[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina
Na verdade Pedro eu parti do princípio que ao ler minha pergunta vcs iriam ler a solução que está no link que deixei ´na pergunta, e lá no link está claro que ele toma valores de x>=4, foi mal! Em 15 de outubro de 2015 16:05, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Pessoal, gostaria de agradecer ao pessoal do grupo, vcs são demais, vcs > entendem muito e raciocinam para kralho!Além disso são humildes ao > responderem minhas dúvidas, vcs são 10! > > Em 15 de outubro de 2015 15:43, Pedro José escreveu: > >> Boa tarde! >> >> Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas. >> Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54). >> Procure expressar melhor o que você deseja. >> >> >> >> Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a >> congruência se repete... >> >> Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m) >> é a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0> tal que mdc(d,m) = 1., ou seja, a cardinalidade do grupo (Z /Zm)*. >> Para calcular Ф(m), onde a fatoração de m é p1^y1 * p2^y2 *...* pn^yn >> teremos: >> Ф(m)=m *(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn) (i) >> >> assim para m=81, como mdc (5,81) =1 temos por Euler-Fermat que 5^Ф(81) ≡ >> 1 (mod 81), >> >> 81= 3^4, logo por (i) Ф(81) = 81 (2/3)= 54 ==> 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==> >> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81), >> ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p (mod 81) >> >> Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡ >> 1 (mod m),. >> >> Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m, >> representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d ≡ 1 (mod >> m). >> >> Portanto temos que: ordma divide Ф(m). >> >> E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m. >> >> No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81. >> >> Recomendo você dar uma lida: >> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf >> >> Saudações, >> PJMS. >> >> >> >> >> >> >> >> Saudações. >> >> Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo < >> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: >> >>> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero >>> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir >>> que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é >>> claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples? >>> Aqui está a solução da equação diofantina: >>> http://diego.mat.unb.br/click.html >>> No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente >>> a -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu >>> para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu >>> concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81 >>> até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se >>> repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências >>> módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser >>> impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as >>> potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém >>> pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo >>> para mim, desde já agradeço! >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina
Pessoal, gostaria de agradecer ao pessoal do grupo, vcs são demais, vcs entendem muito e raciocinam para kralho!Além disso são humildes ao responderem minhas dúvidas, vcs são 10! Em 15 de outubro de 2015 15:43, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > > Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas. > Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54). > Procure expressar melhor o que você deseja. > > > > Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a > congruência se repete... > > Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m) > é a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0 tal que mdc(d,m) = 1., ou seja, a cardinalidade do grupo (Z /Zm)*. > Para calcular Ф(m), onde a fatoração de m é p1^y1 * p2^y2 *...* pn^yn > teremos: > Ф(m)=m *(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn) (i) > > assim para m=81, como mdc (5,81) =1 temos por Euler-Fermat que 5^Ф(81) ≡ > 1 (mod 81), > > 81= 3^4, logo por (i) Ф(81) = 81 (2/3)= 54 ==> 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==> > 5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81), > ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p (mod 81) > > Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡ 1 > (mod m),. > > Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m, > representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d ≡ 1 (mod m). > > Portanto temos que: ordma divide Ф(m). > > E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m. > > No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81. > > Recomendo você dar uma lida: > http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf > > Saudações, > PJMS. > > > > > > > > Saudações. > > Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > >> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero >> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir >> que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é >> claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples? >> Aqui está a solução da equação diofantina: >> http://diego.mat.unb.br/click.html >> No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente a >> -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu >> para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu >> concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81 >> até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se >> repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências >> módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser >> impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as >> potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém >> pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo >> para mim, desde já agradeço! >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina
ah sim é verdade! Em 14 de outubro de 2015 11:20, Gabriel Tostes escreveu: > (1,0) nao eh solucao tbm? > > > > Sent from my iPad > On Oct 14, 2015, at 11:04, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> wrote: > > Está aqui no site do professor Diego Marques: > http://diego.mat.unb.br/click.html > Só possui uma solução, que é a solução trivial(x=3 e y=2).Mas  o > difÃcil é provar que a solução é única, veja que raciocÃnio > fantástico! > > Em 14 de outubro de 2015 07:41, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > >> E a solução da equação 3^x - 5^y = 2 ? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Obrigado a todos!
Pedro Chaves
__
> Date: Wed, 22 Apr 2015 14:32:35 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina
> (de novo)
> From: petroc...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Boa tarde!
>
> Corrigindo... y = 2 + 7m e não 2+ 2m.
>
> Desculpem-me,
> PJMS
>
> Em 22 de abril de 2015 14:26, Pedro José
> mailto:petroc...@gmail.com>> escreveu:
> Boa tarde!
>
> Não parei para pensar se dá sempre.
>
> 7 * x ≡ 11 (mod12) ==> 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) ==> x ≡ 5 (mod12) ==> x =
> 5 + 12* m : m Ɛ Z
>
> -12*y ≡11 (mod7) ==> 2*y ≡ 4 (mod7) ==> 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) ==> y ≡ 2
> (mod12) ==> y =2 + 7*n : n ƐZ
>
>
> Substituindo na equação original temos:
>
> 7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 ==> 84*m - 84* n = 0 ==> m=n ==> x = 5
> +12 m e y = 2 + 2m : m ƐZ.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
>
>
> Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José
> mailto:petroc...@gmail.com>> escreveu:
> Bom dia!
>
> Desculpe-me, não vi a restrição do método.
>
> Sds,
> PJMS
>
> Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves
> mailto:brped...@hotmail.com>> escreveu:
> Obrigado, Pedro José!
>
> O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
>
> Um abraço!
> Pedro Chaves
>
>
>> Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
>> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>> From: petroc...@gmail.com<mailto:petroc...@gmail.com>
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
>>
>> Bom dia!
>>
>> Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
>> se m.d.c.(a,b) divide c.
>>
>> Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
>>
>> Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
>>
>> 12 = 7 * 1 + 5
>> 7 = 5 * 1 + 2
>> 5 = 2 * 2 + 1
>>
>> Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
>> 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
>> modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
>>
>> 5 = 12 - 7 (i)
>> 2 = 7 - 5 (ii)
>> 1 = 5 - 2 *2 (iii)
>>
>> (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
>>
>> (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
>>
>> então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
>>
>> então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
>>
>> Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
>> equação 7 x - 12 y = 11.
>>
>> Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
>> <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
>>
>> pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
>>
>> Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
>>
>> m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
>> ==> y = -33 + 7*t (vi)
>>
>> (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
>>
>> Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
>> 7*t, t ƐZ }
>>
>> Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
>> entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
>> dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
>> soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
>>
>> Tem o artigo do eduardo Tengan:
>> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
>> demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
>> equações.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>>
>>
>>
>> Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
>>
> mailto:b...@ccet.ufrn.br><mailto:b...@ccet.ufrn.br<mailto:b...@ccet.ufrn.br>>>
>
> escreveu:
>> Pedro,
>>
>> 7 é o inverso de 7 módulo 12
>>
>> --
>> Open WebMail Project (http://openwebmail.org<http://openwebmail.org/>)
>>
>>
>> -- Original Message ---
>> From: Pedro Chaves
> mailto:brped...@hotmail.com><mailto:brped...@hotmail.com<mailto:brped...@hotmail.com>>>
>
>> To:
> "obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br><mailto:obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>"
>
>>
>
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Boa tarde!
Corrigindo... y = 2 + 7m e não 2+ 2m.
Desculpem-me,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 14:26, Pedro José escreveu:
> Boa tarde!
>
> Não parei para pensar se dá sempre.
>
> 7 * x ≡ 11 (mod12) ==> 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) ==> x ≡ 5 (mod12) ==> x = 5
> + 12* m : m Ɛ Z
>
> -12*y ≡11 (mod7) ==> 2*y ≡ 4 (mod7) ==> 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) ==> y ≡ 2 (mod12)
> ==> y =2 + 7*n : n ƐZ
>
>
> Substituindo na equação original temos:
>
> 7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 ==> 84*m - 84* n = 0 ==> m=n ==> x = 5
> +12 m e y = 2 + 2m : m ƐZ.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
>
>
> Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Desculpe-me, não vi a restrição do método.
>>
>> Sds,
>> PJMS
>>
>> Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves
>> escreveu:
>>
>>> Obrigado, Pedro José!
>>>
>>> O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
>>>
>>> Um abraço!
>>> Pedro Chaves
>>>
>>>
>>> > Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
>>> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>>> > From: petroc...@gmail.com
>>> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>> >
>>> > Bom dia!
>>> >
>>> > Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
>>> > se m.d.c.(a,b) divide c.
>>> >
>>> > Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
>>> >
>>> > Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
>>> >
>>> > 12 = 7 * 1 + 5
>>> > 7 = 5 * 1 + 2
>>> > 5 = 2 * 2 + 1
>>> >
>>> > Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
>>> > 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
>>> > modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
>>> >
>>> > 5 = 12 - 7 (i)
>>> > 2 = 7 - 5 (ii)
>>> > 1 = 5 - 2 *2 (iii)
>>> >
>>> > (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
>>> >
>>> > (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
>>> >
>>> > então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
>>> >
>>> > então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
>>> >
>>> > Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
>>> > equação 7 x - 12 y = 11.
>>> >
>>> > Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
>>> > <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
>>> >
>>> > pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
>>> >
>>> > Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
>>> >
>>> > m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
>>> > ==> y = -33 + 7*t (vi)
>>> >
>>> > (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
>>> >
>>> > Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
>>> > 7*t, t ƐZ }
>>> >
>>> > Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
>>> > entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
>>> > dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
>>> > soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
>>> >
>>> > Tem o artigo do eduardo Tengan:
>>> > http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
>>> > demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
>>> > equações.
>>> >
>>> > Saudações,
>>> > PJMS
>>> >
>>> >
>>> >
>>> >
>>> >
>>> > Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
>>> > mailto:b...@ccet.ufrn.br>> escreveu:
>>> > Pedro,
>>> >
>>> > 7 é o inverso de 7 módulo 12
>>> >
>>> > --
>>> > Open WebMail Project (http://openwebmail.org"
>>> > mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>
>>> > Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
>>> > Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>>> >
>>> >> Caros Colegas,
>>> >>
>>> >> A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
>>> > congruência? Não consegui.
>>> >>
>>> >> Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
>>> >>
>>> >> Abraços.
>>> >> Pedro Chaves
>>> >> --
>>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>>> >>
>>> >>
>>> =
>>> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> >>
>>> =
>>> > --- End of Original Message ---
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>> >
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista e
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Boa tarde!
Não parei para pensar se dá sempre.
7 * x ≡ 11 (mod12) ==> 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) ==> x ≡ 5 (mod12) ==> x = 5 +
12* m : m Ɛ Z
-12*y ≡11 (mod7) ==> 2*y ≡ 4 (mod7) ==> 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) ==> y ≡ 2 (mod12)
==> y =2 + 7*n : n ƐZ
Substituindo na equação original temos:
7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 ==> 84*m - 84* n = 0 ==> m=n ==> x = 5 +12
m e y = 2 + 2m : m ƐZ.
Saudações,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José escreveu:
> Bom dia!
>
> Desculpe-me, não vi a restrição do método.
>
> Sds,
> PJMS
>
> Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves
> escreveu:
>
>> Obrigado, Pedro José!
>>
>> O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
>>
>> Um abraço!
>> Pedro Chaves
>>
>>
>> > Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
>> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>> > From: petroc...@gmail.com
>> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >
>> > Bom dia!
>> >
>> > Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
>> > se m.d.c.(a,b) divide c.
>> >
>> > Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
>> >
>> > Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
>> >
>> > 12 = 7 * 1 + 5
>> > 7 = 5 * 1 + 2
>> > 5 = 2 * 2 + 1
>> >
>> > Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
>> > 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
>> > modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
>> >
>> > 5 = 12 - 7 (i)
>> > 2 = 7 - 5 (ii)
>> > 1 = 5 - 2 *2 (iii)
>> >
>> > (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
>> >
>> > (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
>> >
>> > então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
>> >
>> > então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
>> >
>> > Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
>> > equação 7 x - 12 y = 11.
>> >
>> > Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
>> > <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
>> >
>> > pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
>> >
>> > Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
>> >
>> > m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
>> > ==> y = -33 + 7*t (vi)
>> >
>> > (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
>> >
>> > Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
>> > 7*t, t ƐZ }
>> >
>> > Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
>> > entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
>> > dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
>> > soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
>> >
>> > Tem o artigo do eduardo Tengan:
>> > http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
>> > demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
>> > equações.
>> >
>> > Saudações,
>> > PJMS
>> >
>> >
>> >
>> >
>> >
>> > Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
>> > mailto:b...@ccet.ufrn.br>> escreveu:
>> > Pedro,
>> >
>> > 7 é o inverso de 7 módulo 12
>> >
>> > --
>> > Open WebMail Project (http://openwebmail.org"
>> > mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>
>> > Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
>> > Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>> >
>> >> Caros Colegas,
>> >>
>> >> A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
>> > congruência? Não consegui.
>> >>
>> >> Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
>> >>
>> >> Abraços.
>> >> Pedro Chaves
>> >> --
>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >>
>> =
>> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> >>
>> =
>> > --- End of Original Message ---
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Bom dia!
Desculpe-me, não vi a restrição do método.
Sds,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves escreveu:
> Obrigado, Pedro José!
>
> O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
>
> Um abraço!
> Pedro Chaves
>
>
> > Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
> > From: petroc...@gmail.com
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >
> > Bom dia!
> >
> > Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
> > se m.d.c.(a,b) divide c.
> >
> > Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
> >
> > Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
> >
> > 12 = 7 * 1 + 5
> > 7 = 5 * 1 + 2
> > 5 = 2 * 2 + 1
> >
> > Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
> > 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
> > modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
> >
> > 5 = 12 - 7 (i)
> > 2 = 7 - 5 (ii)
> > 1 = 5 - 2 *2 (iii)
> >
> > (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
> >
> > (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
> >
> > então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
> >
> > então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
> >
> > Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
> > equação 7 x - 12 y = 11.
> >
> > Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
> > <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
> >
> > pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
> >
> > Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
> >
> > m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
> > ==> y = -33 + 7*t (vi)
> >
> > (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
> >
> > Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
> > 7*t, t ƐZ }
> >
> > Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
> > entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
> > dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
> > soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
> >
> > Tem o artigo do eduardo Tengan:
> > http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
> > demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
> > equações.
> >
> > Saudações,
> > PJMS
> >
> >
> >
> >
> >
> > Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
> > mailto:b...@ccet.ufrn.br>> escreveu:
> > Pedro,
> >
> > 7 é o inverso de 7 módulo 12
> >
> > --
> > Open WebMail Project (http://openwebmail.org"
> > mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>
> > Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
> > Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
> >
> >> Caros Colegas,
> >>
> >> A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
> > congruência? Não consegui.
> >>
> >> Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
> >>
> >> Abraços.
> >> Pedro Chaves
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> =
> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >>
> =
> > --- End of Original Message ---
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Obrigado, Pedro José!
O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
Um abraço!
Pedro Chaves
> Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
> From: petroc...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Bom dia!
>
> Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
> se m.d.c.(a,b) divide c.
>
> Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
>
> Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
>
> 12 = 7 * 1 + 5
> 7 = 5 * 1 + 2
> 5 = 2 * 2 + 1
>
> Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
> 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
> modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
>
> 5 = 12 - 7 (i)
> 2 = 7 - 5 (ii)
> 1 = 5 - 2 *2 (iii)
>
> (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
>
> (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
>
> então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
>
> então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
>
> Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
> equação 7 x - 12 y = 11.
>
> Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
> <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
>
> pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
>
> Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
>
> m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
> ==> y = -33 + 7*t (vi)
>
> (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
>
> Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
> 7*t, t ƐZ }
>
> Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
> entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
> dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
> soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
>
> Tem o artigo do eduardo Tengan:
> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
> demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
> equações.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
>
> Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
> mailto:b...@ccet.ufrn.br>> escreveu:
> Pedro,
>
> 7 é o inverso de 7 módulo 12
>
> --
> Open WebMail Project (http://openwebmail.org"
> mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>
> Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
> Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>
>> Caros Colegas,
>>
>> A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
> congruência? Não consegui.
>>
>> Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
>>
>> Abraços.
>> Pedro Chaves
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
> --- End of Original Message ---
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina
Mdc(a,b)=1 -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Giselle Sent: Friday, October 24, 2003 2:44 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina Só uma dúvida, pode parecer idiota, mas o que significa (a,b) = 1? - Original Message - From: "luiz frança" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, October 24, 2003 1:53 PM Subject: [obm-l] equação diofantina > > > se (a,b)=1 > > ax +by = k , x, y e k inteiros > > porvar que sempre existe uma soluma solução x,y > que satisfaça a equação para qualquer k escolhido. > > será mesmo verdade? bom... a principio se > > ax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K. > pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que vale > pra k=1 ??? > > __ > Do you Yahoo!? > The New Yahoo! Shopping - with improved product search > http://shopping.yahoo.com > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
