[obm-l] circulo
Boa tarde mestres gostaria de saber como resolver a seguinte questão do Colégio Militar 2009: Na figura, temos um círculo de centro O, em que PA=3 cm e PB=2 cm. O valor do segmento PQ é... (FIGURA EM ANEXO) Mais uma vez agradeço por tudo! abraços -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. <>
[obm-l] aumento hipotenúzico
Prezados mestres, poderiam dar uma ajuda na seguinte questão? *Os catetos de um triângulo retângulo medem 4cm e 3cm. Se a medida do primeiro cateto for reduzida em 10% e a do segundo for aumentada em 60%, qual será a taxa de aumento da hipotenusa?* Obrigado a todos, abraços! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] determinantes 02
Tem mais essa outra anexa parecida com a anterior que postei, e que também não consigo resolver. agradeço a ajuda Thelio -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. <>
[obm-l] determinantes 01
Prezados professores, tentei mas não consegui resolver a equação anexa. Parecia-me uma matriz de Wandermonde, mas não consegui. Poderiam me ajudar? Obrigado! Thelio -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. <>
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] series para 9º ano
Prof. Rogério, Muito obrigado! Será que existe uma forma de resolver sem o conhecimento de progressões. Pergunto isso porque a prova era para alunos do 9º ano. Tentando resolver, caí numa progressão geométrica de razão 1/3, mas como entender quanto dá essa soma sem conhecer PG? Existe uma forma intuitiva de entender?? Em 22 de janeiro de 2013 02:10, Rogerio Ponce escreveu: > Ola' Thelio, > trace a altura do triangulo, relativa ao vertice B. > > Agora trace retas paralelas ao lado AC, tangentes a C0 e C1, C1 e C2, > C2 e C3, etc... > > Observe que os triangulos formados sao homoteticos, com centro de > homotetia em B. > > Assim, os circulos C0, C1,C2... sao proporcionais aos seus diametros, > que por sua vez, formam uma progressao geometrica de razao menor que > 1. > > E a soma dos termos dessa progressao e' justamente o comprimento da > altura do triangulo. > > Descontando-se o diametro de C0, e multiplicando-se por 2 (nao se > esqueca do vertice C), obtemos o resultado procurado. > > []'s > Rogerio Ponce > > ___ > > Em 21/01/13, Thelio Gama escreveu: > > Prezados mestres, > > > > a questão em anexo foi retirada de uma prova de concurso técnico para > > alunos do 9º ano. Poderiam me explicar como resolver a mesma com > > conhecimentos do 9º ano? > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = >
[obm-l] series para 9º ano
Prezados mestres, a questão em anexo foi retirada de uma prova de concurso técnico para alunos do 9º ano. Poderiam me explicar como resolver a mesma com conhecimentos do 9º ano? <>
[obm-l] integral
Boa noite, mestres poderiam explicar como resolver a integral em anexo? Tentei muito, mas não consegui pensar em nenhuma técnica ou artifício. agradeço a ajuda Thelio <>
[obm-l] equação da parabola
Caros professores, agradeço a boa vontade de todos em esclarecer sempre as minhas dúvidas. Só posto perguntas que considero realmente relevantes. A dúvida que tenho agora é a seguinte: a questão pede a equação da parábola da figura anexa. Já consegui resolver, mas usei um sistema de 3 equações: a fórmula da soma das raízes, a fórmula do produto das raízes e a fórmula da ordenada do vértice. Tentei resolver de uma forma mais simples, mas não consegui. Gostaria de saber se há realmente uma forma mais simples de resolver a questão. obrigado, Thelio <>
[obm-l] velas
Bom dia professores, fiz várias tentativas de resolver a questão a seguir, mas não cheguei ao gabarito, que é *1 hora e meia*. Poderiam explicar como se resolve? *Duas velas cilíndricas da mesma altura são acesas ao mesmo tempo. Sabe-se que uma delas é consumida em 6 horas, e a outra em 2 horas. Após quanto tempo a razão entre as alturas das velas será de 1 para 3? * obrigado! Thelio
[obm-l] calculo sem calculadora
Boa tarde professores, gostaria de saber a forma de determinar o valor de x, sabendo que sen(x) = [RAIZ(6) - RAIZ(2)] ¸ 4, sem usar tabela ou calculadora. Bem, eu sei que a resposta é x = 15º, mas como encontrar esse valor algebricamente? Agradeço a ajuda. abraços Thelio Gama
[obm-l] charada do cineclube
Bom dia professores, gostaria de saber qual a técnica para resolver a questão abaixo, sem ser por tentativas. Não consegui chegar a uma conclusão. agradeço a ajuda abraços *Num certo dia o caixa de um cineclube recebe R$ 200,00 de 100 pessoas. O ingresso de um adulto custa R$ 5,00, de jovens entre 12 e 17 anos, R$ 2,00, e crianças pagam uma taxa simbólica de R$ 0,50. Qual o maior número possível de adultos que podem ter freqüentado o cineclube nesse dia?* Thelio
[obm-l] Trapézio isósceles circunscrito
Boa noite, professores Poderiam por gentileza ajudar-me com a seguinte questão? Encontrei o raio=7cm, daí a altura do trapézio h=14cm. Agora, como aplicar pitágoras, se não tenho as medidas das bases?? Calcule o perímetro de um trapézio isósceles cuja diferença entre as bases é 21 cm e cuja área da circunferência nele inscrita vale 153,86 cm² (considere pi=3,14). Obrigado! Thelio Gama
[obm-l] mistura
Boa noite professores, Seria possível mostrar como se resolve a questão seguinte? *O composto de uma substÂncia A e de uma substância B é vendido por R$ 26,00 o kg. A substância A é vendida por R$ 30,00 o kg e a substância B, por R$ 20,00 o kg. O preço do composto é calculado em função das quantidades das substâncias e seus preços. As quantidades de A e B no kg desse composto deverá ser...* Agradeço antecipadamente. Abraços Thelio
[obm-l] razão entre áreas
Bom dia Mestres da lista poderiam mostrar como se resolve a seguinte questão? (o desenho está anexo): Cada lado do triângulo ABC foi dividido em três partes iguais e ligado como mostra a figura. A área da região sombreada vale 11m². A razão entre essa área e a do triângulo ABC vale: a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/7 e) 1/9 *GABARITO: ALTERNATIVA D* Aproveito a oportunidade para agradecer a boa vontade e solicitude de todos os professores desta lista, como Carlos Nehab, Ralph Texeira, Palmerim, e outros, que têm contribuído muito em meus estudos. abraço a todos Thelio Gama <>
[obm-l] Questão Col. Naval 2009
Boa noite professores. Não consegui compreender a resolução (em anexo) da questão abaixo. Como se conclui que 100! termina em 100/5 + 100/25 zeros??? e que consequentemente P=(100!)²/100 termina em 24 + 24 - 2 = 46 zeros???. Outra pergunta: FATORIAL em questão do colégio naval? Pode isso? Bem, agradeço se mais uma vez puderem me ajudar ... abraços Thelio Sobre o lado maior de um retângulo de base 1 e altura 2 constrói-se um retângulo de base 2 e altura 3; sobre o maior lado desse último, constrói-se um retângulo de base 3 e altura 4; e assim sucessivamente, até se construir o retângulo de base 99 e altura 100. Com quantos zeros termina o produto das áreas de cada um desses retângulos? <>
[obm-l] solução intragável
Boa dia professores, (estou enviando esta mensagem pela 3ª vez, parece que as 2 anteriores não chegaram ao destino) Bem, não consegui "engolir" a explicação em vermelho da questão abaixo. Por exemplo, por que é necessário que "tenha sinal contrário da concavidade da função" e por que a.f(3)<=0e não a.f(3)>=0 ??? * * *Agradeço se puderem dar uma explicação.* * * *Abraço a todos!* * * *Thelio* Seja f(x) = ax² + (1– a)x + 1, onde a é um número real diferente de zero. Determine os valores de a para os quais as raízes da equação f(x) = 0 são reais e o número x = 3 pertence ao intervalofechado compreendido entre as raízes. *Para que x pertença ao intervalo fechado entre as raízes, é necessário que o valor da função no ponto 3 que é f(3) = 6a+4, tenha sinal contrário da concavidade da função do segundo grau ou f(3)=0; logo: a.f(3)<=0. logo -2/3<=a<0.*
[obm-l] solução intragável
Seja f(x) = ax² + (1– a)x + 1, onde a é um número real diferente de zero. Determine os valores de a para os quais as raízes da equação f(x) = 0 são reais e o número x = 3 pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes. para que x pertença ao intervalo fechado
[obm-l] solução intragavel
Boa noite professores, Não consegui "digerir" a explicação em vermelho da questão abaixo. Por que "tenha sinal contrário da concavidade da função" e por que a.f(3)<=0e não a.f(3)>=0 ??? * * *Agradeço se puderem dar uma explicação.* * * *Abraço a todos!* * * *Thelio* Seja f(x) = ax² + (1– a)x + 1, onde a é um número real diferente de zero. Determine os valores de a para os quais as raízes da equação f(x) = 0 são reais e o número x = 3 pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes. *Para que x pertença ao intervalo fechado entre as raízes, é necessário que o valor da função no ponto 3 que é f(3) = 6a+4, tenha sinal contrário da concavidade da função do segundo grau ou f(3)=0; logo: a.f(3)<=0. logo -2/3<=a<0.*
[obm-l] geometria CN
Boa noite professores, Essa questão em anexo é do Colégio naval e não consigo resolver apesar de já ter traçado todas as retas que minha imaginação permitiu. Poderiam dar uma explicação. Agradeço a ajuda, Thelio <>
[obm-l] Re: geometria CN
OPS! O enunciado da questão é o seguinte: O triângulo ADE da figura é equivalente ao quadrilátero BCDE. Se AE = 2/3 de AB, então AD é qual fração de AC? 2009/6/3 Thelio Gama > Boa noite professores, > Essa questão em anexo é do Colégio naval e não consigo resolver apesar de > já ter traçado todas as retas que minha imaginação permitiu. Poderiam dar > uma explicação. > > Agradeço a ajuda, > > Thelio >
[obm-l] area dificil
Olá mestres, apesar de várias tentativas, não consegui resolver o problema abaixo (figura anexa): Seja o paralelogramo de vertices ABCD, M1 o ponto medio de AB, M2 o ponto medio do lado oposto DC e I a intersecao dos segmentos AM2 e DM1. Determine a area da regiao hachurada, sabendo que os lados AB e BC medem, respectivamente, 8 cm e 7cm. Obrigado <>
[obm-l] probabilidades caça-niquel
Bom dia Professores, estou bastante confuso com o seguinte problema e agradeço se puderem fazer a gentileza de explicá-lo : Numa máquina de caça-níquel, cada resultado é formado por 4 quaisquer de 6 frutas diferentes, podendo haver repetição. Calcule a probabilidade de um resultado apresentar duas frutas iguais e outras duas desiguais. Obrigado, Thelio
[obm-l] demonstração Geom Plana
Caros professores gostaria de uma ajuda na seguinte demonstração: "Mostre que a soma das três medianas de um triângulo é maior do que os 3/4 do perímetro" Tentei resolver por desigualdade triangular, mas não consegui. Obrigado Thelio
[obm-l] Combinatória
Prezados Mestres, minha cabeça "embolou" completamente com esse exercício. Agradeço se puderem me ajudar: Quantos são os números de 6 algarismos distintos que podemos formar de modo que um algarismo par esteja sempre ao lado de pelo menos um algarismo ímpar? Obrigado! Thelio
[obm-l] Cegueira ou questão errada?
Bom dia professores, Estou sofrendo de cegueira matemática ou a seguinte questão está mal formulada? Dois ângulos AOB e BOC são adjacentes e o ângulo BOC vale 64º. Determine o ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos AOB e AOC. O ângulo de 64º não deveria ser o AOC ao invés do BOC? Ou talvez os ângulos devessem ser consecutivos ao invés de adjacentes? Do jeito que está, não acredito que seja possível resolver. Agradeço se puderem esclarecer. Thelio
[obm-l] Demonstração Geom Plana
Caros professores gostaria de uma ajuda na seguinte demonstração: "Mostre que a soma das três medianas de um triângulo é maior do que os 3/4 do perímetro" Tentei resolver por desigualdade triangular, mas não consegui. Obrigado Thelio
[obm-l] duro de matar percentual
Prezados professores e mestres Agradeço se puderem *explicar* como se resolve esta questão, que achei muito confusa: *Um comerciante comprou 350 litros de aguardente à razão de R$ 1,35 o litro. Que quantidade de água ele deverá acrescentar ao volume total de aguardente adquirida para vendê-la a R$ 1,75 e ainda ganhar 30% sobre o preço de compra?* abraços Thelio
[obm-l] Só deus resolve!!
Olá Professores, desculpem o exagero, mas estou há várias semanas tentando resolver a questão em anexo, pedi auxílio a vários colegas, mas ninguém resolve! Agradeço a ajuda dos senhores. Thelio <>
[obm-l] PA
Boa tarde, professores, Não consegui resolver esta PA: *A soma dos 54 termos de uma PA é 1107. Determine o valor dos termos a23 e a32 sabendo que a diferença entre eles é igual a 7.* Agradeço a ajuda, Thelio
[obm-l] Polinomio 4º grau
Bom dia , senhores, gostaria de saber se é póssível encontrar as raízes da equação abaixo, sem conhecer nenhuma delas: x^4-36x²-x+324=0 Obrigado, Thelio
Re: [obm-l] combinatoria dificil
Terei a resposta oficial somente semana que vem. A questão foi proposta pelo Prof. Paulo Jorge Teixeira (UFF) na 1ª avaliação formativa de um curso em andamento na PUC-RJ. Mas tudo indica que é realmente 48 e, portanto, houve um erro nas alternativas. Em 20/03/08, Henrique Rennó <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Olá pessoal! > > Acredito que a solução do Salhab está correta. Seja Di o dia i e Hj o > horário j. > > D1H1: 3 matérias > D1H2: 2 matérias (para não repetir a utilizada em D1H1) > D1: 6 possibilidades > > Para D2, se escolhermos uma já utilizada em D1 então não poderemos > utilizar a outra matéria utilizada em D1, senão D3 teria as mesmas > matérias. Assim, para D2 teríamos uma já utilizada (2 matérias) e uma > não utilizada. Logo, 2*1 = 2. Como a ordem importa, temos 2*2 = 4. > > D3 só possui 2 formas, com as ordens das matérias trocadas. > > Total: 6*4*2 = 48. > > Essa é uma forma mais lógica de resolver o problema. Estive tentando > utilizar combinatória e também achei a resposta 48. > > Sejam A,B,C as matérias. Quantas permutações diferentes existem entre > A,A,B,B,C,C? Cada posição seria um horário em um dia, ou seja, > D1H1_D1H2_D2H1_D2H2_D3H1_D3H2. Bastaria calcular o número de > permutações com repetição, ou seja, 6!/(2!*2!*2!) = 720/8 = 90. > > Sabemos que não podemos ter uma permutação do tipo AABCBC, pois AA > representa a mesma matéria em D1H1 e D1H2. Então sabemos que a > resposta é menor que 90. > > As formas inválidas serão: > > Se as 3 matérias do mesmo tipo estão juntas no mesmo dia, ex: AABBCC. > Existem 3! = 6 formas, considerando AA,BB,CC como 3 elementos > permutados entre si. > > Não há necessidade de verificar quando 2 matérias estão no mesmo dia > pois cai no caso acima. > > Quando há apenas 1 matéria repetida em 1 dia, ex: AABCBC, então temos > 12 formas para cada par da mesma matéria utilizada no mesmo dia. Se AA > está em D1 então D2 pode ser BC ou CB e D3 pode ser BC ou CB, 2*2 = 4. > AA pode estar em D1,D2,D3. Assim, 4*3 = 12. Para BB e CC seria o > mesmo, dando um total de 3*12 = 36 formas quando há apenas uma matéria > que se repete no mesmo dia. > > Assim, o total seria 90 - (6+36) = 90 - 42 = 48 formas distintas de > compor o horário > > Thelio, você poderia passar a fonte do problema e verificar se as > respostas são essas mesmo? > > On 3/13/08, Thelio Gama <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > É pessoal... > > > > Achei muito difícil esta questão. Agradeço se alguém puder explicá-la. > > > > Thelio > > > > uma turma tem aulas às 2ª, 4ª e 6ª feiras, de 8-9 horas e de 11-12 > horas. As > > matérias são portugues, matemática e ingles, cada uma com duas aulas > > semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário > > dessa turma? > > a)96 ; b) 144 ; c)192 ; d) 6!; e) 120 > > > -- > Henrique > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = >
[obm-l] zero é divisor de zero?
Bom dia, professores, Estou um pouco confuso sobre isso: tem livro que diz que zero NUNCA divide, não é divisor de nenhum número. Outros dizem que zero pode dividir zero, já que 0 = n . 0. Neste caso então o zero pode ser divisor sim ( mas somente do zero). Afinal, é certo afirmar que zero NUNCA pode dividir nenhum número ou que o zero pode ser divisor do zero??? E qual o significado de zero dividido por zero??? Agradeço se puder ter este exclarecimento dos mestres da lista. Thelio
[obm-l] combinatoria dificil
É pessoal... Achei muito difícil esta questão. Agradeço se alguém puder explicá-la. Thelio uma turma tem aulas às 2ª, 4ª e 6ª feiras, de 8-9 horas e de 11-12 horas. As matérias são portugues, matemática e ingles, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma? a)96 ; b) 144 ; c)192 ; d) 6!; e) 120
[obm-l] proporção
Olá gostaria de saber como resolvo esta: *Tres garotos repartiram uma mesada em partes diretamente proporcionais as suas idades que eram 9, 12 e 15 anos. ao receber a sua parte o mais velho observou " se cada um de nos fosse tres anos mais velho, a minha parte seria R$ 7,00 menor do que é." considerando os dados apresentados, qual foi o valor da mesada repartida?* ** Desde já agradeço Thelio
[obm-l] Area no paralelogramo
Ola professores gostaria de agradecer a ajuda que todos tem prestado. Tem sido de grande proveito para mim. Me desculpem se as questoes sao muito simples, mas para mim ainda sao dificeis. A proxima questao que gostaria de compreender esta abaixo. Envio a figura anexa. Seja o paralelogramo de vertices ABCD, M1 o ponto medio de AB, M2 o ponto medio do lado oposto DC e I a intersecao dos segmentos AM2 e DM1. Determine a area da regiao hachurada, sabendo que os lados AB e BC medem, respectivamente, 8 cm e 7cm. Obrigado Thelio <>
[obm-l] Qual Triangulo?
Essa aqui ta difícil, nenhum dos feras da minha turma resolveu. Gostaria da ajuda dos senhores. Obrigado. Se p, q e r sao os comprimentos dos lados de um triangulo e se p² + q² + r² = pq + qr + pr, entao o triangulo é: a) Equilatero b) Escaleno c) Reto d) Obtuso e)N.R.A. Thelio
Re: [obm-l] bissetriz de quadrilatero
Ola Palmerim, muito obrigado pela valiosa aula, valeu mesmo! Nem esperava receber tanta informacao util a partir de uma simples demonstracao. Me ajudou muito. Todos nesta lista sao realmente muito especiais. um grande abraco, Thelio Em 20/10/07, Palmerim Soares <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Ola Thelio, > Li num e-mail seu anterior que voce esta se preparando para o colegio > naval, certo? Entao, vou demonstrar e complementar com alguns comentarios > que acredito que lhe serao uteis. Desculpe-me se me alongar demais. > > *Demonstracao*: > > Seja ABCD o quadrilatero, seja BD a diagonal-bissetriz dos angulos > internos ABC a ADC e seja P o ponto de intersecao das duas diagonais. Os > triangulos ABD e BCD sao congruentes pelo caso ALA (angulo ABD congruente ao > angulo CBD – lado comum BD – angulo CDB congruente ao angulo ADB). Portanto, > os lados AB e BC sao congruentes entre si, como tambem sao congruentes entre > si os lados AD e CD. Temos, desta maneira, que ABC e ADC sao triangulos > isosceles de base comum AC. Sendo BP a bissetriz interna relativa a base do > triangulo isosceles ABC, esta bissetriz e tambem altura (logo, perpendicular > a AC) e mediana (logo, corta AC no seu ponto medio). Entao BP e um o > segmento da mediatriz da diagonal AC do quadrilatero. A mesma conclusao > podemos tirar relativamente ao segmento DP. Portanto, DB e um segmento > daquela mediatriz. > > > > *Observacao 1) *Note que o reciproco deste teorema e verdadeiro , ou seja, > "*se uma **diagonal** d1 de **um** quadrilatero **convexo** eh **um** ** > segmento** da **mediatriz** da **outra** **diagonal** d2 do quadrilatero, > entao a **diagonal* *d1 eh **bissetriz** dos angulos **cujos** vertices > sao **seus** **extremos*." A demonstracao tambem sai por congruencia de > triangulos: usando a mesma figura da demonstracao anterior, podemos concluir > que os triangulos ABP e BCP sao congruentes pelo caso LAL. Portanto, os > angulos CBP e ABP sao congruentes entre si, de modo que a diagonal BD eh a > bissetriz do angulo ABC. Usando o mesmo raciocinio, chega-se a conclusao de > que BD eh bissetriz do angulo ADC tambem. > > *Observacao 2) *Vale a pena observar o seguinte: a diagonal interceptada > pela outra no seu ponto medio divide o quadrilatero em dois triangulos > isosceles, sendo, portanto, a base comum de dois triangulos isosceles cujos > lados sao os lados do quadrilatero. A outra diagonal divide o quadrilatero > em dois triangulos congruentes, sendo, portanto, a base comum de dois > triangulos congruentes cujos lados sao os lados do quadrilatero. Ou seja, > voce pode dizer que esse quadrilatero eh composto por dois triangulos > nao-isosceles congruentes entre si ou entao que ele eh composto por dois > triangulos isosceles nao congruentes entre si. > > *Observacao 3) *Esse quadrilatero eh o que alguns chamam de PIPA devido ao > seu formato que lembra o antigo brinquedo. A pipa ou papagaio eh o > quadrilatero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os > seus lados opostos nao sao congruentes (se fossem, seria um *losango* e > nao uma pipa). > > *Observacao 4) *Com as informacao obtidas ate aqui, voce pode enumerar > varias propriedades do "papagaio", como por exemplo: as diagonais sao > perpendiculares entre si. Enumere outras. Por fim, deixo como desafio a > demonstracao da seguinte propriedade do papagaio: a area eh o semi-produto > das diagonais. > > > > Divirta-se... > > Palmerim > > > Em 19/10/07, Thelio Gama <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > > Bom dia a todos, > > Alguem poderia me ajudar a resolver essa? > > > > "*Demonstre que se a diagonal de um quadrilatero convexo e bissetriz de > > dois de seus angulos, entao ela e um segmento da mediatriz da outra diagonal > > do quadrilatero.*" > > > > Desde ja agradeco, > > > > Thelio > > > > > >
[obm-l] bissetriz de quadrilatero
Bom dia a todos, Alguem poderia me ajudar a resolver essa? "*Demonstre que se a diagonal de um quadrilatero convexo e bissetriz de dois de seus angulos, entao ela e um segmento da mediatriz da outra diagonal do quadrilatero.*" Desde ja agradeco, Thelio
[obm-l] 1 Equaçao 2 incognitas
Ola pessoal, Estou me preparando para o colégio naval. Será que alguém pode me ajudar a resolver esta equação com duas incógnitas? Obrigado, Telio Dada a igualdade 1935x = 5175y , onde x>0 e y>0, o menor valor que a variável x pode assumir e o menor valor que a variável y pode assumir, de modo que seja verdadeira a igualdade, têm soma igual a: a) 155 b) 156 c) 157 d) 158 e) 159
