Re: [obm-l] Produto de cossenos
1/(2^44sen1) 2014-08-08 1:43 GMT-03:00 Walter Tadeu Nogueira da Silveira < wtade...@gmail.com>: > Sim. Queria um outra solução sem o algebrismo puramente trigonométrico. > Muito obrigado, Bernardo. > Em 08/08/2014 00:38, "Bernardo Freitas Paulo da Costa" < > bernardo...@gmail.com> escreveu: > > 2014-08-07 18:28 GMT-03:00 Walter Tadeu Nogueira da Silveira >> : >> > Boa noite a todos. >> > >> > Gostaria de uma ajuda. >> > >> > Para calcular o produto cos1º.cos2ºcos45º é possível utilizar >> complexos >> > assim: (e^i).(e^2i)...(e^45i) = e^(1+2+...45)i e tomar a parte real? >> Não. Veja que nem com apenas dois ângulos de 60° isso dá certo... >> cos(60°) = 1/2 >> cos(60°)^2 = 1/4 >> Re(e^(60°+60°)i) = Re(e^120°i) = cos(120°) = -1/2 >> >> Eu imagino que foi isso que você quis dizer com "tomar a parte real", >> porque a interpretação literal, ou seja, sem usar os "°" para >> converter, ia dar errado já para UM ângulo, afinal, cos(45°) = exp (45 >> * (pi/180) * i) != Re(exp(45i)) >> > Obrigado >> > >> > -- >> > Walter Tadeu Nogueira da Silveira >> >> Abraços, >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Produto de cossenos
Sim. Queria um outra solução sem o algebrismo puramente trigonométrico. Muito obrigado, Bernardo. Em 08/08/2014 00:38, "Bernardo Freitas Paulo da Costa" < bernardo...@gmail.com> escreveu: > 2014-08-07 18:28 GMT-03:00 Walter Tadeu Nogueira da Silveira > : > > Boa noite a todos. > > > > Gostaria de uma ajuda. > > > > Para calcular o produto cos1º.cos2ºcos45º é possível utilizar > complexos > > assim: (e^i).(e^2i)...(e^45i) = e^(1+2+...45)i e tomar a parte real? > Não. Veja que nem com apenas dois ângulos de 60° isso dá certo... > cos(60°) = 1/2 > cos(60°)^2 = 1/4 > Re(e^(60°+60°)i) = Re(e^120°i) = cos(120°) = -1/2 > > Eu imagino que foi isso que você quis dizer com "tomar a parte real", > porque a interpretação literal, ou seja, sem usar os "°" para > converter, ia dar errado já para UM ângulo, afinal, cos(45°) = exp (45 > * (pi/180) * i) != Re(exp(45i)) > > Obrigado > > > > -- > > Walter Tadeu Nogueira da Silveira > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Produto de cossenos
2014-08-07 18:28 GMT-03:00 Walter Tadeu Nogueira da Silveira : > Boa noite a todos. > > Gostaria de uma ajuda. > > Para calcular o produto cos1º.cos2ºcos45º é possível utilizar complexos > assim: (e^i).(e^2i)...(e^45i) = e^(1+2+...45)i e tomar a parte real? Não. Veja que nem com apenas dois ângulos de 60° isso dá certo... cos(60°) = 1/2 cos(60°)^2 = 1/4 Re(e^(60°+60°)i) = Re(e^120°i) = cos(120°) = -1/2 Eu imagino que foi isso que você quis dizer com "tomar a parte real", porque a interpretação literal, ou seja, sem usar os "°" para converter, ia dar errado já para UM ângulo, afinal, cos(45°) = exp (45 * (pi/180) * i) != Re(exp(45i)) > Obrigado > > -- > Walter Tadeu Nogueira da Silveira Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Produto de cossenos
Boa noite a todos. Gostaria de uma ajuda. Para calcular o produto cos1º.cos2ºcos45º é possível utilizar complexos assim: (e^i).(e^2i)...(e^45i) = e^(1+2+...45)i e tomar a parte real? Obrigado -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Produto de Cossenos
Acho que o do Lidsky que ele fala e o problema da IMO, cos pi/7-cos 2*pi/7+cos 3*pi/7=? --- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Thyago: > > Para um produto de senos de numeros em PA, eu > acho que a sua solucao eh a > melhor. > > No entanto, se o produto for de cossenos de > numeros em PG da razao 2, ai a > coisa muda de figura... > > P = cos(a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) ==> > > sen(a)P = > sen(a)cos(a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) = > > = (1/2)sen(2a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) = > > = (1/4)sen(4a)cos(4a)...cos(2^na) = > > = (1/8)sen(8a)cos(8a)...cos(2^na) = > > ... > > = (1/2^n)sen(2^na)cos(2^na) = > > = (1/2^(n+1))sen(2^(n+1)a) > > Logo: P = sen(2^(n+1)a)/(2^(n+1)sen(a)) > > > Serah que era esse o problema do Lidski que > voce procurava? > > > Um abraco, > Claudio. > > on 12.08.03 21:07, Thyago at [EMAIL PROTECTED] > wrote: > > > Olá Claudio e companheiros da lista > > > > Bom, sabe que estou me convencendo mesmo que > esta solução é prática :-) > > > > O que eu estava querendo inicialmente é uma > solução que nem a da questão > > abaixo, veja só: > > > > S = sen(a) + sen(2a) + sen(3a) + ... + > sen(na) > > > > Em que a solução consiste em multiplicar > ambos os lados da igualdade pelo > > seno da metade da razão da PA, e após efetuar > a prostaférese e sair > > cortando. Sem muitas delongas! > > ... > > > > Já ouvi dizer que a resolução que procuro > existe, e está escrita em um tal > > livro russo chamado "Lidski, problemas de > PA", ou algo do gênero... mas > > nunca tive o privilégio de ter algum contato > com essa obra. Alguém já ouviu > > falar? > > > > Atenciosamente > > ¡Thyago! > > > > > > > > - Original Message - > > From: Claudio Buffara > <[EMAIL PROTECTED]> > > To: <[EMAIL PROTECTED]> > > Sent: Tuesday, August 12, 2003 9:58 AM > > Subject: Re: [obm-l] Ajuda > > > > > >> Oi, Thyago: > >> > >> Vou te confessar uma coisa: usando a > identidade 1 - cis(a) = > >> -2isen(a/2)cis(a/2) e mais esse problema do > IME, que alias eh uma > >> propriedade classica (e, como voce mostrou, > util!) das raizes n-esimas da > >> unidade, voce chegou a uma solucao mais > curta e elegante do que a que eu > >> tinha em mente. Parabens! > >> > >> A minha ideia era separar os casos n par e n > impar e fatorar x^n - 1 de > > duas > >> maneiras diferentes: > >> Primeiro: > >> x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*(x^(2m-2) + x^(2m-4) > + ... + x^4 + x^2 + 1) > >> x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*(x^(2m) + x^(2m-1) + > ... + x^2 + x + 1) > >> > >> Depois: > >> x^(2m) - 1 = (x^2 - > 1)*PRODUTO(1<=k<=m-1)(x^2 - 2xcos(kpi/m)x + 1) > >> x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*PRODUTO(1<=k<=m)(x^2 > - 2xcos(2kpi/(2m+1)) + 1) > >> > >> E depois, fazer x = 1 e igualar as > expressoes obtidas, mas a sua solucao > > eh > >> mais simples e, portanto, melhor. > >> > >> O passo que faltou na sua solucao foi > mostrar explicitamente que > >> > (-i)^(m-1)*cis(pi/n)*cis(2pi/n)*...*cis((n-1)pi/n) > = 1 > >> mas isso eh bem facil (apesar de nao ser > evidente). > >> > >> Um abraco, > >> Claudio. > >> > >> PS: Se essa sua solucao nao eh "pratica", > entao eu nao sei o que eh. > > Repare: > >> voce tem um produto de senos de numeros em > PA. Como voce propoe > > calcula-los? > >> Puramento por meio de identidades > trigonometricas, sem usar complexos? Boa > >> sorte... > >> > >> on 12.08.03 00:45, Thyago at [EMAIL PROTECTED] > wrote: > >> > >>> Olá Cláudio, > >>> > >>> Obrigado pelas dicas :-) > >>> > >>> Mas a resolução que eu fiz não foi nada > prática não. > >>> Eu já utilizei todas estas propriedades e > não consegui chegar em nada. > >>> Bom, só para esclarecer um pouco mais... > vou colocar o exercício que > > gerou > >>> tal questão: > >>> > >>> > >>> (IME) Sejam 1, X2, X3, ..., Xn as raízes de > x^n=1. Calcule: P = (1 - > >>> x2)(1-x3)...(1-xn). > >>> > >>> Fazendo uso de Briot-Rufini e fatoração de > polinômios, conseguimos > > chegar > >>> facilmente na resposta P = n. > >>> Mas, utilizando o tratamento vetorial de > números complexos com a fórmula > >>> 1-cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) chegamos em > >>> > >>> P = 2^(n-1) . S > >>> > >>> Onde S = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . > sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n] > >>> > >>> Daí, utilizando a resposta da primeira > resolução com a resposta da > > segunda > >>> resolução temos que S = n/[2^(n-1) ] > >>> Dá para ver que esta demonstração para S > não é nada prática. > >>> > >>> Você citou uma "solução padrão" para este > tipo de problema. Qual seria? > >>> > >>> Aguardo resposta > >>> > >>> Atenciosamente > >>> ¡Thyago! > >>> > >>> - Original Message - > >>> From: Cláudio (Prática) > <[EMAIL PROTECTED]> > >>> To: <[EMAIL PROTECTED]> > >>> Sent: Monday, August 11, 2003 2:19 PM > >>> Subject: Re: [obm-l] Ajuda > >>> > >>> > Oi, Thyago: > > A solução "padrão" pra esse tipo de > problema realmente envolve > > complexos e > polinômios. > > Tentando resolver outros problemas > similares, você vai perceber que > complexos
[obm-l] Produto de Cossenos
Thyago: Para um produto de senos de numeros em PA, eu acho que a sua solucao eh a melhor. No entanto, se o produto for de cossenos de numeros em PG da razao 2, ai a coisa muda de figura... P = cos(a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) ==> sen(a)P = sen(a)cos(a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) = = (1/2)sen(2a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) = = (1/4)sen(4a)cos(4a)...cos(2^na) = = (1/8)sen(8a)cos(8a)...cos(2^na) = ... = (1/2^n)sen(2^na)cos(2^na) = = (1/2^(n+1))sen(2^(n+1)a) Logo: P = sen(2^(n+1)a)/(2^(n+1)sen(a)) Serah que era esse o problema do Lidski que voce procurava? Um abraco, Claudio. on 12.08.03 21:07, Thyago at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Olá Claudio e companheiros da lista > > Bom, sabe que estou me convencendo mesmo que esta solução é prática :-) > > O que eu estava querendo inicialmente é uma solução que nem a da questão > abaixo, veja só: > > S = sen(a) + sen(2a) + sen(3a) + ... + sen(na) > > Em que a solução consiste em multiplicar ambos os lados da igualdade pelo > seno da metade da razão da PA, e após efetuar a prostaférese e sair > cortando. Sem muitas delongas! > ... > > Já ouvi dizer que a resolução que procuro existe, e está escrita em um tal > livro russo chamado "Lidski, problemas de PA", ou algo do gênero... mas > nunca tive o privilégio de ter algum contato com essa obra. Alguém já ouviu > falar? > > Atenciosamente > ¡Thyago! > > > > - Original Message - > From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Tuesday, August 12, 2003 9:58 AM > Subject: Re: [obm-l] Ajuda > > >> Oi, Thyago: >> >> Vou te confessar uma coisa: usando a identidade 1 - cis(a) = >> -2isen(a/2)cis(a/2) e mais esse problema do IME, que alias eh uma >> propriedade classica (e, como voce mostrou, util!) das raizes n-esimas da >> unidade, voce chegou a uma solucao mais curta e elegante do que a que eu >> tinha em mente. Parabens! >> >> A minha ideia era separar os casos n par e n impar e fatorar x^n - 1 de > duas >> maneiras diferentes: >> Primeiro: >> x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*(x^(2m-2) + x^(2m-4) + ... + x^4 + x^2 + 1) >> x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*(x^(2m) + x^(2m-1) + ... + x^2 + x + 1) >> >> Depois: >> x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*PRODUTO(1<=k<=m-1)(x^2 - 2xcos(kpi/m)x + 1) >> x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*PRODUTO(1<=k<=m)(x^2 - 2xcos(2kpi/(2m+1)) + 1) >> >> E depois, fazer x = 1 e igualar as expressoes obtidas, mas a sua solucao > eh >> mais simples e, portanto, melhor. >> >> O passo que faltou na sua solucao foi mostrar explicitamente que >> (-i)^(m-1)*cis(pi/n)*cis(2pi/n)*...*cis((n-1)pi/n) = 1 >> mas isso eh bem facil (apesar de nao ser evidente). >> >> Um abraco, >> Claudio. >> >> PS: Se essa sua solucao nao eh "pratica", entao eu nao sei o que eh. > Repare: >> voce tem um produto de senos de numeros em PA. Como voce propoe > calcula-los? >> Puramento por meio de identidades trigonometricas, sem usar complexos? Boa >> sorte... >> >> on 12.08.03 00:45, Thyago at [EMAIL PROTECTED] wrote: >> >>> Olá Cláudio, >>> >>> Obrigado pelas dicas :-) >>> >>> Mas a resolução que eu fiz não foi nada prática não. >>> Eu já utilizei todas estas propriedades e não consegui chegar em nada. >>> Bom, só para esclarecer um pouco mais... vou colocar o exercício que > gerou >>> tal questão: >>> >>> >>> (IME) Sejam 1, X2, X3, ..., Xn as raízes de x^n=1. Calcule: P = (1 - >>> x2)(1-x3)...(1-xn). >>> >>> Fazendo uso de Briot-Rufini e fatoração de polinômios, conseguimos > chegar >>> facilmente na resposta P = n. >>> Mas, utilizando o tratamento vetorial de números complexos com a fórmula >>> 1-cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) chegamos em >>> >>> P = 2^(n-1) . S >>> >>> Onde S = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n] >>> >>> Daí, utilizando a resposta da primeira resolução com a resposta da > segunda >>> resolução temos que S = n/[2^(n-1) ] >>> Dá para ver que esta demonstração para S não é nada prática. >>> >>> Você citou uma "solução padrão" para este tipo de problema. Qual seria? >>> >>> Aguardo resposta >>> >>> Atenciosamente >>> ¡Thyago! >>> >>> - Original Message - >>> From: Cláudio (Prática) <[EMAIL PROTECTED]> >>> To: <[EMAIL PROTECTED]> >>> Sent: Monday, August 11, 2003 2:19 PM >>> Subject: Re: [obm-l] Ajuda >>> >>> Oi, Thyago: A solução "padrão" pra esse tipo de problema realmente envolve > complexos e polinômios. Tentando resolver outros problemas similares, você vai perceber que complexos e polinômios são uma forma de resolução bastante natural. Os resultados básicos são os seguintes: 1) Todo número complexo pode ser representado na forma R*(cos(a) + i*sen(a)), onde "R" é um real não negativo e "a" é um real qualquer > (mas normalmente limitado ao intervalo [0, 2pi) ou então (-pi,pi]); 2) e^(i*a) = cos(a) + i*sen(a): essa é a definição da função > exponencial complexa, que permite, por exemplo, que você transforme sequências de >>> senos e cossenos de números reais em PA em sequên
