[obm-l] Cos 7º
Como calcular cos7º ? Júnior.
Re: [obm-l] Cos 7º
como o angulo eh pequeno... aproxima senx=x; mas naum esqueca de por em radianos... assim dah um valor bem proximo.. Em 25/05/06, LEANDRO L RECOVA <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Use a serie de Taylor para Cossenos.>From: "Júnior" < [EMAIL PROTECTED]>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br>To: obm-l@mat.puc-rio.br>Subject: [obm-l] Cos 7º>Date: Thu, 25 May 2006 11:55:06 -0300 >>Como calcular cos7º ?>>Júnior.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] Cos 7º
On Thu, May 25, 2006 at 11:55:06AM -0300, Júnior wrote: > Como calcular cos7º ? Eu imagino que você esteja interessado no valor exato pois é muito fácil calcular o valor aproximado com vários programas de computador. Por exemplo, com o maple, > evalf(cos(7*Pi/180)); 0.9925461516413220349800615893305841090437 Eu suponho que você saiba que cos(36 graus) = c36 := (1+sqrt(5))/4; sen(36 graus) = s36 := sqrt(5-sqrt(5))/(2*sqrt(2)); cos(15 graus) = c15 := sqrt(2+sqrt(3))/2; sen(15 graus) = s15 := sqrt(2-sqrt(3))/2; Assim cos(21 graus) = c21 := c36*c15+s36*s15; Como cos(3t) = 4 cos^3(t) - 3 cos(t), cos(7 graus) é uma das raízes de 4*x^3 - 3*x - c21 = 0; O maple confirma que as três raízes são cos(127 graus) = -0.6018150231520482799179770004414898414256, cos(247 graus) = -0.390731128489273755062084590942676180, cos( 7 graus) = 0.9925461516413220349800615893305841090437. Como se demonstra nos cursos de teoria de Galois, não é possível chegar numa fórmula com radicais reais para as raízes deste polinômio. Talvez você goste de saber que cos(7 graus) é a segunda mair raiz de 48 46 44 281474976710656 z - 3377699720527872 z + 18999560927969280 z 42 40 38 - 66568831992070144 z + 162828875980603392 z - 295364007592722432 z 36 34 + 411985976135516160 z - 452180272956309504 z 32 30 + 396366279591591936 z - 280058255978266624 z 28 26 24 + 160303703377575936 z - 74448984852135936 z + 28011510450094080 z 22 2018 - 8500299631165440 z + 2064791072931840 z - 397107008634880 z 16 14 12 + 59570604933120 z - 6832518856704 z + 583456329728 z 10 8 6 4 2 - 35782471680 z + 1497954816 z - 39625728 z + 579456 z - 3456 z + 1 As raízes são +-cos(k graus) e +-sen(k graus) para k = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cos 7º
Só pra dar um dos possíveis exemplos de como se obter cos(7 graus) a partir de equações algébricas (e sem querer dar pitaco na discussão mais avançada que se seguiu depois!!!) 1- Tome p(x) = x^180 + 1 e calcule suas raízes. 2- Tome uma das raízes com parte real máxima(são 4 raízes com parte real máxima em módulo, tomemos uma delas, digamos x180) 3- Eleve este numero complexo à sétima: c7 = (x180)^7 4- A parte real de c7 vale cos(7 graus), exatamente. []´s Demétrio No maple => restart;f:=x^180+1;z:=solve(f=0): 180 f := x+ 1 > r180:=0: for r in z do > if ( evalf(Re(r180)) < evalf(Re(r)) ) then r180:=r: end if: > end do: > > > evalf((r180)); 0.9998476955 + 0.01745240644 I > evalf[50](Re(r180^7)); 0.99254615164132203498006158933058410904365287740678 > evalf[50](cos(2*Pi*7/360)); 0.99254615164132203498006158933058410904365287740683 --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: > On Fri, Maio 26, 2006, "Nicolau C. Saldanha" > <[EMAIL PROTECTED]> > said: > > > Talvez você goste de saber que cos(7 graus) é a > segunda mair raiz de > > > > 48 46 > 44 > > 281474976710656 z - 3377699720527872 z + > 18999560927969280 z > > > > 42 > 40 38 > > - 66568831992070144 z + 162828875980603392 > z - 295364007592722432 z > > > >36 > 34 > > + 411985976135516160 z - 452180272956309504 > z > > > >32 > 30 > > + 396366279591591936 z - 280058255978266624 > z > > > >28 > 26 24 > > + 160303703377575936 z - 74448984852135936 > z + 28011510450094080 z > > > > 22 20 >18 > > - 8500299631165440 z + 2064791072931840 z > - 397107008634880 z > > > >16 14 >12 > > + 59570604933120 z - 6832518856704 z + > 583456329728 z > > > > 10 8 > 6 4 2 > > - 35782471680 z + 1497954816 z - 39625728 > z + 579456 z - 3456 z + 1 > > > > > > As raízes são +-cos(k graus) e +-sen(k graus) para > > k = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43. > > > Magnífico. Onde será que eu posso achar algo > que explique como > construir esse polinômio ... Acredito que não deva > ser nada simples. > > Ronaldo. > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cos 7º
Talvez valha a pena comentar que o argumento da mensagem abaixo pode ser facilmente adaptado para mostrar que qualquer ângulo, expresso em graus por um número racional (ou expresso em radianos por um racional multiplicado por Pi) tem números algébricos como seno e cosseno. Por outro lado, mostrar que senos e cossenos de um número algébrico são transcedentais é possível com o teorema de Lindemann-Weierstrass (que eu não sei demonstrar). Por último, resta responder se senos e cossenos de ângulos transcedentais, mas que não são múltiplos racionais de Pi, são transcedentais. Este último acho que está em aberto. Além poderia confirmar? []´s Demétrio --- Demetrio Freitas <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Só pra dar um dos possíveis exemplos de como se > obter > cos(7 graus) a partir de equações algébricas (e sem > querer dar pitaco na discussão mais avançada que se > seguiu depois!!!) > > 1- Tome p(x) = x^180 + 1 e calcule suas raízes. > 2- Tome uma das raízes com parte real máxima(são 4 > raízes com parte real máxima em módulo, tomemos uma > delas, digamos x180) > 3- Eleve este numero complexo à sétima: c7 = > (x180)^7 > 4- A parte real de c7 vale cos(7 graus), exatamente. > > []´s Demétrio > > No maple => > > restart;f:=x^180+1;z:=solve(f=0): > 180 > f := x+ 1 > > r180:=0: for r in z do > > if ( evalf(Re(r180)) < evalf(Re(r)) ) then > r180:=r: end if: > > end do: > > > > > > evalf((r180)); > 0.9998476955 + 0.01745240644 I > > evalf[50](Re(r180^7)); > 0.99254615164132203498006158933058410904365287740678 > > evalf[50](cos(2*Pi*7/360)); > 0.99254615164132203498006158933058410904365287740683 > > > > > --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: > > > On Fri, Maio 26, 2006, "Nicolau C. Saldanha" > > <[EMAIL PROTECTED]> > > said: > > > > > Talvez você goste de saber que cos(7 graus) é a > > segunda mair raiz de > > > > > > 48 46 > > > 44 > > > 281474976710656 z - 3377699720527872 z + > > 18999560927969280 z > > > > > > 42 > > > 40 38 > > > - 66568831992070144 z + > 162828875980603392 > > z - 295364007592722432 z > > > > > >36 > > > 34 > > > + 411985976135516160 z - > 452180272956309504 > > z > > > > > >32 > > > 30 > > > + 396366279591591936 z - > 280058255978266624 > > z > > > > > >28 > > > 26 24 > > > + 160303703377575936 z - > 74448984852135936 > > z + 28011510450094080 z > > > > > > 22 > 20 > >18 > > > - 8500299631165440 z + 2064791072931840 z > > > - 397107008634880 z > > > > > >16 14 > > >12 > > > + 59570604933120 z - 6832518856704 z + > > 583456329728 z > > > > > > 10 8 > > > 6 4 2 > > > - 35782471680 z + 1497954816 z - > 39625728 > > z + 579456 z - 3456 z + 1 > > > > > > > > > As raízes são +-cos(k graus) e +-sen(k graus) > para > > > k = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, > 43. > > > > > > Magnífico. Onde será que eu posso achar algo > > que explique como > > construir esse polinômio ... Acredito que não deva > > ser nada simples. > > > > Ronaldo. > > > > > > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > = > > > > > > __ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! > Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cos 7º
Em 30/05/06, Demetrio Freitas <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Talvez valha a pena comentar que o argumento damensagem abaixo pode ser facilmente adaptado para mostrar que qualquer ângulo, expresso em graus por umnúmero racional (ou expresso em radianos por umracional multiplicado por Pi) tem números algébricoscomo seno e cosseno.Por outro lado, mostrar que senos e cossenos de um número algébrico são transcedentais é possível com oteorema de Lindemann-Weierstrass (que eu não seidemonstrar).Por último, resta responder se senos e cossenos deângulos transcedentais, mas que não são múltiplos racionais de Pi, são transcedentais. Este último achoque está em aberto. Além poderia confirmar?[]´s DemétrioNa verdade bastaria demonstrar que cos Nx é um polinomio em cos x, para provar o seu intento. Aliás tem uma demo disto no "Proofs from THE BOOK". O que voce querioa saber, se por exemplo cos(e) em que (e) e o numero de Euler, é transcedente ou nao?Podemos ver algo como sen(X)=(e^(ix \pi)-e^(-ix \pi))/2i. Talvez haja uma luz sobre tais conjecturas... E creio que seja um problema em aberto mesmo, pois nada diz que ele seja fácil (saber se e^e é transcedente já nào dá...)
Re: [obm-l] Cos 7º
On Tue, May 30, 2006 at 01:49:53PM +, Demetrio Freitas wrote: > > Talvez valha a pena comentar que o argumento da > mensagem abaixo pode ser facilmente adaptado para > mostrar que qualquer ângulo, expresso em graus por um > número racional (ou expresso em radianos por um > racional multiplicado por Pi) tem números algébricos > como seno e cosseno. > > Por outro lado, mostrar que senos e cossenos de um > número algébrico são transcedentais é possível com o > teorema de Lindemann-Weierstrass (que eu não sei > demonstrar). > > Por último, resta responder se senos e cossenos de > ângulos transcedentais, mas que não são múltiplos > racionais de Pi, são transcedentais. Este último acho > que está em aberto. Além poderia confirmar? Isto é falso (se eu entendi corretamente a pergunta). Sabemos que se t é um múltiplo racional de pi então 2 cos t é um inteiro algébrico. Sabemos também que se t é algébrico e diferente de 0 então cos t é transcendente. Seja t = arc cos(1/4): pelos resultados acima, t é transcendente mas não é múltiplo racional de pi. Por outro laso, cos t é recional. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cos 7º
--- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Por último, resta responder se senos e cossenos de > > ângulos transcedentais, mas que não são múltiplos > > racionais de Pi, são transcedentais. Este último > acho > > que está em aberto. Além poderia confirmar? > > Isto é falso (se eu entendi corretamente a > pergunta). > > Sabemos que se t é um múltiplo racional de pi então > 2 cos t é um inteiro algébrico. Sabemos também que > se > t é algébrico e diferente de 0 então cos t é > transcendente. > Seja t = arc cos(1/4): pelos resultados acima, t é > transcendente Humm... Acho que me perdi em alguma coisa professor. t=arccos(1/4) implica em t transcendente, até aqui tudo bem. Mas como posso provar que t/Pi não é racional? Isto é, acredito que t/Pi não seja racional (até apostaria nisso) mas não consegui ver como demonstrar isso. []´s Demétrio > mas não é múltiplo racional de pi. Por outro laso, > cos t é recional. > > []s, N. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cos 7º
On Wed, May 31, 2006 at 02:31:47PM +, Demetrio Freitas wrote: > > --- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> > escreveu: > > > > Por último, resta responder se senos e cossenos de > > > ângulos transcedentais, mas que não são múltiplos > > > racionais de Pi, são transcedentais. Este último > > acho > > > que está em aberto. Além poderia confirmar? > > > > Isto é falso (se eu entendi corretamente a > > pergunta). > > > > Sabemos que se t é um múltiplo racional de pi então > > 2 cos t é um inteiro algébrico. Sabemos também que > > se > > t é algébrico e diferente de 0 então cos t é > > transcendente. > > Seja t = arc cos(1/4): pelos resultados acima, t é > > transcendente > > Humm... Acho que me perdi em alguma coisa professor. > > t=arccos(1/4) implica em t transcendente, até aqui > tudo bem. Mas como posso provar que t/Pi não é > racional? > > Isto é, acredito que t/Pi não seja racional (até > apostaria nisso) mas não consegui ver como demonstrar > isso. t = q pi, q racional -> 2 cos t inteiro algébrico -> -> 2/4 = 1/2 inteiro algébrico, absurdo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cos 7º
--- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: O que me faltava entender é porque 2 cos(t) tinha de ser inteiro algébrico. Mas já caiu a ficha... []´ Demetrio > > t = q pi, q racional -> 2 cos t inteiro algébrico -> > -> 2/4 = 1/2 inteiro algébrico, absurdo. > > []s, N. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Cos 7º
-Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: sexta-feira, 26 de maio de 2006 13:28 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Cos 7º Esta conclusao eh tambem decorencia da Teoria de Galois? Artur Talvez você goste de saber que cos(7 graus) é a segunda mair raiz de 48 46 44 281474976710656 z - 3377699720527872 z + 18999560927969280 z 42 40 38 - 66568831992070144 z + 162828875980603392 z - 295364007592722432 z 36 34 + 411985976135516160 z - 452180272956309504 z 32 30 + 396366279591591936 z - 280058255978266624 z 28 26 24 + 160303703377575936 z - 74448984852135936 z + 28011510450094080 z 22 2018 - 8500299631165440 z + 2064791072931840 z - 397107008634880 z 16 14 12 + 59570604933120 z - 6832518856704 z + 583456329728 z 10 8 6 4 2 - 35782471680 z + 1497954816 z - 39625728 z + 579456 z - 3456 z + 1 As raízes são +-cos(k graus) e +-sen(k graus) para k = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43. [ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
