[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol
Esses 5 times, jogam (5x4/2 = 10) jogos, e o máximo número de pontos a ganhar é 10x3 = 30 no total. O quinto colocado consegue o maior número de pontos quando os 5 times obtém o mesmo número de pontos 30/5 = 6. Porque se algum consegue mais de 6 pontos, então algum vai conseguir menos de 6, ou seja com certeza o quinto colocado teria menos de 6. Por isso o máximo número de pontos do quinto colocado é 6. Se o quinto colocado consegue mais de 6, então já no é quinto (hehe). Será que me falta rigor na demonstração? Obrigado Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Fri, 1 Apr 2011 10:45:38 + Asunto : RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol Caro Júlio César Saldaña, Muito obrigado pela resolução. Tenho ainda uma dúvida. É quanto ao trecho abaixo: \" ... o máximo número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso que todos os 5 ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6.\" Um abraço do Paulo Argolo. From: saldana...@pucp.edu.pe To: obm-l@mat.puc-rio.br CC: Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol Date: Thu, 31 Mar 2011 09:31:00 -0500 Favor analisar esta solução: Para saber qual é o mínimo número de pontos necessário para ficar nos quatro primeiros, investiguemos qual é o máximo número de pontos que pode ter o quinto colocado. Para chegar nessa situação, suponhamos que os 5 primeiros colocados ganharam todos os jogos contra os outros 7. Então tem pelo menos 21 pontos cada. Faltam distribuir os pontos disputados no 10 jogos que esse 5 jogaram entre eles. O máximo número de pontos a ser distribuídos é 3x10 = 30, assim, o máximo número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso que todos os 5 ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6. Isto corresponde a cada um ter ganho 2 jogos dos 10 disputados, o qual é perfeitamente possível. Nesse caso os cinco primeiros colocados tem 21+6=27. Ou seja ter 27 pontos, não garante ficar nos 4 primeiros (pode ficar quinto), e além de mais o máximo número de pontos do quinto colocado é 27. Portanto o mínimo número de pontos que garantem ficar nos 4 primeiros é 28. Rpta: 28 Me avisem se tem algo errado o falta justificar algum passo com maior rigor. Obrigado Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Wed, 30 Mar 2011 22:17:44 + Asunto : [obm-l] Problema de futebol > >Caríssimos colegas, > > >Gostaria de obter, se possível for, uma resolução da questão abaixo: > >QUESTÃO: > >Um torneio de futebol é disputado por 12 times.Na primeira fase,cada time enfrenta os demais uma única vez e obtém 1 ponto quando empata e 3 pontos quando vence. A segunda fase do torneio será disputada somente pelos 4 times que obtiverem mais pontos na primeira fase havendo necessidade, será adotado algum critério de desempate (saldo de gols, por exemplo) para definir quais serão esses 4 times. >Qual é o número mínimo de pontos que garante a um time sua classificação para a segunda fase, independentemente do critério de desempate que seja adotado? > >Abraços! >Paulo Argolo >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >= > __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol
Está tudo certo, Julio Saldaña. Não falta rigor a sua demonstração. Compreendi perfeitamente. Mais uma vez, muito obrigado. Um abraço! Paulo Argolo -- > From: saldana...@pucp.edu.pe > To: obm-l@mat.puc-rio.br > CC: > Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol > Date: Fri, 1 Apr 2011 07:55:17 -0500 > > > > Esses 5 times, jogam (5x4/2 = 10) jogos, e o máximo número de pontos a ganhar > é > 10x3 = 30 no total. > > O quinto colocado consegue o maior número de pontos quando os 5 times obtém o > mesmo número de pontos 30/5 = 6. Porque se algum consegue mais de 6 pontos, > então algum vai conseguir menos de 6, ou seja com certeza o quinto colocado > teria menos de 6. Por isso o máximo número de pontos do quinto colocado é 6. > > Se o quinto colocado consegue mais de 6, então já no é quinto (hehe). > > Será que me falta rigor na demonstração? > > Obrigado > > Julio Saldaña > > > -- Mensaje original --- > De : obm-l@mat.puc-rio.br > Para : obm-l@mat.puc-rio.br > Fecha : Fri, 1 Apr 2011 10:45:38 + > Asunto : RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol > > > >Caro Júlio César Saldaña, > > > >Muito obrigado pela resolução. Tenho ainda uma dúvida. É quanto ao trecho > >abaixo: > > > >\" ... o máximo número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no > >caso > que todos os 5 > >ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6.\" > > > > > >Um abraço do Paulo Argolo. > > > > > >> From: saldana...@pucp.edu.pe > >> To: obm-l@mat.puc-rio.br > >> CC: > >> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol > >> Date: Thu, 31 Mar 2011 09:31:00 -0500 > > > > > >Favor analisar esta solução: > > > >> Para saber qual é o mínimo número de pontos necessário para ficar nos > >> quatro > >> primeiros, investiguemos qual é o máximo número de pontos que pode ter o > >> quinto > >> colocado. > >> > >> Para chegar nessa situação, suponhamos que os 5 primeiros colocados > >> ganharam > >> todos os jogos contra os outros 7. Então tem pelo menos 21 pontos cada. > >> > >> Faltam distribuir os pontos disputados no 10 jogos que esse 5 jogaram entre > >> eles. O máximo número de pontos a ser distribuídos é 3x10 = 30, assim, o > >> máximo > >> número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso que todos > >> os 5 > >> ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6. Isto corresponde a cada um ter > >> ganho > >> 2 jogos dos 10 disputados, o qual é perfeitamente possível. > >> > >> Nesse caso os cinco primeiros colocados tem 21+6=27. Ou seja ter 27 > >> pontos, não > >> garante ficar nos 4 primeiros (pode ficar quinto), e além de mais o máximo > >> número de pontos do quinto colocado é 27. Portanto o mínimo número de > >> pontos que > >> garantem ficar nos 4 primeiros é 28. > >> > >> Rpta: 28 > >> > >> Me avisem se tem algo errado o falta justificar algum passo com maior > >> rigor. > >> > >> Obrigado > >> > >> > >> > >> > >> Julio Saldaña > >> > >> > >> -- Mensaje original --- > >> De : obm-l@mat.puc-rio.br > >> Para : obm-l@mat.puc-rio.br > >> Fecha : Wed, 30 Mar 2011 22:17:44 + > >> Asunto : [obm-l] Problema de futebol > >> > > >> >Caríssimos colegas, > >> > > >> > > >> >Gostaria de obter, se possível for, uma resolução da questão abaixo: > >> > > >> >QUESTÃO: > >> > > >> >Um torneio de futebol é disputado por 12 times.Na primeira fase,cada time > >> enfrenta os demais uma única vez e obtém 1 ponto quando empata e 3 pontos > >> quando > >> vence. A segunda fase do torneio será disputada somente pelos 4 times que > >> obtiverem mais pontos na primeira fase — havendo necessidade, será adotado > >> algum > >> critério de desempate (saldo de gols, por exemplo) para definir quais serão > >> esses 4 times. > >> >Qual é o número mínimo de pontos que garante a um time sua classificação > >> >para a > >> segunda fase, independentemente do critério de desempate que seja adotado? > >> > > >> >Abraços! > >> >Paulo Argolo > >> >= >
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol
Para mim, o raciocinio do Julio parece correto. >> Se o quinto colocado consegue mais de 6, então já não é quinto (hehe). Sim, você usou uma versão do princípio da casa dos pombos. Acho que fica mais fácil de explicar por contradição: se o 5o tivesse mais que 6, os 5 primeiros teriam mais que 6 cada um, então eles teriam mais de 30 pontos juntos entre si, absurdo. De fato, o pedaço que me fez piscar foi outro: >>"Isto corresponde a cada um ter ganho 2 jogos dos 10 disputados, o qual >>é*perfeitamente possível *." Hmmm Ah, sim: por assim dizer, ponha os 5 times sentados numa mesa circular, e faça cada um ganhar dos dois times imediatamente à sua direita. Perfeitamente possível. :) (A menos que um deles tenha vendido os direitos de TV pelo clube dos 5, mas o outros tenha feito diretamente uma negociação octa-lateral com os outros 7... ah, problema errado.) Abraço, Ralph 2011/4/1 Julio César Saldaña : > > > Esses 5 times, jogam (5x4/2 = 10) jogos, e o máximo número de pontos a ganhar é > 10x3 = 30 no total. > > O quinto colocado consegue o maior número de pontos quando os 5 times obtém o > mesmo número de pontos 30/5 = 6. Porque se algum consegue mais de 6 pontos, > então algum vai conseguir menos de 6, ou seja com certeza o quinto colocado > teria menos de 6. Por isso o máximo número de pontos do quinto colocado é 6. > > Se o quinto colocado consegue mais de 6, então já no é quinto (hehe). > > Será que me falta rigor na demonstração? > > Obrigado > > Julio Saldaña > > > -- Mensaje original --- > De : obm-l@mat.puc-rio.br > Para : obm-l@mat.puc-rio.br > Fecha : Fri, 1 Apr 2011 10:45:38 + > Asunto : RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol >> >>Caro Júlio César Saldaña, >> >>Muito obrigado pela resolução. Tenho ainda uma dúvida. É quanto ao trecho abaixo: >> >>\" ... o máximo número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso > que todos os 5 >>ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6.\" >> >> >>Um abraço do Paulo Argolo. >> >> >>> From: saldana...@pucp.edu.pe >>> To: obm-l@mat.puc-rio.br >>> CC: >>> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol >>> Date: Thu, 31 Mar 2011 09:31:00 -0500 >> >> >>Favor analisar esta solução: >> >>> Para saber qual é o mínimo número de pontos necessário para ficar nos quatro >>> primeiros, investiguemos qual é o máximo número de pontos que pode ter o quinto >>> colocado. >>> >>> Para chegar nessa situação, suponhamos que os 5 primeiros colocados ganharam >>> todos os jogos contra os outros 7. Então tem pelo menos 21 pontos cada. >>> >>> Faltam distribuir os pontos disputados no 10 jogos que esse 5 jogaram entre >>> eles. O máximo número de pontos a ser distribuídos é 3x10 = 30, assim, o máximo >>> número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso que todos os 5 >>> ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6. Isto corresponde a cada um ter ganho >>> 2 jogos dos 10 disputados, o qual é perfeitamente possível. >>> >>> Nesse caso os cinco primeiros colocados tem 21+6=27. Ou seja ter 27 pontos, não >>> garante ficar nos 4 primeiros (pode ficar quinto), e além de mais o máximo >>> número de pontos do quinto colocado é 27. Portanto o mínimo número de pontos que >>> garantem ficar nos 4 primeiros é 28. >>> >>> Rpta: 28 >>> >>> Me avisem se tem algo errado o falta justificar algum passo com maior rigor. >>> >>> Obrigado >>> >>> >>> >>> >>> Julio Saldaña >>> >>> >>> -- Mensaje original --- >>> De : obm-l@mat.puc-rio.br >>> Para : obm-l@mat.puc-rio.br >>> Fecha : Wed, 30 Mar 2011 22:17:44 + >>> Asunto : [obm-l] Problema de futebol >>> > >>> >Caríssimos colegas, >>> > >>> > >>> >Gostaria de obter, se possível for, uma resolução da questão abaixo: >>> > >>> >QUESTÃO: >>> > >>> >Um torneio de futebol é disputado por 12 times.Na primeira fase,cada time >>> enfrenta os demais uma única vez e obtém 1 ponto quando empata e 3 pontos quando >>> vence. A segunda fase do torneio será disputada somente pelos 4 times que >>> obtiverem mais pontos na primeira fase — havendo necessidade, será adotado algum >>> critério de desempate (saldo de gols, por exemplo) para definir quais serão >>> esses 4 times. >>> >Qual é o número mínimo de pontos que garante a um time sua classificação para a >>> segunda fase, independentemente do critério de desempate que seja adotado? >>> > >>> >Abraços! >>> >Paulo Argolo >>> >= >>> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> >http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> >= >>> > >>> >>> __ >>> Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: >>> http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ >>> >>> = >>> Instruções para ent
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol
Muito obrigado Ralph, estou tomando nota desses dois pontos. Acho que assim fica melhor justificada a resolução Abraços Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Fri, 1 Apr 2011 13:58:50 -0300 Asunto : Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol Para mim, o raciocinio do Julio parece correto. Se o quinto colocado consegue mais de 6, então já não é quinto (hehe). Sim, você usou uma versão do princípio da casa dos pombos. Acho que fica mais fácil de explicar por contradição: se o 5o tivesse mais que 6, os 5 primeiros teriam mais que 6 cada um, então eles teriam mais de 30 pontos juntos entre si, absurdo. De fato, o pedaço que me fez piscar foi outro: \"Isto corresponde a cada um ter ganho 2 jogos dos 10 disputados, o qual é*perfeitamente possível *.\" Hmmm Ah, sim: por assim dizer, ponha os 5 times sentados numa mesa circular, e faça cada um ganhar dos dois times imediatamente à sua direita. Perfeitamente possível. :) (A menos que um deles tenha vendido os direitos de TV pelo clube dos 5, mas o outros tenha feito diretamente uma negociação octa-lateral com os outros 7... ah, problema errado.) Abraço, Ralph 2011/4/1 Julio César Saldaña : Esses 5 times, jogam (5x4/2 = 10) jogos, e o máximo número de pontos a ganhar é 10x3 = 30 no total. O quinto colocado consegue o maior número de pontos quando os 5 times obtém o mesmo número de pontos 30/5 = 6. Porque se algum consegue mais de 6 pontos, então algum vai conseguir menos de 6, ou seja com certeza o quinto colocado teria menos de 6. Por isso o máximo número de pontos do quinto colocado é 6. Se o quinto colocado consegue mais de 6, então já no é quinto (hehe). Será que me falta rigor na demonstração? Obrigado Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Fri, 1 Apr 2011 10:45:38 + Asunto : RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol Caro Júlio César Saldaña, Muito obrigado pela resolução. Tenho ainda uma dúvida. É quanto ao trecho abaixo: \" ... o máximo número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso que todos os 5 ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6.\" Um abraço do Paulo Argolo. From: saldana...@pucp.edu.pe To: obm-l@mat.puc-rio.br CC: Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol Date: Thu, 31 Mar 2011 09:31:00 -0500 Favor analisar esta solução: Para saber qual é o mínimo número de pontos necessário para ficar nos quatro primeiros, investiguemos qual é o máximo número de pontos que pode ter o quinto colocado. Para chegar nessa situação, suponhamos que os 5 primeiros colocados ganharam todos os jogos contra os outros 7. Então tem pelo menos 21 pontos cada. Faltam distribuir os pontos disputados no 10 jogos que esse 5 jogaram entre eles. O máximo número de pontos a ser distribuídos é 3x10 = 30, assim, o máximo número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso que todos os 5 ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6. Isto corresponde a cada um ter ganho 2 jogos dos 10 disputados, o qual é perfeitamente possível. Nesse caso os cinco primeiros colocados tem 21+6=27. Ou seja ter 27 pontos, não garante ficar nos 4 primeiros (pode ficar quinto), e além de mais o máximo número de pontos do quinto colocado é 27. Portanto o mínimo número de pontos que garantem ficar nos 4 primeiros é 28. Rpta: 28 Me avisem se tem algo errado o falta justificar algum passo com maior rigor. Obrigado Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Wed, 30 Mar 2011 22:17:44 + Asunto : [obm-l] Problema de futebol > >Caríssimos colegas, > > >Gostaria de obter, se possível for, uma resolução da questão abaixo: > >QUESTÃO: > >Um torneio de futebol é disputado por 12 times.Na primeira fase,cada time enfrenta os demais uma única vez e obtém 1 ponto quando empata e 3 pontos quando vence. A segunda fase do torneio será disputada somente pelos 4 times que obtiverem mais pontos na primeira fase havendo necessidade, será adotado algum critério de desempate (saldo de gols, por exemplo) para definir quais serão esses 4 times. >Qual é o número mínimo de pontos que garante a um time sua classificação para a segunda fase, independentemente do critério de desempate que seja adotado? > >Abraços! >Paulo Argolo = >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = > __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico
