Thyago: Para um produto de senos de numeros em PA, eu acho que a sua solucao eh a melhor.
No entanto, se o produto for de cossenos de numeros em PG da razao 2, ai a coisa muda de figura... P = cos(a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) ==> sen(a)P = sen(a)cos(a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) = = (1/2)sen(2a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) = = (1/4)sen(4a)cos(4a)...cos(2^na) = = (1/8)sen(8a)cos(8a)...cos(2^na) = ... = (1/2^n)sen(2^na)cos(2^na) = = (1/2^(n+1))sen(2^(n+1)a) Logo: P = sen(2^(n+1)a)/(2^(n+1)sen(a)) Serah que era esse o problema do Lidski que voce procurava? Um abraco, Claudio. on 12.08.03 21:07, Thyago at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Olá Claudio e companheiros da lista > > Bom, sabe que estou me convencendo mesmo que esta solução é prática :-) > > O que eu estava querendo inicialmente é uma solução que nem a da questão > abaixo, veja só: > > S = sen(a) + sen(2a) + sen(3a) + ... + sen(na) > > Em que a solução consiste em multiplicar ambos os lados da igualdade pelo > seno da metade da razão da PA, e após efetuar a prostaférese e sair > cortando. Sem muitas delongas! > ... > > Já ouvi dizer que a resolução que procuro existe, e está escrita em um tal > livro russo chamado "Lidski, problemas de PA", ou algo do gênero... mas > nunca tive o privilégio de ter algum contato com essa obra. Alguém já ouviu > falar? > > Atenciosamente > ¡Thyago! > > > > ----- Original Message ----- > From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Tuesday, August 12, 2003 9:58 AM > Subject: Re: [obm-l] Ajuda > > >> Oi, Thyago: >> >> Vou te confessar uma coisa: usando a identidade 1 - cis(a) = >> -2isen(a/2)cis(a/2) e mais esse problema do IME, que alias eh uma >> propriedade classica (e, como voce mostrou, util!) das raizes n-esimas da >> unidade, voce chegou a uma solucao mais curta e elegante do que a que eu >> tinha em mente. Parabens! >> >> A minha ideia era separar os casos n par e n impar e fatorar x^n - 1 de > duas >> maneiras diferentes: >> Primeiro: >> x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*(x^(2m-2) + x^(2m-4) + ... + x^4 + x^2 + 1) >> x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*(x^(2m) + x^(2m-1) + ... + x^2 + x + 1) >> >> Depois: >> x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*PRODUTO(1<=k<=m-1)(x^2 - 2xcos(kpi/m)x + 1) >> x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*PRODUTO(1<=k<=m)(x^2 - 2xcos(2kpi/(2m+1)) + 1) >> >> E depois, fazer x = 1 e igualar as expressoes obtidas, mas a sua solucao > eh >> mais simples e, portanto, melhor. >> >> O passo que faltou na sua solucao foi mostrar explicitamente que >> (-i)^(m-1)*cis(pi/n)*cis(2pi/n)*...*cis((n-1)pi/n) = 1 >> mas isso eh bem facil (apesar de nao ser evidente). >> >> Um abraco, >> Claudio. >> >> PS: Se essa sua solucao nao eh "pratica", entao eu nao sei o que eh. > Repare: >> voce tem um produto de senos de numeros em PA. Como voce propoe > calcula-los? >> Puramento por meio de identidades trigonometricas, sem usar complexos? Boa >> sorte... >> >> on 12.08.03 00:45, Thyago at [EMAIL PROTECTED] wrote: >> >>> Olá Cláudio, >>> >>> Obrigado pelas dicas :-) >>> >>> Mas a resolução que eu fiz não foi nada prática não. >>> Eu já utilizei todas estas propriedades e não consegui chegar em nada. >>> Bom, só para esclarecer um pouco mais... vou colocar o exercício que > gerou >>> tal questão: >>> >>> >>> (IME) Sejam 1, X2, X3, ..., Xn as raízes de x^n=1. Calcule: P = (1 - >>> x2)(1-x3)...(1-xn). >>> >>> Fazendo uso de Briot-Rufini e fatoração de polinômios, conseguimos > chegar >>> facilmente na resposta P = n. >>> Mas, utilizando o tratamento vetorial de números complexos com a fórmula >>> 1-cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) chegamos em >>> >>> P = 2^(n-1) . S >>> >>> Onde S = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n] >>> >>> Daí, utilizando a resposta da primeira resolução com a resposta da > segunda >>> resolução temos que S = n/[2^(n-1) ] >>> Dá para ver que esta demonstração para S não é nada prática. >>> >>> Você citou uma "solução padrão" para este tipo de problema. Qual seria? >>> >>> Aguardo resposta >>> >>> Atenciosamente >>> ¡Thyago! >>> >>> ----- Original Message ----- >>> From: Cláudio (Prática) <[EMAIL PROTECTED]> >>> To: <[EMAIL PROTECTED]> >>> Sent: Monday, August 11, 2003 2:19 PM >>> Subject: Re: [obm-l] Ajuda >>> >>> >>>> Oi, Thyago: >>>> >>>> A solução "padrão" pra esse tipo de problema realmente envolve > complexos e >>>> polinômios. >>>> >>>> Tentando resolver outros problemas similares, você vai perceber que >>>> complexos e polinômios são uma forma de resolução bastante natural. >>>> >>>> Os resultados básicos são os seguintes: >>>> 1) Todo número complexo pode ser representado na forma R*(cos(a) + >>>> i*sen(a)), onde "R" é um real não negativo e "a" é um real qualquer > (mas >>>> normalmente limitado ao intervalo [0, 2pi) ou então (-pi,pi]); >>>> 2) e^(i*a) = cos(a) + i*sen(a): essa é a definição da função > exponencial >>>> complexa, que permite, por exemplo, que você transforme sequências de >>> senos >>>> e cossenos de números reais em PA em sequências de complexos em PG, que > as >>>> vezes são mais fáceis de manipular; >>>> 3) Um polinômio com coeficientes reais pode ser expresso como o produto > de >>>> binômios da forma (x - b) e/ou trinômios da forma (x^2 - 2*R*cos(a)*x + >>>> R^2), onde a e b são números reais quaisquer e R é um real positivo. >>>> >>>> Um abraço, >>>> Claudio. >>>> >>>> >>>> ----- Original Message ----- >>>> From: "dex" <[EMAIL PROTECTED]> >>>> To: <[EMAIL PROTECTED]> >>>> Sent: Monday, August 11, 2003 11:05 AM >>>> Subject: [obm-l] Ajuda >>>> >>>> >>>>> Olá pessoal >>>>> >>>>> Gostaria de saber uma boa demonstração para o exercício abaixo >>>>> >>>>> P = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n] >>>>> com n Inteiro positivo >>>>> >>>>> A resposta é P = n/[2^(n-1)], mas cheguei até este resultado de uma >>>> maneira >>>>> muito pouco prática, nada natural para uma questão de matemática (de >>>>> vestibular). Consegui prová-la utilizando o resultado de uma outra >>>> questão, >>>>> que versava sobre polinômios e complexos. Ou seja, se eu não tivesse >>> visto >>>>> esta outra questão não conseguiria provar nada! >>>>> >>>>> Atneciosamente >>>>> ¡Thyago! >>>>> >>>> >>>> > ========================================================================= >>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>>> > ========================================================================= >>>> >>> >>> > ========================================================================= >>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>> > ========================================================================= >>> >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================