[obm-l] Desafio - Análise Real
Caros colegas, Estou tendo dificuldades para resolver uma questão de Análise - mais precisamente, seqüências. Pesquisei em alguns livros e até sites mas não encontrei nenhuma dica que pudesse me ajudar. O problema é o seguinte: Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero e suponha que existe k > 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| < k para todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero. Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a.
Re: [obm-l] Desafio - Análise Real
Olá,
o exercicio da algumas informacoes repetidas... se Sum |b_k| converge,
entao Sum b_k também converge, portanto lim b_k = 0... assim, a
informacao que lim b_k = 0 é redundante.
c_n = Sum {k=1 ... n} a_(n-k+1) . b_k
c_n = [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k]
lim a_n = 0
entao, existe n0, tal que n>n0 implica |a_n| < 1
portanto: Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k < Sum {k=n0 ... n} b_k <
Sum {k=n0 ... n} |b_k| < inf
logo: c_n < [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} |b_k|] < inf
portanto: c_n converge.
falta provarmos que converge pra 0..
assim que sair eu envio..
abracos,
Salhab
On 6/28/07, Fellipe Rossi <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Caros colegas,
Estou tendo dificuldades para resolver uma questão de Análise - mais
precisamente, seqüências.
Pesquisei em alguns livros e até sites mas não encontrei nenhuma dica que
pudesse me ajudar. O problema é o seguinte:
Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero
e suponha que existe k > 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| < k
para todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por
c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero.
Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Desafio - Análise Real
Olá Marcelo e demais:
Uma dica que não sei se ajuda muito: Não sei se alguém observou
que a sequencia definida por c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1
é o termo geral da série Sum c_n que é o termo geral do produto de Cauchy
das séries definida por Sum a_n e Sum_b_n.
Em outras palavras (Sum c_n) = (Sum a_n) x (Sum b_n)
A prova então poderia seguir a seguinte linha:
Se Sum a_n converge absolutamente e Sum b_n converge absolutamente
podemos multiplicar as séries e rearanjar os termos e a série obtida continuará
convergindo absolutamente. Na verdade pelo que o exercício está dizendo,
parece qua a condição de Sum b_n convergir absolutamente pode ser
relaxada: Basta que Sum b_n convirja para garantir a convergência de Sum c_n.
Assim se Sum c_n converge então c_n -> 0.
Existe alguma falha de raciocínio? Senão, alguém saberia
formalizar o exposto acima?
Abraços
Ronaldo.
Marcelo Salhab Brogliato wrote:
> Olá,
> o exercicio da algumas informacoes repetidas... se Sum |b_k| converge,
> entao Sum b_k também converge, portanto lim b_k = 0... assim, a
> informacao que lim b_k = 0 é redundante.
>
> c_n = Sum {k=1 ... n} a_(n-k+1) . b_k
> c_n = [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k]
>
> lim a_n = 0
> entao, existe n0, tal que n>n0 implica |a_n| < 1
>
> portanto: Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k < Sum {k=n0 ... n} b_k <
> Sum {k=n0 ... n} |b_k| < inf
>
> logo: c_n < [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} |b_k|] <
> inf
> portanto: c_n converge.
>
> falta provarmos que converge pra 0..
> assim que sair eu envio..
> abracos,
> Salhab
>
> On 6/28/07, Fellipe Rossi <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> > Caros colegas,
> > Estou tendo dificuldades para resolver uma questão de Análise - mais
> > precisamente, seqüências.
> > Pesquisei em alguns livros e até sites mas não encontrei nenhuma dica que
> > pudesse me ajudar. O problema é o seguinte:
> >
> > Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero
> > e suponha que existe k > 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| < k
> > para todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por
> > c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero.
> >
> >
> > Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a.
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Desafio - Análise Real
Caros colegas, Será que a resolução abaixo estaria correta? Talvez, usando a informação das somas dos módulos de b_n do enunciado, fique mais simples assim: ___ Como (a_n) converge para 0, dado e > 0, |a_n| < e/k para todo n natural positivo. Da Desigualdade Triangular, temos: |c_n| <= |a_1|.|b_n| + |a_2|.|b_(n-1)| + ... + |a_n|.|b_1| Como , |an| < e/k, para todo n natural positivo, temos: |c_n| < (e/k).|b_n| + (e/k).|b_(n-1)| + ... + (e/k).|b_1|. = (e/k).(|b_n| + |b_(n-1)| + ... + |b_1|) para todo n natural positivo. Mas, do enunciado, temos |b_n| + |b_(n-1)| + ... + |b_1| < k para todo n natural positivo. Portanto, |cn| < (e/k).k = e, para todo natural positivo e, portanto, (c_n) converge para 0. __ E então? Está correto? Grande abraço, Fellipe Rossi Em 29/06/07, Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: On Thu, Jun 28, 2007 at 01:49:20PM -0300, Fellipe Rossi wrote: > Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero e > suponha que existe k > 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| < k para > todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por c_n = > a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero. > > Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a. As seqüências a_k e b_k são limitadas: suponha que |a_k|, |b_k| < B para todo k. Dado e > 0 seja N1 tal que n > N1 -> |b_(N1+1)|+...+|b_n| < e/(2B). Seja C = |b_1|+|b_2|+...+|b_N1|. Seja N2 tal que n > N2 -> |a_n| < e/(2C). Tome N = N1+N2 e n > N. |c_n| <= |a_1||b_n| + ... + |a_(n-N1)| |b_(N1+1)| + |a_(n+1-N1)||b_N1| + ... + |a_n| |b_1| Na primeira linha temos |a_k| < B. Temos n+1-N1 > N2 donde na segunda linha temos |a_k| < e/(2C). Assim |c_n| <= B(|b_n| + ... + |b_(N1+1)|) + (e/(2C))(|b_N1| + ... + |b_1|) < Be/(2B) + Ce/(2C) = e concluindo a demonstração. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Desafio - Análise Real
Se não me engano, isto eh consequencia de um teorema ligado a produto de series. Temos que Soma b_n eh absolutamente convergente e a_n tende a zero. Nao me lembro agora, acho que eh o Teorema de Mertens. Se ninguem resolver antes, vou consultar um livro hoje aa noite. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Fellipe Rossi Enviada em: quinta-feira, 28 de junho de 2007 13:49 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Desafio - Análise Real Caros colegas, Estou tendo dificuldades para resolver uma questão de Análise - mais precisamente, seqüências. Pesquisei em alguns livros e até sites mas não encontrei nenhuma dica que pudesse me ajudar. O problema é o seguinte: Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero e suponha que existe k > 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| < k para todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero. Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a.
[obm-l] RES: [obm-l] Desafio - Análise Real
Eh por aih mesmo, soh que eu esqueci a formulacao precisa do teorma que trata
disso, acho que eh o Teorema de Mertens,
Vou ver se consigo lembra ou consultar.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de ralonso
Enviada em: sexta-feira, 29 de junho de 2007 08:24
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Desafio - Análise Real
Olá Marcelo e demais:
Uma dica que não sei se ajuda muito: Não sei se alguém observou
que a sequencia definida por c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1
é o termo geral da série Sum c_n que é o termo geral do produto de Cauchy
das séries definida por Sum a_n e Sum_b_n.
Em outras palavras (Sum c_n) = (Sum a_n) x (Sum b_n)
A prova então poderia seguir a seguinte linha:
Se Sum a_n converge absolutamente e Sum b_n converge absolutamente
podemos multiplicar as séries e rearanjar os termos e a série obtida continuará
convergindo absolutamente. Na verdade pelo que o exercício está dizendo,
parece qua a condição de Sum b_n convergir absolutamente pode ser
relaxada: Basta que Sum b_n convirja para garantir a convergência de Sum c_n.
Assim se Sum c_n converge então c_n -> 0.
Existe alguma falha de raciocínio? Senão, alguém saberia
formalizar o exposto acima?
Abraços
Ronaldo.
Marcelo Salhab Brogliato wrote:
> Olá,
> o exercicio da algumas informacoes repetidas... se Sum |b_k| converge,
> entao Sum b_k também converge, portanto lim b_k = 0... assim, a
> informacao que lim b_k = 0 é redundante.
>
> c_n = Sum {k=1 ... n} a_(n-k+1) . b_k
> c_n = [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k]
>
> lim a_n = 0
> entao, existe n0, tal que n>n0 implica |a_n| < 1
>
> portanto: Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k < Sum {k=n0 ... n} b_k <
> Sum {k=n0 ... n} |b_k| < inf
>
> logo: c_n < [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} |b_k|] <
> inf
> portanto: c_n converge.
>
> falta provarmos que converge pra 0..
> assim que sair eu envio..
> abracos,
> Salhab
>
> On 6/28/07, Fellipe Rossi <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> > Caros colegas,
> > Estou tendo dificuldades para resolver uma questão de Análise - mais
> > precisamente, seqüências.
> > Pesquisei em alguns livros e até sites mas não encontrei nenhuma dica que
> > pudesse me ajudar. O problema é o seguinte:
> >
> > Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero
> > e suponha que existe k > 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| < k
> > para todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por
> > c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero.
> >
> >
> > Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a.
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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