[obm-l] PRISIONEIROS ALIENÍG ENAS!
Valeu! Ralph! Somos gratos pela sua requintada explanação com destaque para o alienígena que nos passou despercebido. A aleatorização do raciocínio com o incremento da moeda me fez lembrar nossa irracionalidade subjetiva em deixar que os caprichos da moeda represente a sua escolha ao invés de uma escolha direta pelo seu time preferido. Primeiro que a moeda acerte o seu time preferido e segundo que o seu time favorito ganhe o jogo, ou seja, são duas etapas ao invés de somente uma. A interpretação subjetiva me fascina pelo seu grau de fé ou julgamento quantificado sobre a ocorrencia de um evento incerto. Numa comparação entre duas apostas, qual você prefere de modo que uma aposta seja a probabilidade subjetiva da outra? aposta A: Chove ou não amanhã, aqui, às 11:00 horas? Se chover ganha $100 , senão nada. aposta B: Se o ponteiro de um relógio parar entre 12:00 horas e 18:00 horas ganha $100 , senão nada. A chave deste enigma subjetivo está no intervalo de tempo em que se torna indiferente a escolha entre as apostas. E para relaxar depois de tantos raciocínios prisioneiros rebuscados, qual a melhor alternativa econômica dentre as duas opções de emprego: Emprego 1: Começa ganhando $1000, passa a ganhar $2000 depois de 1 ano, e $3000 depois de 2 anos. Emprego 2: Começa ganhando $3500, passa a ganhar $2500 depois de 1 ano, e $1500 depois de 2 anos. Pasmem! Este ingênuo problema subestima o nosso bom senso ou intuição, pois quem não lembra do problema abaixo que continua em aberto... Você recebe ofertas de trabalho de duas empresas. A primeira oferece $18000 por ano com a promessa de aumento de $1000 por semestre. A segunda oferece também $18000 por ano com promessa de aumento de $4000 por ano. Qual empresa você deve escolher? Abraços e Divirtam-se! _ O Internet Explorer 8 te dá dicas de como navegar mais seguro. Clique para ler todas. http://www.microsoft.com/brasil/windows/internet-explorer/?WT.mc_id=1500
Re: [obm-l] PRISIONEIROS
Ola' Marcelo, sinceramente nao sei qual e' a resposta correta. Mas se fossemos prisioneiros, nao iriamos pegar o mesmo tunel 2 vezes, ne'? Considerei que quem fez a pergunta tambem nao repetiria o tunel errado...:-) []'s Rogerio Ponce Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Ponce, interessante seu ponto de vista.. eles aprendem conforme o andar da carruagem... na minha solucao considerei que eles podem pegar o 3o. caminho diversas vezes.. normalmente, nessas questoes, qual sera o raciocinio mais correto? acredito que o seu! abracos, Salhab On 8/14/07, Rogerio Ponce wrote: Ola' Arkon e colegas da lista, como ha' 3 tuneis a probabilidade de tomar um deles, inicialmente, sera' 1/3. Entretanto, o pessoal que toma o ultimo tunel, volta ao ponto de partida (caindo por um alcapao no teto, por exemplo); como nao sao cegos, agora escolhem um dos outros 2 tuneis, com igual probabilidade. Entao, 1/3 do pessoal leva 1 hora, outro 1/3 leva 3 horas. Agora temos 1/6 (metade da turminha que havia tomado o terceiro tunel) que leva 6+1 horas , e outro 1/6 que leva 6+3horas. Assim, a media e' 1*1/3 + 3*1/3 + 7*1/6 + 9*1/6 = (2+6+7+9)/6=4 Logo, eles levam 4 horas na media. []'s Rogerio Ponce arkon escreveu: Alguém pode resolver essa, por favor: Em uma cela, há uma passagem secreta que conduz a um porão de onde partem 3 túneis. o 1º túnel dá acesso à liberdade em 1 hora; o 2º, em 3 horas; O 3º leva ao ponto de partida em 6 horas. Em média, os prisioneiros que descobrem os túneis conseguem escapar da prisão em: a)3h 20' b)3h 40' c)4h d)4h 30'e)5h. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO A TODOS Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.
Re: [obm-l] PRISIONEIROS
Olá Salhab, Saulo, Ponce e colegas da Lista, gostaria de agradecer a todos por estarem me ajudando com suas resoluções. Em relação a essa questão dois colegas resolveram das seguintes formas: 1º resolução: Como o terceiro túnel traz os prisioneiros de volta ao ponto de partida, é complicado conseguir verificar o tempo médio em que os presos escapam, mas vamos prestar a atenção que entenderemos. Imaginemos a situação em que se escolhem: 1°: túnel: 1 hora. 2°: túnel: 3 horas. 3°: túnel: 6 horas ( e deve escolher um novo túnel), neste caso ele escolhe ou o 1° ou o 2°. Assim: 3°: túnel à 1 - túnel: 6 horas + 1 hora: 7 horas. 3°túnel à 2° túnel: 6 horas + 3 horas: 9 horas. Neste caso temos 4 possibilidades diferentes: Tirando a média aritmética: (1 + 3 + 7 + 9)/4 20/4 = 5 horas em média. 2º resolução: T1 em 1 h T2 em 3 h T3 em 7 h ou 9 h à (7 + 9)/2 à média 8 h Assim: (1 + 3 + 8)/3 = 4 h Portanto a segunda é o mesmo raciocínio seu Ponce. ABRAÇOS Ola' Arkon e colegas da lista, como ha' 3 tuneis a probabilidade de tomar um deles, inicialmente, sera' 1/3. Entretanto, o pessoal que toma o ultimo tunel, volta ao ponto de partida (caindo por um alcapao no teto, por exemplo); como nao sao cegos, agora escolhem um dos outros 2 tuneis, com igual probabilidade. Entao, 1/3 do pessoal leva 1 hora, outro 1/3 leva 3 horas. Agora temos 1/6 (metade da turminha que havia tomado o terceiro tunel) que leva 6+1 horas , e outro 1/6 que leva 6+3horas. Assim, a media e' 1*1/3 + 3*1/3 + 7*1/6 + 9*1/6 = (2+6+7+9)/6=4 Logo, eles levam 4 horas na media. []'s Rogerio Ponce arkon [EMAIL PROTECTED] escreveu: Alguém pode resolver essa, por favor: Em uma cela, há uma passagem secreta que conduz a um porão de onde partem 3 túneis. o 1º túnel dá acesso à liberdade em 1 hora; o 2º, em 3 horas; O 3º leva ao ponto de partida em 6 horas. Em média, os prisioneiros que descobrem os túneis conseguem escapar da prisão em: a)3h 20' b)3h 40' c)4h d)4h 30'e)5h. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO A TODOS Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.
Re: [obm-l] PRISIONEIROS
Olá Arkon,
vamos calcular a probabilidade dele conseguir chegar à saida em X horas.
1 hora: P(1) = 1/3 [pegar o primeiro caminho]
2 horas: P(2) = 0
3 horas: P(3) = 1/3 [pegar o segundo caminho]
4 horas: P(4) = 0
hmm P(5) = 0, P(6) = 0, P(7) = 1/3*1/3 [pegar o 3o. caminho e dps o primeiro]
hmm P(8) = 0, P(9) = 1/3*1/3 [pegar o 3o. caminho e dps o 2o.]
vamos tentar generalizar:
P(6k+1) = (1/3)^k
P(6k+3) = (1/3)^k
P(demais) = 0
sabemos que E = Sum[x*P(x)] = Sum[k=0 ... inf] { (6k+1)/3^k } +
Sum[k=0 ... inf] { (6k+3)/3^k }
Sum[k=0 .. inf] 1/3^k = 3/2 [PG infinita]
Sum[k=0 .. inf] 3/3^k = 9/2 [PG infinita]
falta calcularmos Sum[k=0..inf] 6k/3^k..
vamos calcular Sum[k=0..inf] k/3^k
como a serie eh convergente, facamos:
S = 1/3 + 2/3^2 + 3/3^3 + 4/3^4 + ...
3S = 1 + 2/3 + 3/3^2 + 4/3^3 + ...
subtraindo, temos:
3S - S = 1 + (2/3 - 1/3) + (3/3^2 - 2/3^2) + (4/3^3 - 3/3^3) + ...
2S = 1 + 1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 + ...
2S = 1 + 3/2 [PG infinita em 1/3 + 1/3^2 + ... ]
2S = 5/2
S = 5/4
logo: Sum[k=0..inf] 6k/3^k = 6*5/4 = 15/2
deste modo, ficamos com:
E = (15/2 + 3/2) + (15/2 + 9/2) = (15+3+15+9)/2 = 42/2 = 21 horas
eita... nenhuma das opcoes? hehehe
espero ter errado conta ao inves de conceitos :)
abracos,
Salhab
On 8/13/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote:
Alguém pode resolver essa, por favor:
Em uma cela, há uma passagem secreta que conduz a um porão de onde partem 3
túneis. o 1º túnel dá acesso à liberdade em 1 hora; o 2º, em 3 horas; O 3º
leva ao ponto de partida em 6 horas. Em média, os prisioneiros que descobrem
os túneis conseguem escapar da prisão em:
a)3h 20' b)3h 40' c)4h d)4h 30'e)5h.
DESDE JÁ MUITO OBRIGADO A TODOS
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] PRISIONEIROS
Olá denovo Arkon,
bom, se eu calcular Sum P(X), obtemos 3.. hehe estranho né?
acredito que esqueci de normalizar.. isto é: dividir tudo por 3..
sobre Sum[k=1..inf] k/3^k, temos:
S = Sum[k=1..inf] k/3^k
3S = Sum[k=0..inf] (k+1)/3^k = Sum[k=0..inf] k/3^k + Sum[k=0..inf] 1/3^k
3S = S + 3/2
S = 3/4
assim: 3E = (6*3/4 + 3/2) + (6*3/4 + 9/2) = 15
E = 5 horas..
dps de uns tropecos, acho que foi! :)
abracos,
Salhab
On 8/14/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá Arkon,
vamos calcular a probabilidade dele conseguir chegar à saida em X horas.
1 hora: P(1) = 1/3 [pegar o primeiro caminho]
2 horas: P(2) = 0
3 horas: P(3) = 1/3 [pegar o segundo caminho]
4 horas: P(4) = 0
hmm P(5) = 0, P(6) = 0, P(7) = 1/3*1/3 [pegar o 3o. caminho e dps o primeiro]
hmm P(8) = 0, P(9) = 1/3*1/3 [pegar o 3o. caminho e dps o 2o.]
vamos tentar generalizar:
P(6k+1) = (1/3)^k
P(6k+3) = (1/3)^k
P(demais) = 0
sabemos que E = Sum[x*P(x)] = Sum[k=0 ... inf] { (6k+1)/3^k } +
Sum[k=0 ... inf] { (6k+3)/3^k }
Sum[k=0 .. inf] 1/3^k = 3/2 [PG infinita]
Sum[k=0 .. inf] 3/3^k = 9/2 [PG infinita]
falta calcularmos Sum[k=0..inf] 6k/3^k..
vamos calcular Sum[k=0..inf] k/3^k
como a serie eh convergente, facamos:
S = 1/3 + 2/3^2 + 3/3^3 + 4/3^4 + ...
3S = 1 + 2/3 + 3/3^2 + 4/3^3 + ...
subtraindo, temos:
3S - S = 1 + (2/3 - 1/3) + (3/3^2 - 2/3^2) + (4/3^3 - 3/3^3) + ...
2S = 1 + 1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 + ...
2S = 1 + 3/2 [PG infinita em 1/3 + 1/3^2 + ... ]
2S = 5/2
S = 5/4
logo: Sum[k=0..inf] 6k/3^k = 6*5/4 = 15/2
deste modo, ficamos com:
E = (15/2 + 3/2) + (15/2 + 9/2) = (15+3+15+9)/2 = 42/2 = 21 horas
eita... nenhuma das opcoes? hehehe
espero ter errado conta ao inves de conceitos :)
abracos,
Salhab
On 8/13/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote:
Alguém pode resolver essa, por favor:
Em uma cela, há uma passagem secreta que conduz a um porão de onde partem 3
túneis. o 1º túnel dá acesso à liberdade em 1 hora; o 2º, em 3 horas; O 3º
leva ao ponto de partida em 6 horas. Em média, os prisioneiros que descobrem
os túneis conseguem escapar da prisão em:
a)3h 20' b)3h 40' c)4h d)4h 30'e)5h.
DESDE JÁ MUITO OBRIGADO A TODOS
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] PRISIONEIROS
hmm só pra corrigir o erro de portugues:
se eu calcular Sum P(X), OBTENHO 3.. :)
Salhab
On 8/14/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá denovo Arkon,
bom, se eu calcular Sum P(X), obtemos 3.. hehe estranho né?
acredito que esqueci de normalizar.. isto é: dividir tudo por 3..
sobre Sum[k=1..inf] k/3^k, temos:
S = Sum[k=1..inf] k/3^k
3S = Sum[k=0..inf] (k+1)/3^k = Sum[k=0..inf] k/3^k + Sum[k=0..inf] 1/3^k
3S = S + 3/2
S = 3/4
assim: 3E = (6*3/4 + 3/2) + (6*3/4 + 9/2) = 15
E = 5 horas..
dps de uns tropecos, acho que foi! :)
abracos,
Salhab
On 8/14/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá Arkon,
vamos calcular a probabilidade dele conseguir chegar à saida em X horas.
1 hora: P(1) = 1/3 [pegar o primeiro caminho]
2 horas: P(2) = 0
3 horas: P(3) = 1/3 [pegar o segundo caminho]
4 horas: P(4) = 0
hmm P(5) = 0, P(6) = 0, P(7) = 1/3*1/3 [pegar o 3o. caminho e dps o
primeiro]
hmm P(8) = 0, P(9) = 1/3*1/3 [pegar o 3o. caminho e dps o 2o.]
vamos tentar generalizar:
P(6k+1) = (1/3)^k
P(6k+3) = (1/3)^k
P(demais) = 0
sabemos que E = Sum[x*P(x)] = Sum[k=0 ... inf] { (6k+1)/3^k } +
Sum[k=0 ... inf] { (6k+3)/3^k }
Sum[k=0 .. inf] 1/3^k = 3/2 [PG infinita]
Sum[k=0 .. inf] 3/3^k = 9/2 [PG infinita]
falta calcularmos Sum[k=0..inf] 6k/3^k..
vamos calcular Sum[k=0..inf] k/3^k
como a serie eh convergente, facamos:
S = 1/3 + 2/3^2 + 3/3^3 + 4/3^4 + ...
3S = 1 + 2/3 + 3/3^2 + 4/3^3 + ...
subtraindo, temos:
3S - S = 1 + (2/3 - 1/3) + (3/3^2 - 2/3^2) + (4/3^3 - 3/3^3) + ...
2S = 1 + 1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 + ...
2S = 1 + 3/2 [PG infinita em 1/3 + 1/3^2 + ... ]
2S = 5/2
S = 5/4
logo: Sum[k=0..inf] 6k/3^k = 6*5/4 = 15/2
deste modo, ficamos com:
E = (15/2 + 3/2) + (15/2 + 9/2) = (15+3+15+9)/2 = 42/2 = 21 horas
eita... nenhuma das opcoes? hehehe
espero ter errado conta ao inves de conceitos :)
abracos,
Salhab
On 8/13/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote:
Alguém pode resolver essa, por favor:
Em uma cela, há uma passagem secreta que conduz a um porão de onde partem
3
túneis. o 1º túnel dá acesso à liberdade em 1 hora; o 2º, em 3 horas; O 3º
leva ao ponto de partida em 6 horas. Em média, os prisioneiros que
descobrem
os túneis conseguem escapar da prisão em:
a)3h 20' b)3h 40' c)4h d)4h 30'e)5h.
DESDE JÁ MUITO OBRIGADO A TODOS
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] PRISIONEIROS
Ola' Arkon e colegas da lista, como ha' 3 tuneis a probabilidade de tomar um deles, inicialmente, sera' 1/3. Entretanto, o pessoal que toma o ultimo tunel, volta ao ponto de partida (caindo por um alcapao no teto, por exemplo); como nao sao cegos, agora escolhem um dos outros 2 tuneis, com igual probabilidade. Entao, 1/3 do pessoal leva 1 hora, outro 1/3 leva 3 horas. Agora temos 1/6 (metade da turminha que havia tomado o terceiro tunel) que leva 6+1 horas , e outro 1/6 que leva 6+3horas. Assim, a media e' 1*1/3 + 3*1/3 + 7*1/6 + 9*1/6 = (2+6+7+9)/6=4 Logo, eles levam 4 horas na media. []'s Rogerio Ponce arkon [EMAIL PROTECTED] escreveu:Alguém pode resolver essa, por favor: Em uma cela, há uma passagem secreta que conduz a um porão de onde partem 3 túneis. o 1º túnel dá acesso à liberdade em 1 hora; o 2º, em 3 horas; O 3º leva ao ponto de partida em 6 horas. Em média, os prisioneiros que descobrem os túneis conseguem escapar da prisão em: a)3h 20' b)3h 40' c)4h d)4h 30'e)5h. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO A TODOS Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.
Re: [obm-l] PRISIONEIROS
Olá Ponce, interessante seu ponto de vista.. eles aprendem conforme o andar da carruagem... na minha solucao considerei que eles podem pegar o 3o. caminho diversas vezes.. normalmente, nessas questoes, qual sera o raciocinio mais correto? acredito que o seu! abracos, Salhab On 8/14/07, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola' Arkon e colegas da lista, como ha' 3 tuneis a probabilidade de tomar um deles, inicialmente, sera' 1/3. Entretanto, o pessoal que toma o ultimo tunel, volta ao ponto de partida (caindo por um alcapao no teto, por exemplo); como nao sao cegos, agora escolhem um dos outros 2 tuneis, com igual probabilidade. Entao, 1/3 do pessoal leva 1 hora, outro 1/3 leva 3 horas. Agora temos 1/6 (metade da turminha que havia tomado o terceiro tunel) que leva 6+1 horas , e outro 1/6 que leva 6+3horas. Assim, a media e' 1*1/3 + 3*1/3 + 7*1/6 + 9*1/6 = (2+6+7+9)/6=4 Logo, eles levam 4 horas na media. []'s Rogerio Ponce arkon [EMAIL PROTECTED] escreveu: Alguém pode resolver essa, por favor: Em uma cela, há uma passagem secreta que conduz a um porão de onde partem 3 túneis. o 1º túnel dá acesso à liberdade em 1 hora; o 2º, em 3 horas; O 3º leva ao ponto de partida em 6 horas. Em média, os prisioneiros que descobrem os túneis conseguem escapar da prisão em: a)3h 20' b)3h 40' c)4h d)4h 30'e)5h. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO A TODOS Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PRISIONEIROS
ele quer saber a media dos valores M= (1+3+6)/3=10/3=3h20´ On 8/13/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém pode resolver essa, por favor: Em uma cela, há uma passagem secreta que conduz a um porão de* *onde partem 3 túneis. o 1º túnel dá* *acesso à liberdade em 1 hora; o 2º, em 3 horas; O 3º leva ao ponto de partida em 6 horas. Em média, os prisioneiros que descobrem os túneis conseguem escapar da* *prisão em: a)3h 20' b)3h 40' c)4h d)4h* *30'e)5h. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO A TODOS
Re: [obm-l] PRISIONEIROS
Olá Saulo, eu entendo que ele quer o valor esperado (ou médio) para que o prisioneiro consiga fugir. Seria a media aritmetica caso todos os caminhos levassem a saida. abracos, Salhab On 8/14/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: ele quer saber a media dos valores M= (1+3+6)/3=10/3=3h20´ On 8/13/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém pode resolver essa, por favor: Em uma cela, há uma passagem secreta que conduz a um porão de onde partem 3 túneis. o 1º túnel dá acesso à liberdade em 1 hora; o 2º, em 3 horas; O 3º leva ao ponto de partida em 6 horas. Em média, os prisioneiros que descobrem os túneis conseguem escapar da prisão em: a)3h 20' b)3h 40' c)4h d)4h 30' e)5h. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO A TODOS = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PRISIONEIROS
Alguém pode resolver essa, por favor: Em uma cela, há uma passagem secreta que conduz a um porão de onde partem 3 túneis. o 1º túnel dá acesso à liberdade em 1 hora; o 2º, em 3 horas; O 3º leva ao ponto de partida em 6 horas. Em média, os prisioneiros que descobrem os túneis conseguem escapar da prisão em: a)3h 20' b)3h 40' c)4h d)4h 30'e)5h. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO A TODOS
