Re: [obm-l] DUVIDA - Primo
Oi Dirichlet! É... eu sei que não tem nada a ver com o problema inicial... só estou propondo um exercício que vi e não consegui resolver... tentei utilizar o pequeno teorema de Fermat e o teorema de Euler para numeros primos mas não obtive sucesso... Será que pode me ajudar? Se possível, gostaria de uma sugestão para resolvê-lo... se mesmo assim não conseguir aí eu mando um recado novamente!!! "Prove que se 2^n + 1 é primo, então n é potencia de 2!" Obrigado!!! - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, April 26, 2004 1:11 PM Subject: Re: [obm-l] DUVIDA - Primo Acho que isso nao tem nada a ver com o problema original... Se ce quer provar que existem infinitos primos, tem varios modos. O mais legal e :prove elementarmente que a soma dos inversos dos primos diverge.Ou reformulando em linguagem mais comum: Seja p(t) o t-esimo primo positivo. Seja S(t)=somatorio [1=x=t] (1/p(x)). Prove que para todo numero real M existe t natural (grande o bastante, como ja era de se supor...)tal que S(t+x)M para todo x inteiro nao-negativo. Va em frente e divirta-se! Ass.:JohannThiago Ferraiol [EMAIL PROTECTED] wrote: "uma outra interessante eh provar que se m e n sao inteiros positivosdistintos, entao os numeros 2^(2^m) + 1 e 2^(2^n) + 1 sao primos entre si)"... Legal o problema... outro interessante é mostrar que se 2^n+1 é primo, então n é potencia de 2 Aguém tem alguma idéia!???Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 24.04.04 22:55, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED]wrote: Alguem pode me dar uma ajuda nesta questão: Seja p(n) o n-ésimo número primo ( p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5 ...). Demonstrar que o conjunto formado pelas diferenças p(n + 1) - p(n) possui um numero infinito de elementos. [...] Note que isto equivale a provar que o conjunto das diferenças p(n+1)-p(n) contém números arbitrariamente grandes, i.e. para todo N natural, existem N naturais compostos consecutivos. []s,Pegando um gancho na ideia do Fabio: um conjunto de inteiros positivos ehinfinito se e somente se eh ilimitado. Assim, dado um inteiro positivo nqualquer, precisamos mostrar que existem primos consecutivos p e q tais queq - p n.Por exemplo, sejam:p = maior primo que eh menor do que (n+1)! + 2;q = menor primo que eh maior do que (n+1)! + (n+1).Como (n+1)! + 2, (n+1)! + 3, ..., (n+1)! + (n+1) sao n numeros compostosconsecutivos, temos que q - p n e que, se p m q, entao m eh composto.Pra essa ideia funcionar, eh preciso que exista uma infinidade de primos,mas isso pode ser provado independentemente (alem da demonstracaoultra-tradicional de Euclides, a qual jah foi amplamente discutida aqui nalista, uma outra interessante eh provar que se m e n sao inteiros positivosdistintos, entao os numeros 2^(2^m) + 1 e 2^(2^n) + 1 sao primos entre si)[]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] DUVIDA - Primo
Title: Re: [obm-l] DUVIDA - Primo on 27.04.04 17:23, Thiago Ferraiol at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Dirichlet! É... eu sei que não tem nada a ver com o problema inicial... só estou propondo um exercício que vi e não consegui resolver... tentei utilizar o pequeno teorema de Fermat e o teorema de Euler para numeros primos mas não obtive sucesso... Será que pode me ajudar? Se possível, gostaria de uma sugestão para resolvê-lo... se mesmo assim não conseguir aí eu mando um recado novamente!!! Prove que se 2^n + 1 é primo, então n é potencia de 2! Dica: suponha que n tem algum divisor impar maior do que 1 e veja o que acontece. []s, Claudio.
Re: [obm-l] DUVIDA - Primo
2^{2k+1} = 2*4^k ~ 2(3+1)^k ~ 2 (mod 3)
logo 2^{2k+1} + 1 ~ 0 (mod 3) ou seja, se n é ímpar, 2^n + 1 é divisível por
3, então só para n = 1 temos 2^n+1 e 1 = 2^0.
suponha n = s*m, e s = 2^k, com k 0.
2^n + 1 = 2^(sm) + 1 = (2^s + 1)(2^{s(m-1)} - 2^{s(m-2)} + 2^{s(m-3)} -
... - 2^{s(1)} + 1)
portanto 2^n + 1 é composto se m 1
um exemplo da fatoração acima:
2^20 + 1 = 2^(5*2^2) + 1 = (2^4 + 1)(2^16 - 2^12 + 2^8 - 2^4 + 1)
[ ]'s
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] DUVIDA - Primo
E por isso que eu ainda recomendo uma Eureka! LEMA:a+1 divide a^(impar)+1. Prove-o! Agora suponha que n=ik com i impar e escreva (2^k)^i+1.Agora foi!Thiago Ferraiol [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Dirichlet! É... eu sei que não tem nada a ver com o problema inicial... só estou propondo um exercício que vi e não consegui resolver... tentei utilizar o pequeno teorema de Fermat e o teorema de Euler para numeros primos mas não obtive sucesso... Será que pode me ajudar? Se possível, gostaria de uma sugestão para resolvê-lo... se mesmo assim não conseguir aí eu mando um recado novamente!!! "Prove que se 2^n + 1 é primo, então n é potencia de 2!" Obrigado!!! - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, April 26, 2004 1:11 PM Subject: Re: [obm-l] DUVIDA - Primo Acho que isso nao tem nada a ver com o problema original... Se ce quer provar que existem infinitos primos, tem varios modos. O mais legal e :prove elementarmente que a soma dos inversos dos primos diverge.Ou reformulando em linguagem mais comum: Seja p(t) o t-esimo primo positivo. Seja S(t)=somatorio [1=x=t] (1/p(x)). Prove que para todo numero real M existe t natural (grande o bastante, como ja era de se supor...)tal que S(t+x)M para todo x inteiro nao-negativo. Va em frente e divirta-se! Ass.:JohannThiago Ferraiol [EMAIL PROTECTED] wrote: "uma outra interessante eh provar que se m e n sao inteiros positivosdistintos, entao os numeros 2^(2^m) + 1 e 2^(2^n) + 1 sao primos entre si)"... Legal o problema... outro interessante é mostrar que se 2^n+1 é primo, então n é potencia de 2 Aguém tem alguma idéia!???Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 24.04.04 22:55, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED]wrote: Alguem pode me dar uma ajuda nesta questão: Seja p(n) o n-ésimo número primo ( p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5 ...). Demonstrar que o conjunto formado pelas diferenças p(n + 1) - p(n) possui um numero infinito de elementos. [...] Note que isto equivale a provar que o conjunto das diferenças p(n+1)-p(n) contém números arbitrariamente grandes, i.e. para todo N natural, existem N naturais compostos consecutivos. []s,Pegando um gancho na ideia do Fabio: um conjunto de inteiros positivos ehinfinito se e somente se eh ilimitado. Assim, dado um inteiro positivo nqualquer, precisamos mostrar que existem primos consecutivos p e q tais queq - p n.Por exemplo, sejam:p = maior primo que eh menor do que (n+1)! + 2;q = menor primo que eh maior do que (n+1)! + (n+1).Como (n+1)! + 2, (n+1)! + 3, ..., (n+1)! + (n+1) sao n numeros compostosconsecutivos, temos que q - p n e que, se p m q, entao m eh composto.Pra essa ideia funcionar, eh preciso que exista uma infinidade de primos,mas isso pode ser provado independentemente (alem da demonstracaoultra-tradicional de Euclides, a qual jah foi amplamente discutida aqui nalista, uma outra interessante eh provar que se m e n sao inteiros positivosdistintos, entao os numeros 2^(2^m) + 1 e 2^(2^n) + 1 sao primos entre si)[]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] DUVIDA - Primo
"uma outra interessante eh provar que se m e n sao inteiros positivosdistintos, entao os numeros 2^(2^m) + 1 e 2^(2^n) + 1 sao primos entre si)"... Legal o problema... outro interessante é mostrar que se 2^n+1 é primo, então n é potencia de 2 Aguém tem alguma idéia!???Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 24.04.04 22:55, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED]wrote: Alguem pode me dar uma ajuda nesta questão: Seja p(n) o n-ésimo número primo ( p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5 ...). Demonstrar que o conjunto formado pelas diferenças p(n + 1) - p(n) possui um numero infinito de elementos. [...] Note que isto equivale a provar que o conjunto das diferenças p(n+1)-p(n) contém números arbitrariamente grandes, i.e. para todo N natural, existem N naturais compostos consecutivos. []s,Pegando um gancho na ideia do Fabio: um conjunto de inteiros positivos ehinfinito se e somente se eh ilimitado. Assim, dado um inteiro positivo nqualquer, precisamos mostrar que existem primos consecutivos p e q tais queq - p n.Por exemplo, sejam:p = maior primo que eh menor do que (n+1)! + 2;q = menor primo que eh maior do que (n+1)! + (n+1).Como (n+1)! + 2, (n+1)! + 3, ..., (n+1)! + (n+1) sao n numeros compostosconsecutivos, temos que q - p n e que, se p m q, entao m eh composto.Pra essa ideia funcionar, eh preciso que exista uma infinidade de primos,mas isso pode ser provado independentemente (alem da demonstracaoultra-tradicional de Euclides, a qual jah foi amplamente discutida aqui nalista, uma outra interessante eh provar que se m e n sao inteiros positivosdistintos, entao os numeros 2^(2^m) + 1 e 2^(2^n) + 1 sao primos entre si)[]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] DUVIDA - Primo
Acho que isso nao tem nada a ver com o problema original... Se ce quer provar que existem infinitos primos, tem varios modos. O mais legal e :prove elementarmente que a soma dos inversos dos primos diverge.Ou reformulando em linguagem mais comum: Seja p(t) o t-esimo primo positivo. Seja S(t)=somatorio [1=x=t] (1/p(x)). Prove que para todo numero real M existe t natural (grande o bastante, como ja era de se supor...)tal que S(t+x)M para todo x inteiro nao-negativo. Va em frente e divirta-se! Ass.:JohannThiago Ferraiol [EMAIL PROTECTED] wrote: "uma outra interessante eh provar que se m e n sao inteiros positivosdistintos, entao os numeros 2^(2^m) + 1 e 2^(2^n) + 1 sao primos entre si)"... Legal o problema... outro interessante é mostrar que se 2^n+1 é primo, então n é potencia de 2 Aguém tem alguma idéia!???Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 24.04.04 22:55, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED]wrote: Alguem pode me dar uma ajuda nesta questão: Seja p(n) o n-ésimo número primo ( p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5 ...). Demonstrar que o conjunto formado pelas diferenças p(n + 1) - p(n) possui um numero infinito de elementos. [...] Note que isto equivale a provar que o conjunto das diferenças p(n+1)-p(n) contém números arbitrariamente grandes, i.e. para todo N natural, existem N naturais compostos consecutivos. []s,Pegando um gancho na ideia do Fabio: um conjunto de inteiros positivos ehinfinito se e somente se eh ilimitado. Assim, dado um inteiro positivo nqualquer, precisamos mostrar que existem primos consecutivos p e q tais queq - p n.Por exemplo, sejam:p = maior primo que eh menor do que (n+1)! + 2;q = menor primo que eh maior do que (n+1)! + (n+1).Como (n+1)! + 2, (n+1)! + 3, ..., (n+1)! + (n+1) sao n numeros compostosconsecutivos, temos que q - p n e que, se p m q, entao m eh composto.Pra essa ideia funcionar, eh preciso que exista uma infinidade de primos,mas isso pode ser provado independentemente (alem da demonstracaoultra-tradicional de Euclides, a qual jah foi amplamente discutida aqui nalista, uma outra interessante eh provar que se m e n sao inteiros positivosdistintos, entao os numeros 2^(2^m) + 1 e 2^(2^n) + 1 sao primos entre si)[]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] DUVIDA - Primo
Title: Re: [obm-l] DUVIDA - Primo on 26.04.04 11:55, Thiago Ferraiol at [EMAIL PROTECTED] wrote: uma outra interessante eh provar que se m e n sao inteiros positivos distintos, entao os numeros 2^(2^m) + 1 e 2^(2^n) + 1 sao primos entre si)... Legal o problema... outro interessante é mostrar que se 2^n+1 é primo, então n é potencia de 2 *** Melhor ainda eh achar um inteiro n (n 4) tal que 2^(2^n) + 1 seja primo. Acho que os unicos primos dessa forma que se conhece sao: 2^1+1, 2^2+1, 2^4+1, 2^8+1 e 2^16+1. []s, Claudio.
Re: [obm-l] DUVIDA - Primo
Seja p(n) o n-ésimo número primo ( p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5 ...).Demonstrar que o conjunto formado pelas diferenças p(n + 1) - p(n)possui um numero infinito de elementos. [...] Note que isto equivale a provar que o conjunto das diferenças p(n+1)-p(n)contém números arbitrariamente grandes, i.e. para todo N natural, existem N naturais compostos consecutivos. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira Uma ideia que resolve este problema , é a mesma que resolve aquele velho probleminha : Qual conjunto é maior , dos números Inteiros ou dos Naturais? Abraço Luiz H. Barbosa === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] DUVIDA - Primo
Note que isto equivale a provar que o conjunto das diferenças p(n+1)-p(n) contém números arbitrariamente grandes, i.e. para todo N natural, existem N naturais compostos consecutivos. Isso Rick... acho que é isso mesmo... É certo que eu consigo formar intervalos de numeros composto tão grandes quanto se queira... EX: entre 6!+2 e 6!+6 existes 5 numeros compostos, pois os numeros serão divisiveis por 2,3,4,5e6 respectivamente... analogamente, entre n!+2 e n!+n existem n compostos ... obs: isso não quer dizer que 6!+1 e 6!+7 são primos... só quer dizer que todos os numeros entre 6!+1 e 6!+7 são compostos... Acho que o problema pede para demonstrar que existem infinitos primos com distâncias tão grandes quanto se queira (como no exemplo acima) ... ou seja, o conjunto formado pela diferença de dois primos consecutivos é infinito... Ou seja, como existem infinitos primos e podemos obter intervalos de numeros ompostos tão grandes quanto se queira entre dois primos, então o conjunto formado pela diferença entre dois primos é infinito! Agora basta formalizar... isso é só uma idéia! - Original Message - From: rickufrj [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 2:54 AM Subject: Re: [obm-l] DUVIDA - Primo Seja p(n) o n-ésimo número primo ( p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5 ...).Demonstrar que o conjunto formado pelas diferenças p(n + 1) - p(n)possui um numero infinito de elementos. [...] Note que isto equivale a provar que o conjunto das diferenças p(n+1)-p(n)contém números arbitrariamente grandes, i.e. para todo N natural, existem N naturais compostos consecutivos. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira Uma ideia que resolve este problema , é a mesma que resolve aquele velho probleminha : Qual conjunto é maior , dos números Inteiros ou dos Naturais? Abraço Luiz H. Barbosa === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] DUVIDA - Primo
Isso mesmo Thiago esse deve ser o caminho da demonstração. Essa deve ser mais uma das provas que existem infinitos primos. So não entendi que vc fez. n!+2 e n!+n = existem n compostos Tá, beleza. Mas entre 6!+2 e 6!+6 = tem 5 numeros compostos O que entra em contradição com a sua generalização. Deveria ter 6 pela generalização mas na prática são 5 então deve ser n - 1 numeros compostos na fórmula. Mas e a formalização da prova? hehehe alguem? alguem? GustavoThiago Ferraiol [EMAIL PROTECTED] wrote: "Note que isto equivale a provar que o conjunto das diferenças p(n+1)-p(n)contém números arbitrariamente grandes, i.e. para todo N natural, existem Nnaturais compostos consecutivos."Isso Rick... acho que é isso mesmo... É certo que eu consigo formarintervalos de numeros composto tão grandes quanto se queira...EX: entre 6!+2 e 6!+6 existes 5 numeros compostos, pois os numeros serãodivisiveis por 2,3,4,5e6 respectivamente... analogamente, entre n!+2 e n!+nexistem n compostos ... obs: isso não quer dizer que 6!+1 e 6!+7 sãoprimos... só quer dizer que todos os numeros entre 6!+1 e 6!+7 sãocompostos...Acho que o problema pede para demonstrar que existem infinitos primos com"distâncias" tão grandes quanto se queira (como no exemplo acima) ... ouseja, o conjunto formado pela diferença de dois primos consecutivos éinfinito... Ou seja, como existem infinitos primos e podemos obterintervalos de numeros ompostos tão grandes quanto se queira entre doisprimos, então o conjunto formado pela diferença entre dois primos éinfinito!Agora basta formalizar... isso é só uma idéia!- Original Message -From: "rickufrj" <[EMAIL PROTECTED]>To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Sunday, April 25, 2004 2:54 AMSubject: Re: [obm-l] DUVIDA - Primo Seja p(n) o n-ésimo número primo ( p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5 ...).Demonstrar que o conjunto formado pelas diferenças p(n + 1) - p(n)possui um numero infinito de elementos. [...] Note que isto equivale a provar que o conjunto das diferenças p(n+1)-p(n)contém números arbitrariamente grandes, i.e. para todo N natural, existem N naturais compostos consecutivos. []s, -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira Uma ideia que resolve este problema , é a mesma que resolve aquele velho probleminha : Qual conjunto é maior , dos números Inteiros ou dos Naturais? Abraço Luiz H. Barbosa === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] DUVIDA - Primo
Essa e mais facil do que parece! Vasmos provar que e sempre possivel arranjar dois primos tao distantes quanto se queia, provando que e possivel arranjar uma sequencia de compostos, todos consecutivos, tao grande quanto se queira. Vamos usar oTeorema Chines dos Restos (ou no manuscrito origimal Teolema Chines dos Lestos).Para tal tome i grande o bastante.Agora veja so... N+0=0 (mod 2) N+1=0 (mod 3)N+2=0 (mod 5) N+3=0 (mod 7) N+4=0 (mod 9)N+5=0 (mod 11) N+6=0 (mod 13) . . . N+i=0 (mod p(i)) Pelo TCR (ou TCL) esse sistema de congruencias e soluvel (em agua, em leite, e em N).Entao esse N serve! E acabou! Ass.:Johann João Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguem pode me dar uma ajuda nesta questão: Seja p(n) o n-ésimo número primo ( p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5 ...). Demonstrar que o conjunto formado pelas diferenças p(n + 1) - p(n) possui um numero infinito de elementos. Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] DUVIDA - Primo
on 24.04.04 22:55, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguem pode me dar uma ajuda nesta questão: Seja p(n) o n-ésimo número primo ( p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5 ...). Demonstrar que o conjunto formado pelas diferenças p(n + 1) - p(n) possui um numero infinito de elementos. [...] Note que isto equivale a provar que o conjunto das diferenças p(n+1)-p(n) contém números arbitrariamente grandes, i.e. para todo N natural, existem N naturais compostos consecutivos. []s, Pegando um gancho na ideia do Fabio: um conjunto de inteiros positivos eh infinito se e somente se eh ilimitado. Assim, dado um inteiro positivo n qualquer, precisamos mostrar que existem primos consecutivos p e q tais que q - p n. Por exemplo, sejam: p = maior primo que eh menor do que (n+1)! + 2; q = menor primo que eh maior do que (n+1)! + (n+1). Como (n+1)! + 2, (n+1)! + 3, ..., (n+1)! + (n+1) sao n numeros compostos consecutivos, temos que q - p n e que, se p m q, entao m eh composto. Pra essa ideia funcionar, eh preciso que exista uma infinidade de primos, mas isso pode ser provado independentemente (alem da demonstracao ultra-tradicional de Euclides, a qual jah foi amplamente discutida aqui na lista, uma outra interessante eh provar que se m e n sao inteiros positivos distintos, entao os numeros 2^(2^m) + 1 e 2^(2^n) + 1 sao primos entre si) []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] DUVIDA - Primo
Alguem pode me dar uma ajuda nesta questão: Seja p(n) o n-ésimo número primo ( p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5 ...). Demonstrar que o conjunto formado pelas diferenças p(n + 1) - p(n) possui um numero infinito de elementos.Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] DUVIDA - Primo
Alguem pode me dar uma ajuda nesta questão: Seja p(n) o n-ésimo número primo ( p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5 ...). Demonstrar que o conjunto formado pelas diferenças p(n + 1) - p(n) possui um numero infinito de elementos. [...] Note que isto equivale a provar que o conjunto das diferenças p(n+1)-p(n) contém números arbitrariamente grandes, i.e. para todo N natural, existem N naturais compostos consecutivos. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
