[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)
2013/4/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Mostrar que m = n^5 - n é divisível por 30 Alguém resolveria por indução? Manda um binômio de Newton em (n+1)^5, e pela hipótese de indução, resta mostrar que C(5,1) n + C(5,2)n^2 + C(5,3)n^3 + C(5,4)n^4 é divisível por 30. Explicitando isso daí, você obtém: 5(n + 2n^2 + 2n^3 + n^4), que é divisível por 5 (claro!) e por 2 (número par de termos de mesma paridade que n). Pra ver módulo 3, Fermat nele, n^3 == n, logo o treco vira 5(n + 2n^2 + 2n + n^2) = 5(3n + 3n^3), e fim. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)
fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)... temos 3 números consecutivos = multiplo de 2 e 3 note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois: ou n é múltiplo de 5 ou n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use congruencia... n=1 (mod5) = n4=1(mod5); n=2(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5); n=3(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5); n=4(mod5) = n4=1(mod5)... Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30 CQD. 2013/4/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Mostrar que m = n^5 - n é divisível por 30 Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3. Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai acaba. Fui tentar por indução também e ai complicou. Alguém resolveria por indução? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.* *A primeira vez é sempre a última chance.* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)
Oi, Mauricio, Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para quem não aprendeu este conteúdo: A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o seguinte argumento: - O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o último algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada através de uma tabelinha)... - Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6; logo, se n não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5... Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais simples de forma mais intuitiva. Abraços Nehab On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote: fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)... temos 3 números consecutivos = multiplo de 2 e 3 note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois: ou n é múltiplo de 5 ou n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use congruencia... n=1 (mod5) = n4=1(mod5); n=2(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5); n=3(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5); n=4(mod5) = n4=1(mod5)... Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30 CQD. 2013/4/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com mailto:marconeborge...@hotmail.com Mostrar que m = n^5 - n é divisível por 30 [Upload Photo to Facebook] [Google+] [Twitt] [Send by Gmail] [Upload Video to Facebook] [Google+] [Twitt] [Send by Gmail] Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3. Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai acaba. Fui tentar por indução também e ai complicou. Alguém resolveria por indução? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ /momentos excepcionais pedem ações excepcionais./ /A primeira vez é sempre a última chance./ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)
m = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1) Como n - 1, n e n + 1 são inteiros consecutivos, pelo menos um deles é par e um deles é divisível por 3. Logo, m é divisível por 6. Se n for múltiplo de 5, m também é. Se não for, 5 é um primo que não divide n. Logo, pelo pequeno teorema de Fermat, temos novamente que m é divisível por 5. Assim, m é divisível por 30. Abraços. Artur Costa Steiner Em 18/04/2013, às 11:40, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Mostrar que m = n^5 - n é divisível por 30 Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3. Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai acaba. Fui tentar por indução também e ai complicou. Alguém resolveria por indução? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)
Ou, para evitar totalmente congruências e coisas assim, note que n^2+1=(n+2)(n-2)+5. Então: n^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1) O primeiro termo tem 5 números consecutivos, então é divisível por 2, 3 e 5. O segundo tem 3 números consecutivos e aquele fator 5, então também é. Abraço, Ralph 2013/4/18 Nehab carlos.ne...@gmail.com Oi, Mauricio, Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para quem não aprendeu este conteúdo: A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o seguinte argumento: - O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o último algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada através de uma tabelinha)... - Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6; logo, se n não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5... Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais simples de forma mais intuitiva. Abraços Nehab On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote: fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)... temos 3 números consecutivos = multiplo de 2 e 3 note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois: ou n é múltiplo de 5 ou n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use congruencia... n=1 (mod5) = n4=1(mod5); n=2(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5); n=3(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5); n=4(mod5) = n4=1(mod5)... Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30 CQD. 2013/4/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Mostrar que m = n^5 - n é divisível por 30 Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3. Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai acaba. Fui tentar por indução também e ai complicou. Alguém resolveria por indução? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.* *A primeira vez é sempre a última chance.* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)
Tens razão, Carlos! à propósito, queria te parabenizar pelo material referente a médias e desigualdades que está no scribd e que encontrei recentemente... muito didático. Grande abraço. 2013/4/18 Nehab carlos.ne...@gmail.com Oi, Mauricio, Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para quem não aprendeu este conteúdo: A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o seguinte argumento: - O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o último algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada através de uma tabelinha)... - Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6; logo, se n não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5... Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais simples de forma mais intuitiva. Abraços Nehab On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote: fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)... temos 3 números consecutivos = multiplo de 2 e 3 note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois: ou n é múltiplo de 5 ou n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use congruencia... n=1 (mod5) = n4=1(mod5); n=2(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5); n=3(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5); n=4(mod5) = n4=1(mod5)... Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30 CQD. 2013/4/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Mostrar que m = n^5 - n é divisível por 30 Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3. Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai acaba. Fui tentar por indução também e ai complicou. Alguém resolveria por indução? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.* *A primeira vez é sempre a última chance.* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.* *A primeira vez é sempre a última chance.* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)
Ora, ora, Seu comentário me deixa muito, mas muito feliz. Mas eu achei que eu estava bem escondidinho! Na verdade, há centenas de materiais disponíveis para a turma mais afiada, mas pouquíssimo material para você motivar a gurizada. E foi essa a intenção do referido texto e é também a de outros textos que eu não publiquei. E, hoje, ando um pouco preguiçoso, pois meu maior barato é curtir netos. Mas mais uma meia dúzia de incentivos desses publico tudo e ainda escrevo mais ! Hahaha. Grande abraço, Nehab On 18/04/2013 16:27, Mauricio de Araujo wrote: Tens razão, Carlos! à propósito, queria te parabenizar pelo material referente a médias e desigualdades que está no scribd e que encontrei recentemente... muito didático. Grande abraço. 2013/4/18 Nehab carlos.ne...@gmail.com mailto:carlos.ne...@gmail.com Oi, Mauricio, Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para quem não aprendeu este conteúdo: A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o seguinte argumento: - O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o último algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada através de uma tabelinha)... - Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6; logo, se n não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5... Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais simples de forma mais intuitiva. Abraços Nehab On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote: fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)... temos 3 números consecutivos = multiplo de 2 e 3 note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois: ou n é múltiplo de 5 ou n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use congruencia... n=1 (mod5) = n4=1(mod5); n=2(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5); n=3(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5); n=4(mod5) = n4=1(mod5)... Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30 CQD. 2013/4/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com mailto:marconeborge...@hotmail.com Mostrar que m = n^5 - n é divisível por 30 [Upload Photo to Facebook] [Google+] [Twitt] [Send by Gmail] [Upload Video to Facebook] [Google+] [Twitt] [Send by Gmail] Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3. Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai acaba. Fui tentar por indução também e ai complicou. Alguém resolveria por indução? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ /momentos excepcionais pedem ações excepcionais./ /A primeira vez é sempre a última chance./ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ /momentos excepcionais pedem ações excepcionais./ /A primeira vez é sempre a última chance./ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)
Como faço para conseguir esse material? Enviado via iPhone Em 18/04/2013, às 22:18, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu: Ora, ora, Seu comentário me deixa muito, mas muito feliz. Mas eu achei que eu estava bem escondidinho! Na verdade, há centenas de materiais disponÃveis para a turma mais afiada, mas pouquÃssimo material para você motivar a gurizada. E foi essa a intenção do referido texto e é também a de outros textos que eu não publiquei. E, hoje, ando um pouco preguiçoso, pois meu maior barato é curtir netos. Mas mais uma meia dúzia de incentivos desses publico tudo e ainda escrevo mais ! Hahaha. Grande abraço, Nehab On 18/04/2013 16:27, Mauricio de Araujo wrote: Tens razão, Carlos! à propósito, queria te parabenizar pelo material referente a médias e desigualdades que está no scribd e que encontrei recentemente... muito didático. Grande abraço. 2013/4/18 Nehab carlos.ne...@gmail.com Oi, Mauricio, Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessÃvel para quem não aprendeu este conteúdo: A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o seguinte argumento: - O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o último algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada através de uma tabelinha)... - Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6; logo, se n não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5... Este tipo de argumento resolve vários problemas olÃmpicos mais simples de forma mais intuitiva. Abraços Nehab On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote: fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)... temos 3 números consecutivos = multiplo de 2 e 3 note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois: ou n é múltiplo de 5 ou n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use congruencia... n=1 (mod5) = n4=1(mod5); n=2(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5); n=3(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5); n=4(mod5) = n4=1(mod5)... Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30 CQD. 2013/4/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Mostrar que  m = n^5 - n é divisÃvel por 30 Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3. Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai acaba. Fui tentar por indução também e ai complicou. Alguém resolveria por indução?   -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Abraços oɾnÉÉ¹É Çp oıɔıɹnÉɯ momentos excepcionais pedem ações excepcionais. A primeira vez é sempre a última chance. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Abraços oɾnÉÉ¹É Çp oıɔıɹnÉɯ momentos excepcionais pedem ações excepcionais. A primeira vez é sempre a última chance. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
