Re: [obm-l] Curva de Koch
Boa Noite Primeiramente, agradeço ao Nicolau pela confirmação do gabarito. Resolvi hoje à tarde a segunda parte, que diz respeito a área e do seu limite. Valeu mesmo Maurício, minha resposta bateu com a sua. Não é a primeira vez que resolvo esse exercício, e o que estava (e acho que ainda está) me atormentando é saber como uma figura pode ter um perímetro tendendo ao infinito e área sendo limitada. É claro que é possível, a própria questão mostra isso. Mas dessa vez, a minha intuição falhou legal!! Abraços PC
Re: [obm-l] Curva de Koch
Paulo, Eu concordo com a sua solução. Acho que dá a impressão de que a curva é finita porque ela fica toda enrolada, como uma parede de intestino, e delimita um espaço finito, que é a área. Aà vai minha tentativa para An (área no estágio n): Para todas as séries, os Ãndices se referem ao estágio. O primeiro Ãndice é o 1 (o estágio 0, com apenas um triângulo, não entra nas séries). s = área de cada triângulo "acrescentado" no estágio s = a/9 , a/9^2 , a/9^3 ... a = área de um triângulo equilátero de lado 1 nt = número de triângulos acrescentados no estágio nt = 3 , nl(1) , nl(2) , nl(3) ... nl = número de lados nl = 3*4 , 3*4^2 , 3*4^3 ... nt = 3 , 3*4 , 3*4^2 ss = área acrescentada no estágio ss(i) = s(i)*nt(i) ss = a/3 , (a/3)*(4/9) , (a/3)*(4/9)^2 , (a/3)*(4/9)^3 ... A(n) = a + somatório de ss(i) para i=1 até n A(n) = a + f(1-r^n)/(1-r) com f = a/3 , r = (4/9) Limite de A para n=infinito: lim An = a + (a/3)(1-0)/(5/9) = a + (9a)/15 lim An = (8/5)a Abraços, MaurÃcio > Saudações ao pessoal da Lista. (...) > A Curva de Koch é obtida em estágios pelo processo > seguinte: > i) No estágio 0, ela é um triângulo equilátero de lado 1. > ii) O estágio n+1 é obtido a partir do estágio n, dividindo cada lado em três partes iguais, construindo externamente sobre a parte central um triângulo equilátero e suprimindo então a parte central. Sendo Pn e An respectivamente o perÃmetro e a área no n-ésimo estágio da curva de Koch, determine: > a) Pn b) An c) lim Pn d) lim An >(...) > Estou encontrando como resposta Pn = 3.(4/3)^n, mas > aparentemente o > perÃmetro dessa curva é limitado!!. Daà o motivo da > minha dúvida. > Abraços à todos > __ Yahoo! Mail - PC Magazine Editors' Choice 2005 http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Curva de Koch
On Sat, Sep 17, 2005 at 11:28:27AM -0300, Paulo Cesar wrote: > Saudações ao pessoal da Lista. > Eis um probleminha que está dando dor de cabeça. Mesmo tendo encontrado uma > solução aparentemente simples, a minha intuição me diz que a mesma está > errada. O problema é: > A Curva de Koch é obtida em estágios pelo processo seguinte: > i) No estágio 0, ela é um triângulo equilátero de lado 1. > ii) O estágio n+1 é obtido a partir do estágio n, dividindo cada lado em > três partes iguais, construindo externamente sobre a parte central um > triângulo equilátero e suprimindo então a parte central. Sendo Pn e An > respectivamente o perímetro e a área no n-ésimo estágio da curva de Koch, > determine: > a) Pn b) An c) lim Pn d) lim An > O link abaixo mostra uma imagem dos primeiros estágios da curva de Koch: > http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/147/img/147_16.gif > Estou encontrando como resposta Pn = 3.(4/3)^n, mas aparentemente o > perímetro dessa curva é limitado!!. Daí o motivo da minha dúvida. A sua resposta está correta. Não, o perímetro não é limitado, a curva de Koch tem comprimento infinito. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Curva de Koch
Saudações ao pessoal da Lista. Eis um probleminha que está dando dor de cabeça. Mesmo tendo encontrado uma solução aparentemente simples, a minha intuição me diz que a mesma está errada. O problema é: A Curva de Koch é obtida em estágios pelo processo seguinte: i) No estágio 0, ela é um triângulo equilátero de lado 1. ii) O estágio n+1 é obtido a partir do estágio n, dividindo cada lado em três partes iguais, construindo externamente sobre a parte central um triângulo equilátero e suprimindo então a parte central. Sendo Pn e An respectivamente o perímetro e a área no n-ésimo estágio da curva de Koch, determine: a) Pn b) An c) lim Pn d) lim An O link abaixo mostra uma imagem dos primeiros estágios da curva de Koch: http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/147/img/147_16.gif Estou encontrando como resposta Pn = 3.(4/3)^n, mas aparentemente o perímetro dessa curva é limitado!!. Daí o motivo da minha dúvida. Abraços à todos
