[obm-l] RES: [obm-l] Dúvida Continuidade
Já foi visto que f(x) = k *x para todo racional x. Já vimos tambem que f eh continua em R. Definamos g:R --> R por g(x) = kx. Entao, g eh continua em R e concorda com f em Q. Como Q eh denso em R, f e g concordam em Q e f e g sao ambas continuas em R, segue-se de conhecido teorema (que, alias, vai alem dos espacos Euclidianos) que f = g em todo R. Assim, f(x) = kx para todo real x. No caso Euclidiano, temos os seguinte: Sejam f e g funcoes continuas de R^n em R^m que concordem em um subconjunto A de R^n, denso em R^n. Entao, f= g em todo o R^n. Prova.: Seja x pertencente a R^n. Como A eh denso em R^n, existe uma sequencia (x_n) em A que converge para x. Como f e g concordam em A, (f(x_n) e (g(x_n)) sao a mesma sequencia. Da continuidade de f em R^n, segue-se que lim f(x_n) = f(x)e, da continuidade de g em R^n, segue-se que lim g(x_n) = g(x. Como (f_x_n) e (g(x_n)) sao a mesma sequencia, segue-se da unicidade do limite que f(x) = g(x). Logo, f = g em todo o R^n. f e g sao a mesma funcao. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Marcelo Salhab Brogliato Enviada em: quinta-feira, 12 de julho de 2007 03:26 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Dúvida Continuidade Olá Kleber, vamos dar uns chutes para x e y e encontrar umas propriedades dessas funcoes: y=0... f(x+0) = f(x) + f(0) f(0) = 0 x=-y... f(x-x) = f(x) + f(-x) f(-x) = -f(x) [funcao impar] x=y... f(x+x) = f(x) + f(x) f(2x) = 2f(x) [por inducao, facilmente mostramos que f(nx) = nf(x) para todo n natural] como f(nx) = nf(x), para n natural, e f(-x) = -f(x), temos que: f(-nx) = -f(nx) = -nf(x) ... assim, podemos extender para os inteiros.. vamos dizer que: p/q = a, mdc(p,q)=1, p, q inteiros.. p = aq ..assim: f(px) = pf(x)... f(aqx) = pf(x) ... mas q é inteiro, logo: f(qax) = qf(ax) assim: qf(ax) = pf(x) f(ax) = p/q f(x) = af(x) logo, vale para os racionais tb... - [daqui para baixo (até os proximos -) estou chutando.. acredito que alguem aki da lista pode confirmar o q estou dizendo ou me corrigir!] e agora? como generalizar isso para os irracionais? acredito que é justamente usando o seu exercicio... supondo que lim {x->a} f(x) = f(a).. vamos particionar os reais.. R = Q U R\Q ... para x E Q, temos: lim {x->a} f(x) = lim{k->a} f(kx) = lim{k->a} kf(x) = af(x) para x E R\Q, temos que ter: lim {x->a} f(x) = af(x), pois, caso contrario, f(x) nao seria continua em todos os pontos. logo: f(ax) = af(x) para todo a real... assim: f(x) = f(1*x) = x*f(1) f(x) = kx, onde k=f(1)... portanto, a unica funcao com essas propriedades é: f(x) = kx... -- agora o que foi pedido: vamos supor que lim {x->0} f(x) = f(0) [continuidade na origem] isto é: para todo eps>0, existe um delta>0, tal que: |x| < delta implica: |f(x)| < eps fazendo x = y-a, temos: |y-a| < delta implica |f(y-a)| = |f(y) + f(-a)| = |f(y) - f(a)| < eps.. logo: lim {x->a} f(x) = f(a)... (cqd) abracos, Salhab On 7/11/07, Kleber Bastos <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Seja f: R->R tq > > f(x+y) = f(x) + f(y) ( para todo x,y E R ) > > Mostrar que , se f é continua na origem, então f é contínua em R. > > > -- > Kleber B. Bastos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida Continuidade
Olá Kleber, vamos dar uns chutes para x e y e encontrar umas propriedades dessas funcoes: y=0... f(x+0) = f(x) + f(0) f(0) = 0 x=-y... f(x-x) = f(x) + f(-x) f(-x) = -f(x) [funcao impar] x=y... f(x+x) = f(x) + f(x) f(2x) = 2f(x) [por inducao, facilmente mostramos que f(nx) = nf(x) para todo n natural] como f(nx) = nf(x), para n natural, e f(-x) = -f(x), temos que: f(-nx) = -f(nx) = -nf(x) ... assim, podemos extender para os inteiros.. vamos dizer que: p/q = a, mdc(p,q)=1, p, q inteiros.. p = aq ..assim: f(px) = pf(x)... f(aqx) = pf(x) ... mas q é inteiro, logo: f(qax) = qf(ax) assim: qf(ax) = pf(x) f(ax) = p/q f(x) = af(x) logo, vale para os racionais tb... - [daqui para baixo (até os proximos -) estou chutando.. acredito que alguem aki da lista pode confirmar o q estou dizendo ou me corrigir!] e agora? como generalizar isso para os irracionais? acredito que é justamente usando o seu exercicio... supondo que lim {x->a} f(x) = f(a).. vamos particionar os reais.. R = Q U R\Q ... para x E Q, temos: lim {x->a} f(x) = lim{k->a} f(kx) = lim{k->a} kf(x) = af(x) para x E R\Q, temos que ter: lim {x->a} f(x) = af(x), pois, caso contrario, f(x) nao seria continua em todos os pontos. logo: f(ax) = af(x) para todo a real... assim: f(x) = f(1*x) = x*f(1) f(x) = kx, onde k=f(1)... portanto, a unica funcao com essas propriedades é: f(x) = kx... -- agora o que foi pedido: vamos supor que lim {x->0} f(x) = f(0) [continuidade na origem] isto é: para todo eps>0, existe um delta>0, tal que: |x| < delta implica: |f(x)| < eps fazendo x = y-a, temos: |y-a| < delta implica |f(y-a)| = |f(y) + f(-a)| = |f(y) - f(a)| < eps.. logo: lim {x->a} f(x) = f(a)... (cqd) abracos, Salhab On 7/11/07, Kleber Bastos <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Seja f: R->R tq f(x+y) = f(x) + f(y) ( para todo x,y E R ) Mostrar que , se f é continua na origem, então f é contínua em R. -- Kleber B. Bastos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida Continuidade
Supondo que f e continua na origem, deve existir um d(elta) > 0 tal que para todo x satisfazendo |x| < d entao |f(x) - f(0)| < eps (para algum eps > 0). Mas como f(0) = 0 (basta fazer x = x + 0 e utilizar a propriedade) temos |f(x)| < eps para todo x com |x| 0, entao, para uma vizinhança de x0 de raio d: |f(x0 + x) - f(x0)| = | f(x0) + f(x) - f(x0) | = |f(x)| < eps. Ou seja, f e continua em x0, para todo x0 real. Kleber Bastos <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Seja f: R->R tq f(x+y) = f(x) + f(y) ( para todo x,y E R ) Mostrar que , se f é continua na origem, então f é contínua em R. -- Kleber B. Bastos Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais.
[obm-l] RES: [obm-l] Dúvida Continuidade
Para iniciar, observemos que f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) = 2 f(0) => f(0) = 0 Como todo elemento de R eh ponto de acumulacao de R, a continuidade em 0 implica que lim ( t --> 0) f(t) = f(0) = 0. Para todo x e todo t de R, f(x +t) - f(x) = f(x) + f(t) - f(x) = f(t). Logo, lim ( t --> 0) f(x + t) - f(x) = lim (t --> 0) f(t) = f(0) = 0, o que equivale a dizer que lim (t --> 0) f(x + t) = f(x), justamente a condicao de continuidade em x. Como vale para todo x de R, f eh continua em R. Complete agora o problema, mostre que esta eh a funcao linear dada por f(x) = k*x, k = f(1), para todo real x. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Kleber Bastos Enviada em: quarta-feira, 11 de julho de 2007 11:10 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Dúvida Continuidade Seja f: R->R tq f(x+y) = f(x) + f(y) ( para todo x,y E R ) Mostrar que , se f é continua na origem, então f é contínua em R. -- Kleber B. Bastos
[obm-l] Dúvida Continuidade
Seja f: R->R tq f(x+y) = f(x) + f(y) ( para todo x,y E R ) Mostrar que , se f é continua na origem, então f é contínua em R. -- Kleber B. Bastos