[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidade de que o número de sucessos seja par

2015-10-12 Por tôpico Lucas Prado Melo 
Correção: a recorrência é Pn = p (1-P(n-1)) + (1-p) P(n-1)

2015-10-12 21:42 GMT-03:00 Lucas Prado Melo :

> É possível mostrar que Pn = p *( 1-  P(n-1)) + (1-p) Pn
>
> Disso conclui-se que Pn = p + (1-2p)P(n-1)   e, dividindo a equação por
> (1-2p)^n (para p != 1/2), encontramos uma formula fechada para Pn/(1-2p)^n.
>
> Finalmente chegamos que Pn = (1 + (1-2p)^n)/2, mesmo quando p = 1/2.
>
> 2015-10-12 20:17 GMT-03:00 Amanda Merryl :
>
>>
>> Oi amigos
>>
>> Um experimento tem probabilidade p de sucesso. Em n realizaçŠes
>> independentes do mesmo, qual a probabilidade Pn de que o número de
>> sucessos seja par? Há uma fórmula  fechada para Pn?
>>
>> Devemos ter lim n --> oo Pn = 1/2, certo?
>>
>> Obrigada.
>>
>> Amanda
>>
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>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
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>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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> Lucas
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidade de que o número de sucessos seja par

2015-10-12 Por tôpico Marcelo Salhab Brogliato 
Olá, Amanda,

Você pode usar a fórmula da distribuição binomial, restringindo apenas aos
valores pares. Assim:
Pn = \sum_{k=0..piso(n/2)} C(n, 2k) * p^{2k} (1-p)^{n - 2k}, onde C(n, 2k)
= n! / [(2k)! (n - 2k)!].

Mas acho que fica difícil calcular lim{n-> inf} Pn usando essa equação.

Para resolver com n -> inf, acho que o mais fácil é encontrar uma recursão.

Veja que existem duas formas de termos uma quantidade par com n+1
realizações. Ou com n é par e temos um insucesso, ou com n é impar e temos
um sucesso. Assim:

P{n+1} = p(1 - Pn) + (1-p)*Pn, com P0 = 1.

Como essa é uma recursão linear, é fácil encontrar uma fórmula fechada para
ela. Fica como exercício pra você. :)

Para o limite, quando n -> inf, e supondo que Pn converge, temos:
lim{n->inf} Pn = a.
Assim:
a = p(1-a) + (1-p)*a
a = p - pa + a - pa
2pa = p
a = 1/2

Assim, se Pn convergir, ele irá convergir para 1/2. Falta só provar que Pn
converge quando n -> inf. Fica como exercício pra você. :)

Obs: Dá para mostrar que converge usando apenas desigualdades.
Obs2: Com a fórmula fechada, é bem fácil mostrar que Pn converge.

Abraços,
Marcelo

2015-10-12 20:17 GMT-03:00 Amanda Merryl :

>
> Oi amigos
>
> Um experimento tem probabilidade p de sucesso. Em n realizaçŠes
> independentes do mesmo, qual a probabilidade Pn de que o número de
> sucessos seja par? Há uma fórmula  fechada para Pn?
>
> Devemos ter lim n --> oo Pn = 1/2, certo?
>
> Obrigada.
>
> Amanda
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[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidade de que o número de sucessos seja par

2015-10-12 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Sendo X a variável aleatória número de sucessos nas n realizações, X tem
distribuição binomial com parâmetros n e p (estou supondo que só há dois
resultados possíveis, sucesso e fracasso, é um experimento de Bernouille se
0 < p < 1)

Assim, para k = 0, 1,... n, P(X = k) = C(n, k) p^k (1 - p)^(n - k), C(n, k)
a combinação de n, k a k.

Desta forma, Pn é obtida somando-se os termos acima para os valores pares
de k, ou seja

Pn = Soma (k par) C(n, k) p^k (1 - p)^(n - k)

No somatório de Pn, k vai de 0'até o maior par menor ou igual a n.

Para obtermos uma fórmula fechada para Pn, observemos que, pelo Binômio de
Newton,

C(n, 0) p^0 (1 - p)^(n) +  C(n, 1) p^1 (1 - p)^(n - 1) +  C(n, n) p^n
(1 -p)^0 = 1

C(n, 0) (-p)^0 (1 - p)^(n)  + C(n, 1) (-p)^1 (1 - p)^(n - 1) +  C(n, n)
(-p)^n (1 -p)^0 = C(n, 0) (p)^0 (1 - p)^(n)  - C(n, 1) (-p)^1 (1 - p)^(n -
1) +  C(n, n) (-p)^n (1 -p)^0 = (-p + 1 - p)^n = (1 - 2p)^n

No segundo somatório, substituímos p por - p e mantivemos 1 - p. Assim, os
termos com k par se mantém e os com k ímpar permutam seu sinal. Desta
forma, somando as duas equações e considerando a definição de Pn, obtemos

2 Pn = 1 + (1 - 2p)^n

Pn = (1 + (1 - 2p)^n)/2

E se vc quiser a prob. de que haja um número ímpar de sucessos, chega a 1 -
Pn =  (1 -(1 - 2p)^n)/2.

Se p estiver em (0, 1) (experimento de Bernouille), então |1 - 2p| < 1, (1
-2p)^n --> 0 e, portanto, temos de fato que Pn --> 1/2. Isto bate com a
intuição. Não há nenhum motivo para que, à medida em que se aumenta n, os
estados pares sejam mais visitados que os ímpares, e vice versa.

Mas se p = 0, só há fracassos, temos sempre 0 sucessos, que é par, e Pn = 1
para todo n. o que é confirmado pela fórmula acima. Logo, o limite é 1,

Se p = 1, há sempre n sucessos e Pn = 1 se n for par e Pn = 0 se n for
ímpar. Logo, não existe limite quando n --> oo.

Abraços



Artur Costa Steiner

Em 12 de out de 2015, às 21:17, Ary Medino 
escreveu:

Cara Amanda

Suponho que o experimento a que se refere admite apenas dos resultados: Um
chamado de "sucesso", com probabilidade 0 < p < 1 de ocorrer, e outro
chamado de "fracasso", com probabilidade 1 - p de ocorrer.
Experimentos aleatórios com essas características são chamados de
"ensaios de Bernoulli".
Em n realizações independentes de tais experimentos, isto é, n ensaios
de Bernoulli independentes, o número de sucessos tem distribuição
Binomial com parâmetros n e p. Ou seja, a probabilidade de se obter k
sucessos em n ensaios é dada por B(n,k)p^k(1 - p)^(n-k), onde B(n,k) é o
número Binomial n tomados k a k.
A probabilidade Pn que você busca, isto é, a probabilidade de se obter um
número par de sucessos em n ensaios de Bernoulli independentes,  é a soma
dos valores B(n,k)p^k(1 - p)^(n-k) com k restrito aos números pares de 0 a
n.

Você pode fazer uma busca na internet por esses termos para saber mais
Abraço
Ary



Em Segunda-feira, 12 de Outubro de 2015 20:46, Amanda Merryl <
sc...@hotmail.com> escreveu:



Oi amigos

Um experimento tem probabilidade p de sucesso. Em n realizaçōes
independentes do mesmo, qual a probabilidade Pn de que o número de
sucessos seja par? Há uma fórmula  fechada para Pn?

Devemos ter lim n --> oo Pn = 1/2, certo?

Obrigada.

Amanda


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Em segunda-feira, 12 de outubro de 2015, Amanda Merryl 
escreveu:

>
> Oi amigos
>
> Um experimento tem probabilidade p de sucesso. Em n realizaçŠes
> independentes do mesmo, qual a probabilidade Pn de que o número de
> sucessos seja par? Há uma fórmula  fechada para Pn?
>
> Devemos ter lim n --> oo Pn = 1/2, certo?
>
> Obrigada.
>
> Amanda
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[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidade de que o número de sucessos seja par

2015-10-12 Por tôpico Lucas Prado Melo 
É possível mostrar que Pn = p *( 1-  P(n-1)) + (1-p) Pn

Disso conclui-se que Pn = p + (1-2p)P(n-1)   e, dividindo a equação por
(1-2p)^n (para p != 1/2), encontramos uma formula fechada para Pn/(1-2p)^n.

Finalmente chegamos que Pn = (1 + (1-2p)^n)/2, mesmo quando p = 1/2.

2015-10-12 20:17 GMT-03:00 Amanda Merryl :

>
> Oi amigos
>
> Um experimento tem probabilidade p de sucesso. Em n realizaçŠes
> independentes do mesmo, qual a probabilidade Pn de que o número de
> sucessos seja par? Há uma fórmula  fechada para Pn?
>
> Devemos ter lim n --> oo Pn = 1/2, certo?
>
> Obrigada.
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