[obm-l] Desafio - Análise Real
Caros colegas, Estou tendo dificuldades para resolver uma questão de Análise - mais precisamente, seqüências. Pesquisei em alguns livros e até sites mas não encontrei nenhuma dica que pudesse me ajudar. O problema é o seguinte: Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero e suponha que existe k > 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| < k para todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero. Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a.
Re: [obm-l] Desafio - Análise Real
Olá, o exercicio da algumas informacoes repetidas... se Sum |b_k| converge, entao Sum b_k também converge, portanto lim b_k = 0... assim, a informacao que lim b_k = 0 é redundante. c_n = Sum {k=1 ... n} a_(n-k+1) . b_k c_n = [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k] lim a_n = 0 entao, existe n0, tal que n>n0 implica |a_n| < 1 portanto: Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k < Sum {k=n0 ... n} b_k < Sum {k=n0 ... n} |b_k| < inf logo: c_n < [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} |b_k|] < inf portanto: c_n converge. falta provarmos que converge pra 0.. assim que sair eu envio.. abracos, Salhab On 6/28/07, Fellipe Rossi <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Caros colegas, Estou tendo dificuldades para resolver uma questão de Análise - mais precisamente, seqüências. Pesquisei em alguns livros e até sites mas não encontrei nenhuma dica que pudesse me ajudar. O problema é o seguinte: Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero e suponha que existe k > 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| < k para todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero. Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desafio - Análise Real
Olá Marcelo e demais: Uma dica que não sei se ajuda muito: Não sei se alguém observou que a sequencia definida por c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 é o termo geral da série Sum c_n que é o termo geral do produto de Cauchy das séries definida por Sum a_n e Sum_b_n. Em outras palavras (Sum c_n) = (Sum a_n) x (Sum b_n) A prova então poderia seguir a seguinte linha: Se Sum a_n converge absolutamente e Sum b_n converge absolutamente podemos multiplicar as séries e rearanjar os termos e a série obtida continuará convergindo absolutamente. Na verdade pelo que o exercício está dizendo, parece qua a condição de Sum b_n convergir absolutamente pode ser relaxada: Basta que Sum b_n convirja para garantir a convergência de Sum c_n. Assim se Sum c_n converge então c_n -> 0. Existe alguma falha de raciocínio? Senão, alguém saberia formalizar o exposto acima? Abraços Ronaldo. Marcelo Salhab Brogliato wrote: > Olá, > o exercicio da algumas informacoes repetidas... se Sum |b_k| converge, > entao Sum b_k também converge, portanto lim b_k = 0... assim, a > informacao que lim b_k = 0 é redundante. > > c_n = Sum {k=1 ... n} a_(n-k+1) . b_k > c_n = [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k] > > lim a_n = 0 > entao, existe n0, tal que n>n0 implica |a_n| < 1 > > portanto: Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k < Sum {k=n0 ... n} b_k < > Sum {k=n0 ... n} |b_k| < inf > > logo: c_n < [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} |b_k|] < > inf > portanto: c_n converge. > > falta provarmos que converge pra 0.. > assim que sair eu envio.. > abracos, > Salhab > > On 6/28/07, Fellipe Rossi <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > Caros colegas, > > Estou tendo dificuldades para resolver uma questão de Análise - mais > > precisamente, seqüências. > > Pesquisei em alguns livros e até sites mas não encontrei nenhuma dica que > > pudesse me ajudar. O problema é o seguinte: > > > > Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero > > e suponha que existe k > 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| < k > > para todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por > > c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero. > > > > > > Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desafio - Análise Real
Caros colegas, Será que a resolução abaixo estaria correta? Talvez, usando a informação das somas dos módulos de b_n do enunciado, fique mais simples assim: ___ Como (a_n) converge para 0, dado e > 0, |a_n| < e/k para todo n natural positivo. Da Desigualdade Triangular, temos: |c_n| <= |a_1|.|b_n| + |a_2|.|b_(n-1)| + ... + |a_n|.|b_1| Como , |an| < e/k, para todo n natural positivo, temos: |c_n| < (e/k).|b_n| + (e/k).|b_(n-1)| + ... + (e/k).|b_1|. = (e/k).(|b_n| + |b_(n-1)| + ... + |b_1|) para todo n natural positivo. Mas, do enunciado, temos |b_n| + |b_(n-1)| + ... + |b_1| < k para todo n natural positivo. Portanto, |cn| < (e/k).k = e, para todo natural positivo e, portanto, (c_n) converge para 0. __ E então? Está correto? Grande abraço, Fellipe Rossi Em 29/06/07, Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: On Thu, Jun 28, 2007 at 01:49:20PM -0300, Fellipe Rossi wrote: > Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero e > suponha que existe k > 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| < k para > todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por c_n = > a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero. > > Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a. As seqüências a_k e b_k são limitadas: suponha que |a_k|, |b_k| < B para todo k. Dado e > 0 seja N1 tal que n > N1 -> |b_(N1+1)|+...+|b_n| < e/(2B). Seja C = |b_1|+|b_2|+...+|b_N1|. Seja N2 tal que n > N2 -> |a_n| < e/(2C). Tome N = N1+N2 e n > N. |c_n| <= |a_1||b_n| + ... + |a_(n-N1)| |b_(N1+1)| + |a_(n+1-N1)||b_N1| + ... + |a_n| |b_1| Na primeira linha temos |a_k| < B. Temos n+1-N1 > N2 donde na segunda linha temos |a_k| < e/(2C). Assim |c_n| <= B(|b_n| + ... + |b_(N1+1)|) + (e/(2C))(|b_N1| + ... + |b_1|) < Be/(2B) + Ce/(2C) = e concluindo a demonstração. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Desafio - Análise Real
Se não me engano, isto eh consequencia de um teorema ligado a produto de series. Temos que Soma b_n eh absolutamente convergente e a_n tende a zero. Nao me lembro agora, acho que eh o Teorema de Mertens. Se ninguem resolver antes, vou consultar um livro hoje aa noite. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Fellipe Rossi Enviada em: quinta-feira, 28 de junho de 2007 13:49 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Desafio - Análise Real Caros colegas, Estou tendo dificuldades para resolver uma questão de Análise - mais precisamente, seqüências. Pesquisei em alguns livros e até sites mas não encontrei nenhuma dica que pudesse me ajudar. O problema é o seguinte: Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero e suponha que existe k > 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| < k para todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero. Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a.
[obm-l] RES: [obm-l] Desafio - Análise Real
Eh por aih mesmo, soh que eu esqueci a formulacao precisa do teorma que trata disso, acho que eh o Teorema de Mertens, Vou ver se consigo lembra ou consultar. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de ralonso Enviada em: sexta-feira, 29 de junho de 2007 08:24 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Desafio - Análise Real Olá Marcelo e demais: Uma dica que não sei se ajuda muito: Não sei se alguém observou que a sequencia definida por c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 é o termo geral da série Sum c_n que é o termo geral do produto de Cauchy das séries definida por Sum a_n e Sum_b_n. Em outras palavras (Sum c_n) = (Sum a_n) x (Sum b_n) A prova então poderia seguir a seguinte linha: Se Sum a_n converge absolutamente e Sum b_n converge absolutamente podemos multiplicar as séries e rearanjar os termos e a série obtida continuará convergindo absolutamente. Na verdade pelo que o exercício está dizendo, parece qua a condição de Sum b_n convergir absolutamente pode ser relaxada: Basta que Sum b_n convirja para garantir a convergência de Sum c_n. Assim se Sum c_n converge então c_n -> 0. Existe alguma falha de raciocínio? Senão, alguém saberia formalizar o exposto acima? Abraços Ronaldo. Marcelo Salhab Brogliato wrote: > Olá, > o exercicio da algumas informacoes repetidas... se Sum |b_k| converge, > entao Sum b_k também converge, portanto lim b_k = 0... assim, a > informacao que lim b_k = 0 é redundante. > > c_n = Sum {k=1 ... n} a_(n-k+1) . b_k > c_n = [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k] > > lim a_n = 0 > entao, existe n0, tal que n>n0 implica |a_n| < 1 > > portanto: Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k < Sum {k=n0 ... n} b_k < > Sum {k=n0 ... n} |b_k| < inf > > logo: c_n < [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} |b_k|] < > inf > portanto: c_n converge. > > falta provarmos que converge pra 0.. > assim que sair eu envio.. > abracos, > Salhab > > On 6/28/07, Fellipe Rossi <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > Caros colegas, > > Estou tendo dificuldades para resolver uma questão de Análise - mais > > precisamente, seqüências. > > Pesquisei em alguns livros e até sites mas não encontrei nenhuma dica que > > pudesse me ajudar. O problema é o seguinte: > > > > Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero > > e suponha que existe k > 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| < k > > para todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por > > c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero. > > > > > > Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =