existe um hemisfério H que não intercepta A. __ Minha ideia até agora foi simplesmente criar um hemisfério da seguitne forma: Acho um ponto P coplanar aos dois pontos B e C que seja arco médio de B e C. Aí basta achar o l.g. de P' tal que arco(P,P')=pi/2. ai essa circunferencia determina o hemisferio H. Depois tenho q mostrar que qualquer arco q intercepte esse hemisferio mede 2 ou +. não sei se esse é o caminho.. mas nao estou cosneguindo formalizar... Obrigado, Maurizio
Re: [obm-l] soma de série
eu acabei de ver que é a serie harmonica... mas como faço pra demonstrar que nunca é inteiro? pq vai pro infinito, beleza... mas pode passar por algum inteiro, oque tem q provar q nunca acontece... se eu usar uma desigualdade como você msotrou e como achei outras aqui em livros eu saio um pouco do foco que é provar q não é inteiro... ou tou errado? se eu tiver falando besteira por favor me corrija! Obrigado Claudio, []s Maurizio Em 10/03/08, Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED] escreveu: Essa é, na verdade, a série harmônica, que diverge. Vc pode demonstrar usando integrais ou usando a desigualdade 1+1/2+...+1/(2^n-1)n/2. Vc encontra essas demonstrações no livro de Análise do Elon. Abraço. *MauZ [EMAIL PROTECTED]* escreveu: mostrar que 1+1/2+1/3+...+1/n não é inteiro pra qquer N1. Obrigado! -- Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Mais um de análise
Obrigado Marcelo! Infelizmente o gabarito indica como 126 cadeados e 70 chaves para cada cientista... Existe GRANDES chances de ter erro no gabarito pois encontrei erro em outras questões. Vou ver mais tarde sua resposta com mais calma. Acho que está + cabível do que 126 cadeados... haja saco pra abrir todos! Obrigado d novo Maurizio Em 25/07/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, apenas uma curiosidade.. podemos pensar em um polinomio de grau 5 e dizer que a chave é f(x0).. falamos um ponto (x, f(x)) para cada cientista.. qdo 5 ou mais estiverem presente é possível abrir o cadeado.. pois atraves de interpolacao obtem-se f(x0).. alguem ve problemas nesse metodo? queremos que 4 nao abram o cadeado ao mesmo tempo.. isto é.. 4 juntos tem q faltar pelo menos 1 chave.. digamos que falte exatamente 1 chave.. entao os outro 5 tem que ter essa chave.. partindo dessa ideia, vamos supor que temos 5 copias das chaves de cada cadeado.. partindo da ideia de que cada cientista tem o mesmo numero de chaves, temos: 5n = 9k n = numero de cadeados k = numero de chaves com cada cientista hmm nao sei explicar como, mas tive a seguinte ideia.. pegue as 5 chaves do cadeado 1... de para os cientistas 1,2,3,4,5... agora pegue as 5 chaves do cadeado 2... de para os cientistas 2,3,4,5,6... faca o mesmo para os demais cadeados.. qdo chegar em 9, volte para 1.. matematicamente, vamos enumerar os cientistas de 0 à 8.. e os cadeados de 0 à n-1 as chaves do cadeado k serao dadas ao cientistas k, k+1, k+2, k+3, k+4... todos modulo 9.. vamos usar a seguinte notacao: cadeado k: cientistas com chave deste cadeado cadeado 0: 0, 1, 2, 3, 4 cadeado 1: 1, 2, 3, 4, 5 cadeado 2: 2, 3, 4, 5, 6 cadeado 3: 3, 4, 5, 6, 7 cadeado 4: 4, 5, 6, 7, 8 neste ponto, vemos que o cientista 4 tem 5 chaves.. logo, vamos deixar todos assim.. cadeado 5: 5, 6, 7, 8, 0 cadeado 6: 6, 7, 8, 0, 1 cadeado 7: 7, 8, 0, 1, 2 cadeado 8: 8, 0, 1, 2, 3 assim, com 9 cadeados.. 5 copias de cada chave.. conseguimos que apenas 5 consigam acessar o segredo.. mass... nao sei como provar que esse eh o numero minimo de cadeados.. usando minhas hipoteses, temos que: 5n = 9k ... n=9 e k=5 sao os menores inteiros que satisfazem a relacao.. mas parti de 2 hipoteses: mesmo numero de chave com cada cientista e qdo temos apenas 4 cientistas, falta apenas 1 chave... da pra generalizar minha ideia pra c cientistas e pra abrir com no minimo m.. abracos, Salhab On 7/25/07, MauZ [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá esse gostaria que me ajudassem, parece mto interessante: Nove cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por questões de segurança, os planos são guardados num cofre protegido por muitos cadeados de modo que só é possível abri-los todos se houver pelo menos 5 cientistas presentes. a) Qual é o numero mínimo possível de cadeados? b) Na situação do item a, quantas chaves cada um deve ter? Agradeço a quem fizer e da mesma forma a quem tentar, Maurizio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Análise Combinatória
Por favor, quem puder ajudar, agradeço desde já! 1)Temos um quadrado formado por 4 fileiras de 4 pontos . . . . . . . . . . . . . . . . Quantos triangulos existem com vértices nos pontos? 2)temos n pontos num plano não havendo 3 colineares, quantos são os pontos de intersecção das retas formadas por esses pontos, excluindo desse numero os próprios pontos? Mais uma vez, obrigado
[obm-l] Mais um de análise
Olá esse gostaria que me ajudassem, parece mto interessante: Nove cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por questões de segurança, os planos são guardados num cofre protegido por muitos cadeados de modo que só é possível abri-los todos se houver pelo menos 5 cientistas presentes. a) Qual é o numero mínimo possível de cadeados? b) Na situação do item a, quantas chaves cada um deve ter? Agradeço a quem fizer e da mesma forma a quem tentar, Maurizio
