[obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
Seja A = {(x,|x*sen(n) - x|) | x estah em R, n eh inteiro positivo e |x*sen(n) - x|) <1}. Para cada real x, os correspondentes valores de y sao termos de uma subsequencia de {|x*sen(n) - x|}, formando, portanto, um conjunto enumeravel. Por outro lado, a condicao (ii) equivale a dizer que o conjunto {x em R | (x,y) pertence a A} nao é enumerável. Como a sequencia {sen(n)} eh densa em [-1,1], para todo y de R e todo x de R podemos encontrar algum inteiro n>=1 tal que |x*sen(n) - x|) <1. Logo, para cada real y, o conjunto dos x tais que (x,y) estah em A eh o proprio R, que nao eh enumeravel. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação Data: 19/10/04 16:29 Gostaria de convidar a lista a considerar a seguinte variação do problema 2 do nível U da prova de sábado. Determine se existe um subconjunto A de R^2 tal que: (i) para todo x em R, {y em R | (x,y) pertence a A} é enumerável; (ii) para todo y em R, {x em R | (x,y) não pertence a A} é enumerável. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
Oi, Arthur. Achei bastante interessante a sua idéia. Mas o seu argumento parece estar com uma pequena falha: o conjunto {y em R | (x,y) pertence a A} sendo enumerável (por construção), para algum x_0 existe algum y_0 em R tal que {x em R | (x,y_0) pertence a A} não contém x_0, logo este conjunto não é R, como você afirmou. Ainda assim, pode ser que a sua idéia funcione, com um argumento mais forte sobre os conjuntos B_y = {x em R | (x,y) não pertence a A} para provar que eles são enumeráveis. Além disso, a condição dois claramente implica que {x em R | (x,y) pertence a A} não é enumerável, mas esta não implica que {x em R | (x,y) não pertence a A} seja enumerável. Como contra-exemplo, utilize dois subconjuntos não enumeráveis que sejam subconjuntos de R, por exemplo (-inf, 0) e [0, +inf). On Tue, 19 Oct 2004 17:18:21 -0200, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Seja A = {(x,|x*sen(n) - x|) | x estah em R, n eh inteiro positivo e > |x*sen(n) - x|) <1}. Para cada real x, os correspondentes valores de y sao > termos de uma subsequencia de {|x*sen(n) - x|}, formando, portanto, um > conjunto enumeravel. > Por outro lado, a condicao (ii) equivale a dizer que o conjunto {x em R | > (x,y) pertence a A} nao é enumerável. Como a sequencia {sen(n)} eh densa em > [-1,1], para todo y de R e todo x de R podemos encontrar algum inteiro n>=1 > tal que |x*sen(n) - x|) <1. Logo, para cada real y, o conjunto dos x tais > que (x,y) estah em A eh o proprio R, que nao eh enumeravel. > Artur > > - Mensagem Original > De: [EMAIL PROTECTED] > Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> > Assunto: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação > Data: 19/10/04 16:29 > > > > Gostaria de convidar a lista a considerar a seguinte variação > do problema 2 do nível U da prova de sábado. > > Determine se existe um subconjunto A de R^2 tal que: > (i) para todo x em R, {y em R | (x,y) pertence a A} é enumerável; > (ii) para todo y em R, {x em R | (x,y) não pertence a A} é enumerável. > > []s, N. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > > > OPEN Internet e Informática > @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ > > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
On Tue, Oct 19, 2004 at 05:18:21PM -0200, Artur Costa Steiner wrote: > Seja A = {(x,|x*sen(n) - x|) | x estah em R, n eh inteiro positivo e > |x*sen(n) - x|) <1}. Para cada real x, os correspondentes valores de y sao > termos de uma subsequencia de {|x*sen(n) - x|}, formando, portanto, um > conjunto enumeravel. > Por outro lado, a condicao (ii) equivale a dizer que o conjunto {x em R | > (x,y) pertence a A} nao é enumerável. Não equivale não. Equivale a dizer que o complemento é enumerável. O intervalo [0,1] é não enumerável e seu complemento também é. Infelizmente isto estraga completamente o seu exemplo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
Oi, Nicolau e Artur: Pelo que eu entendi, o Artur quis dizer que, fixado y (igual a b, digamos), se o conjunto { x | (x,b) não pertence a A} é enumerável, então o conjunto {x | (x,b) pertence a A} é não enumerável. Isso é verdade, não é? Pois a união dos dois conjuntos disjuntos acima é a reta y = b, a qual é não enumerável. Logo, o complemento em relação a esta reta de todo conjunto enumerável é não-enumerável. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 20 Oct 2004 12:15:43 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação > On Tue, Oct 19, 2004 at 05:18:21PM -0200, Artur Costa Steiner wrote: > > Seja A = {(x,|x*sen(n) - x|) | x estah em R, n eh inteiro positivo e > > |x*sen(n) - x|) <1}. Para cada real x, os correspondentes valores de y sao > > termos de uma subsequencia de {|x*sen(n) - x|}, formando, portanto, um > > conjunto enumeravel. > > Por outro lado, a condicao (ii) equivale a dizer que o conjunto {x em R | > > (x,y) pertence a A} nao é enumerável. > > Não equivale não. Equivale a dizer que o complemento é enumerável. > O intervalo [0,1] é não enumerável e seu complemento também é. > Infelizmente isto estraga completamente o seu exemplo. > > []s, N. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = >
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
(A = Arthur, C = Claudio, N = Nicolau) A > Seja A = {(x,|x*sen(n) - x|) | x estah em R, n eh inteiro positivo e A > |x*sen(n) - x|) <1}. Para cada real x, os correspondentes valores de y sao A > termos de uma subsequencia de {|x*sen(n) - x|}, formando, portanto, um A > conjunto enumeravel. A > Por outro lado, a condicao (ii) equivale a dizer que o conjunto {x em R | A > (x,y) pertence a A} nao é enumerável. N > Não equivale não. Equivale a dizer que o complemento é enumerável. N > O intervalo [0,1] é não enumerável e seu complemento também é. N > Infelizmente isto estraga completamente o seu exemplo. C > Pelo que eu entendi, o Artur quis dizer que, fixado y (igual a b, digamos), C > se o conjunto { x | (x,b) não pertence a A} é enumerável, C > então o conjunto {x | (x,b) pertence a A} é não enumerável. C > Isso é verdade, não é? O que você acaba de dizer é verdade mas o que o Artur precisa é da recíproca, que é falsa. Na mensagem dele ele diz "equivale" e ele está tentando provar que o exemplo dele satisfaz as condições do enunciado. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
Entendido! Ele disse "se e somente se" e eu entendi "implica". Obrigado. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 20 Oct 2004 13:52:19 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação > (A = Arthur, C = Claudio, N = Nicolau) > > A > Seja A = {(x,|x*sen(n) - x|) | x estah em R, n eh inteiro positivo e > A > |x*sen(n) - x|) <1}. Para cada real x, os correspondentes valores de y sao > A > termos de uma subsequencia de {|x*sen(n) - x|}, formando, portanto, um > A > conjunto enumeravel. > A > Por outro lado, a condicao (ii) equivale a dizer que o conjunto {x em R | > A > (x,y) pertence a A} nao é enumerável. > > N > Não equivale não. Equivale a dizer que o complemento é enumerável. > N > O intervalo [0,1] é não enumerável e seu complemento também é. > N > Infelizmente isto estraga completamente o seu exemplo. > > C > Pelo que eu entendi, o Artur quis dizer que, fixado y (igual a b, digamos), > C > se o conjunto { x | (x,b) não pertence a A} é enumerável, > C > então o conjunto {x | (x,b) pertence a A} é não enumerável. > C > Isso é verdade, não é? > > O que você acaba de dizer é verdade mas o que o Artur precisa é da recíproca, > que é falsa. Na mensagem dele ele diz "equivale" e ele está tentando provar > que o exemplo dele satisfaz as condições do enunciado. > > []s, N. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = >