Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
Oi, Arthur.
Achei bastante interessante a sua idéia.
Mas o seu argumento parece estar com uma pequena falha: o conjunto {y
em R | (x,y) pertence a A} sendo enumerável (por construção), para
algum x_0 existe algum y_0 em R tal que {x em R | (x,y_0) pertence a
A} não contém x_0, logo este conjunto não é R, como você afirmou.
Ainda assim, pode ser que a sua idéia funcione, com um argumento mais
forte sobre os conjuntos B_y = {x em R | (x,y) não pertence a A} para
provar que eles são enumeráveis.
Além disso, a condição dois claramente implica que {x em R | (x,y)
pertence a A} não é enumerável, mas esta não implica que {x em R |
(x,y) não pertence a A} seja enumerável. Como contra-exemplo, utilize
dois subconjuntos não enumeráveis que sejam subconjuntos de R, por
exemplo (-inf, 0) e [0, +inf).
On Tue, 19 Oct 2004 17:18:21 -0200, Artur Costa Steiner
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja A = {(x,|x*sen(n) - x|) | x estah em R, n eh inteiro positivo e
|x*sen(n) - x|) 1}. Para cada real x, os correspondentes valores de y sao
termos de uma subsequencia de {|x*sen(n) - x|}, formando, portanto, um
conjunto enumeravel.
Por outro lado, a condicao (ii) equivale a dizer que o conjunto {x em R |
(x,y) pertence a A} nao é enumerável. Como a sequencia {sen(n)} eh densa em
[-1,1], para todo y de R e todo x de R podemos encontrar algum inteiro n=1
tal que |x*sen(n) - x|) 1. Logo, para cada real y, o conjunto dos x tais
que (x,y) estah em A eh o proprio R, que nao eh enumeravel.
Artur
- Mensagem Original
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
Data: 19/10/04 16:29
Gostaria de convidar a lista a considerar a seguinte variação
do problema 2 do nível U da prova de sábado.
Determine se existe um subconjunto A de R^2 tal que:
(i) para todo x em R, {y em R | (x,y) pertence a A} é enumerável;
(ii) para todo y em R, {x em R | (x,y) não pertence a A} é enumerável.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
On Tue, Oct 19, 2004 at 05:18:21PM -0200, Artur Costa Steiner wrote:
Seja A = {(x,|x*sen(n) - x|) | x estah em R, n eh inteiro positivo e
|x*sen(n) - x|) 1}. Para cada real x, os correspondentes valores de y sao
termos de uma subsequencia de {|x*sen(n) - x|}, formando, portanto, um
conjunto enumeravel.
Por outro lado, a condicao (ii) equivale a dizer que o conjunto {x em R |
(x,y) pertence a A} nao é enumerável.
Não equivale não. Equivale a dizer que o complemento é enumerável.
O intervalo [0,1] é não enumerável e seu complemento também é.
Infelizmente isto estraga completamente o seu exemplo.
[]s, N.
=
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
Oi, Nicolau e Artur:
Pelo que eu entendi, o Artur quis dizer que, fixado y (igual a b, digamos), se o conjunto { x| (x,b) não pertence a A} é enumerável, então o conjunto {x | (x,b) pertence a A} é não enumerável.
Isso é verdade, não é?
Pois a união dos dois conjuntos disjuntos acima é a reta y = b, a qual é não enumerável. Logo, o complemento em relação a esta reta de todo conjunto enumerável é não-enumerável.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Wed, 20 Oct 2004 12:15:43 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
On Tue, Oct 19, 2004 at 05:18:21PM -0200, Artur Costa Steiner wrote:
Seja A = {(x,|x*sen(n) - x|) | x estah em R, n eh inteiro positivo e
|x*sen(n) - x|) 1}. Para cada real x, os correspondentes valores de y sao
termos de uma subsequencia de {|x*sen(n) - x|}, formando, portanto, um
conjunto enumeravel.
Por outro lado, a condicao (ii) equivale a dizer que o conjunto {x em R |
(x,y) pertence a A} nao é enumerável.
Não equivale não. Equivale a dizer que o complemento é enumerável.
O intervalo [0,1] é não enumerável e seu complemento também é.
Infelizmente isto estraga completamente o seu exemplo.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
(A = Arthur, C = Claudio, N = Nicolau)
A Seja A = {(x,|x*sen(n) - x|) | x estah em R, n eh inteiro positivo e
A |x*sen(n) - x|) 1}. Para cada real x, os correspondentes valores de y sao
A termos de uma subsequencia de {|x*sen(n) - x|}, formando, portanto, um
A conjunto enumeravel.
A Por outro lado, a condicao (ii) equivale a dizer que o conjunto {x em R |
A (x,y) pertence a A} nao é enumerável.
N Não equivale não. Equivale a dizer que o complemento é enumerável.
N O intervalo [0,1] é não enumerável e seu complemento também é.
N Infelizmente isto estraga completamente o seu exemplo.
C Pelo que eu entendi, o Artur quis dizer que, fixado y (igual a b, digamos),
C se o conjunto { x | (x,b) não pertence a A} é enumerável,
C então o conjunto {x | (x,b) pertence a A} é não enumerável.
C Isso é verdade, não é?
O que você acaba de dizer é verdade mas o que o Artur precisa é da recíproca,
que é falsa. Na mensagem dele ele diz equivale e ele está tentando provar
que o exemplo dele satisfaz as condições do enunciado.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
Entendido! Ele disse "se e somente se" e eu entendi "implica".
Obrigado.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Wed, 20 Oct 2004 13:52:19 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
(A = Arthur, C = Claudio, N = Nicolau)
A Seja A = {(x,|x*sen(n) - x|) | x estah em R, n eh inteiro positivo e
A |x*sen(n) - x|) 1}. Para cada real x, os correspondentes valores de y sao
A termos de uma subsequencia de {|x*sen(n) - x|}, formando, portanto, um
A conjunto enumeravel.
A Por outro lado, a condicao (ii) equivale a dizer que o conjunto {x em R |
A (x,y) pertence a A} nao é enumerável.
N Não equivale não. Equivale a dizer que o complemento é enumerável.
N O intervalo [0,1] é não enumerável e seu complemento também é.
N Infelizmente isto estraga completamente o seu exemplo.
C Pelo que eu entendi, o Artur quis dizer que, fixado y (igual a b, digamos),
C se o conjunto { x | (x,b) não pertence a A} é enumerável,
C então o conjunto {x | (x,b) pertence a A} é não enumerável.
C Isso é verdade, não é?
O que você acaba de dizer é verdade mas o que o Artur precisa é da recíproca,
que é falsa. Na mensagem dele ele diz "equivale" e ele está tentando provar
que o exemplo dele satisfaz as condições do enunciado.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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