Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz
Podemos fazer de modo elementar: Se A e B são matrizes de orden n , tais que AB=I ==> BA=I. BA=BIA=B(AB)A=(BA)(BA)=(BA)^2. Fazendo BA=S ,temos que S^2=S, como S=BA é invertível (produto de duas matrizes invertíveis , pois se AB=I é claro que det(AB)=detA.detB=1 e portanto detA e detB são não nulos e portanto A e B são invertíveis).Assim, se S^2=S, com S invertível, podemos multiplicar ambos os menbros por S^(-1) edaí temos que; S.S=S => [S^(-1).S].S=S^(-1).S => I.S=I => S=I, mas S=BA e portanto BA=I. Cgomes De fato, BA=BIA - Original Message - From: "Jair Donadelli Junior" <[EMAIL PROTECTED]> To: Sent: Friday, October 08, 2004 3:54 PM Subject: Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz On Fri, Oct 08, 2004 at 11:05:22AM -0200, Claudio Buffara wrote: O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) Problema adicional: Se A for mxn, B nxm com m < n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos dizer sobre BA? Começando pelo segundo problema, podemos dizer que (BA)^2 = B(AB)A = BA donde BA é uma projeção de posto m, ou seja, uma projeção de R^n sobre um subespaço de dimensão m. Quanto ao primeiro, eu diria que ele *não* é trivial. Encarando A e B como transformações lineares, é bem claro que A é sobre e B é injetora. O que fica faltando é provar o seguinte lema: Seja T uma transformação linear de um espaço vetorial de dimensão finita V nele mesmo. Então as seguintes condições são equivalentes: (a) T é injetora; (b) T é sobrejetora; (c) T é inversível. Este é uma espécie de versão linear do princípio das casas de pombos e requer demonstração. A demonstração pode ser encontrada em qualquer livro de álgebra linear, claro, mas não é de todo trivial. Note que todas as seguintes hipóteses são necessárias: Dimensão finita: o lema é falso em espaços vetoriais de dimensão infinita. Espaço vetorial: o lema é falso para módulos sobre quase qualquer anel. A necessidade destas duas hipóteses torna a meu ver o princípio das casas de pombos lineares algo não trivial. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz
On Fri, Oct 08, 2004 at 11:05:22AM -0200, Claudio Buffara wrote: > O problema a seguir eh trivial? > > Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. > (I = matriz identidade) > > Problema adicional: > Se A for mxn, B nxm com m < n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos > dizer sobre BA? Começando pelo segundo problema, podemos dizer que (BA)^2 = B(AB)A = BA donde BA é uma projeção de posto m, ou seja, uma projeção de R^n sobre um subespaço de dimensão m. Quanto ao primeiro, eu diria que ele *não* é trivial. Encarando A e B como transformações lineares, é bem claro que A é sobre e B é injetora. O que fica faltando é provar o seguinte lema: Seja T uma transformação linear de um espaço vetorial de dimensão finita V nele mesmo. Então as seguintes condições são equivalentes: (a) T é injetora; (b) T é sobrejetora; (c) T é inversível. Este é uma espécie de versão linear do princípio das casas de pombos e requer demonstração. A demonstração pode ser encontrada em qualquer livro de álgebra linear, claro, mas não é de todo trivial. Note que todas as seguintes hipóteses são necessárias: Dimensão finita: o lema é falso em espaços vetoriais de dimensão infinita. Espaço vetorial: o lema é falso para módulos sobre quase qualquer anel. A necessidade destas duas hipóteses torna a meu ver o princípio das casas de pombos lineares algo não trivial. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz
on 13.10.04 17:24, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: >> Oi, Artur: > >> Tudo bem, mas eu estava tentando provar isso a >partir de conceitos mais >> basicos, tais como sistemas lineares e matrizes >elementares. >> O fato de que A eh invertivel se e somente se >det>(A) <> 0 eh muito > avancado, >> mas obviamnete estah correto. > > OK, mas eu tambem nao estava querendo dizer que era trivial para mim... > A prva que vc apresentou na outra mensagem eh ateh bem mais dificil e mais > geral do que a baseada em determinantes. Eu tambem jaj admiti conhecido que > a inversa de uma matriz nao singular eh unica. > Artur > Mas, dado que a inversa existe, a sua unicidade eh realmente facil de mostrar. Se AB = BA = AC = CA = I, entao, B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C. Alias, isso vale para funcoes em geral e nao apenas matrizes ou transformacoes lineares. O problema eh que uma transformacao linear pode ter uma inversa a direita e nao ser invertivel. Um exemplo eh a transformacao derivada no espaco vetorial dos polinomios. Alias, o Nicolau mencionou este ponto. Assim, dimensao finita deve ser essencial. Soh que, na minha demonstracao baseada em grupos, onde eh que dimensao finita entra? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz
>Oi, Artur: >Tudo bem, mas eu estava tentando provar isso a >partir de conceitos mais >basicos, tais como sistemas lineares e matrizes >elementares. >O fato de que A eh invertivel se e somente se >det>(A) <> 0 eh muito avancado, >mas obviamnete estah correto. OK, mas eu tambem nao estava querendo dizer que era trivial para mim... A prva que vc apresentou na outra mensagem eh ateh bem mais dificil e mais geral do que a baseada em determinantes. Eu tambem jaj admiti conhecido que a inversa de uma matriz nao singular eh unica. Artur OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz
on 08.10.04 15:54, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: > On Fri, Oct 08, 2004 at 11:05:22AM -0200, Claudio Buffara wrote: >> O problema a seguir eh trivial? >> >> Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. >> (I = matriz identidade) >> >> Problema adicional: >> Se A for mxn, B nxm com m < n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos >> dizer sobre BA? > > Começando pelo segundo problema, podemos dizer que (BA)^2 = B(AB)A = BA > donde BA é uma projeção de posto m, ou seja, uma projeção de R^n sobre > um subespaço de dimensão m. > > Quanto ao primeiro, eu diria que ele *não* é trivial. Encarando A e B > como transformações lineares, é bem claro que A é sobre e B é injetora. > O que fica faltando é provar o seguinte lema: > > Seja T uma transformação linear de um espaço vetorial de dimensão finita V > nele mesmo. Então as seguintes condições são equivalentes: > > (a) T é injetora; > (b) T é sobrejetora; > (c) T é inversível. > > Este é uma espécie de versão linear do princípio das casas de pombos > e requer demonstração. A demonstração pode ser encontrada em qualquer > livro de álgebra linear, claro, mas não é de todo trivial. Note que todas > as seguintes hipóteses são necessárias: > > Dimensão finita: o lema é falso em espaços vetoriais de dimensão infinita. > Espaço vetorial: o lema é falso para módulos sobre quase qualquer anel. > > A necessidade destas duas hipóteses torna a meu ver o princípio das > casas de pombos lineares algo não trivial. > > []s, N. > > Oi, Nicolau: Obrigado pela resposta. Voce iluminou um novo angulo do problema. Para o primeiro problema, eu havia pensado em usar um resultado que diz respeito as condicoes minimas necessarias para um semi-grupo ser um grupo. Acho que o Domingos mencionou algo a respeito. Em linguagem de matrizes seria o seguinte: Seja M um conjunto de matrizes quadradas nxn (n arbitrario), fechado em relacao ao produto usual de matrizes (que sabemos ser associativo) e com as seguintes propriedades: 1) Existe I em M tal que A*I = A, para toda A em M; 2) Para cada A em M, existe B em M tal que A*B = I. Entao, para cada A em M vale I*A = A e dada B tal que A*B = I, tem-se B*A = I. Tomemos A em M. Seja B tal que A*B = I. Como B estah em M, vai existir C em M tal que B*C = I. Entao, A = A*I = A*(B*C) = (A*B)*C = I*C. Logo, B*A = B*(I*C) = (B*I)*C = B*C = I. Alem disso, I*A = (A*B)*A = A*(B*A) = A*I = A. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz
Oi, Artur: Tudo bem, mas eu estava tentando provar isso a partir de conceitos mais basicos, tais como sistemas lineares e matrizes elementares. O fato de que A eh invertivel se e somente se det(A) <> 0 eh muito avancado, mas obviamnete estah correto. []s, Claudio. on 08.10.04 16:12, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: > O que eh trivial depende da experiencia de cada um > Mas como AB = I, temos que det(AB) = det(A) * det(B) = det(I) = 1<>0, de > modo que det(A)<>0 e det(B)<>0. Logo, A e B sao invertiveis. Como a inversa > de uma matriz nao singular eh unica e AB=I, temos que B = A^(-1), o que > implica que BA = I. > Artur > > > - Mensagem Original > De: [EMAIL PROTECTED] > Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> > Assunto: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz > Data: 08/10/04 11:56 > > O problema a seguir eh trivial? > > Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. > (I = matriz identidade) > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz
AB=I (AB)A=IA=A A(BA)=AIAgora tem que ver se da para cortar o A. Ah=cho que sim mas nao to com paciencia de concluir... Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: O problema a seguir eh trivial?Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I.(I = matriz identidade)Problema adicional:Se A for mxn, B nxm com m < n e AB = I (identidade mxm), o que poderemosdizer sobre BA?[]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=__Do You Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com
Re: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz
Márcio Barbado Jr. wrote: O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) INDAGAÇÃO: Não estariam faltando informações? Pois nesse caso, provar que BA = I significa provar que B eh a inversa de A e a HIPOTESE para uma matriz ser invertível eh AB = BA = I (com A e B de mesma ordem), -> daí TESE: B eh a inversa de A. E o problema sugerido fica soh na HIPOTESE. _ isso é um resultado mais geral de teoria dos grupos. seja G um grupo e g um elemento de G. suponha h é a inversa de g, ou seja, gh = e (e é a identidade) h = h*e = h*g*h = (hg)*h mas como a identidade é o único elemento com a propriedade e*s = s*e = s, devemos ter hg = e. para provar a propriedade da identidade, assuma que e' também satisfaz e'*s = s*e' = s para todo s em G, então e'*e = e' (pela propriedade de e), por outro lado e'*e = e (pela propriedade de e'), donde e'*e = e = e' = e'*e. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz
O que eh trivial depende da experiencia de cada um Mas como AB = I, temos que det(AB) = det(A) * det(B) = det(I) = 1<>0, de modo que det(A)<>0 e det(B)<>0. Logo, A e B sao invertiveis. Como a inversa de uma matriz nao singular eh unica e AB=I, temos que B = A^(-1), o que implica que BA = I. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz Data: 08/10/04 11:56 O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) INDAGAÇÃO: Não estariam faltando informações? Pois nesse caso, provar que BA = I significa provar que B eh a inversa de A e a HIPOTESE para uma matriz ser invertível eh AB = BA = I (com A e B de mesma ordem), -> daí TESE: B eh a inversa de A. E o problema sugerido fica soh na HIPOTESE. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz
On Fri, Oct 08, 2004 at 11:05:22AM -0200, Claudio Buffara wrote: > O problema a seguir eh trivial? > > Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. > (I = matriz identidade) > > Problema adicional: > Se A for mxn, B nxm com m < n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos > dizer sobre BA? Começando pelo segundo problema, podemos dizer que (BA)^2 = B(AB)A = BA donde BA é uma projeção de posto m, ou seja, uma projeção de R^n sobre um subespaço de dimensão m. Quanto ao primeiro, eu diria que ele *não* é trivial. Encarando A e B como transformações lineares, é bem claro que A é sobre e B é injetora. O que fica faltando é provar o seguinte lema: Seja T uma transformação linear de um espaço vetorial de dimensão finita V nele mesmo. Então as seguintes condições são equivalentes: (a) T é injetora; (b) T é sobrejetora; (c) T é inversível. Este é uma espécie de versão linear do princípio das casas de pombos e requer demonstração. A demonstração pode ser encontrada em qualquer livro de álgebra linear, claro, mas não é de todo trivial. Note que todas as seguintes hipóteses são necessárias: Dimensão finita: o lema é falso em espaços vetoriais de dimensão infinita. Espaço vetorial: o lema é falso para módulos sobre quase qualquer anel. A necessidade destas duas hipóteses torna a meu ver o princípio das casas de pombos lineares algo não trivial. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) INDAGAÇÃO: Não estariam faltando informações? Pois nesse caso, provar que BA = I significa provar que B eh a inversa de A e a HIPOTESE para uma matriz ser invertível eh AB = BA = I (com A e B de mesma ordem), -> daí TESE: B eh a inversa de A. E o problema sugerido fica soh na HIPOTESE. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Inversa de uma Matriz
O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) Problema adicional: Se A for mxn, B nxm com m < n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos dizer sobre BA? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
