[obm-l] Problema
Alguém poderia me ajudar na resolução de um problema. Com as 10 primeiras letras do alfabeto, quantos anagramas posso formar, de modo que apareçam pelo menos 2 dessas letras: A, B e C.? Desde já agradeço a ajuda. Antonio del Rio
[obm-l] Ajuda em um problema
Por favor, necessito ajuda no seguinte problema Para passar em um concurso, o aluno deve ser aprovado nas provas de Português e Matemática. O número de alunos aprovados em Português é o quádruplo do número de aprovados, e o número de aprovados em Matemática é o triplo do número de aprovados. O número total de alunos é 260. Quantos foram reprovados? Resposta: 220 alunos reprovados. Grato, Antonio del Rio
[obm-l] Problema!!
Ola, boa noite. Preciso de ajuda para resolver um problema. COMO FAZER 96 VIRAR UMA SOMA DE DOIS QUADRADOS? Desde já, obrigado Antonio del Rio
[obm-l] Posição
Alguém poderia me ajudar na seguinte questão. Qual é a primeira posição do número 50 na sequência: 121232123432123454321234565432... Grato, Antonio del Rio
Re: [obm-l] Posição
Grato Nehab, Antonio del Rio antonio del Rio 2008/9/29 Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED] Oi, Antonio Manuel, Escreva seus números assim: 1 2 1 2 3 2 1 2 3 ... 9 8 . 8 9 10 *9 8 8 9* 10 11 10 *9 8 ... 8 9 *10 11 12 11 10 *9 8 ... 8 9* 10 11 12 ... 49 ... 10 *9 8 ... 8 9* 10 ...49 Agora, veja que até a linha 9 é fácil calcular qtos algarismos você esceveu (soma de ímpares, certo?); depois, perceba a repetição do núcleo *9 8... 8 9* Em quantas linhas este núcleo, que possui 17 algarismos aparece? E as pontas, da linha 10 até a 49, quantos caras de 2 algarismos possui ? Outra vez, soma de ímpares aparece, certo? Acho que você completa a solução. Abraços, Nehab Antonio Manuel Castro del Rio escreveu: Alguém poderia me ajudar na seguinte questão. Qual é a primeira posição do número 50 na sequência: 121232123432123454321234565432... Grato, Antonio del Rio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html=
[obm-l] Triãngulo Órtico
Ola, boa noite para todos, Alguém poderia me ajudar no seguinte problema. CALCULE OS ÂNGULOS DE UM TRÂNGULO ÓRTICO. OBS.: O problema não especifíca qual é o tipo de triângulo. O QUE EU PUDE ACHAR ATÉ AGORA, FOI O SEGUINTE; Um triângulo órtico é formado pelas alturas de qualquer triângulo.Ou seja, os seus vértices, são as bases das alturas. Obrigado pela ajuda, Antonio del Rio
[obm-l] Quadrado perfeito
Como desenvolvo para que seja um quadrado perfeito o polinômio x4 + x3 + x2 + x + 1 Obrigado, Antonio del Rio
Re: [obm-l] Olimpíadas
Ola Luiz, Como o Rivaldo lhe indicou procurar em algum sebo, entre nesse endereço: www.estantevirtual.com.br, são 734 sebos em todo o Brasil, com 15.198.537livros. Espero que você tenha sorte. Um abraço, Antonio del Rio Em 13/03/08, Luiz Rodrigues [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal!!! Tudo bem??? Vou preparar alguns alunos do Ensino Fundamental II (antigo Ensino Fundamental) para as Olimpíadas Brasileiras. Meu problema é: que livros utilizar? Alguém poderia me indicar alguns? Abraço para todos!!! Luiz. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] 2 Problemas
Alguém poderia me ajudar nesses problemas. Desde já agradeço. 1) (x,y) são nºs reais não negativos, tal que x + y = 2. Qual a probabilidade de termos um par ordenado em que a distância para a origem é menor ou igual a 5/3. 2) Entre 100.000 a 999.999 coma mesma quantidade algarismos, e com a classe não importando. Quantas classes existem? Entende-se por mesma classe o nº em que os algarismos aparecem na mesma quantidade de vezes em qualuqer ordem. Ex.: 125588 e 852158 são da mesma classe.
Re: [obm-l] DESAFIO IEZZI
Isole o sen x , sen x = 11 - 3RQ5 cos / 9 (I) Faça a relação fundamental sen ao quadrado + cos ao quadrado = 1. Daí você descubrurá o valor do cosseno. cos x = 33rq5 + ou - 9rq5/126 Descoberto os valores de cos. você substitui em (I), e obterá o sen. 2007/11/20, arkon [EMAIL PROTECTED]: *OLÁ PESSOAL, ESTA É UMA QUESTÃO DO LIVRO VOLUME ÚNICO DO GELSON IEZZI, ALGUÉM PODE ME ENVIAR A RESOLUÇÃO POR FAVOR* * * *(DESAFIO IEZZI) * *Sabendo que 9sen x + 3rq5cos x = 11, com 0 x (pi/2), calcule tg x.* * * *DESDE JÁ AGRADEÇO*
[obm-l] Problema
Alguém teria a solução do seguinte problema. Dois profissionais e cinco aprendizes, produzem 48 peças em 3 dias; um profissional e um aprendiz produzem 45 peças em 9 dias. Quantas peças são produzidas por 2 profissionais e 3 aprendizes em 5 dias? Resposta 60 peças.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Somas parciais da série harmônica.
Boa noite,
Questão relacionada a esta,
Provar ou dar contra-exemplo para a seguinte afirmação:
Se k1 e p é um natural qualquer X := 1/k + 1/(k+1) + + 1/(k+p) não
é inteiro.
Erdös resolveu este problema na década de 30 (do século passado), acho.
Manuel Garcia
On 12/19/06, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:
A primeira questão, e outras similares às suas, foram discutidas em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200407/msg00206.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.200407/msg00206.html
As somas parciais nunca sao inteiras
Artur
- Original Message
From: Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, December 19, 2006 8:29:16 AM
Subject: [obm-l] Somas parciais da série harmônica.
Problemas:
1) Determine o valor de n2 para que soma_{ k=0 } ^ { n } (1/k ) seja um
número inteiro.
ou prove que isso não é possível.
Explicação: Soma 1/n é uma série divergente, mas será que para algum
valor de n a partir
de 2 essa soma dá um número inteiro?
2) Dado eps0 existe N e n 2 tal que | soma_{ k=0 } ^ { n } (1/k ) - N
| eps
Explicação: Essa soma toma valores arbitrariamente próximos de números
naturais ?
A primeira caiu em uma IMO e segunda eu formulei.
--
Ronaldo Luiz Alonso
--
__
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http://mail.yahoo.com
Re: [obm-l] Não-Enumerável, Medida Nula, Denso e Magro
Boa tarde,
Apesar de não entender muito bem o que este assunto faz nesta
lista, como parece que isto não incomoda muito, atrevo-me dar mais uma
colherada no tema que talvez sirva de fonte para disperdício de tempo
para os incautos simpatizantes...
Dar um exemplo de subconjuntos de R, A e B tais que:
- A e B são disjuntos (intersecção vazia).
- A U B = R
- A é MAGRO.
- B tem medida de Lebesgue ZERO.
Não se trata de uma pergunta sobre a existência ou não de um par de
subconjuntos de R com essas propriedades, é verdade que EXISTEM essses
subconjuntos, trata-se de encontrar uma dessas aberrações!
Para quem gosta do tema, talvez valha 5 tostões dar uma olhada no livro
Measure and Category: A Survey of the Analogies
between Topological and Measure Spaces (Graduate Texts in Mathematics)
de J. Oxtoby.
Manuel GarciaOn 11/7/06, Manuel Garcia [EMAIL PROTECTED] wrote:
Boa tarde,
Apesar de não entender muito bem o que este assunto faz nesta
lista, como parece que isto não incomoda muito, atrevo-me dar mais uma
colherada no tema que talvez sirva de fonte para disperdício de tempo
para os incautos simpatizantes...
Dar um exemplo de subconjuntos de R, A e B tais que:
- A e B são disjuntos (intersecção vazia).
- A U B = R
- A é MAGRO.
- B tem medida de Lebesgue ZERO.
Não se trata de uma pergunta sobre a existência ou não de um par de
subconjuntos de R com essas propriedades, é verdade que EXISTEM essses
subconjuntos, trata-se de encontrar uma dessas aberrações!
Para quem gosta do tema, talvez valha 5 tostões dar uma olhada no livro
Measure and Category: A Survey of the Analogies
between Topological and Measure Spaces (Graduate Texts in Mathematics)
de J. Oxtoby.
Manuel Garcia
On 11/7/06, claudio.buffara
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Que tal K união Q, ondeKé conjunto de Cantor
tradicional (obtido pela retirada dos terços médios de intervalos,
começando com [0,1])?
K é não enumerável == K união Q também é:
K e Q têm medida nula == K união Q também tem;
Q é denso em R == K união Q também é;
K e Q são magros == K porque é fechado com interior vazio; Q
porque é enumerável e, portanto, reunião enumerável de conjuntos
unitários (logo, fechados) == K união Q = K união União(r em Q)
{r} é magro.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Mon, 06 Nov 2006 15:00:33 -0200
Assunto:
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Função Lipschitz em um subintervalo
Você (ou alguém da lista) pode dar um exemplo de um subconjunto magro
não enumerável
denso em outro conjunto e com medida de Lebesgue zero? Assim que for
a biblioteca
vou dar uma olhada no livro (eu conheci o professor Hönig).
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Função Lipschitz em um subintervalo
Boa tarde,Apenas uma pequena observação:On 11/6/06, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:Mas sera que existe alguma funcao derivavel cuja derivada seja descontinua num subconjunto denso no seu dominio?Como derivadas tem a propriedade do valor intermediario, asdescontinuidades duma tal funcao (caso exista) devem ser do tipo zig-zag.Não, não existe não. Toda derivada definida em um intervalo aberto, limitado ou não, é o limite de uma sequencia de funcoes continuas. Há um teorema daAnalise/Topologia que diz que, se g eh o limite de uma sequencia de funcoescontinuas definidasnum espaco de Baire e com valores em R, entao o conjunto das descontinuidades de g eh magro na classificacao de Baire, o queimplica que tenha interior vazio. Logo, o conjunto das descontinuidades deuma derivada tem sempre interior vazio e, portanto, nunca eh denso. Isso está errado, Q (o conjunto dos números racionais) é magro, tem interior vazio, como qualquer subconjunto enumerável de R, e é mais ou menos trivial o fato de Q ser denso em R. Densidade não tem nada a ver, absolutamente nada, nada mesmo, nem com o conceito de magro, nem com o conceito de conjunto de medida zero!Já que você citou o teorema de Baire, sugiro olhar o capítulo 3 do livro ¨Aplicações da Topologia à Análise de Hönig, C. S. (Projeto Euclides), lá existe muito material sobre este assunto. Manuel GarciaOu seja, aquele exemplo classico de funcao que e descontinua nos racionais e continua nos irracionais (f(x) = 1/q, se x = p/q (com p inteiro, qnatural e p, q primos-entre si) e f(x) = 0, se x e irracional) nao ederivada de funcao alguma, pois sua imagem esta contida em [0,1] mas so contem 0 e racionais da forma 1/q.Exato.Baseado no exemplo do Nicolau, eu pensei na sequencia de funcoes (f_n) dadapor:f_n(x) = sen^2(nx)*cos(g(1/sen^2(nx))), se x k*pi/n e f_n(x) = 0, caso contrario.So que eu tenho a impressao de que esta sequencia nao converge (ja que(h_n) dada por h_n(x) = sen^2(nx) nao converge - seconvergisse para h, quem seria h(1)? - para x multiplo racional de pi, o conjunto de valores de aderencia da sequencia (h_n(x)) e o intervalo[0,1]). Enfim, como o Artur disse, a ideia da demonstracao deve vir de algumaoutra area da matematica...Aparentementa nao converge mesmo nao. Mas o Nicolau deu ateh uma prova para um caso menos restrito em que admitiu apenas a existencia das derivadas deDini. Aquela prova que eu dei, na qual consegui relacionar fatos de variaareas da matematica, alguns nao gostam porque a julgam anti-natural, pois envolve conceitos nao muito conhecidos por quem nao estuda um pouquinhomais.Artur=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] Teoria dos numeros?
Boa noite,Acho que há alguns problemas com a resposta parcial abaixoOn 8/1/06, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:Olá,uma parte da resposta seria:(2a, 0)(0, 2a)onde a pertence aos inteiros positivos Nenhum desses pares é solução, repare que 2^0=3^0=1.O problema proposto pode ser resolvido com uma tediosa análise de congruências nada emocionante, salvo algum engano as únicas soluções são m=3, n=0 (nesse caso q=3)m=4, n=2 (q=5)m=0, n=1 (q=2)Manuel Garcia (4, 2) tb é...to tentando achar algum padrao pra isso... pq algebricamente eu nao conseguiresolver...espero ter ajudado em algoabraços,Salhab- Original Message -From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED]To: obm-l@mat.puc-rio.brSent: Tuesday, August 01, 2006 3:37 PMSubject: [obm-l] Teoria dos numeros? Liste todos os pares (m,n) para os quais 2^m + 3^n e um quadrado perfeito. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.394 / Virus Database: 268.10.5/405 - Release Date: 1/8/2006= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] SUPREMACIA GERMÂNICA! (OFF-TOPIC)
Boa tarde,Esta mensagem é completamente OFF-TOPIC.Além desta lista não ter como objetivo discussão de palhaçadas futebolísticas, acho completamente impróprios e absurdos comentários metidos a racistas nesta lista. Eu também fiquei contente com o resultado das semi-finais da copa, mas isso é irrelevante aqui.Desculpem , principalmente o moderador da lista, o off-topic mas queria protestar violentamente contra o parágrafo abaixo. On 7/6/06, Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis [EMAIL PROTECTED] wrote: O sonho do Kaiser acabou com dois inéditos chutes ítalos no último minutosepultando definitivamente o Nazismo, Terceiro Reich, Gestapo, SS, Arianismoe Gemelidade, da qual sou componente bivitelíneo... Lamentável.Manuel Garcia
Re: [obm-l]
Boa noite, O problema proposto não era este, Eugênia e Augustina não se alternam na pintura, observe o enunciado com atenção, nesse enunciado está escrito: Eugênia pinta 500 vértices de cor azul e os 500 vértices restantes de cor lilás. Então é isso, EUGÊNIA pinta TODOS os vértices, os 500 azuis e os 500 vermelhos, o que se quer provar é que qualquer que seja a forma como Eugênia pinte os vértices, Augustina pode escolher um triângulo com vértices (todos) vermelhos congruente a um triângulo com os vértices (todos) azuis. Manuel Garcia On 4/18/06, Lucas Molina [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá passoal ! Bem , a minha solução para o problema 1 : Uma observação : não foi dado no problema quem começa o jogo , logo não podemos tratar os jogadores de ''Fulana'' e ''Cicrana'' : podemos falar de J_1 ( o/a jogador(a) que começou ) e J_2 ( o/a que por segundo jogou) . Vamos lá !! A/o jogador(a) J_2 procura cumprir a seguinte tática para ganhar : Depois que J_1 começa , J_2 , esperto , desenha um diâmetro que passe por dois pontos quaisquer da circunferência . Então, J_2''imita'' o que J_1 desenhou doutrolado( na outra semi-circunferência ), estabelecendo uma simetria. Essa simetria vai permitir que , no final da pintura , possa-se ligar segmentos taisque condicionam J_2 à vitória : ''Augustina ganha se pode escolher 3 vértices azuis e 3 vértices lilás, de maneira que o triângulo determinado pelos três vértices azuis e o triângulo determinado pelos três vértices lilás sejam congruentes.'' From: benedito [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l]Date: Sun, 16 Apr 2006 10:41:54 -0300 Dois problemas interessantes: 1) Tem-se um polígono regular de 1000 lados. Eugênia pinta 500 vértices de cor azul e os 500 vértices restantes de cor lilás. Augustina ganha se pode escolher 3 vértices azuis e 3 vértices lilás, de maneira que o triângulo determinado pelos três vértices azuis e o triângulo determinado pelos três vértices lilás sejam congruentes. Demonstre que Augustina sempre pode ganhar, independente de como Eugênia pinta os vértices. 2) Num tabuleiro 5 por 5, dois jogadores disputam um jogo, em que jogam alternadamente. O primeiro a jogar coloca um cavalo em algum dos quadrados. A partir daí, os jogadores movem o cavalo com as mesamas regras do xadrez, começando com o segundo jogador. Não é permitido mover o cavalo para um quadrado em que ele já tenha estado previamente. O jogador que não pode mover perde a partida. Qual dos dois jogadores tm uma estratégia vencedora? Benedito Freire Seja um dos primeiros a testar o Windows Live Messenger Beta a geração do seu MSN. Acesse: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l]
Boa noite, Aqui vai uma tentativa de solução do problema 1 cujo enunciado repito:
Tem-se um polígono regular de 1000
lados.
Eugênia pinta 500 vértices de cor azul e os 500
vértices restantes de cor lilás.
Augustina ganha se pode escolher 3
vértices azuis e 3
vértices lilás, de maneira
que o triângulo determinado pelos três vértices azuis e o
triângulo determinado pelos três vértices lilás
sejam congruentes.
Demonstre que Augustina sempre pode ganhar, independente de como
Eugênia pinta os vértices.
O número 1000 do enunciado não ajudou muito, para a prova que se segue o importante é ser um mútiplo de 8.
Ordene os vértices do poligono regular dado, adotando o sentido
anti-horário, chame os vértices assim ordenados de P_0, P_1, ...,
P_{999} Pode-se pensar (embora nada que se vá fazer essa representação), que o
plano em que se trabalha é C e os P_{j} são as raízes 1000-ésimas da
unidade, com P_0=1 (nesse caso P_{m}=e^(2m\pi/1000), m=0,...,999).Começa-se com três fatos simples.
FATO 1. Há nesse polígono 125 octógnos regulares, sendo que
dois quaisquer desses octógnos são congruentes e não tem nenhum vértice
em comum.
Dem. para 0=k=124, seja O(k) o octógno de vértices {P_{k+m125}, m=0,1,2,3,4,5,6,7}.É claro que {O(k), k=0,...,124} é um conjunto de octógnos com as propriedades desejadas. CQD.FATO 2. Se colorimos os vértices de um octógono regular com cores azul
e vermelha de modo a que haja 5 vértices de cor vermelha e 3 de cor
azul. Então há um triângulo azul congruente ao triãngulo azul dado pela
coloração
DEM. Sejam Q_0, Q_1, ..., Q_7 os vértices do octógono
ordenados no sentido anti-horário a partir do vértice pintado de azul
Q_0 e seja T o triângulo formado pelos vértices azuis.Por
questões de simetria, pode-se supor sem perda de generalidade que o
próximo vértice azul seja Q_{j}, com j4 (se isso não ocorrer ordene
de novo os pontos a partir de Q_0 só que no sentido horário).Perceba
que se entre 3 os vértices azuis não houver dois diametralmente
opostos, então o triângulo formado pelos três vértices diametralmente
opostos ao azuis é vermelho e é congruente a T.Então Q_0 e Q_4
são azuis e as únicas possibilidades a considerar são o outro vértice
azul ser Q_1 ou Q_2 (o caso Q_0 Q_3 Q_4 é simétrico ao caso Q_0 Q_1
Q_4)
Mas:- se T é formado por Q_0 Q_1 Q_4 o triângulo vermelho Q_2, Q_3, Q_6 é congruente a T eQ_0, Q_1 Q_3 --- triângulo vermelho Q_4, Q_5, Q_7.- se T é formado por Q_0, Q_2, Q_4 o triângulo vermelho Q_3, Q_5, Q_7 é congruente a T, encerrando a prova. CQD.
O fato seguinte infelizmente foi necessário, desculpem pela demonstração horrenda, foi a única que consegui.
FATO 3. Se colorimos os vértices de um octógono regular com
cores aul e vermelha de forma a termos 4 vértices de cada cor, então há
um trângulo de vértices (todos) vermelhos que é congruente a um
triângulo de vértices (todos) azuis.
DEM. Na força bruta mesmo. ordene os vértices desse octógono no sentido anti-horário e chame-os de Q_0,Q_1,...Q_7.Claro que pode-se escolher Q_0 de forma a este ser azul.Por
simetria pode-se supor que o próximo vértice azul é Q_{j} com j4
(se não ordene no sentido horário a partir de Q_0 e repita a
demonstração).
Então há as seguintes possibilidades para os Vértices azuis a serem analisadas:(a)
Se houver três vértices consecutivos azuis, digamos Q_0, Q_1, Q_2,
então caso o quarto vértice azul não seja Q_5, há também três vértices
consecutivos vermelhos e conseguem-se os dois triângulos desejados.
Caso os vértices azuis sejam Q_0, Q_1, Q_2 e Q_5, então note que o triângulo Q_3Q_4Q_7 é vermelho e congruente Q_1Q_2Q_5Então resta considerar as possibilidades em que não há 3 vértices consecutivos azuis.
Primeiro os casos em que há dois (mas não três) vértices azuis connsecutivos, digamos Q_0 e Q_1(b) Q_0,Q_1, Q_3,Q_4 - Então o triângulo azul Q_0,Q_1Q_4 é congruente ao triângulo vermelho Q_6,Q_7,Q_2.
(c) Q_0,Q_1, Q_3,Q_5 - Então o triângulo azul Q_0,Q_1Q_3 é congruente ao triângulo vermelho Q_6,Q_7,Q_4.(d) Q_0,Q_1, Q_3,Q_6 - Então o triângulo azul Q_0,Q_1Q_6 é congruente ao triângulo vermelho Q_4,Q_5,Q_2.
(e) Q_0,Q_1,Q_4Q_5 - Então o triângulo azul Q_0,Q_1Q_4 é congruente ao triângulo vermelho Q_6,Q_7,Q_2.
(f) Q_0,Q_1,Q_4,Q_6 - Então o triângulo azul Q_0,Q_1Q_6 é congruente ao triângulo vermelho Q_3,Q_2,Q_5.Isso encerra os casos em que há dois vértices consecutivos de cor azul.Resta agora apenas uma possibilidade, mas esta trivial.
(g) Q_0, Q_2. Q_4, Q_6 - Então o triângulo azul Q_0, Q_2, Q_4 é congruente ao triângulo vermelho Q_1,Q_3,Q_5.
Ufa! Acabou (acho). CQD.E, enfim, prova-se o resultado desejado.Considere
uma coloração qualquer de {P_0,P_1,...,P_{999}} com cores azul e
vermelha tal que há 500 vértices azuis e outros tantos vermelhos.
Há 3 possibilidades:- (I) Um dos octaedros construídos
no fato 1 tem 4 vértices de cada cor, então pelo fato 3 há um triângulo
vermelho congruente a um triângulo azul nesse ocatedro, encerrando o
assunto.
- (II) Um dos octaedros construídos no fato 1 tem 5
Re: [obm-l] exemplo de uma sequencia
Boa noite: Tente a_n:=1/(nlog(n)), n=2.On 4/3/06, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguem tem um exemplo de uma sequencia a_n, monotonicamente decrescente ecom termos nao negativos, tal que lim n * a_n = 0 mas Soma(n=1) a_n divirja? lim n* a_n =0 eh uma condicao necessaria para convergencia deSoma(n=1) a_n mas nao suficiente.Artur=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] Prove that 22/7 pi.
Boa tarde22/7 é a *famosa* aproximação usada por Arquimedes para \pi.Além da maneira exposta, pode-se obter esse resultado usando fatos absolutamente elementares de frações contínuas (ou continuadas como parece que alguns modernosos gostam de chamar), uma vez que 22/7 aparece naturalmente ao expandir \pi em frações contínuas (é a segunda reduzida). Mais detalhes podem ser obtidos no livroContinued fractions de Beskin, N., Editora Mir (coleção Little math. library)Esse livro é muito bom e elementar, totalmente acessível a estudantes do segundo grau. (deve haver alguma trradução horrorosa para castelhano ou, uma pior ainda, para português)Manuel GarciaOn 3/21/06, Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] wrote:Sauda,c~oes,Achei esta mensagem interessante. Um abraço,LuísFrom: Nikolaos Dergiades [EMAIL PROTECTED]Reply-To: [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Subject: RE: [EMHL] Prove that 22/7 piDate: Sun, 19 Mar 2006 22:33:33 +0200Dear friends,M. T. ZED wrote: Prove that 22/7 pi. Help me please.We have4/(x^2+1) = x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 - x^4(1-x)^4/(x^2+1)or in the interval ( 0, 1)4/(x^2+1) x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4and by integration from 0 to 1 we get pi 22/7. Does anybody knows a geometric or a simpler proof?Best regardsNikos DergiadesEscrevax^4(1-x)^4 = x^4(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) .Agora some e subtraia termos para obter múltiplos de x^2 +1: x^8 - 4x^7 + 6x^6 - 4x^5 + x^4 = x^8 + 6x^6 + x^4 - 4x^5(x^2 + 1)= (x^6-4x^5)(x^2 + 1) + 5x^6 + x^4 = (x^6 - 4x^5 + 5x^4)(x^2+1) - 4x^4= (x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2)(x^2 + 1) + 4x^2= (x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4)(x^2 + 1) - 4 Transpondo e dividindo por x^2 + 1, vem:4/(x^2+1) = x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 - x^4(1-x)^4/(x^2+1)qed=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] Bertrand Russel
Boa tarde. Tentando fazer uma bboa ação natalina... Nicolau C. Saldanha wrote: ... Uma curiosidade minha: quando foi que Bertrand Russel escreveu este livro? A menos dos tradicionais absurdos de tradução a obra de Russel supramencionada deve ser A History of Western Philosophy publicada pela New York: Simon and Schuster; London: George Allen and Unwin, em 1945. Essa obra é bem posterior aos clássicos The Principles of Mathematics, Cambridge University Press de 1903 e Principia Mathematica, 3 vols, Cambridge University Press, que é publicado entre 1910 e 1913, em coautoria com Alfred Whitehead, onde é desenvolvida a chamada Teoria dos Tipos. Fim da boa ação! E eu não resisto a uma maldade, a definição de Russel (corrigida) de fato é incompreensível para mais do que 99% dos mortais, mas em minha opinião, qualquer outra, incluindo as usuais que o Nicolau menciona em sua resposta é igaulmente incompreessível a mais que 98,99...% do mesmo universo. No fim é Euclides que tem razão! Manuel Garcia = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probleminha OFF-TOPIC
Bruno França dos Reis wrote: Um amigo meu da CM (ciencias moleculares) da USP, acabou de entrar lá, me passou o problema. Ele disse que o professor de Cálculo I passou esse problema pros alunos. Correção, a disciplina chama-se Matemática I. Se vão me citar (ainda que indiretamente) sem autorização, pelo menos façam-no precisamente (eheheheh). Manuel Garcia Abraço Bruno On 8/18/05, *Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet* [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] wrote: De onde voce tirou esse problema? Informe suas fontes... Procure por uma solucao dele em www.kalva.demon.co.uk http://www.kalva.demon.co.uk --- Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] escreveu: Sejam a,b naturais nao nulos. Seja k = (a^2 + b^2) / (1 + ab) Prove: k natural == k quadrado perfeito Abraço Bruno -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com http://gmail.com http://gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html http://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com http://gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto dos pontos de convergencia de uma sequencia de funcoes
Bom dia, Os que gostam desse tipo de assunto podem achar útil a leitura do capítulo referente ao teorema de Baire do livro Aplicações da Topologia à Análise de Hönig, C. S., publicado na coleção Projeto Euclides. Manuel Garcia Artur Costa Steiner wrote: Achei o fato a seguir, que eu nao conhecia ateh ontem, muito interessante. Convido os colegas que gostam deste tipo de assunto a demonstra-lo. Seja (f_n) uma sequencia de funcoes continuas, definidas em R e com valores tambem em R. Seja C o conjunto dos elementos para os quais (f_n) eh convergente. Entao, C eh um F-sigma-delta, isto eh, C eh a interseccao de uma colecao enumeravel de conjuntos F-sigma. Lembro que um conjunto eh F-sigma (G-delta) se for dado pela uniao (interseccao) de uma colecao enumeravel de conjuntos fechados (abertos). Este fato, na realidade, nao se limita a R, vale para qualquer sequencia de funcoes entre espacos metricos. Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Normas
On Fri, Jul 30, 2004 at 09:16:30PM -0300, Chicao Valadares wrote: outra coisa nao lembro agora onde vi isso,mas que a definiçao de Norma para a+bi igual a a^2 + b^2 estava ultrapassada, e que a definiçao atual era sqrt(a^2 + b^2).Verdade??? Há muitas normas, todas equivalentes, em C, e não há uma mais atual. Mas com certeza a²+b² não é uma norma (olhe a definição de norma em seu livro favorito de análise funcional ou de álgebra linear). Manuel Garcia = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_RES:_[obm-l]_Provas_antigas_-_Ita...(OFF_-_TÓPIC)
Quanto à proposta: Angelo Barone Netto wrote: Que achariam V.V. de passar a enviar problemas de nivel de vestibular para esta nova lista, aliviando nossa lista olimpica? Todo o aopoio! Manuel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] OFF-TOPIC
Boa noite, Nada tenho contra mensagens em ingles ou portugues (sem acentos, claro, nem todos os teclados os aceitam), mas sugiro fortemente nao mandar mensagens cifradas, com girias ou aberracoes que alguns grupos conhecam e outros nao, se nao daqui a pouco cada um vai escrever conforme ache que esta' suficientemente compreensivel e isso pode ser muito prejudicial. Por exemplo, qual a lingua em que a mensagem abaixo foi escrita? Manuel Garcia On Tue, 19 Aug 2003, luis-cu wrote: oi, tipo, nao sou muito bom de probabilidade,as vezes boto uma cabeça dura e tenhu q quebra muito pra entender oq esta erradono meu raciocinio, por isso gostaria q me dissessem tipo, como provavelmente nao se considera temporada, treino, novos jogadores, e bla bla bla, pensei, ele tem 2 possibilidades, e 2 possiveis resultados, entao, pra mim seria 1/2, e as bolaas tb seriam o mesmo, 50 e 50, metade. tipo, sei q ta mais q errado, axu, mas sempre nao concidero certas coisas e pa, por isso nao me dou muito bem, gostaria q me ajudasse, grato Zanforlin = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencias
Boa noite,
Sobre seqüências de números reais que tem a propriedade
Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que
lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0
há uma coisa a mais que talvez mereça ser citada:
Vale o seguinte resultado:
Suponha que a seqüência (x_k) de reais tem a propriedade acima.
Se a é o limite inferior de (x_k) e b é o limite superior de (x_k) (a ou
b podem ser +- infinito) então para todo ponto z pertencente a [a,b]
existe uma subseqüência (x_(k_j)) de (x_k) que converge para z.
(Chame-se a esta propriedade P*)
A recíproca disto é falsa, mas vale a seguinte coisa, se (x_k) tem a
propriedade P* existe uma subseqüência (x_(k_j)) de (x_k), tal
que (x_(k_j)) tem
mesmo limite inferior que (x_k), mesmo limite superior que (x_k), e a
seqüência (x_(k_j)) tem a propriedade
lim | x_{k_{j+1}} - x_{k_j} | = 0
As demonstrações disso eu fiz há algum tempo atrás, mas acho mais
divertido deixar para vocês pensarem.
Manuel Garcia
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Re: [obm-l] Análise Real
Bernardo, Boa tarde, Prove que R - Q (o conjunto dos números Irracionais) não pode ser escrito como uma união enumerável de conjuntos fechados. Se entendi o seu problema, ele pede para provar que, com a topologia usual de R, nao existem subconjuntos fechados de R, F_1, F_2, ..., F_n, ..., tais que a reuniao dos F_n seja R-Q, certo? Se for isso, suponha por abusrdo, que isso e' falso e seja, para cada n, O_n = R - F_n. O_n e' aberto, qualquer que seja n, e e' facil ver que a interseccao dos O_n e' Q. Como Q e' denso em R, e' claro que cada O_n e' denso em R. Entao, como R e' um espaco de Baire (por ser completo), segue-se do teorema de Baire que a interseccao dos O_n e' um espaco de Baire. Mas isto e' um absurdo, pois Q e' enumeravel, e portanto e' a reuniao enumeravel de fechados sem interior nao podendo assim ser de Baire. Manuel Garcia = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Referencia Bibliografica (era: Combinatoria (In off))
Paulo, Boa tarde, On Tue, 15 Jul 2003, Paulo Santa Rita wrote: Voce nao gostaria de apresentar aqui uma construcao dos reais, via cortes ou sequencias de Cauchy, por exemplo, e desta construcao derivar o TEOREMA DO SUPREMO ? Nao teria sentido fazer isso aqui, mas recomendo a leitura dos excelentes textos abaixo em que isso esta' bem feito, muito mais bem feito do que qualquer coisa que eu pudesse esbocar aqui (eles podem ser encontrados em bibliotecas de faculdades de Matematica): (A) Para construcoes via cortes de Dedekind: Rudin, W.- Priciples of Real Analysis-3rd edition, McGraw Hill International Editions (da segunda edicao deste livro ha', infelizmente, uma traducao, mas essa edicao nao tras a cosntrucao de R). Veja o apendice ao capitulo 1. Spivak, M.- Calculus (vol II) - Editorial Reverte, veja o apendice 1 deste texto. (B) Para construcoes atraves de sequencias de Cauchy (particularmente gosto mais deste enfoque): Esta' feita na seccao 5 do livro Hewitt, E. Stromberg, K.- Real and Abstract Analysis - Springer. Um ultimo comentario, historico, a construcao por cortes e' devida a Dedekind (foi publicada pela promeira vez em 1872) e por sequencias de Cauchy e' devida a Cantor, sendo originariamente publicada tambem em 1872. Manuel Garcia = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Análise Real
Bernardo,
Boa tarde,
Só dois comentários:
(1) Há algo estranho com o corolário, ele é completamente trivial,
mas não sei como concluir do exercício original esse resultado. Veja o
seguinte, Q não pode ser a renuião enumerável de abertos, simplesmente
porque cada aberto não vazio de R contém um inervalo aberto (a,b) não
vazio. Logo se Q fosse uma reunião de abertos (enumerável ou não) Q
conteria (a,b). Iso é absurdo pois R-Q é denso em R. Talvez o corolário
seja Q não é a intercecção enumerável de abertos. De fato isso segue-se
imediatamente do exercício proposto, por passagem ao complementar.
(2) Não sei exatamente o contexto em que o exercício apareceu, às vezes
quando se fala em R, esconde-se quando se está usando Baire. Você precisa
saber alguma coisa, por exemplo que R não pode ser escrito como reunião
enumerável de fechados sem interior [pode chamar isso propriedade de Baire
da reta] ou algo equivalente para fazer o exercício (o que foi usado na
demonstração do outro email foi algo equivalente). Se você souber dessa
propriedade que enunciei acima, uma demonstração alternativa (que, no
fundo é exatamente igual) é a seguinte.
Suponha, por absurdo, que existem subconjuntos fechados de R, F_1,
F_2,..., F_n,... tais que a reunião de todos os F_n seja R-Q.
Como Q não tem interior (pois nenhum intervalo aberto da reta, não
vazio, está contido em Q) segue-se que cada F_n tem interior vazio.
Qomo Q é enumerável tome {q_k, k em N} uma enumeração de Q e defina
T_j={q_j}, j=1,2,...
Claro que cada T_j é fechado e de interior vazio.
Então R = (R-Q) U Q seria a reunião dos F_n com os T_j. Então ter-se-ia
escrito R como uma reunião enumerável de fechados sem interior, o que
contraria a aupramencionada propriedade de Baire da reta.
Manuel Garcia
On Tue, 15 Jul 2003 [EMAIL PROTECTED] wrote:
Manuel,
Boa tarde.
Muito boa a solução para este problema, mas eu não conheço o teorema de
Baire, nem lembro muito bem o que era um espaço de Baire. Mas o pior é que
este problema tinha um corolário: conclua que Q não é a reunião enumerável
de abertos... então eu suponho que deve haver outro meio para resolver este
problema. Para ser mais completo, deixo agora a referência:
Curso de Análise, vol 1 - Elon Lages Lima
Capítulo 5 (Topologia da Reta) - exercício 55
Muito obrigado pela atenção,
Bernardo
=
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Re: [obm-l] Combinatoria (In off)
Boa noite, Sobre o trecho: O segundo caso (mais geral) que você colocou, realmente merece uma demonstração, eu acho. Mas na minha cabeça, esse Princípio de Dirichlet seria uma coisa tão intuitiva que não precisaria de provas. Aí eu me embolo... Quando uma proposição precisa ser provada e quando se admite que ela é intuitiva o suficiente para ser aceita sem demonstração? No sentido que as palavras tem em matematica (e matematica era, ate' algum tempo atras, o assunto desta lista) sua duvida nao tem uma resposta absoluta, exceto a trivial, DEPENDE do que foi admitido como axioma no contexto de seu estudo, isto inclui, entre outras coisas mais mundanas, quais os axiomas de teoria dos conjuntos que voce esta' admitindo. Tudo o que nao for axioma precisa ser demonstrado. Eu nunca vi o principio de Dirichlet (ou pigeonhole) ser colocado como axioma, entao precisa de uma demonstracao (se voce estiver admitindo os postulados de Peanno para o conjunto dos naturais e ZF, isso sai trivialmente, mas e' a demonstracao que e' trivial, nao a afirmacao. Alias essa afirmacao tao trivial caracteriza, em muitos contextos, conjuntos finitos), mas esta frase diz apenas isso: eu, na minha limitadissima experiencia, nunca vi... Poucas afirmacoes sao tao evidentes (maldita palavra) como a do Teorema da Curva de Jordan, se alguem conhecer alguma demonstracao trivial dela, por favor, mostre-ma! Apenas um adendo, COM O AVISO DE IN-OFF EM MAIUSCULAS. Axioma, em matematica, nada tem a ver com intuitivo, ou evidente. os axiomas das geometrias nao-euclideanas sao, do ponto de vista matematico (outros pontos de vista deveriam ser assunto de bate papo em mesa de botequim, coisas muito interessantes alias essas conversas, mas nao desta lista), tao intuitivas quanto as euclideanas. Num exemplo concreto, falou-se nesta lista ha' nao muito tempo em axioma do supremo para o conjunto dos Reais, isso ser um axioma so' faz sentido numa teoria em que o conjunto dos numeros Reais (R) e' apresentado axiomaticamente. Se voce quiser construir, por exemplo a partir dos numeros racionais, esse conjunto isso deixa de ser axioma e passa a ser uma PROPRIEDADE e precisa ser demonstrada. Hoje em dia pode parecer estranho falar-se em construcao de R, pois o metodo axiomatico e' a unica forma que i conjunto dos Reais e' apresentado (como dizia N. Rodrigues, toda unaminidade e' burra) e construcoes de R sao temas desconhecidos dos dois primeiros anos de cursos de graduacao em matematica, mas para pelo menos um grande Professor de Matematica que eu conheco isso esta' longe de ser uma virtude do atual modelo de ensino... Desculpem o carater in-off do adendo, ele foge completamente dos objetivos desta lista, mas em virtude de certas perolas recentes, que nem ao menos vem com o aviso de in-off no subject penso que o professor Nicolau perdoara' este deslize. Manuel Garcia = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Raizes reais
Boa noite, Sem fazer quase nenhuma conta. (i) Veja que x^3 + 3x^2 + 3x - 1 = x(x^2+3x+3) - 1. Como x^2+3x+3 0, para todo x real, e'claro que, se x=0, entao x^3 + 3x^2 + 3x - 1 0. (ii) Por outro lado, no intervalo (0,+infinito) x^3 + 3x^2 + 3x - 1 e' estritamente crescente, logo nesse intervalo o polinomio dado tem apenas 1 raiz real. Segue-se de (i) e (ii) que x^3 + 3x^2 + 3x - 1 tem uma unica raiz real que e' estritamente positiva. Entao a soma das raizes reais e' exatamente a unica raiz real. Agora, lembre que esta e' uma questao teste e verifique, por inspecao das alternativas que, -3 e 1 - 2^(1/3) nao sao estritamente positivos, logo nao sao raizes; 3 nao e' raiz (pois o unico racional estritamente positivo que poderia ser raiz desse polinomio e' 1), 1 nao e' raiz (ta' bem para isso voce tem que fazer um calculo, que nao e' la' tao dificil). Entao resta so' a alternativa (D)... Se voce nao for jesuita, e quiser um jeito mais estilo forca bruta, poderia ter feito assim, lembre que e' teste, veja que a alternativa (D) da' uma raiz do polinomio (verificacao direta, mas fazendo mais contas do que acima). Entao dividindo o polinomio dado por x - (2^(1/3) - 1) encontrara um polinomio do segundo grau sem nenhuma raiz real (essa parte e' um pouco mais chata, mas as contas sao todas elementares, embora chatas). Entao a unica raiz real e' (D), que tambem e' a soma. Garcia On Thu, 3 Jul 2003, Rafael Ando wrote: Essa eh uma questao da 1ª fase do obm de 1998, 1ª fase (nivel 3). 24. A soma das raízes reais de x^3 + 3x^2 + 3x - 1 = 0 eh: a)-3 b)1 - 2^(1/3) c)1 d)2^(1/3) - 1 e)3 A resposta eh D, mas eu naum consegui fazer... alguem pode me ajudar (por favor, sem usar a fórmula da resolução de eq. 3° grau...) _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
OFF-TOPIC Re: [obm-l] Re:Deve haver fissao da lista?
Boa noite, Dado que a mensagem abaixo apareceu para a lista, mesmo depois de uma anterior do administrador da lista sugerindo que isso fosse evitado, peco desculpas por meter a colher nisto publicamente. Sem querer parecer grosso, acho que a ideia do Nicolau de que se escreva diretamente para ele sobre o assunto e depois ele coloca o resultado da votacao e' a unica coisa de bom senso a fazer, certamente evita ruidos, mal-entendidos ou coisas piores. Na minha opiniao esta mensagem, por exemplo, deveria ser qualificada de off-topic. Obrigado, Manuel On Tue, 11 Feb 2003 [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Nicolau, Quanto a fissão da lista vou expressar a seguinte opinião: Poucos aqui têm a noção do conhecimento que adquiri em matemática em virtude desta lista. A questão não é a criação de uma lista paralela e sim esta nova lista ser criada e não participarem professores altruístas como participam nesta lista da OBM como o Cláudio, o Morgado, entre outros. Devemos analisar o seguinte: A lei da oferta e da procura, ou seja, aqueles que queiram ensinar e aqueles que queiram aprender. Como sabemos que este último sempre excederá o primeiro não só no Brasil como no mundo todo, falo isso como professor novato, mas que conhece um pouco do sistema educacional que rege este mundo contemporâneo. Mas devemos saber tbém que alguém que procura uma lista de matemática seja ela de nível médio, superior, ou até mesmo fundamental representa a minoria na população em termos de motivo/motivação (motivo no sentido do termo motivo em psicologia). Portanto sou contra e a favor, condicionalmente falando . Sou contra se a nova lista não haver este equilíbrio entre a oferta e a procura. Mas sou a favor se participarem uma quantidade suficiente de professores que tornariam menor está discrepância entre o binômio ensino X aprendizagem. Pois poderiamos dizer que seria muito difícil o número de elementos desses dois conjuntos E(n) e A(n) se igualarem (E(n)=A(n)) havendo uma correspondência biunívoca ou bijetora. Em todo caso como jamais iria ocorrer isso, pois vivemos em um mundo que não valoriza a intelectualidade e já podemos chamar isso de assíntota educacional, pois jamais se encontrariam. ICQ 337140512 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] É sempre possível?
Isso e' um problema em aberto. Nenhuma das perguntas que voce fez tem uma definitiva conhecida. Manuel Garcia IME-USP On Fri, 15 Nov 2002, cgmat wrote: Uma questão proprosta enum vestibular dizia que: Seja n um número inteiro e positivo. Se n é par divida-o por 2; se n é ímpar, multiplique-o por 3 e adicione 1 ao resultado. Esse procedimento deve ser repetido até que o resultado final seja 1. Assim , por exemplo se n=12, tem-se 12 - 6 - 3 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1 ou seja, foram necessárias 9 passagens até obter-se o resultado 1. Se n=11 quantas passagens seriam necessárias para obter o resiultado final 1? Bem é trivial descobrir que são necessárias 14 passagens. A minha dúvida é dado qualquer inteiro positivo n é sempre possível através das operações acima definidas chegar ao resultado 1? E neste caso , se possível, como determinar a quandidade de passagens necessárias para isso sem ter que descrevê-las? Grato, Cgomes. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Topologia e Infinitude dos Primos
Olhe o livro proofs from the book de Aigner e Ziegler, Springer Verlag - 2001 (2nd. ed) O primeiro capitulo deste livro e' dedicado a demonstracoes de da infinitude de primos e existe la' uma demonstracao com ferramentas de topologia. Nao sei se e' bela na opiniao do seu professor, isso ai' e' sempre um juizo de valor. Manuel Garcia IME-USP On Wed, 13 Nov 2002, bruno lima wrote: Um professor meu mandou eu procurar um livro de Teoria de Numeros, o autor ele acha que se chama Rubenstein é um livro em ingles. Alguem conhece qual o nome do livro e do autor de verdade. Ele disse que no livro tem uma bela prova da infinitude de primos usando topologia, alguem conhece?? - Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: pontos de encontro das diagonais
Alguns factos interessantes sobre o numero de intersecções (internas) das diagonais de um poligono regular: 1) se n impar entao todos os pontos de intersecção resultam de apenas duas diagonais( intersecção simples). observação: Como isto é tudo o que precisamos saber para a efectuar contagem pretendida, podemos afirmar que, neste caso, existem comb(n,4) pontos que resultam da interseçcão das diagonais. 2) (fácil!) o centro do poligono aparece como ponto de interseçcão apenas quando n é par, e resulta da interseçcão de n/2 diagonais. 3) não existe nenhum ponto que resulta da interseçcão simultanea de 8 diagonais. Referência: bjorn poonen Desafio: Encontrar uma demonstração simples para o facto referido em 1). manuel Caros amigos, gostaria de saber se algum de vocês poderia de ajudar com a seguinte questão: Quando traçamos todas as diagonais de um poligono regular convexo em quantos pontos essas dagonais se interceptam? Fora o centro do polígono, no caso em que o úmero de lados é par, existe um outro ponto em que três diagonais se interceptam?
Re: ajuda-desigualdade
Um quadrilátero tem um vértice em cada lado de um quadrado unitário. Mostre que os comprimentos a,b,c e d do quadrilátero satisfazem as desigualdades: 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 4 . Basta usar o teorema de pitagoras ( 4 vezes). manuel
