Re: RES: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)
At 02:01 24/10/2003, you wrote: Se a circunferência tem diâmetro BC então o centro dela está no ponto médio de BC. (Creio que foi uma mera desatenção sua Cesar) Eu pensei nessa hipótese, e foi mera desatenção de minha parte mesmo... CÁLCULO DE DF: Como F é a intersecção da circunferência com BD, então o triangulo CFB é retângulo. Nota-se que o triangulo DCB também é retângulo. Como você provou isso? Eu desenhei e também tive essa conclusão, mas não pude provar isso de modo satisfatório... Um abraço, Cesar Ryudi Kawakami = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: RES: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)
Cesar, não entendi se você queria saber a prova do fato de serem retângulos, ou de serem semelhantes, em todo caso estou enviando tudo... Prova-se que CFB é retângulo pelo fato de todo triangulo retângulo estar inscrito numa semi-circunferencia, onde o diâmetro da semi-circunferencia é a hipotenusa do triangulo retângulo, nesse caso BC é a hipotenusa, CF e FB os catetos. F é ângulo reto já que BÔC(Considere O ponto médio de BC e centro da circunferencia) vale 180°, e como F está sobre a circunferencia então CFB é metade de BÔC. Prova-se que DCB é retângulo simplesmente pelo enunciado da questão, já que ele diz que os triângulos são retângulo-isosceles. Logo, ACB = 45° e BCA = 45º, então DCB = 90° Para provar a semelhança dos 2 triangulos usa-se o fato deles terem em comum o ângulo de 90° e o ângulo CBF, já que F está contido no segmente BD, então CBF = CBD = arctg(1/2) Se tiver faltando alguma coisa, ou estiver algo errado, avise-me por favor. []'s Douglas -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Cesar Ryudi Kawakami Enviada em: sexta-feira, 24 de outubro de 2003 13:46 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: RES: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley) At 02:01 24/10/2003, you wrote: Se a circunferência tem diâmetro BC então o centro dela está no ponto médio de BC. (Creio que foi uma mera desatenção sua Cesar) Eu pensei nessa hipótese, e foi mera desatenção de minha parte mesmo... CÁLCULO DE DF: Como F é a intersecção da circunferência com BD, então o triangulo CFB é retângulo. Nota-se que o triangulo DCB também é retângulo. Como você provou isso? Eu desenhei e também tive essa conclusão, mas não pude provar isso de modo satisfatório... Um abraço, Cesar Ryudi Kawakami = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)
Num triangulo retangulo a hipotenusa e o maior lado logo nao ha resposta pois AB-AC=0paraisodovestibulando [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Pessoal,Me ajudem nesta questaum:Sejam ABC e ACD dois triângulos retângulos isósceles com o lado AC comum, e os vértices B e D situados em semiplanos distintos em relação ao lado AC. Nestes triângulos AB = AC = a e AD = CD.a) Calcule a diagonal BD, do quadrilátero ABCD.b) Seja E o ponto de interseção de AC com BD. Calcule BE e ED.c) Seja F a interseção da circunferência de diâmetro BC com a diagonal BD. Calcule DF e EF.GratoMr. Crowley__Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.AntiPop-up UOL - É grátis!http://antipopup.uol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
Re: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)
Estah certo disso? Nao quer mudar sua resposta? Em Thu, 23 Oct 2003 12:28:59 -0300 (ART), Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] disse: Num triangulo retangulo a hipotenusa e o maior lado logo nao ha resposta pois AB-AC=0 paraisodovestibulando [EMAIL PROTECTED] wrote:Olá Pessoal, Me ajudem nesta questaum: Sejam ABC e ACD dois triângulos retângulos isósceles com o lado AC comum, e os vértices B e D situados em semiplanos distintos em relação ao lado AC. Nestes triângulos AB = AC = a e AD = CD. a) Calcule a diagonal BD, do quadrilátero ABCD. b) Seja E o ponto de interseção de AC com BD. Calcule BE e ED. c) Seja F a interseção da circunferência de diâmetro BC com a diagonal BD. Calcule DF e EF. Grato Mr. Crowley __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)
Bom, espero que eu não tenha errado, mas se encontrarem alguma falha, favor avisem... Item C: Se a circunferência tem diâmetro BC então o centro dela está no ponto médio de BC. (Creio que foi uma mera desatenção sua Cesar) CÁLCULO DE DF: Como F é a intersecção da circunferência com BD, então o triangulo CFB é retângulo. Nota-se que o triangulo DCB também é retângulo. Como os 2 triângulos citados são semelhantes(Possuem em comum o ângulo reto, e o ângulo B, logo o outro também é igual) pode-se aplicar uma regra de 3 simples: BD/BC = BC/BF (Uma das relações notáveis do triangulo retângulo geralmente mostrada como c² = a.m). BC² = BD.BF 2a² = (sqrt(10).a/2).BF BF = sqrt(10)2a/5 RESPOSTA: DF = (BD - BF) = sqrt(10).a/2 - sqrt(10)2a/5 LOGO DF = sqrt(10).a/10 CÁLCULO DE EF: Como CD/AD = 2, e percebe-se que os triangulos ADE e CEB são semelhantes, então BE/ED = 2, Logo BE é BD/3 RESPOSTA: EF = BF - BE = sqrt(10)2a/5 - sqrt(10).a/6 LOGO: EF = sqrt(10)7a/30 -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Cesar Ryudi Kawakami Enviada em: quinta-feira, 23 de outubro de 2003 22:19 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley) Prolongando BA e sendo M o pé da distância de D em relação à AB, e sendo N o pé da altura de D em relação à AC, teremos um quadrado de lado a/2 AMDN, pois CAD = 45º e ADN = 90º/2 = 45º, sendo ADN um triângulo isósceles de catetos a/2 (NDC congruente a ADN) Resolução item A: Assim, BM = 3a/2, e DM = a/2. Aplicando o Teorema de Pitágoras sobre o triângulo DMB temos que DB = sqrt(10).a/2. Retomando o fato de AMDN ser um quadrado, BM // DN. Como NDE = EBA (alternos internos), e AEB = DEN (opostos pelo vértice), os triângulos ABE e EDN são semelhantes. Colocando em proporção os lados homólogos, temos: AB/DN = AE/EN, ou, então, 2 = AE/EN Logo, 2(EN) = AE, e AE = 2(AN)/3. Assim, AE = AC/3 = a/3. Resolução item B: Aplicando pitágoras sobre o triângulo BAE, temos que BE = sqrt(10).a/3. Subtraindo, temos que DE = sqrt(10).a/6 O enunciado do C eu não entendi... circunferência de diâmetro BC, mas centro onde? Um abraço, Cesar Ryudi Kawakami At 03:05 23/10/2003, you wrote: Olá Pessoal, Me ajudem nesta questaum: Sejam ABC e ACD dois triângulos retângulos isósceles com o lado AC comum, e os vértices B e D situados em semiplanos distintos em relação ao lado AC. Nestes triângulos AB = AC = a e AD = CD. a) Calcule a diagonal BD, do quadrilátero ABCD. b) Seja E o ponto de interseção de AC com BD. Calcule BE e ED. c) Seja F a interseção da circunferência de diâmetro BC com a diagonal BD. Calcule DF e EF. Grato Mr. Crowley ___ ___ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)
Pela descrição, você tem dois triângulos retângulos ABC (cujo ângulo reto é A) e ACD, cujo ângulo reto é D. AC (que é cateto do triangulo ABC e mede a e ao mesmo tempo é hipotenusa do triângulo ACD) é bissetriz do ângulo DCB que é reto e portanto AD // BC, ou seja, o quadrilátero é um Trapézio retângulo. DC mede 0,5*a*SQRT(2) e BC mede a*SQRT(2), portanto BD^2 = 2,5a^2 e portanto BD = 0,5*a*SQRT(10). (a) Os triângulos AED e BEC são semelhantes e a razão de semelhança eh 1:2, portanto DE/BE = 1:2. Seja DE = x, BE = 2x e BE+DE = 3x = 0,5*a*SQRT(10), ou seja, DE = (1/6)*a*SQRT(10) e BE = (1/3)*a*SQRT(10) (b) BF é a projeção ortogonal do cateto BC (do triângulo DCB, retângulo em C) sobre a hipotenusa e portanto usando as relações métricas conhecidas novamente, temos: BF*BD = BC^2 BF * [(1/2)*a*SQRT(10)]= 2a^2 BF = (2/5)*a*SQRT(10) DF*DB = DC^2 (rel métrica no triângulo retângulo DCB) DF * [(1/2)*a*SQRT(10)]=(1/2)a^2 e portanto DF = (1/10)a*SQRT(10) EF = BF - BE = [2/5 - 1/3] *a*SQRT(10) = (1/15)*a*SQRT(10) (c) []'s MP Obs.: eh uma boa refazer as contas pq eu normalmente erro (digitar e pensar não combina muito comigo - meu reino por um quadro negro :-P - principalmente sem a figura) -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de paraisodovestibulando Enviada em: quinta-feira, 23 de outubro de 2003 03:06 Para: obm-l Assunto: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley) Olá Pessoal, Me ajudem nesta questaum: Sejam ABC e ACD dois triângulos retângulos isósceles com o lado AC comum, e os vértices B e D situados em semiplanos distintos em relação ao lado AC. Nestes triângulos AB = AC = a e AD = CD. a) Calcule a diagonal BD, do quadrilátero ABCD. b) Seja E o ponto de interseção de AC com BD. Calcule BE e ED. c) Seja F a interseção da circunferência de diâmetro BC com a diagonal BD. Calcule DF e EF. Grato Mr. Crowley __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Incoming mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.512 / Virus Database: 309 - Release Date: 19/8/2003 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.512 / Virus Database: 309 - Release Date: 19/8/2003 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Geometria (Mr. Crowley)
Olá Pessoal, Me ajudem nesta questaum: Sejam ABC e ACD dois triângulos retângulos isósceles com o lado AC comum, e os vértices B e D situados em semiplanos distintos em relação ao lado AC. Nestes triângulos AB = AC = a e AD = CD. a) Calcule a diagonal BD, do quadrilátero ABCD. b) Seja E o ponto de interseção de AC com BD. Calcule BE e ED. c) Seja F a interseção da circunferência de diâmetro BC com a diagonal BD. Calcule DF e EF. Grato Mr. Crowley __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)
--- paraisodovestibulando [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Pessoal, Gostaria de uma ajudinha nestes dois exercicio: exercicio I) http://www.paraisodovestibulando.kit.net/questoes/geomet ria_plana8.jpg exercicio II) http://www.paraisodovestibulando.kit.net/questoes/pirami de.jpg se CD _|_ plano ABC - BDC e ADC sao triang. retangulos = BC=DC/tg(30)=30 dm AC=DC/tg(60)=10 dm V=volume=1/3 * BC*AC/2 * DC=500raiz(3) dm^3 Grato Mr. Crowley __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Geometria (Mr. Crowley)
Olá Pessoal, Gostaria de uma ajudinha nestes dois exercicio: exercicio I) http://www.paraisodovestibulando.kit.net/questoes/geomet ria_plana8.jpg exercicio II) http://www.paraisodovestibulando.kit.net/questoes/pirami de.jpg Grato Mr. Crowley __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)
Olá MP, Me desculpe a ignorância, mas eu naum entendi o seguinte termo em destaque: = Numa circunferência de centro O e de diâmetro AB=2R, prolongando-se o diâmetro AB até um ponto M, tal que BM=R. Traça-se uma secante MNS tal que MN=NS onde N e S são os pontos de interseção da secante com a circunferência. Determine a área do triângulo MOS. ** MN*MS = (MO)^2-(AO)^2=3R^2 (me explique como vc deduziu essa expressão) *** 2MN^2=3R^2, ou seja, MN = NS = R*sqrt(3/2) A área procurada é igual ao dobro da área do triângulo NOS (porque N é pto médio de MS) cujos lados são R, R e R*sqrt(3/2). A altura relativa ao lado que mede R*sqrt (3/2) pode ser facilmente achada usando o Teorema de Pitágoras: h^2 = R^2 - 3/2*(R/2)^2 h^2=(8R^2) - 3R^2)/8 h=sqrt(5/2)*R/2 A área procurada,salvo erro de contas..) será:sqrt(15)/4 * R^2 === Considere o cubo de bases ABCD e EFGH, e arestas AE, BF, CG e DH. Sejam as arestas iguais a 3m e os pontos M, N e P marcados de forma que: M AD, tal que AM = 2m N AB, tal que AN = 2m, e P BF, tal que BP = 0,5m. Calcule o perímetro da seção que o plano MNP determina no cubo. obs: - lê-se 'pertence' === quanto a este exerícios vc naum poderia me mandar uma figura, pois naum consigo imaginar como é o plano que corta esse cubo. Grato Mr. Crowley __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Geometria (Mr. Crowley)
Olá Pessoal, Gostaria de uma ajudinha nestas duas questoes: === Numa circunferência de centro O e de diâmetro AB=2R, prolongando-se o diâmetro AB até um ponto M, tal que BM=R. Traça-se uma secante MNS tal que MN=NS onde N e S são os pontos de interseção da secante com a circunferência. Determine a área do triângulo MOS. === === Considere o cubo de bases ABCD e EFGH, e arestas AE, BF, CG e DH. Sejam as arestas iguais a 3m e os pontos M, N e P marcados de forma que: M AD, tal que AM = 2m N AB, tal que AN = 2m, e P BF, tal que BP = 0,5m. Calcule o perímetro da seção que o plano MNP determina no cubo. obs: - lê-se 'pertence' === Grato Mr. Crowley __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)
= De:paraisodovestibulando [EMAIL PROTECTED] Para:obm-l [EMAIL PROTECTED] Assunto:[obm-l] Geometria (Mr. Crowley) Olá Pessoal, Gostaria de uma ajudinha nestas duas questoes: === Numa circunferência de centro O e de diâmetro AB=2R, prolongando-se o diâmetro AB até um ponto M, tal que BM=R. Traça-se uma secante MNS tal que MN=NS onde N e S são os pontos de interseção da secante com a circunferência. Determine a área do triângulo MOS. === MN*MS = (MO)^2-(AO)^2=3R^2 2MN^2=3R^2, ou seja, MN = NS = R*sqrt(3/2) A área procurada é igual ao dobro da área do triângulo NOS (porque N é pto médio de MS) cujos lados são R, R e R*sqrt(3/2). A altura relativa ao lado que mede R*sqrt(3/2) pode ser facilmente achada usando o Teorema de Pitágoras: h^2 = R^2 - 3/2*(R/2)^2 h^2=(8R^2) - 3R^2)/8 h=sqrt(5/2)*R/2 A área procurada,salvo erro de contas..) será:sqrt(15)/4 * R^2 === Considere o cubo de bases ABCD e EFGH, e arestas AE, BF, CG e DH. Sejam as arestas iguais a 3m e os pontos M, N e P marcados de forma que: M AD, tal que AM = 2m N AB, tal que AN = 2m, e P BF, tal que BP = 0,5m. Calcule o perímetro da seção que o plano MNP determina no cubo. obs: - lê-se 'pertence' === Acho que sem figura vai ser meio esquisito de perceber .. mas vamos lá: Considere o tetraedro P-BNM (P = vértice e base BMN) BP é perpendicular ao plano da face ABCD do cubo. PB =0,5, BM = 1, usando pitagoras, PM = sqrt(1,25)= 0,5sqrt(5) Alem disso, MA é perpendicular a NA, e MA = 2, NA = 2 portanto MN = 2sqrt(2). Por último temos que BN = sqrt(5)e BP = 0,5, portanto PN = sqrt(5 - 0,25)= sqrt(4,75) Grato Mr. Crowley []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
